Какви сегменти могат да бъдат начертани за изрязване. Олимпиада, логически и занимателни задачи по математика

, Конкурс "Презентация към урока"

Презентация към урока

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Опитът показва, че при използване на практически методи на обучение е възможно да се формират у учениците редица умствени техники, необходими за правилно идентифициране на съществени и несъществени характеристики при запознаване с геометрични фигури. развива се математическа интуиция, развива се логическо и абстрактно мислене, формира се култура на математическата реч, развиват се математически и дизайнерски способности, повишава се когнитивната активност, формира се познавателен интерес, развива се интелектуален и творчески потенциал Статията предоставя редица практически задачи за рязане на геометрични форми на парчета, за да композирате тези части, създават нова фигура. Учениците работят по задачи в групи. След това всяка група защитава своя проект.

Две фигури се наричат ​​еднакво съставени, ако чрез разрязване на една от тях по определен начин на краен брой части е възможно (чрез подреждане на тези части по различен начин) да се образува втора фигура от тях. И така, методът на разделяне се основава на факта, че всеки два еднакво съставени полигона са еднакви по размер. Естествено е да зададем обратния въпрос: има ли два полигона с еднаква площ с еднаква големина? Отговорът на този въпрос е даден (почти едновременно) от унгарския математик Фаркаш Бояй (1832) и немския офицер и ентусиаст по математика Гервин (1833): два многоъгълника с равни площи са еднакво пропорционални.

Теоремата на Bolyai-Gerwin гласи, че всеки многоъгълник може да бъде нарязан на парчета, така че парчетата да могат да бъдат оформени в квадрат.

Упражнение 1.

Изрежете правоъгълника ах 2ана парчета, така че да могат да бъдат направени на квадрат.

Разрязваме правоъгълника ABCD на три части по линиите MD и MC (M е средата на AB)

Снимка 1

Преместваме триъгълника AMD така, че върхът M да съвпадне с върха C, катетът AM се премества в сегмента DC. Преместваме триъгълника MVS наляво и надолу, така че кракът MV да припокрие половината от сегмента DC. (Снимка 1)

Задача 2.

Нарежете равностранния триъгълник на парчета, така че да могат да се сгънат на квадрат.

Нека означим този правилен триъгълник ABC. Необходимо е триъгълник ABC да се разреже на многоъгълници, така че да могат да се сгънат в квадрат. Тогава тези многоъгълници трябва да имат поне един прав ъгъл.

Нека K е средата на CB, T е средата на AB, изберете точки M и E от страната AC, така че ME=AT=TV=BK=SC= А, AM=EC= А/2.

Фигура 2

Нека начертаем отсечката MK и отсечките EP и TN перпендикулярни на нея. Нека нарежем триъгълника на парчета по построените линии. Завъртаме четириъгълника KRES по посока на часовниковата стрелка спрямо върха K, така че SC да се изравни с сегмента KV. Нека завъртим четириъгълника AMNT по посока на часовниковата стрелка спрямо върха T, така че AT да се изравни с TV. Нека преместим триъгълника MEP така, че резултатът да е квадрат. (Фигура 2)

Задача 3.

Нарежете квадрата на парчета, така че от тях да се сгънат два квадрата.

Нека означим оригиналния квадрат ABCD. Нека отбележим средите на страните на квадрата - точки M, N, K, H. Нека начертаем отсечки MT, HE, KF и NP - съответно части от отсечки MC, HB, KA и ND.

Разрязвайки квадрата ABCD по начертаните линии, получаваме квадрата PTEF и четири четириъгълника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.

Фигура 3

PTEF е готов квадрат. От останалите четириъгълници ще оформим втория квадрат. Върховете A, B, C и D са съвместими в една точка, отсечките AM и BC, MD и KS, BN и CH, DH и AN са съвместими. Точките P, T, E и F ще станат върховете на новия квадрат. (Фигура 3)

Задача 4.

От плътна хартия се изрязват равностранен триъгълник и квадрат. Нарежете тези фигури на многоъгълници, така че да могат да се сгънат в един квадрат, като частите трябва да го запълнят изцяло и да не се пресичат.

Нарежете триъгълника на части и направете от тях квадрат, както е показано в задача 2. Дължина на страната на триъгълника – 2а. Сега трябва да разделите квадрата на многоъгълници, така че от тези части и квадрата, който излиза от триъгълника, да направите нов квадрат. Вземете квадрат със страна 2 А, нека го обозначим LRSD. Нека начертаем взаимно перпендикулярни отсечки UG и VF така, че DU=SF=RG=LV. Нека нарежем квадрата на четириъгълници.

Фигура 4

Нека вземем квадрат, съставен от части на триъгълник. Нека очертаем четириъгълниците - части от квадрата, както е показано на фигура 4.

Задача 5.

Кръстът е съставен от пет квадрата: един квадрат в центъра, а останалите четири съседни на неговите страни. Нарежете го на парчета, така че да направите квадрат от тях.

Нека свържем върховете на квадратите, както е показано на фигура 5. Отрежете "външните" триъгълници и ги преместете в свободните пространства вътре в квадрата ABC.

Фигура 5

Задача 6.

Преначертайте два произволни квадрата в един.

Фигура 6 показва как да изрежете и преместите квадратните части.

Точката е абстрактен обект, който няма измервателни характеристики: нито височина, нито дължина, нито радиус. В рамките на задачата е важно само местоположението му

Точката се обозначава с цифра или главна латинска буква. Няколко точки - с различни цифри или различни букви, за да се различават

точка А, точка Б, точка С

точка 1, точка 2, точка 3

Можете да нарисувате три точки „А” на лист хартия и да поканите детето да начертае линия през двете точки „А”. Но как да разберем през кои? A A A

Линията е набор от точки. Измерва се само дължината. Няма ширина и дебелина

Обозначава се с малки (малки) латински букви

линия a, линия b, линия c

Линията може да бъде

1. затворен, ако началото и краят му са в една и съща точка,
2. отворен, ако началото и краят му не са свързани

затворени линии

отворени линии

1. самопресичащи се
2. без самопресичане

самопресичащи се линии

линии без самопресичане

1. прав
2. счупен
3. крив

прави линии

прекъснати линии

извити линии

Правата линия е линия, която не е крива, няма начало и край, може да бъде продължена безкрайно и в двете посоки

Дори когато се вижда малък участък от права линия, се приема, че тя продължава безкрайно в двете посоки

Обозначава се с малка (малка) латинска буква. Или две главни (главни) латински букви - точки, лежащи на права линия

права линия а

права линия AB

Директен може да бъде

1. пресичащи се, ако имат обща точка. Две линии могат да се пресичат само в една точка.
   • перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (90°).
2. Успоредни, ако не се пресичат, нямат обща точка.

паралелни линии

пресичащи се линии

перпендикулярни линии

Лъчът е част от права линия, която има начало, но няма край; тя може да бъде продължена безкрайно само в една посока

Светлинният лъч в картината има начална точка като слънцето.

слънце

Точка разделя права линия на две части - два лъча A A

Лъчът се обозначава с малка (малка) латинска буква. Или две главни (главни) латински букви, където първата е точката, от която започва лъчът, а втората е точката, разположена върху лъча

лъч а

лъч AB

Лъчите съвпадат, ако

1. разположени на една и съща права линия
2. започнете от една точка
3. насочени в една посока

лъчите AB и AC съвпадат

лъчите CB и CA съвпадат

Отсечката е част от линия, която е ограничена от две точки, тоест има начало и край, което означава, че нейната дължина може да бъде измерена. Дължината на отсечка е разстоянието между началната и крайната му точка

През една точка можете да начертаете произволен брой линии, включително прави линии

През две точки - неограничен брой криви, но само една права линия

криви линии, минаващи през две точки

права линия AB

От правата линия беше „отрязано“ парче и остана сегмент. От примера по-горе можете да видите, че неговата дължина е най-късото разстояние между две точки. ✂ B A ✂

Отсечката се обозначава с две главни (главни) латински букви, като първата е точката, в която отсечката започва, а втората е точката, в която завършва отсечката

сегмент AB

Проблем: къде е правата, лъчът, отсечката, кривата?

Прекъснатата линия е линия, състояща се от последователно свързани сегменти, които не са под ъгъл 180°

Дълъг сегмент беше "разбит" на няколко къси

Връзките на прекъснатата линия (подобно на връзките на веригата) са сегментите, които съставляват прекъснатата линия. Съседни връзки са връзки, в които краят на една връзка е началото на друга. Съседните връзки не трябва да лежат на една и съща права линия.

Върховете на начупената линия (подобно на върховете на планините) са точката, от която започва начупената линия, точките, в които се свързват сегментите, които образуват начупената линия, и точката, в която свършва начупената линия.

Прекъсната линия се обозначава чрез изброяване на всички нейни върхове.

прекъсната линия ABCDE

връх на полилиния A, връх на полилиния B, връх на полилиния C, връх на полилиния D, връх на полилиния E

прекъсната връзка AB, прекъсната връзка BC, прекъсната връзка CD, прекъсната връзка DE

връзка AB и връзка BC са съседни

връзка BC и връзка CD са съседни

връзка CD и връзка DE са съседни

Дължината на начупена линия е сумата от дължините на нейните връзки: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: коя прекъсната линия е по-дълга, А който има повече върхове? Първият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 13 см. Вторият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 49 см. Третият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 41 см.

Многоъгълникът е затворена многоъгълна линия

Страните на многоъгълника (изразите ще ви помогнат да запомните: „отидете във всичките четири посоки“, „бягайте към къщата“, „от коя страна на масата ще седнете?“) са връзките на прекъсната линия. Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия.

Върховете на многоъгълник са върховете на начупена линия. Съседните върхове са крайните точки на едната страна на многоъгълника.

Многоъгълник се означава чрез изброяване на всички негови върхове.

затворена полилиния без самопресичане, ABCDEF

многоъгълник ABCDEF

многоъгълник връх A, многоъгълник връх B, многоъгълник връх C, многоъгълник връх D, многоъгълник връх E, многоъгълник връх F

връх A и връх B са съседни

връх B и връх C са съседни

връх C и връх D са съседни

връх D и връх E са съседни

връх E и връх F са съседни

връх F и връх A са съседни

многоъгълна страна AB, многоъгълна страна BC, многоъгълна страна CD, многоъгълна страна DE, многоъгълна страна EF

страна AB и страна BC са съседни

страна BC и страна CD са съседни

CD страната и DE страната са съседни

страна DE и страна EF са съседни

страна EF и страна FA са съседни

Периметърът на многоъгълник е дължината на начупената линия: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

Поредица от избираеми часове по темата „Решаване на задачи за рязане“

Обяснителна бележка

Основен целикоито поставяме в избираемите часове са както следва:

Представете материал за видовете режещи многоъгълници;

Да насърчи формирането на умения у учениците да извършват психически такива трансформации като:

• паралелен трансфер,

  завой,

  централна симетрия и различни композиции на тези трансформации.

И основната цел на всички класове:постигане на положителна промяна в способностите за пространствено мислене.

Задачите, предлагани в избираемите часове, имат творчески характер, решаването им изисква от учениците: умения:

способността да се правят умствени трансформации, които променят местоположението на образите, които учениците имат в съзнанието си, тяхната структура, структура;

възможност за промяна на изображението както по местоположение, така и по структура едновременно и многократно извършване на композиции от отделни операции.

Тематично планиране:

1. Анкета No1 – 1 час.

2. Проблеми с рязане. Рязане тип R – 1 час.

3. Рязане тип П – 1 час.

4. Рязане тип Q – 1 час.

5. Рязане тип S – 1 час.

6. Т-образно рязане – 1 час.

7. Анкета No2 – 1 час.

При съставянето на поредица от избираеми часове са използвани задачи от списанията „Квант”, „Математика в училище” и книгата на Г. Линдгрен.

Насоки:Когато въвеждаме учениците в проблемите, препоръчваме тези проблеми да се разглеждат точно според видовете рязане, предложени от Г. Линдгрен, което позволява, от една страна, да се класифицират тези проблеми, от друга страна, в класната стая за решаване на проблеми, включващи пространствени трансформации с различни нива на сложност (втори и трети тип, работещи с изображения, според I.S. Yakimanskaya). Препоръчваме да използвате задачите на избираемите часове при работа с ученици от 7-9 клас.

Урок №1

Тема: Проблеми с рязане. Тип R рязане (рационално рязане).

Мишена:За да запознаете учениците с концепцията за проблем с рязане, обяснете същността на типа рязане R, анализирайки решението на проблемите за този тип рязане, в процеса на решаване на проблеми, насърчавайте формирането на умения за психическо извършване на операции (рязане, добавяне, пренарязване, завъртане, паралелен трансфер), като по този начин насърчава развитието на пространственото мислене.

Оборудване:хартия, цветни пасти, ножица, плакат.

Метод:обяснително – илюстративно.

Учител:плакат на дъската:

Схема: Проблеми с рязане

Проблеми с рязане

1) Нарежете фигурата на няколко фигури

3) Преоформете една или повече форми в друга форма

2) Сгънете фигура от дадените фигури

Сред всички проблеми на рязане, повечето от тях са рационални проблеми на рязане. Това се дължи на факта, че такива разфасовки са лесни за измисляне и пъзелите, базирани на тях, не са твърде прости и не са твърде сложни.

Проблеми в R - рязане

1) Нарежете фигурата на няколко (предимно еднакви) фигури

3) Преоформете една или повече форми в дадена форма

2) Добавяне на фигура от дадени (предимно равни) фигури

3.1. Използване на стъпаловидно рязане

3.2. Без използване на стъпаловидно рязане

Нека се запознаем с решението на задачите за всеки тип рязане R.

Етап II: Етап на решаване на проблеми

Методи:частично търсене

Задача No1(AII) : Разрежете квадрат със страна четири квадрата на две равни части. Намерете възможно най-много начини за рязане.

Забележка: Можете да режете само по страните на клетките.

Решение:

Учениците търсят такива разфасовки в своите тетрадки, след което учителят обобщава всички методи за изрязване, открити от учениците.

Проблем No2(AII) : Нарежете тези форми на две равни части.

Забележка: Можете да режете не само по страните на клетките, но и по диагонал.

Учениците търсят такива съкращения в тетрадките си с помощта на учителя.

Площадът има много прекрасни имоти. Правите ъгли, равните страни, симетрията му придават простота и съвършенство на формата. Има много пъзели върху сгъваеми квадрати от части от еднакви и различни форми.

ДА СЕ пример задача №3(BII) : Дават ви се четири еднакви части. Мислено направете квадрат от тях, като използвате и четирите части всеки път. Направете всички тестове на хартия. Представете резултатите от вашето решение под формата на ръчно нарисуван чертеж.

Решение:

Шахматна дъска, нарязана на части, които трябва да бъдат сгънати правилно, е един от популярните и добре познати пъзели. Сложността на сглобяването зависи от това на колко части е разделена дъската.

Предлагам следната задача:

Проблем No4(BII) : Сглобете шахматна дъска от частите, показани на снимката.

Решение:

Проблем №5(VII) : Нарежете "Лодката" на две части, така че да можете да ги сгънете на квадрат.

Решение:

1) нарежете на две части, както е на снимката

обърнете една от частите (т.е. завъртете)

Проблем No6(VII): Всяка от трите фигури може да се разреже на две части, от които лесно се сгъва квадрат. Намерете такива разфасовки.

а) б)

V)

Решение:

паралелно прехвърляне на част 1 спрямо част 2

завъртане на част 1 спрямо част 2

) б) V)

Проблем No7(VII): Правоъгълник със страни 4 и 9 единици се разрязва на две равни части, които, когато се сгънат правилно, могат да се получат като квадрат.

разрезът е направен под формата на стъпала, чиято височина и ширина са еднакви;

фигурата се разделя на части и една част се премества нагоре с една (или няколко) стъпки, като се поставя върху друга част.

Решение:

паралелен трансфер на част 1

Проблем No9(VII): След като разрежете фигурата, показана на фигурата, на две части, сгънете ги в квадрат, така че цветните квадрати да са симетрични по отношение на всички оси на симетрия на квадрата.

Решение:

паралелен трансфер на част 1

Проблем No9(ВIII): Как трябва да се разрежат два квадрата 3 х 3 и 4 х 4, така че получените части да се сгънат в един квадрат? Измислете няколко начина. Опитайте се да преминете с възможно най-малко части.

Решение:

паралелно прехвърляне на части

начин:

начин:

паралелен превод и ротация

4 начин:

паралелно пренасяне и въртене на части

Учениците с помощта на учителя търсят разрези.

Задача No10(AIII): Фигурата, показана на фигурата, трябва да бъде разделена на 6 равни части, като се правят разрези само по линиите на мрежата. По колко начина можете да направите това?

Решение:Две възможни решения.

Задача No11(BII): Постройте шахматна дъска от дадените фигури.

Решение:

Задача No12(BIII): Преобразувайте правоъгълника 3 x 5 в правоъгълник 5 x 3, без да въртите съответните части.

Забележка: Използвайте стъпаловидно рязане.

Решение:(паралелен трансфер)

Задача No13(BIII): Нарежете формата на 2 части с един разрез, за ​​да образувате квадрат 8 x 8.

Решение:

завъртане на част 2 спрямо част 1

Насоки:Проблемите с рязане тип R са едни от най-лесните и интересни. Много задачи за този тип рязане включват няколко метода за решаване и самостоятелното решение на тези проблеми от учениците може да помогне за идентифицирането на всички методи за решение. Задачи 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 включват работа на учениците с образа на фигури, чрез мислени трансформации („разрязване“, добавяне, завъртане, успоредно пренасяне). Задачи 4, 5, 9, 11 включват работа на учениците с модели (направени от хартия), чрез директно изрязване на фигурата с ножица и извършване на математически трансформации (въртене, паралелно преместване), за да намерят решения на задачите. Задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - за втори вид работа с изображения, задачи 9, 10, 12 - за трети вид работа с изображения.

Урок No2

Тема: Рязане тип P (P паралелограмно изместване).

Мишена:Обяснете същността на рязане тип P, в процеса на анализиране на решението на проблемите за този тип рязане, като същевременно насърчавате формирането на умения за мислено извършване на операции (рязане, добавяне, повторно рязане, паралелно прехвърляне), като по този начин насърчавате развитие на пространственото мислене.

Оборудване:

Етап I: Ориентиран етап

Метод:проблемно представяне.

Учителпоставя задача (решете задача No1) и показва нейното решение.

Задача No1(BIII): Преобразувайте успоредник със страни 3 и 5 cm в нов успоредник със същите ъгли като оригиналния успоредник, едната от страните на която е 4 cm.

Решение: 1)

4)

ABC D – успоредник

AB = 3, A D=5

направете разрез AO VO = D K = 4;

преместете част 1 нагоре (успоредна транслация) надясно по линията на срязване, докато точка O попадне върху продължението на страната DC;

направете разрез KA' така, че KA' || DC ;

и Δ AA'K вмъкваме във вдлъбнатината, разположена под точка O (успоредно пренасяне на Δ AA'K по права линия AO).

KVO D е желаният успоредник (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  ЛОШО =  1 +  4,

1 =  2 и  4 =  3 – лежащи на кръст върху успоредни прави.

Следователно  ЛОШО =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD и т.н.

U

Проблеми с P смяна

Преоформете една или повече форми в друга форма

Същността на рязането тип P:

правим разрез на тази фигура, който отговаря на изискванията на задачата;

извършваме паралелно прехвърляне на изрязаната част по линията на изрязване, докато горната част на изрязаната част съвпадне с продължението на другата страна на оригиналната фигура (паралелограм);

правим втори разрез, успореден на страната на паралелограма, получаваме друга част;

Извършваме паралелно прехвърляне на новоизрязаната част по линията на първия разрез, докато върховете съвпаднат (поставяме частта във вдлъбнатината).

Етап II: Етап на решаване на проблеми

Методи:обяснително – илюстративно

Проблем No2(BII): Преобразувайте квадрата 5 x 5 в правоъгълник с ширина 3.

Решение:

1) 2) – 3) 4)

раздел AO / VO = D T = 3

паралелен трансфер ΔABO по права линия AO ​​до точка O  (DC)

изрежете TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T чрез успоредно пренасяне по правата AO.

TBOD е желаният правоъгълник (TB = 3).

Проблем No3(ВIII): Сгънете три еднакви квадрата в един голям квадрат.

Забележка: Сгънете три квадрата в правоъгълник, след което приложете P shift.

Решение:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Проблем No4(BIII): Нарежете правоъгълника 5 x 1 на квадрат

Забележка: направете разрез AB (A У =
), приложете P shift към правоъгълника XYWA.

Решение:

1)

2) – 3) 4) 5)

Проблем No5(VIII): Преобразувайте руското Н в квадрат.

Забележка: направете разрез, както е показано на снимката, сгънете получените части в правоъгълник.

Решение:

Проблем No6(BIII): Преобразувайте триъгълника в трапец.

Забележка: Направете разреза, както е показано на снимката.

Решение:

завъртете част 1;

AB разрез;

ΔАВС успоредно пренасяне по AB до точка B  (FM)

изрежете ИЛИ / ИЛИ || FM;

ΔAOR чрез паралелен транспорт по AB. Точка P съвпада с точка B;

OFBC е желаният трапец.

Проблем No7(ВIII): Направете едно квадратче от три равни гръцки кръста.

Решение:

Проблем No8(BIII): Преобразувайте буквата Т в квадрат.

Забележка: Първо изрежете правоъгълник от буквата t.

Решение: С t = 6 (единица 2), Сkv = (
) 2

завой

състав на успоредни тирета

MV = KS =

Проблем No9(ВIII): Преначертайте знамето, показано на картинката, в квадрат.

Забележка: Първо преобразувайте флага в правоъгълник

Решение:

завой

С fl = 6,75 AB = C д =
Сkv = (
) 2

паралелен трансфер

Насоки:Когато запознавате учениците с разрязващи задачи от тип P, препоръчваме да представят същността на този тип разрязване при решаването на конкретен проблем. Препоръчваме първо да решавате задачи върху модели (направени от хартия), като директно изрязвате фигурите с ножица и извършвате паралелен трансфер, а след това, в процеса на решаване на задачи, от модели на фигури към преминаване към работа с изображения на геометрични фигури, чрез извършване на мисловни трансформации (нарязване, паралелен трансфер).

Урок No3

Тема: Тип рязане Q (Q е преместване на четириъгълник).

Мишена:Нека очертаем същността на рязане тип Q, в процеса на решаване на проблеми за този тип рязане, като същевременно насърчаваме формирането на умения за психическо извършване на операции (рязане, добавяне, централна симетрия, въртене, паралелен трансфер), като по този начин насърчаваме развитие на пространственото мислене.

Оборудване:хартия, цветни пасти, ножици.

Етап I: Ориентиран етап

Метод:проблемно представяне.

Учителят поставя задача на учениците (решете задача No1) и показва решението.

Задача No1(BIII): Преобразувайте този четириъгълник в нов четириъгълник.

Решение:

правим HP разреза така, че VN = MN, PF = DF;

направи рязане ME / ME || слънце;

направете разрез RT / RT || AD ;

Δ3 и Δ1 се завъртат по посока на часовниковата стрелка спрямо част 2;

Част 1 чрез успоредно пренасяне по права HF до точка T  AR;

AMCP е търсеният четириъгълник (със страни CP и AM (може да се посочи в условието)).

Проблем No2(BIII): Преобразувайте четириъгълника в нов четириъгълник (дълъг четириъгълник).

Решение:

(завъртете част 1 спрямо точка O, докато OU съвпадне с AO);

(завъртете част (1 – 2) спрямо точка Т, докато VT съвпадне с WT);

XAZW е необходимият четириъгълник.

При проблеми, използващи Q разрези, се правят разрези и изрязаните части претърпяват ротационна трансформация.

Задачи за Q рязане

трансформира дадена форма (четириъгълник) в друга форма (четириъгълник)

В много задачи Q shift елементите се използват за трансформиране на триъгълник в някакъв вид четириъгълник или обратно (триъгълник като "четириъгълник" с една от страните му с нулева дължина).

Етап II: Етап на решаване на проблеми

Проблем No3(VII): Малък триъгълник се изрязва от триъгълника, както е показано на фигурата. Пренаредете малкия триъгълник, за да образувате успоредник.

Завъртете част 1 спрямо точка P, докато KR съвпадне с MR.

AOO'M е търсеният успоредник.

Проблем No4(BII, BIII): Кой от тези триъгълници може да се превърне в правоъгълник, като се направят един (два) разреза и пренаредят получените части?

1) 2) 3) 4)

5)

Решение:

1)

5)

1), 5) един разрез (разрез – средната линия на триъгълника)

2)

3)

4)

2), 3), 4) два разреза (1-ви разрез – средна линия, 2-ри разрез – височина от върха на триъгълника).

Проблем No5(VII): Преградете трапеца в триъгълник.

Решение:

раздел KS (AK = KB)

завъртане ΔKVS около точка K, така че сегментите KV и KA да са подравнени.

Δ FCD желания триъгълник.

Проблем No6(ВIII): Как да разделим трапец на фигури, от които да направим правоъгълник?

Решение:

1) ИЛИ секция (AO = OB, OR┴AD)

2) изрежете TF (CT = TD, TF ┴AD)

завъртане на част 1 спрямо точка O, така че AO и BO да са подравнени.

Завъртете част 2 спрямо точка Т, така че DT и CT да са подравнени.

PLMF – правоъгълник.

III етап: поставяне на домашна работа.

Проблем No7(ВIII) : конвертирайте всеки триъгълник в правоъгълен триъгълник.

коментар:

1) първо преобразувайте произволен триъгълник в правоъгълник.

2) правоъгълник в правоъгълен триъгълник.

Решение:

завой

Проблем No8(VII): Преобразувайте произволен успоредник в триъгълник, като направите само един разрез.

Решение:

завой

Завъртете част 2 около точка O на 180º (център на симетрия)

Насоки:Обобщение на същността на Q рязане, което препоръчваме

извършват в процеса на решаване на конкретни проблеми. Основните математически трансформации, използвани при решаването на задачи за този тип рязане, са: ротация (по-специално централна симетрия, паралелна транслация). Задачи 1, 2, 7 – за практически действия с модели на геометрични фигури; задачи 3, 4, 5, 6, 8 включват работа с изображения на геометрични фигури. Задачи 3, 4, 5, 8 – за втори вид работа с изображения, задачи 1, 2, 4, 6, 7 – за трети вид работа с изображения.

Урок №4.

Тема: Тип S рязане.

Мишена:Обяснете същността на рязане тип S, в процеса на решаване на проблеми за този тип рязане, като същевременно насърчавате формирането на умения за мислено извършване на операции (рязане, добавяне, припокриване, обръщане, паралелен трансфер, централна симетрия), като по този начин насърчавате развитие на пространственото мислене.

Оборудване:хартия, цветни пасти, ножици, кодови позитиви.

аз сцена: Ориентиран етап.

Метод:обяснителни и илюстративни.

Задача No1(VII): как да разрежем успоредник, чиито страни са 3,5 cm и 5 cm, на успоредник със страни 3,5 cm и 5,5 cm, като направим само един „разрез”?

Решение:

1) начертайте сегмент (разрез) CO = 5,5 cm, разделете успоредника на две части.

2) прилагаме триъгълника COM към противоположната страна на успоредника AK. (т.е. паралелно прехвърляне на ∆ COM към сегмента SA в посока на SA).

3) CAOO` е търсеният успоредник (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Задача No1(ВIII): покажете как можете да разрежете квадрат на 3 части, така че да можете да ги използвате, за да направите правоъгълник с една страна два пъти по-голяма от другата.

Решение:

Построете квадрат ABCD

нека начертаем диагонала AC

Нека начертаем половината от диагоналната BD отсечка OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Изградете правоъгълник от получените 3 части (дължина AC, ширина AD

За това:

извършете успоредно прехвърляне на части 1 и 2. част 1 (∆1) в посока D A, ∆2 в посока AB към отсечка AB.

AOO`C е желаният правоъгълник (със страни AC, OA = ½ AC).

Учител:Разгледахме решението на 2 задачи; видът на рязане, използван при решаването на тези задачи, образно се нарича S-рязане.

С -рязанее основно трансформирането на един успоредник в друг успоредник.

Същността на този разрезв следното:

правим разрез, равен по дължина на страната на необходимия паралелограм;

извършваме паралелен пренос на изрязаната част, докато равните противоположни страни на успоредника съвпаднат (т.е. прилагаме изрязаната част към противоположната страна на успоредника)

В зависимост от изискванията на задачата ще зависи броят на разфасовките.

Нека разгледаме следните задачи:

Задача No3(BII): разделете успоредника на две части, от които можете да добавите правоъгълник.

Нека начертаем произволен успоредник.

Решение:

от точка B, намалете височината на VN (VN┴AD)

Нека извършим паралелен пренос на ∆ AVN на отсечката BC по посока на BC.

Начертайте чертеж на получения правоъгълник.

VNRS – правоъгълник.

Задача No4(BIII): Страните на успоредника са 3 и 4 cm. Превърнете го в успоредник със страни 3,5 см, като направите два разреза.

Решение:

1)

2)

Желаният успоредник.

Като цяло S-рязането се основава на метода на наслагване на ленти, което позволява решаването на проблема с трансформирането на всякакви многоъгълници.

В горните проблеми, поради тяхната лекота, ние се отказахме от метода за прилагане на ивици, въпреки че всички тези решения могат да бъдат получени с помощта на този метод. Но в по-сложни задачи не можете без ивици.

Накратко метод на ивицисе свежда до това:

1) Нарежете (ако е необходимо) всеки многоъгълник (многоъгълника, който се трансформира, и многоъгълника, в който трябва да се трансформира оригиналният многоъгълник) на части, от които могат да бъдат сгънати две ленти.

2) Поставете лентите една върху друга под подходящ ъгъл, като краищата на едната винаги са разположени еднакво спрямо елементите на другата лента.

3) В този случай всички линии, разположени в общата част на 2-те ленти, ще показват местата на необходимите разрези.

Писмо S, използван в термина "S-cut", идва от английския Strip - лента.

Етап II: Етап на решаване на проблеми

Използвайки проблем 3 като пример, нека проверим дали методът на прилагане на ивици дава желаното решение.

Проблем No3(VII): Разделете успоредника на две части, от които можете да добавите правоъгълник.

Решение:

1)

2)

3)

1) получаваме лента от успоредник

2) ивици от правоъгълници

3) наложете лента 2 върху лента 1, както е показано на фигура 3

4) получаваме необходимата задача.

Проблем No5(BIII): В равнобедрен триъгълник са отбелязани средите на страничните страни и техните проекции върху основата. През отбелязаните точки се прекарват две прави линии. Покажете, че получените парчета могат да се използват за оформяне на ромб.

Решение:

част 2, 3 – въртене около точка

част 4 - паралелен трансфер

В тази задача вече е посочено разрязването на триъгълници; можем да проверим, че това е S-разрез.

Проблем No6(BIII): Преобразувайте три гръцки кръста в квадрат (използвайки ивици).

Решение:

1)

Поставяме лента от квадрати върху лента от кръстове, така че точка A и точка C да принадлежат към краищата на лентата с кръстове.

∆АВН = ∆СD B, следователно квадратът се състои от ∆АВС и ∆АВМ.

III етап: Поставяне на домашна работа

Проблем No7(BIII): Преобразувайте този правоъгълник в друг правоъгълник, чиито страни са различни от страните на оригиналния правоъгълник.

Забележка: Вижте решението на проблем 4.

Решение:

сечение AO (AO – ширина на необходимия правоъгълник);

разрез DP / DP  AO (DP – дължина на търсения правоъгълник);

паралелно прехвърляне на ∆AVO по посока на ВС към сегмента на ВС;

паралелно пренасяне на ∆АПD към отсечката AO по посока на AO;

PFED изисква правоъгълник.

Проблем No8(BIII): Правилен триъгълник е разделен на части от сегмент; направете квадрат от тези части.

Забележка: Можете да проверите чрез наслагване на лентите, че това е S разрез.

въртене на част 2 около точка O;

въртене на част 3 около точка С;

паралелен трансфер на част 4

Допълнителна задача No9(BII): Нарежете успоредника по права линия, минаваща през центъра му, така че получените две части да могат да бъдат сгънати в ромб.

Решение:

O  QT

QT рязане;

част 1 чрез успоредно прехвърляне на отсечката BC в посока BC (CD и AB се комбинират).

Насоки: S – рязане – един от най-трудните видове рязане. Препоръчваме същността на това изрязване да бъде очертана в конкретни задачи. В часовете за решаване на проблеми по S - рязане препоръчваме да използвате задачи, в които са дадени фигури за рязане и е необходимо да добавите необходимата фигура от получените части, това се обяснява с трудността на учениците самостоятелно да прилагат метода на прилагане на ленти, което е същността на S - cutting. В същото време при задачи, които са по-достъпни за учениците (например при задачи 3, 5, 8), учителят може да покаже как методът на прилагане на ленти позволява да се получат разрезите, дадени в условията на задачата. Задачи 4, 5, 6, 8, 9 – за практически действия с модели на геометрични фигури, задачи 1, 2, 3, 7 – за работа с изображения на геометрични фигури. Задачи 1, 3, 9 – за втори вид работа с изображения, задачи 2, 4, 5, 6, 7, 8 – за трети вид работа с изображения.

Урок № 5

Тема: Т-образно рязане.

Мишена:Обяснете същността на рязане тип S, в процеса на анализиране на решението на проблемите за този тип рязане, като същевременно насърчавате формирането на умения за мислено извършване на операции (рязане, добавяне, завъртане, паралелно прехвърляне), като по този начин насърчавате развитието на пространствено мислене.

Оборудване:хартия, цветни пасти, ножици, цветни пасти, код позитиви.

Етап I: Ориентиран етап

Метод:обяснителни и илюстративни

Учител:Използването на Т-образно рязане за решаване на проблеми включва изготвяне на мозайка и последващото им наслагване. Лентите, използвани при S-образно рязане, могат да бъдат получени от мозайки. Следователно методът на облицовка обобщава метода на лентата.

Нека разгледаме същността на Т-образното рязане, използвайки примера за решаване на проблеми.

Задача No1(BIII): Преобразувайте гръцкия кръст в квадрат.

1) първата стъпка е да преобразувате оригиналния многоъгълник в мозаечен елемент (и това е необходимо);

2) от тези елементи правим мозайка № 1 (ние правим мозайка от гръцки кръстове);

5) всички линии, разположени в общата част на двете мозайки, ще показват местата на необходимите разрези.

Етап II: Етап на решаване на проблеми

Метод:частично - търсене

Проблем No2(BIII): Гръцкият кръст е нарязан на три части, сгънете тези части в правоъгълник.

Забележка: можем да проверим, че този разрез е T-тип.

Решение:

въртене на част 1 около точка O;

завъртете част 2 около точка А.

Проблем No3(BIII): Изрежете изпъкналия четириъгълник по две прави линии, свързващи средните точки на противоположните страни. Покажете, че от получените четири части винаги е възможно да се добави успоредник.

част 2 завъртане около точка O (или център на симетрия) на 180;

част 3 завъртане около точка С (или център на симетрия) на 180;

част 1 – паралелен трансфер.

Нека покажем мозайката, от която е получен този разрез.

Проблем No4(BIII): Три еднакви триъгълника бяха изрязани по различни медиани. Сгънете шестте получени парчета в един триъгълник.

Решение:

1) от тези триъгълници правим триъгълници като на фигура 1 (централна симетрия);

2) правим друг триъгълник от три нови триъгълника (равните страни съвпадат).

Нека покажем как са направени тези секции с помощта на мозайки.

Проблем No5(BIII): Гръцкият кръст беше нарязан на парчета и от тези парчета беше направен правоъгълен равнобедрен триъгълник.

Решение:

част 1 централна симетрия;

част 3 централна симетрия;

части 3 и 4 – завой.

Проблем No6(BIII): Нарежете тази фигура на квадрат.

Решение:

част 1 въртене около точка O;

част 3 завъртете на 90 около точка А.

Проблем No7(BIII): Нарежете гръцкия кръст на успоредник (разрезите са дадени).

Решение:

част 2 – паралелен трансфер спрямо част 1;

част 3 паралелен трансфер по линията на среза.

III етап: Поставяне на домашна работа.

Проблем No8(BIII): Два еднакви хартиени изпъкнали четириъгълника с разрези: първият по един от диагоналите, а вторият по другия диагонал. Докажете, че от получените части може да се образува успоредник.

Решение:композиция от завои.

Проблем No9(BIII): Направете квадрат от два еднакви гръцки кръста.

Решение:

Насоки:Т - рязане - най-сложният вид рязане, образуващо разрези от тип S. Препоръчваме ви да обясните същността на Т-образното рязане в процеса на решаване на проблеми. Поради сложността на прилагането на метода на мозайката за учениците, което е същността на Т-образното изрязване, в класната стая препоръчваме да използвате задачи, в които е посочено изрязване и се изисква да се получи желаната фигура от получените части на фигурата с помощта на математически трансформации (въртене, паралелна транслация). В същото време при задачи, които са по-достъпни за учениците, учителят може да покаже как да получи данни за рязане, използвайки метода на мозайката. Задачите, предложени в урок № 5, са за трети тип опериране с изображения и включват работа на учениците с модели на геометрични фигури чрез ротация и паралелна транслация.

Встъпителни бележки на учителя:

Малко историческа предистория: Много учени са се интересували от проблемите на рязане от древни времена. Решения на много прости проблеми с рязането са открити от древните гърци и китайци, но първият систематичен трактат по тази тема е написан от Абул-Веф. Геометрите започнаха сериозно да решават проблемите с нарязването на фигури на най-малък брой части и след това конструирането на друга фигура в началото на 20 век. Един от основателите на тази секция е известният основател на пъзелите Хенри Е. Дудени.

В днешно време любителите на пъзелите са запалени по решаването на режещи проблеми, тъй като няма универсален метод за решаване на такива задачи и всеки, който се заеме с решаването им, може напълно да демонстрира своята изобретателност, интуиция и способност за творческо мислене. (По време на урока ще посочим само един от възможните примери за рязане. Може да се предположи, че учениците могат да попаднат на друга правилна комбинация - няма защо да се страхувате от това).

Този урок трябва да се проведе под формата на практически урок. Разделете участниците в кръга на групи от по 2-3 души. Раздайте на всяка група фигури, предварително подготвени от учителя. Учениците разполагат с линийка (с деления), молив и ножица. Разрешено е да се правят само прави срезове с помощта на ножици. След като нарязате фигура на парчета, трябва да направите друга фигура от същите части.

Задачи за рязане:

1). Опитайте да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 части с еднаква форма:

Съвет: Малките форми приличат много на буквата Т.

2). Сега нарежете тази фигура на 4 части с еднаква форма:

Съвет: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, но няма много фигури с три клетки. Има само два вида: ъгъл и правоъгълник.

3). Разделете фигурата на две равни части и с получените части оформете шахматна дъска.

Съвет: Предложете да започнете задачата от втората част, сякаш получавате шахматна дъска. Спомнете си каква форма има шахматната дъска (квадрат). Пребройте наличния брой клетки по дължина и ширина. (Не забравяйте, че трябва да има 8 клетки).

4). Опитайте да нарежете сиренето на осем равни парчета с три движения на ножа.

Съвет: опитайте да разрежете сиренето по дължина.

Задачи за самостоятелно решаване:

1). Изрежете квадрат от хартия и направете следното:

· нарязани на 4 части, от които могат да се направят два еднакви по-малки квадрата.

· разрежете на пет части - четири равнобедрени триъгълника и един квадрат - и ги сгънете така, че да се получат три квадрата.

На вниманието на учителите по математика и учителите по различни избираеми предмети и клубове се предлага селекция от занимателни и образователни задачи за геометрично рязане. Целта на учителя, който използва такива задачи в часовете си, е не само да заинтересува ученика от интересни и ефектни комбинации от клетки и фигури, но и да развие усета му за линии, ъгли и форми. Наборът от задачи е насочен основно към деца от 4-6 клас, въпреки че е възможно да се използва дори при ученици от гимназията. Упражненията изискват от учениците висока и стабилна концентрация на внимание и са идеални за развиване и трениране на зрителната памет. Препоръчва се за преподаватели по математика, подготвящи ученици за приемни изпити в математически училища и класове, които поставят специални изисквания към нивото на независимо мислене и творчески способности на детето. Нивото на задачите съответства на нивото на входните олимпиади в Лицея „второ училище“ (второ математическо училище), Малкия механико-математически факултет на Московския държавен университет, училището Курчатов и др.

Забележка на учителя по математика:
В някои решения на задачи, които можете да видите, като щракнете върху съответния показалец, е посочен само един от възможните примери за разрязване. Напълно признавам, че може да се окажете с друга правилна комбинация - няма нужда да се страхувате от това. Проверете внимателно решението на вашето мъниче и ако то отговаря на условията, не се колебайте да поемете следващата задача.

1) Опитайте да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 части с еднаква форма:

: Малките форми са много подобни на буквата Т

2) Сега нарежете тази фигура на 4 части с еднаква форма:

Съвет за учител по математика: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, но няма много фигури с три клетки. Има само два вида от тях: ъгъл и правоъгълник 1×3.

3) Нарежете тази фигура на 5 части с еднаква форма:

Намерете броя на клетките, които образуват всяка такава фигура. Тези фигури приличат на буквата G.

4) Сега трябва да изрежете фигура от десет клетки на 4 неравенправоъгълник (или квадрат) един спрямо друг.

Инструкции за учител по математика: Изберете правоъгълник и след това се опитайте да поставите още три в останалите клетки. Ако не работи, сменете първия правоъгълник и опитайте отново.

5) Задачата става по-сложна: трябва да разрежете фигурата на 4 различни по формафигури (не непременно правоъгълници).

Съвет за учител по математика: първо нарисувайте отделно всички видове фигури с различни форми (ще бъдат повече от четири) и повторете метода за изброяване на опции, както в предишната задача.
:

6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различна форма, така че във всяка от тях да е боядисана само една зелена клетка.

Съвет на учителя по математика:Опитайте се да започнете да режете от горния ръб на тази фигура и веднага ще разберете как да продължите.
:

7) Въз основа на предходната задача. Намерете колко фигури с различни форми има, състоящи се от точно четири клетки? Фигурите могат да се въртят и въртят, но не можете да повдигнете масата (от повърхността й), върху която лежи. Тоест, двете дадени фигури няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени една от друга чрез ротация.

Съвет на учителя по математика:Проучете решението на предишната задача и се опитайте да си представите различните позиции на тези фигури при завъртане. Не е трудно да се досетим, че отговорът на нашия проблем ще бъде числото 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Описани са 7 вида фигури.

8) Нарежете квадрат от 16 клетки на 4 части с еднаква форма, така че всяка от четирите части да съдържа точно една зелена клетка.

Съвет за учител по математика: Появата на малките фигури не е квадрат или правоъгълник, или дори ъгъл от четири клетки. И така, на какви форми трябва да опитате да изрежете?

9) Разрежете изобразената фигура на две части, така че получените части да могат да се сгънат на квадрат.

Съвет за учител по математика: Има общо 16 клетки, което означава, че квадратът ще бъде с размери 4x4. И по някакъв начин трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направим? Може ли да има някаква промяна? След това, тъй като дължината на правоъгълника е равна на нечетен брой клетки, рязането трябва да се извърши не с вертикален разрез, а по прекъсната линия. Така че горната част се отрязва от едната страна на средната клетка, а долната - от другата.

10) Нарежете правоъгълник 4x9 на две части, така че да могат да бъдат сгънати в квадрат.

Съвет за учител по математика: В правоъгълника има общо 36 клетки. Следователно квадратът ще бъде с размери 6x6. Тъй като дългата страна се състои от девет клетки, три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще продължи това съкращаване?

11) Кръстът от пет клетки, показан на фигурата, трябва да бъде нарязан (можете да изрежете самите клетки) на парчета, от които може да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Ясно е, че както и да режем по линиите на клетките, няма да получим квадрат, тъй като клетките са само 5. Това е единствената задача, в която е разрешено изрязване не по клетки. Все пак би било добре да ги оставим като ориентир. например, струва си да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем вдлъбнатините, които имаме - а именно във вътрешните ъгли на нашия кръст. Как да стане това? Например, отрязване на някои стърчащи триъгълници от външните ъгли на кръста...