Как да определим очакванията на партньора. Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива

- броят на момчетата сред 10 новородени.

Съвсем ясно е, че този брой не е известен предварително и в следващите десет родени деца може да има:

Или момчета - един и единственот изброените опции.

И, за да поддържате форма, малко физическо възпитание:

- дълъг скок на разстояние (в някои единици).

Дори майсторът на спорта не може да го предвиди :)

Какви са обаче вашите хипотези?

2) Непрекъсната произволна променлива - взема всичкочислови стойности от някакъв краен или безкраен диапазон.

Забележка : съкращенията DSV и NSV са популярни в учебната литература

Първо, нека анализираме дискретна случайна променлива, след това - непрекъснато.

Закон за разпределението на дискретна случайна величина

- Това съответствиемежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица:

Терминът е доста често срещан ред разпределение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".

И сега много важен момент: тъй като случайната променлива задължителноще приеме една от стойностите, след това се образуват съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на едно:

или, ако е написано сгънат:

Така например законът за разпределението на вероятностите на точките върху зар има следната форма:

Без коментари.

Може да останете с впечатлението, че дискретна произволна променлива може да приема само "добри" целочислени стойности. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:

Пример 1

Някои игри имат следния закон за разпределение на печалбите:

...сигурно отдавна си мечтаеш за такива задачи :) Да ти кажа една тайна - аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.

Решение: тъй като произволна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на едно:

Излагаме "партизана":

– по този начин вероятността за спечелване на конвенционални единици е 0,4.

Контрол: какво трябва да сте сигурни.

Отговор:

Не е необичайно, когато законът за разпределението трябва да бъде съставен самостоятелно. За тази употреба класическа дефиниция на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове tervera:

Пример 2

В кутията има 50 лотарийни билета, 12 от които са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Начертайте закон за разпределение на произволна променлива - размера на печалбите, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.

Решение: както забелязахте, обичайно е да се поставят стойностите на произволна променлива възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.

Общо има 50 - 12 = 38 такива билета, а според класическо определение:
е вероятността случайно изтеглен билет да не спечели.

Останалите случаи са прости. Вероятността за спечелване на рубли е:

Проверка: - и това е особено приятен момент от подобни задачи!

Отговор: изискваният закон за разпределение на възнагражденията:

Следната задача за самостоятелно решение:

Пример 3

Вероятността стрелецът да уцели целта е . Направете закон за разпределение за произволна променлива - броя на попаденията след 2 изстрела.

... Знаех си, че ти липсва :) Помним теореми за умножение и събиране. Решение и отговор в края на урока.

Законът за разпределението напълно описва произволна променлива, но на практика е полезно (а понякога и по-полезно) да се знае само част от нея. числени характеристики .

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

С прости думи, това средна очаквана стойностс многократно тестване. Нека произволна променлива приема стойности с вероятности съответно. Тогава математическото очакване на тази случайна променлива е равно на сума от продуктивсички негови стойности със съответните вероятности:

или в сгънат вид:

Нека изчислим, например, математическото очакване на произволна променлива - броя на точките, паднати на зар:

Сега нека си припомним нашата хипотетична игра:

Възниква въпросът: печелившо ли е да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да кажете „направо“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - средно претегленавероятности за победа:

Така математическото очакване на тази игра губи.

Не се доверявайте на впечатленията - вярвайте на числата!

Да, тук можете да спечелите 10 и дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план неминуемо ще бъдем съсипани. И не бих те посъветвал да играеш такива игри :) Е, може би само за забавление.

От всичко казано по-горе следва, че математическото очакване НЕ е СЛУЧАЙНА стойност.

Творческа задача за самостоятелно изследване:

Пример 4

Mr X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на червено. Съставете закона за разпределението на произволна променлива - нейното изплащане. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до копейки. Колко средно аритметичногуби ли играчът за всеки сто залога?

Справка : Европейска рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор („нула“). В случай на изпадане на „червено“, на играча се плаща двоен залог, в противен случай той отива в приходите на казиното

Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени таблици на вероятностите. Но това е така, когато нямаме нужда от никакви закони и таблици за разпределение, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде абсолютно същото. Само промени от система към система

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически задачи, е достатъчно да знаете няколко числови характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на произволна променлива в сбита форма.

Тези количества са предимно очаквана стойности дисперсия .

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Обозначен като .

По най-простия начин, математическото очакване на произволна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р начален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическо очакване на функции от произволна променлива хе чрез разпространение R X. например, ако х- произволна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , тогава:

Ако F(x)- функция на разпределение х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebesgue - Stieltjes (или Riemann - Stieltjes):

докато интегрируемостта хв какъв смисъл ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако хима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава

ако хима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), тогава

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на продукта на независими случайни променливи = продуктът на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

ако хи Йнезависим.

ако редът се сближава:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всички техни стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; приравняване на всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x iна пи.

2. Добавете продукта от всяка двойка x i p i.

Например, за н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

пример:Намерете математическото очакване по формулата.

Математическото очакване е разпределението на вероятностите на произволна променлива

Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване на дискретни и непрекъснати случайни променливи, селективно, условно очакване, изчисление, свойства, задачи, оценка на очакване, дисперсия, функция на разпределение, формули, примери за изчисление

Разширете съдържанието

Свиване на съдържанието

Математическото очакване е дефиницията

Едно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойностите или вероятностите на произволна променлива. Обикновено се изразява като средно претеглена стойност на всички възможни параметри на произволна променлива. Той се използва широко в техническия анализ, изучаването на числови редове, изследването на непрекъснати и дългосрочни процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите индикатори при търговия на финансовите пазари и се използва при разработването на стратегии и методи на игрови тактики в теорията на хазарта.

Математическото очакване есредната стойност на произволна променлива, вероятностното разпределение на произволна променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Математическото очакване емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Математическо очакване на случайна променлива хобозначено M(x).

Математическото очакване е

Математическото очакване ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които тази произволна променлива може да приеме.

Математическото очакване есумата от произведенията на всички възможни стойности на произволна променлива от вероятностите на тези стойности.

Математическото очакване есредната полза от дадено решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и на голямо разстояние.

Математическото очакване ев теорията на хазарта, сумата на печалбите, които играчът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на комарджиите това понякога се нарича „предвид на геймъра“ (ако е положителен за играча) или „предвид на къщата“ (ако е отрицателен за играча).

Математическото очакване еПроцент печалба на печалба, умножена по средната печалба минус вероятността за загуба, умножена по средна загуба.

Математическо очакване на случайна величина в математическата теория

Една от важните числени характеристики на произволна променлива е математическото очакване. Нека представим концепцията за система от случайни променливи. Помислете за набор от произволни променливи, които са резултати от същия произволен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислите вероятностите за всякакви събития от. По-специално, общият закон за разпределение на случайни променливи и, които вземат стойности от множеството и, се дава от вероятности.

Терминът "очакване" е въведен от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795) и произлиза от концепцията за "очаквана стойност на изплащането", която се появява за първи път през 17-ти век в теорията на хазарта в произведенията на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. . Първото пълно теоретично разбиране и оценка на тази концепция обаче дава Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).

Законът за разпределението на произволните числови променливи (функцията на разпределение и редът на разпределение или плътността на вероятността) напълно описва поведението на произволна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да се знаят някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да се отговори на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са математическото очакване, дисперсията, модата и медианата.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от произведенията на възможните й стойности и съответните им вероятности. Понякога математическото очакване се нарича среднопретеглено, тъй като то е приблизително равно на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на произволна променлива за голям брой експерименти. От дефиницията на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от възможно най-малката стойност на произволна променлива и не повече от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (константна) променлива.

Математическото очакване има просто физическо значение: ако единична маса е поставена върху права линия, поставянето на някаква маса в някои точки (за дискретно разпределение) или „размазването“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатният "център на тежестта" права.

Средната стойност на произволна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в груби приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар се измества спрямо целта с 2 m вдясно“, ние обозначаваме с това определена числена характеристика на произволна величина, която описва нейната местоположение по цифровата ос, т.е. описание на позицията.

От характеристиките на позиция в теорията на вероятностите най-важна роля играе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.

Помислете за произволна променлива х, което има възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на произволната променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „средно претеглена” на стойностите xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. По този начин ще изчислим средната стойност на произволната променлива х, което ще означим M|X|:

Тази претеглена средна стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. По този начин ние въведохме в разглеждане едно от най-важните понятия на теорията на вероятностите - понятието за математическо очакване. Математическото очакване на произволна променлива е сумата от произведенията на всички възможни стойности на произволна променлива и вероятностите на тези стойности.

Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хпридобива определена стойност. Да предположим стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи m2времена, общ смисъл xiсе появи мили пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на X, която, за разлика от математическото очакване M|X|ще обозначим M*|X|:

С увеличаване на броя на експериментите нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на произволната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите, той ще се доближи (сближава по вероятност) до своето математическо очакване. Връзката между средноаритметичното и математическото очакване, формулирано по-горе, съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни при голям брой експерименти. Тук говорим за стабилността на средноаритметичната стойност от поредица от наблюдения със същата стойност. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на резултатите им е произволна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става "почти не случаен" и, стабилизирайки, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.

Свойството на стабилност на средните стойности за голям брой експерименти е лесно да се провери експериментално. Например, претегляне на което и да е тяло в лабораторията на точни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; за да намалим грешката на наблюдението, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средната аритметика реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.

Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на произволна променлива - математическото очакване - не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се направят примери за такива случайни променливи, за които математическото очакване не съществува, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. За практика обаче подобни случаи не представляват значителен интерес. Обикновено произволните променливи, с които имаме работа, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат очакване.

В допълнение към най-важните характеристики на позицията на произволна променлива - математическото очакване, на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално режимът и медианата на случайната променлива.

Режимът на произволна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност", строго погледнато, се прилага само за прекъснати количества; за непрекъсната величина режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват съответно режима за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, се казва, че разпределението е "полимодално".

Понякога има разпределения, които имат в средата не максимум, а минимум. Такива разпределения се наричат ​​"антимодални".

В общия случай режимът и математическото очакване на случайна величина не съвпадат. В конкретен случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мод) и има математическо очакване, тогава то съвпада с режима и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията – така наречената медиана на произволна променлива. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде официално дефинирана и за прекъсната променлива. Геометрично, медианата е абсцисата на точката, в която областта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена на две части.

В случай на симетрично модално разпределение, медианата съвпада със средната стойност и модата.

Математическото очакване е средната стойност на произволна променлива - числова характеристика на вероятностното разпределение на произволна променлива. Най-общ начин, математическото очакване на произволна променлива X(w)се дефинира като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв оригиналното вероятностно пространство:

Математическото очакване може също да се изчисли като интеграл на Лебег от хчрез разпределение на вероятностите pxколичества х:

По естествен начин може да се дефинира концепцията за произволна променлива с безкрайно математическо очакване. Типичен пример е времето за връщане при някои произволни разходки.

С помощта на математическо очакване се определят много числени и функционални характеристики на разпределението (като математическо очакване на съответните функции на произволна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия , ковариация.

Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на произволна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределение и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От други характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва най-общо - медиани, модове, математическото очакване се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в пределните теореми на теорията на вероятностите. С най-голяма пълнота смисълът на математическото очакване се разкрива от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките в хвърляне на зар може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност отнема "средно" с голям брой тестове? Каква ще бъде нашата средна доходност (или загуба) от всяка една от рисковите транзакции?

Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет печели, наградата ще бъде 300 рубли, а цената на всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкраен брой участия се получава това. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струва 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Като цяло средната ставка на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.

Хвърляме зар. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно в даден момент? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, вземаме глупавото средноаритметично и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - ами този куб няма лице с такъв номер!

Сега нека обобщим нашите примери:

Нека да разгледаме снимката точно по-горе. Вляво е таблица с разпределението на произволна променлива. Стойността на X може да приеме една от n възможни стойности (посочени в горния ред). Не може да има други ценности. Под всяка възможна стойност, нейната вероятност е подписана по-долу. Вдясно е формула, където M(X) се нарича математическо очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой опити (с голяма извадка), средната стойност ще клони към това много математическо очакване.

Нека се върнем към същия куб за игра. Математическото очакване на броя точки при хвърляне е 3,5 (изчислете сами, като използвате формулата, ако не вярвате). Да приемем, че сте го хвърлили няколко пъти. Изпаднаха 4 и 6. Средно се оказа 5, тоест далеч от 3,5. Хвърлиха го отново, 3 изпаднаха, тоест средно (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Някак далеч от математическото очакване. Сега направете луд експеримент - хвърлете куба 1000 пъти! И ако средната стойност не е точно 3,5, тогава ще бъде близо до това.

Нека изчислим математическото очакване за гореописаната лотария. Таблицата ще изглежда така:

Тогава математическото очакване ще бъде, както установихме по-горе.:

Друго е, че също е "на пръсти", без формула би било трудно ако имаше повече варианти. Е, да кажем, че имаше 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% печеливши билети.

Сега някои свойства на математическото очакване.

Лесно е да се докаже:

Постоянен множител може да бъде изваден от знака за очакване, тоест:

Това е специален случай на свойството линейност на математическото очакване.

Друго следствие от линейността на математическото очакване:

тоест математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.

Нека X, Y са независими случайни променливи, тогава:

Това също е лесно да се докаже) XYсама по себе си е произволна променлива, докато първоначалните стойности биха могли да приемат ни мстойности, съответно, тогава XYможе да приема nm стойности. Вероятността за всяка от стойностите се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат получаваме това:

Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива

Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределението (плътност на вероятността). Това всъщност характеризира ситуацията, че произволна променлива взема някои стойности от набора от реални числа по-често, някои - по-рядко. Например, помислете за тази диаграма:

Тук х- всъщност случайна променлива, f(x)- плътност на разпределение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите, стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. шансове за надхвърляне 3 или да бъде по-малко -3 по-скоро чисто теоретично.

Нека например има равномерно разпределение:

Това е напълно в съответствие с интуитивното разбиране. Да кажем, че ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средното аритметично трябва да бъде около 0,5.

И тук са приложими свойствата на математическото очакване – линейност и др., приложими за дискретни случайни величини.

Връзката на математическото очакване с други статистически показатели

В статистическия анализ, наред с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, които отразяват хомогенността на явленията и стабилността на процесите. Често индикаторите за вариации нямат независимо значение и се използват за по-нататъшен анализ на данните. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, който е ценна статистическа характеристика.

Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да бъде измерена с помощта на няколко индикатора.

Най-важният индикатор, характеризиращ променливостта на произволна променлива е Дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с математическото очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява степента, до която данните се разпространяват около средната стойност.

Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест, първо се изчислява средната стойност, след което разликата между всяка първоначална и средна стойност се взема, квадратира, сумира и след това се разделя на броя на стойностите в тази популация. Разликата между индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. То се прави на квадрат, за да се гарантира, че всички отклонения стават изключително положителни числа и да се избегне взаимното отмяна на положителните и отрицателните отклонения, когато се сумират. След това, като се имат предвид отклоненията на квадрат, просто изчисляваме средноаритметичната стойност. Средно - квадратно - отклонения. Отклоненията се квадратират и се отчита средната стойност. Отговорът на магическата дума "дисперсия" е само три думи.

Въпреки това, в чиста форма, като например средната аритметична стойност или индекс, дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен индикатор, който се използва за други видове статистически анализи. Тя дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на оригиналната единица данни.

Нека измерим произволна променлива нпъти, например измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как е свързана средната стойност с функцията на разпределение?

Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят точки, които ще паднат на зарчето по време на всяко хвърляне, е произволна променлива и може да приеме всякакви естествени стойности от 1 до 6. нтя клони към много конкретно число - математическото очакване Mx. В този случай Mx = 3,5.

Как се появи тази стойност? Пусни вътре низпитания n1след спадане на 1 точка, n2пъти - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:

Аналогично за изходите, когато паднаха 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Нека сега приемем, че знаем закона за разпределението на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойностите x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ... , пк.

Математическото очакване Mx на произволна променлива x е:

Математическото очакване не винаги е разумна оценка за някаква случайна променлива. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, които получават по-малко от средната заплата и повече, да е еднакъв.

Вероятността p1 случайната променлива x да е по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да е по-голяма от x1/2 са еднакви и равна на 1/2. Медианата не е еднозначно определена за всички разпределения.

Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данни или набори от наблюдения от СРЕДНАТА стойност. Обозначава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните са групирани около средната стойност, а голямото стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са далеч от нея. Стандартното отклонение е равно на корен квадратен от величина, наречена дисперсия. Това е средната стойност от сбора на квадратните разлики на първоначалните данни, отклоняващи се от средното. Стандартното отклонение на произволна променлива е корен квадратен от дисперсията:

Пример. При условия на тест, когато стреляте по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на произволна променлива:

Вариация- флуктуация, променливост на стойността на признака в единици от съвкупността. Отделни числови стойности на характеристика, които се срещат в изследваната популация, се наричат ​​варианти на стойности. Недостатъчността на средната стойност за пълна характеристика на популацията налага да се допълват средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на флуктуацията (вариацията) на изследваната черта. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:

Вариация на обхвата(R) е разликата между максималните и минималните стойности на чертата в изследваната популация. Този индикатор дава най-общата представа за флуктуацията на изследваната черта, тъй като показва разликата само между екстремните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на атрибута придава на диапазона на вариация нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениее средноаритметичната стойност на абсолютните (модулни) отклонения на всички стойности на анализираната съвкупност от средната им стойност:

Математическо очакване в теорията на хазарта

Математическото очакване есредната сума пари, която играчът може да спечели или загуби при даден залог. Това е много важна концепция за играча, защото е от основно значение за оценката на повечето игрови ситуации. Математическото очакване също е най-добрият инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.

Да приемем, че играете на монета с приятел, като правите равен залог от $1 всеки път, без значение какво се случи. Опашки - печелите, глави - губите. Шансовете да се окажат опашки са едно към едно и вие залагате $1 към $1. По този начин вашето математическо очакване е нула, т.к математически казано, не можеш да знаеш дали ще поведеш или ще загубиш след две хвърляния или след 200.

Вашата почасова печалба е нула. Почасовото изплащане е сумата, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти в рамките на един час, но няма да спечелите или загубите, защото вашите шансове не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч, такава система за залагания не е лоша. Но това е просто загуба на време.

Но да предположим, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 в същата игра. Тогава веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първия долар и загубите $1, заложете втория и спечелете $2. Заложили сте два пъти по $1 и сте по-напред с $1. Така че всеки от вашите залози за един долар ви даде 50 цента.

Ако монетата падне 500 пъти за един час, вашата почасова печалба ще бъде вече $250, т.к. средно сте загубили $1 250 пъти и сте спечелили $2 250 пъти. $500 минус $250 се равняват на $250, което е общата печалба. Имайте предвид, че очакваната стойност, която е сумата, която печелите средно на единичен залог, е 50 цента. Вие спечелихте $250, като заложихте един долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента от вашия залог.

Математическото очакване няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който реши да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет поредни хвърляния, но вие, с предимство в залаганията 2 към 1, при равни други условия, правите 50 цента на всеки залог от $1 под който и да е обстоятелства. Няма значение дали ще спечелите или загубите един залог или няколко залога, но само при условие, че имате достатъчно пари, за да компенсирате лесно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг период от време вашите печалби ще достигнат сумата от очакваните стойности в отделни хвърляния.

Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да бъде печеливш в дългосрочен план), когато коефициентите са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, независимо дали го губите или не в дадена ръка. Обратно, ако сте направили по-лош залог (залог, който е неизгоден в дългосрочен план), когато коефициентите не са във ваша полза, губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.

Залагате с най-добър изход, ако очакванията ви са положителни, и то е положително, ако коефициентите са във ваша полза. Като залагате с най-лош изход, имате отрицателно очакване, което се случва, когато коефициентите са срещу вас. Сериозните играчи залагат само при най-добрия изход, при най-лошия - те се отказват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от действителните коефициенти. Реалните шансове за удряне на опашки са 1 към 1, но получавате 2 към 1 поради съотношението на залаганията. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.

Ето по-сложен пример за математическо очакване. Приятелят записва числата от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да изберете числото. Съгласни ли сте с такъв залог? Какво е очакването тук?

Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете срещу вас да познаете числото ще бъдат 4 към 1. Коефициентът е, че ще загубите долар в един опит. Вие обаче печелите с 5 към 1, с възможност за загуба 4 към 1. Следователно коефициентите са във ваша полза, можете да вземете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите четири пъти по $1 и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.

Играч, който ще спечели повече, отколкото залага, както в примера по-горе, улавя коефициентите. И обратното, той съсипва шансовете, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Залагащият може да има или положителни, или отрицателни очаквания в зависимост от това дали улавя или съсипва коефициентите.

Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 да спечелите, ще получите отрицателно очакване от $2, т.к. средно ще спечелите четири пъти $10 и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите коефициенти за печалба 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите четири пъти по $10 и губите $30 веднъж за печалба от $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

Математическото очакване е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкърът насърчава футболните фенове да заложат $11, за да спечелят $10, те имат положително очакване от 50 цента за всеки $10. Ако казиното изплаща дори пари от линията Craps pass, тогава положителното очакване на къщата е приблизително $1,40 за всеки $100; тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели в 49,3% от случаите. Несъмнено това е на пръв поглед минимално положително очакване, което носи огромни печалби на собствениците на казина по целия свят. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак: „Една хилядна от процента отрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще фалира най-богатия човек в света“.

Математическо очакване при игра на покер

Играта на покер е най-илюстративният и илюстративен пример по отношение на използването на теорията и свойствата на математическото очакване.

Очакваната стойност в покера е средната полза от дадено решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и на голямо разстояние. Успешният покер означава винаги приемане на ходове с положителни математически очаквания.

Математическото значение на математическото очакване при игра на покер е, че често се сблъскваме със случайни променливи, когато вземаме решение (не знаем кои карти са в ръката на опонента, кои карти ще дойдат в следващите рундове на залагане). Трябва да разгледаме всяко едно от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която казва, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на произволна променлива ще клони към нейното математическо очакване.

Сред конкретните формули за изчисляване на математическото очакване, следното е най-приложимо в покера:

Когато играете покер, математическото очакване може да се изчисли както за залози, така и за обаждания. В първия случай трябва да се вземе предвид фолд equity, а във втория – собствените шансове на пота. Когато оценявате математическото очакване на конкретен ход, трябва да се помни, че фолд винаги има нулево математическо очакване. По този начин, изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всеки отрицателен ход.

Очакванията ви казват какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар, който рискувате. Казината правят пари, защото математическото очакване на всички игри, които се практикуват в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга серия от игри може да се очаква, че клиентът ще загуби парите си, тъй като „вероятността“ е в полза на казиното. Въпреки това, професионалните казино играчи ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен на вашата средна печалба минус вашата вероятност за загуба, умножен на средната ви загуба.

Покерът може да се разглежда и от гледна точка на математическото очакване. Можете да приемете, че даден ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-изгоден. Да приемем, че сте уцелили фул хаус в дроу покер с пет карти. Вашият опонент залага. Знаете, че ако повишите ставката, той ще плати. Така че повишаването изглежда като най-добрата тактика. Но ако рейзнете, останалите двама играчи ще се откажат със сигурност. Но ако платите залога, ще бъдете напълно сигурни, че другите двама играчи след вас ще направят същото. Когато вдигнете залога, вие получавате една единица, а просто като платите получавате две. Така че обаждането ви дава по-висока положителна очаквана стойност и е най-добрата тактика.

Математическото очакване също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че средната ви загуба е 75 цента, включително анте, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато анте е $1.

Друга важна причина за разбирането на очакваната стойност е, че ви дава усещане за спокойствие, независимо дали печелите залог или не: ако сте направили добър залог или фолднете навреме, ще знаете, че сте спечелили или спестили определена сума от пари, които по-слаб играч не може да спести. Много по-трудно е да се откажете, ако сте разочаровани, че опонентът ви има по-добра ръка при дроу. Въпреки това парите, които спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавят към вашите овърнайт или месечни печалби.

Само не забравяйте, че ако размените ръцете, опонентът ви ще ви колне и както ще видите в статията за Основната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да се радвате, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че другите играчи във вашите обувки биха загубили много повече.

Както беше обсъдено в примера за игра с монети в началото, почасовата ставка на възвръщаемост е свързана с математическото очакване и тази концепция е особено важна за професионалните играчи. Когато ще играете покер, трябва мислено да прецените колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и някои математически изчисления. Например, ако играете дроу лоубол и видите, че трима играчи залагат $10 и след това изтеглят две карти, което е много лоша тактика, можете сами да изчислите, че всеки път, когато заложат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят около $48 на час. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, така че тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да споделят $48 и всеки ще направи печалба от $12 на час. Вашата почасова ставка в този случай е просто вашият дял от сумата, загубена от трима лоши играчи на час.

За дълъг период от време общите печалби на играча са сумата от неговите математически очаквания в отделни разпределения. Колкото повече играете с положителни очаквания, толкова повече печелите и обратно, колкото повече ръце играете с отрицателни очаквания, толкова повече губите. В резултат на това трябва да дадете приоритет на игра, която може да увеличи максимално положителните ви очаквания или да отрече отрицателните ви, така че да можете да увеличите максимално почасовата си печалба.

Положително математическо очакване в стратегията на играта

Ако знаете как да броите карти, може да имате предимство пред казиното, ако те не забележат и ви изгонят. Казината обичат пияните комарджии и не понасят броенето на карти. Предимството ще ви позволи да спечелите повече пъти, отколкото губите с течение на времето. Доброто управление на парите, използвайки изчисления на очакванията, може да ви помогне да извлечете повече от предимството си и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. При играта на борсата предимството дава системата на играта, която създава повече печалба, отколкото загуби, ценови разлики и комисионни. Никакво управление на парите няма да спаси лоша система за игри.

Положителното очакване се определя от стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава математическото очакване също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателна стойност, толкова по-лошо е положението. Ако резултатът е нулев, тогава очакванията са безизходни. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване, разумна система за игра. Играта на интуиция води до катастрофа.

Математическо очакване и борсова търговия

Математическото очакване е доста широко търсен и популярен статистически индикатор при борсовата търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се отгатне, че колкото по-голяма е тази стойност, толкова повече основание да се смята, че изследваната търговия е успешна. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да се извърши само с помощта на този параметър. Въпреки това, изчислената стойност, в комбинация с други методи за оценка на качеството на работа, може значително да повиши точността на анализа.

Математическото очакване често се изчислява в услугите за наблюдение на търговски сметки, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Като изключения можем да цитираме стратегии, които използват „престояването“ на губещите сделки. Един търговец може да има късмет за известно време и следователно в работата му може да няма никакви загуби. В този случай няма да е възможно да се ориентирате само по очакванията, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.

При търговията на пазара математическото очакване най-често се използва при прогнозиране на рентабилността на търговската стратегия или при прогнозиране на доходите на търговеца на базата на статистиката на предишните му сделки.

По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че когато правите сделки с отрицателни очаквания, няма схема за управление на пари, която определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете на борсата при тези условия, то независимо как управлявате парите си, ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е била в началото.

Тази аксиома е вярна не само за игри с отрицателни очаквания или сделки, тя е вярна и за игри с четни коефициенти. Следователно единственият случай, в който имате шанс да извлечете полза в дългосрочен план, е да правите сделки с положително математическо очакване.

Разликата между отрицателните и положителните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положителни или отрицателни са очакванията; важното е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да обмислите управление на парите, трябва да намерите игра с положителни очаквания.

Ако нямате тази игра, тогава никакво управление на парите в света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, тогава е възможно чрез правилно управление на парите да ги превърнете във функция за експоненциален растеж. Няма значение колко малки са положителните очаквания! С други думи, няма значение колко печеливша е една система за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор за една сделка (след такси и пропуски), можете да използвате техники за управление на парите, за да я направите по-печеливша от система, която показва средна печалба от $1000 на сделка (след приспадане на комисионни и приплъзване).

Важното е не колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата ще показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно, най-важната подготовка, която търговецът може да направи, е да се увери, че системата показва положителна очаквана стойност в бъдеще.

За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да бъдат оптимизирани, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай искате да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще носи малка печалба на почти всеки пазар. Отново е важно да разберете, че няма значение колко печеливша е една система, стига да е печеливша. Парите, които печелите в търговията, ще бъдат спечелени чрез ефективно управление на парите.

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положителни математически очаквания, за да може да се използва управлението на парите. Системите, които работят (показват поне минимална печалба) само на един или няколко пазара или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят дълго време в реално време. Проблемът с повечето технически търговци е, че прекарват твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и параметри на търговската система. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.

Знаейки, че управлението на парите е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси "светия граал" на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества своя метод за търговия, да разбере доколко този метод е логически издържан, дали дава положителни очаквания. Правилните методи за управление на парите, приложени към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, ще свършат останалата работа.

Всеки търговец за успех в работата си трябва да реши три най-важни задачи: . Да гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че възможността за печелене на пари да е възможно най-често; Постигнете стабилен положителен резултат от операциите си.

И тук, за нас, работещите търговци, математическото очакване може да осигури добра помощ. Този термин в теорията на вероятностите е един от ключовите. С него можете да дадете средна оценка за някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е като центъра на тежестта, ако си представим всички възможни вероятности като точки с различни маси.

Във връзка със стратегия за търговия, за оценка на нейната ефективност, най-често се използва математическото очакване на печалба (или загуба). Този параметър се дефинира като сбор от произведенията на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички операции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средният доход от успешна транзакция ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека да изчислим математическото очакване на търговия, използвайки следната система:

Какво означава това число? В него пише, че следвайки правилата на тази система, средно ще получаваме 1,708 долара от всяка приключена транзакция. Тъй като резултатната оценка за ефективност е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване се окаже отрицателно, тогава това вече показва средна загуба и такава търговия ще доведе до разруха.

Размерът на печалбата на сделка може също да бъде изразен като относителна стойност под формата на%. Например:

– процент на приходи от 1 транзакция - 5%;

– процент на успешни търговски операции - 62%;

– процент загуба на 1 сделка - 3%;

- процентът на неуспешни сделки - 38%;

Тоест средната транзакция ще донесе 1,96%.

Възможно е да се разработи система, която, въпреки преобладаването на губещите сделки, ще даде положителен резултат, тъй като нейното MO>0.

Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай неговата доходност ще бъде сравнима с банковата лихва. Да предположим, че всяка транзакция е средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата приеме 1000 транзакции годишно? Това ще бъде много сериозна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че друг белег на добрата търговска система може да се счита за кратък период на държане.

Източници и връзки

dic.academic.ru - академичен онлайн речник

mathematics.ru - образователен сайт по математика

nsu.ru – образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет

webmath.ru е образователен портал за студенти, кандидати и ученици.

exponenta.ru образователен математически сайт

ru.tradimo.com - безплатно училище за онлайн търговия

crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информационен ресурс

poker-wiki.ru - безплатна енциклопедия на покера

sernam.ru - Научна библиотека с избрани природонаучни публикации

reshim.su - уебсайт РЕШЕТЕ задачи контрол курсова работа

unfx.ru – Forex на UNFX: образование, търговски сигнали, управление на доверието

slovopedia.com - Голям енциклопедичен речник

pokermansion.3dn.ru - Вашият пътеводител в света на покера

statanaliz.info - информационен блог "Статистически анализ на данни"

forex-trader.rf - портал Forex-Trader

megafx.ru - актуални Forex анализи

fx-by.com - всичко за търговец

В теорията на вероятностите и в много от нейните приложения различни числени характеристики на случайните величини са от голямо значение. Основните са математическото очакване и дисперсията.

1. Математическо очакване на случайна величина и нейните свойства.

Помислете първо за следния пример. Нека фабриката получи партида, състояща се от нлагери. при което:

м 1 х 1,
m2- брой лагери с външен диаметър х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- брой лагери с външен диаметър x n,

Тук m 1 +m 2 +...+m n =N. Намерете средноаритметичната стойност х вжвъншен диаметър на лагера. очевидно,
Външният диаметър на произволно изваден лагер може да се разглежда като произволна променлива, приемаща стойностите х 1, х 2, ..., x n, със съответните вероятности p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n = m n /N, тъй като вероятността пивид на лагер с външен диаметър x iе равно на m i /N. По този начин, средната аритметика х вжвъншният диаметър на лагер може да се определи с помощта на връзката
Нека е дискретна случайна променлива с даден закон за разпределение на вероятностите

математическо очакване дискретна случайна променливасе нарича сумата от произведения по двойки на всички възможни стойности на произволна променлива и съответните им вероятности, т.е. *
Предполага се, че неправилният интеграл от дясната страна на равенството (40) съществува.

Помислете за свойствата на математическото очакване. Правейки това, ние се ограничаваме до доказване само на първите две свойства, което ще извършим за дискретни случайни променливи.

1°. Математическото очакване на константата C е равно на тази константа.
Доказателство.постоянен ° Сможе да се разглежда като случайна променлива, която може да приеме само една стойност ° Сс вероятност равна на единица. Така

2°. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване, т.е.
Доказателство.Използвайки съотношение (39), имаме

3°. Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на тези променливи:

Очаквана стойност- средната стойност на произволна променлива (разпределение на вероятностите на стационарна случайна променлива), когато броят на пробите или броят на измерванията (понякога казват броя на тестовете) клони към безкрайност.

Средноаритметичната стойност на едномерна случайна променлива от краен брой опити обикновено се нарича оценка на очакванията. Когато броят на опитите на стационарен случаен процес клони към безкрайност, оценката на математическото очакване клони към математическото очакване.

Математическото очакване е едно от основните понятия в теорията на вероятностите).

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Математическо очакване и дисперсия - безботви

✪ Теория на вероятностите 15: Математическо очакване

✪ Математическо очакване

✪ Математическо очакване и дисперсия. теория

✪ Математическо очакване в търговията

Субтитри

Определение

Нека е дадено пространство на вероятността (Ω, A, P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))и произволната стойност, дефинирана върху него X (\displaystyle X). Това е, по дефиниция, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )е измерима функция. Ако съществува интеграл на Лебег от X (\displaystyle X)от пространството Ω (\displaystyle \Omega), тогава се нарича математическо очакване или средна (очаквана) стойност и се обозначава M [ X ] (\displaystyle M[X])или E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

Основни формули за математическо очакване

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).

Математическо очакване на дискретно разпределение

тогава директно от определението на интеграла на Лебег следва, че

Математическо очакване на цяло число

тогава нейното математическо очакване може да бъде изразено чрез генериращата функция на последователността ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

като стойността на първата производна в единица: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Ако математическото очакване X (\displaystyle X)безкрайно, значи lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )и ще пишем P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty)

Сега да вземем генериращата функция Q (s) (\displaystyle Q(s))поредици от "опашки" на разпределението ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

Тази генерираща функция е свързана с предварително дефинираната функция P (s) (\displaystyle P(s))Имот: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))в | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . От това, според теоремата за средната стойност, следва, че математическото очакване е просто равно на стойността на тази функция при единица:

Математическото очакване на абсолютно непрекъснато разпределение

Математическо очакване на случаен вектор

Нека бъде X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n))е случаен вектор. Тогава по дефиниция

тоест математическото очакване на вектор се определя компонент по компонент.

Математическо очакване на трансформацията на случайна променлива

Нека бъде g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )е функция на Борел, такава, че произволната променлива Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))има крайно математическо очакване. Тогава формулата е валидна за него

ако X (\displaystyle X)има дискретно разпределение;

ако X (\displaystyle X)има абсолютно непрекъснато разпределение.

Ако разпределението P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))случайна величина X (\displaystyle X)обща форма, тогава

В специалния случай, когато g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), очаквана стойност M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M)Наречен k (\displaystyle k)-m момент на произволна променлива.

Най-простите свойства на математическото очакване

• Математическото очакване на числото е самото число.

• Математическото очакване е линейно, т.е