Координати и вектори. Изчерпателното ръководство (2020)

Абсцисната и ординатната ос се наричат координати вектор. Векторните координати обикновено се посочват във формуляра (x, y), а самият вектор като: =(x, y).

Формула за определяне на векторни координати за двумерни задачи.

В случай на двумерна задача, вектор с известни координати на точки A(x 1;y 1)И Б(х 2 ; г 2 ) може да се изчисли:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формула за определяне на векторни координати за пространствени задачи.

В случай на пространствен проблем, вектор с известни координати на точкиА (x 1; y 1;z 1 ) и Б (х 2 ; г 2 ; z 2 ) може да се изчисли по формулата:

= (х 2 - х 1 ; г 2 - г 1 ; z 2 - z 1 ).

Координатите осигуряват изчерпателно описание на вектора, тъй като е възможно да се конструира самият вектор с помощта на координатите. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли и дължина на вектора. (Имот 3 по-долу).

Свойства на векторните координати.

1. Всякакви равни векторив една координатна система имат равни координати.

2. Координати колинеарни векторипропорционален. При условие, че нито един от векторите не е нула.

3. Квадратът на дължината на произволен вектор е равен на сумата от квадратите му координати.

4. По време на операция векторно умножениеНа реално числовсяка негова координата се умножава по това число.

5. При събиране на вектори изчисляваме сбора на съответния векторни координати.

6. Скаларно произведениедва вектора е равна на сумата от произведенията на съответните им координати.

12. Дължина на вектор, дължина на отсечка, ъгъл между векторите, условие за перпендикулярност на векторите.

вектор – Това е насочен сегмент, свързващ две точки в пространството или в равнина.Векторите обикновено се означават или с малки букви, или с начална и крайна точка. Най-отгоре обикновено има тире.

Например вектор, насочен от точката Акъм основния въпрос б, могат да бъдат обозначени а ,

Нулев вектор 0 или 0 - Това е вектор, чиято начална и крайна точка съвпадат, т.е. А = б. Оттук, 0 = – 0 .

Дължина на вектора (модул)а е дължината на сегмента, който го представлява AB, означено с |а | . По-специално | 0 | = 0.

Векторите се наричат колинеарен, ако насочените им отсечки лежат на успоредни прави. Колинеарни вектори а И b са определени а || b .

Извикват се три или повече вектора компланарен, ако лежат в една равнина.

Векторно добавяне. Тъй като векторите са насоченисегменти, тогава може да се извърши тяхното добавяне геометрично. (Алгебричното добавяне на вектори е описано по-долу, в параграфа „Единични ортогонални вектори“). Нека се преструваме, че

а = АВи b = CD,

тогава векторът __ __

а + b = AB+ CD

е резултат от две операции:

а)паралелен трансфередин от векторите, така че началната му точка да съвпада с крайната точка на втория вектор;

b)геометрично добавяне, т.е. конструиране на резултатен вектор, преминаващ от началната точка на фиксирания вектор до крайната точка на прехвърления вектор.

Изваждане на вектори. Тази операция се свежда до предишната чрез заместване на субтрахендния вектор с противоположния му: а – b =а + (– b ) .

Закони за добавяне.

аз а + b = b + а (Преходен закон).

II. (а + b ) + ° С = а + (b + ° С ) (Комбинативно право).

III. а + 0 = а .

IV. а + (– а ) = 0 .

Закони за умножение на вектор с число.

аз 1 · а = а , 0 · а = 0 , м· 0 = 0 , (– 1) · а = – а .

II. ма = а м,| ма | = | м | · | a | .

III. m(nа ) = (mn)а . (К о m b et a l

закон за умножение с число).

IV. (m+n) а = ма +nа , (РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

м(а + b ) = ма +мb . закон за умножение с число).

Точково произведение на вектори. __ __

Ъгъл между ненулеви вектори ABИ CD– това е ъгълът, образуван от векторите, когато се прехвърлят успоредно, докато точките се изравнят АИ C. Точково произведение на векториа И b се нарича число, равно на произведението на техните дължини и косинуса на ъгъла между тях:

Ако един от векторите е нула, тогава тяхното скаларно произведение, в съответствие с дефиницията, е равно на нула:

(а, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Ако и двата вектора са различни от нула, тогава косинусът на ъгъла между тях се изчислява по формулата:

Скаларен продукт ( a , a ), равно на | а | 2, т.нар скаларен квадрат.Дължина на вектора а и неговият скаларен квадрат са свързани с:

Точково произведение на два вектора:

- положително, ако ъгълът между векторите пикантен;

- отрицателен,ако ъгълът между векторите тъп.

Тогава скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула и то само когато ъгълът между тях е прав, т.е. когато тези вектори са перпендикулярни (ортогонални):

Свойства на скаларното произведение. За всякакви вектори а, b,c и произволно число мважат следните отношения:

аз (а, b ) = (б, а ) . (Преходен закон)

II. (ма, b ) = м(а, b ) .

III.(a+b,c ) = (а, ° С ) + (б, ° С ). (Закон за разпределение)

Единични ортогонални вектори. Във всяка правоъгълна координатна система можете да влезете единични по двойки ортогонални векториаз , й И к свързани с координатни оси: аз – с ос х, й – с ос YИ к – с ос З. Според това определение:

(аз ,j ) = (аз , к ) = (й , к ) = 0,

| аз | =| j | =| k | = 1.

Всеки вектор а може да се изрази чрез тези вектори по уникален начин: а = хi+ гj+ zк . Друга форма на запис: а = (x, y, z). Тук х, г, z - координативектор а в тази координатна система. В съответствие с последното отношение и свойства на единичните ортогонални вектори i, j , к Скаларното произведение на два вектора може да бъде изразено по различен начин.

Позволявам а = (x, y, z); b = (u, v, w). Тогава ( а, b ) = сю + yv + zw.

Скаларното произведение на два вектора е равно на сумата от произведенията на съответните координати.

Дължина на вектора (модул) а = (х, г, z ) е равно на:

Освен това вече имаме възможност да провеждаме алгебриченоперациите върху вектори, а именно добавяне и изваждане на вектори, могат да се извършват с помощта на координати:

а+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

а – b = (х–u, y– v, z–w) .

Кръстосано произведение на вектори. Векторни произведения на изкуството [а, b ] векториа Иb (в този ред) се нарича вектор:

Има друга формула за дължината на вектора [ а, б ] :

| [ а, б ] | = | а | | b | грях( а, б ) ,

т.е. дължина ( модул ) векторно произведение на векториа Иb е равно на произведението на дължините (модулите) на тези вектори и синуса на ъгъла между тях.С други думи: дължина (модул) на вектора[ а, б ] числено равно на площта на успоредник, изграден върху вектори а Иb .

Свойства на векторно произведение.

азвектор [ а, б ] перпендикулярен (ортогонален)двата вектора а И b .

(Докажете го, моля!).

II.[ а, b ] = – [б, а ] .

III. [ ма, b ] = м[а, b ] .

IV. [ a+b,c ] = [ а, ° С ] + [ б, ° С ] .

V. [ а, [ b,c ] ] = b (a , c ) – ° С (а, б ) .

VI. [ [ а, b ] , ° С ] = b (a , c ) – а (b,c ) .

Необходимо и достатъчно условие за колинеарност вектори а = (x, y, z) И b = (u, v, w) :

Необходимо и достатъчно условие за компланарност вектори а = (x, y, z), b = (u, v, w) И ° С = (p, q, r) :

ПРИМЕР Векторите са дадени: а = (1, 2, 3) и b = (– 2 , 0 ,4).

Изчислете техните точкови и кръстосани произведения и ъгъл

между тези вектори.

Решение Използвайки подходящите формули (вижте по-горе), получаваме:

а). скаларно произведение:

(а, б ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

б). векторен продукт:

Намирането на координатите на вектор е доста често срещано условие за много задачи в математиката. Способността да намирате векторни координати ще ви помогне при други, по-сложни задачи с подобни теми. В тази статия ще разгледаме формулата за намиране на векторни координати и няколко задачи.

Намиране на координатите на вектор в равнина

Какво е самолет? Равнината се счита за двумерно пространство, пространство с две измерения (измерението x и измерението y). Например хартията е плоска. Повърхността на масата е плоска. Всяка необемна фигура (квадрат, триъгълник, трапец) също е равнина. По този начин, ако в изявлението на проблема трябва да намерите координатите на вектор, който лежи на равнина, веднага си спомняме за x и y. Можете да намерите координатите на такъв вектор, както следва: Координати AB на вектора = (xB – xA; yB – xA). Формулата показва, че трябва да извадите координатите на началната точка от координатите на крайната точка.

Пример:

• Вектор CD има начална (5; 6) и крайна (7; 8) координати.
• Намерете координатите на самия вектор.
• Използвайки горната формула, получаваме следния израз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Така координатите на вектора CD = (2; 2).
• Съответно координатата x е равна на две, координатата y също е две.

Намиране на координатите на вектор в пространството

Какво е пространство? Пространството вече е триизмерно измерение, където са дадени 3 координати: x, y, z. Ако трябва да намерите вектор, който лежи в пространството, формулата практически не се променя. Добавя се само една координата. За да намерите вектор, трябва да извадите координатите на началото от крайните координати. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Пример:

• Вектор DF има начален (2; 3; 1) и краен (1; 5; 2).
• Прилагайки горната формула, получаваме: Векторни координати DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Не забравяйте, че координатната стойност може да бъде отрицателна, няма проблем.

Как да намеря векторни координати онлайн?

Ако по някаква причина не искате сами да намерите координатите, можете да използвате онлайн калкулатор. За да започнете, изберете векторното измерение. Размерността на вектора отговаря за неговите размери. Размерност 3 означава, че векторът е в пространството, размерност 2 означава, че е в равнината. След това въведете координатите на точките в съответните полета и програмата ще определи за вас координатите на самия вектор. Всичко е много просто.

Като щракнете върху бутона, страницата автоматично ще се превърти надолу и ще ви даде правилния отговор заедно със стъпките за решение.

Препоръчително е тази тема да се изучава добре, тъй като концепцията за вектор се намира не само в математиката, но и във физиката. Студентите от Факултета по информационни технологии също изучават темата за векторите, но на по-комплексно ниво.

1. Дефиниция на вектор. Дължина на вектора. Колинеарност, компланарност на вектори.

Векторът е насочен сегмент. Дължината или модулът на вектор е дължината на съответния насочен сегмент.

Векторен модул аозначен с . вектор асе нарича единица, ако . Векторите се наричат ​​колинеарни, ако са успоредни на една и съща права. Векторите се наричат ​​копланарни, ако са успоредни на една и съща равнина.

2. Умножение на вектор по число. Оперативни свойства.

Умножаването на вектор по число дава противоположно насочен вектор, който е два пъти по-дълъг. Умножаването на вектор по число в координатна форма се извършва чрез умножаване на всички координати по това число:

Въз основа на определението получаваме израз за модула на вектора, умножен по числото:

Подобно на числата, операцията за добавяне на вектор към себе си може да бъде записана чрез умножение по число:

И изваждането на векторите може да бъде пренаписано чрез събиране и умножение:

Въз основа на факта, че умножението по не променя дължината на вектора, а само посоката и като вземем предвид дефиницията на вектор, получаваме:

3. Събиране на вектори, изваждане на вектори.

При координатно представяне векторът на сумата се получава чрез сумиране на съответните координати на членовете:

За геометрично конструиране на сумиращ вектор се използват различни правила (методи), но всички те дават един и същ резултат. Използването на едно или друго правило е оправдано от проблема, който се решава.

Правило на триъгълника

Правилото на триъгълника следва най-естествено от разбирането на вектора като трансфер. Ясно е, че резултатът от последователното прилагане на два трансфера в определен момент ще бъде същият като прилагането на един трансфер наведнъж, което отговаря на това правило. Да се ​​съберат два вектора според правилото триъгълники двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото на единия от тях съвпада с края на другия. Тогава сумиращият вектор е даден от третата страна на получения триъгълник, като началото му съвпада с началото на първия вектор, а краят му с края на втория вектор.

Това правило може директно и естествено да се обобщи до добавянето на произволен брой вектори, превръщайки се в правило за прекъсната линия:

Правило на многоъгълник

Началото на втория вектор съвпада с края на първия, началото на третия с края на втория и т.н., сумата от векторите е вектор, като началото съвпада с началото на първия, и краят съвпада с края на th (т.е. изобразен е с насочена отсечка, затваряща начупената линия) . Нарича се още правилото за прекъсната линия.

Правило на успоредник

Да се ​​съберат два вектора и според правилото успоредники двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че техните начала съвпадат. Тогава сумарният вектор се дава от диагонала на построения върху тях успоредник, като се започне от общия им произход. (Лесно се вижда, че този диагонал съвпада с третата страна на триъгълника, когато се използва правилото на триъгълника).

Правилото на паралелограма е особено удобно, когато има нужда да се изобрази векторът на сумата като непосредствено приложен към същата точка, към която се прилагат и двата термина - тоест да се изобразят и трите вектора като имащи общ произход.

Векторен модул на сумата

Модул на сумата от два вектораможе да се изчисли с помощта на косинусова теорема:

Къде е косинусът на ъгъла между векторите.

Ако векторите са изобразени в съответствие с правилото на триъгълника и ъгълът е взет според чертежа - между страните на триъгълника - което не съвпада с обичайното определение на ъгъла между векторите и следователно с ъгъла в горния формула, тогава последният член придобива знак минус, което съответства на косинусовата теорема в нейната директна формулировка.

За сумата от произволен брой векториприложима е подобна формула, в която има повече членове с косинус: един такъв член съществува за всяка двойка вектори от сумираното множество. Например за три вектора формулата изглежда така:

Векторно изваждане

Два вектора и техният вектор на разликата

За да получите разликата в координатната форма, трябва да извадите съответните координати на векторите:

За да се получи вектор на разликата, началото на векторите се свързват и началото на вектора ще бъде краят, а краят ще бъде краят. Ако го запишем с векторни точки, тогава.

Модул за векторна разлика

Три вектора, както при събирането, образуват триъгълник и изразът за модула на разликата е подобен:

където е косинусът на ъгъла между векторите

Разликата от формулата за модула на сумата е в знака пред косинуса; в този случай трябва внимателно да следите кой ъгъл се взема (версията на формулата за модула на сумата с ъгъла между страните на триъгълник при сумиране според правилото на триъгълника не се различават по форма от тази формула за модула на разликата, но трябва да имате Забележете, че тук се вземат различни ъгли: в случай на сума ъгълът е взето, когато векторът се прехвърли в края на вектора; когато се търси модел на разликата, се взема ъгълът между векторите, приложен към една точка; изразът за модула на сумата, използвайки същия ъгъл като в дадения израз за модула на разликата, се различава в знака пред косинуса).

Първо, трябва да разберем концепцията за самия вектор. За да въведем определението за геометричен вектор, нека си припомним какво е сегмент. Нека въведем следното определение.

Определение 1

Сегментът е част от линия, която има две граници под формата на точки.

Един сегмент може да има 2 посоки. За да обозначим посоката, ще наричаме едната граница на отсечката нейно начало, а другата граница – негов край. Посоката се посочва от началото до края на сегмента.

Определение 2

Вектор или насочен сегмент ще бъде сегмент, за който е известно коя от границите на сегмента се счита за начало и коя е неговият край.

Обозначение: С две букви: $\overline(AB)$ – (където $A$ е началото му, а $B$ е краят му).

С една малка буква: $\overline(a)$ (фиг. 1).

Нека сега въведем директно концепцията за векторни дължини.

Определение 3

Дължината на вектора $\overline(a)$ ще бъде дължината на сегмента $a$.

Нотация: $|\overline(a)|$

Концепцията за дължина на вектора се свързва например с такава концепция като равенството на два вектора.

Определение 4

Два вектора ще наричаме равни, ако отговарят на две условия: 1. Те ​​са съпосочни; 1. Дължините им са равни (фиг. 2).

За да дефинирате вектори, въведете координатна система и определете координатите за вектора във въведената система. Както знаем, всеки вектор може да се разложи във формата $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, където $m$ и $n$ са реални числа, а $\overline (i )$ и $\overline(j)$ са единични вектори съответно на оста $Ox$ и $Oy$.

Определение 5

Ще наричаме коефициентите на разширение на вектора $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ координатите на този вектор във въведената координатна система. Математически:

$\overline(c)=(m,n)$

Как да намерим дължината на вектор?

За да изведете формула за изчисляване на дължината на произволен вектор, дадени неговите координати, разгледайте следния проблем:

Пример 1

Дадено: вектор $\overline(α)$ с координати $(x,y)$. Намерете: дължината на този вектор.

Нека въведем декартова координатна система $xOy$ на равнината. Нека оставим настрана $\overline(OA)=\overline(a)$ от произхода на въведената координатна система. Нека построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ на построения вектор съответно по осите $Ox$ и $Oy$ (фиг. 3).

Векторът $\overline(OA)$, който конструирахме, ще бъде радиус векторът за точка $A$, следователно той ще има координати $(x,y)$, което означава

$=x$, $[OA_2]=y$

Сега можем лесно да намерим необходимата дължина с помощта на Питагоровата теорема, която получаваме

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Отговор: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Заключение:За да се намери дължината на вектор, чиито координати са дадени, е необходимо да се намери коренът на квадрата от сбора на тези координати.

Примерни задачи

Пример 2

Намерете разстоянието между точките $X$ и $Y$, които имат следните координати: $(-1.5)$ и $(7.3)$, съответно.

Всякакви две точки могат лесно да бъдат свързани с концепцията за вектор. Помислете например за вектора $\overline(XY)$. Както вече знаем, координатите на такъв вектор могат да бъдат намерени чрез изваждане на съответните координати на началната точка ($X$) от координатите на крайната точка ($Y$). Разбираме това