Как да намерите тангенс от 45 градуса.
Таблици със стойности на синуси (sin), косинуси (cos), тангенси (tg), котангенси (ctg) са мощен и полезен инструмент, който помага за решаването на много проблеми, както теоретични, така и приложни. В тази статия ще предоставим таблица с основни тригонометрични функции (синуси, косинуси, тангенси и котангенси) за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π радиана). Ще бъдат показани и отделни таблици на Bradis за синуси и косинуси, тангенси и котангенси, с обяснение как да ги използвате за намиране на стойностите на основните тригонометрични функции.
Таблица с основни тригонометрични функции за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса
Въз основа на дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс, можете да намерите стойностите на тези функции за ъгли от 0 и 90 градуса
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, нулевият котангенс не е дефиниран,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, тангенс от деветдесет градуса не е дефиниран.
Стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите в курса на геометрията се определят като съотношението на страните на правоъгълен триъгълник, чиито ъгли са 30, 60 и 90 градуса, а също и 45, 45 и 90 градуса.
Определяне на тригонометрични функции за остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
синусите- отношението на противоположната страна към хипотенузата.
Косинус- отношението на съседния катет към хипотенузата.
Допирателна- съотношението на срещуположната страна към съседната страна.
Котангенс- съотношението на съседната страна към противоположната страна.
В съответствие с дефинициите се намират стойностите на функциите:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Нека поставим тези стойности в таблица и да я наречем таблица на основните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
грях α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | неопределен |
c t g α | неопределен | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | № 6 | № 4 | № 3 | π 2 |
Едно от важните свойства на тригонометричните функции е периодичността. Въз основа на това свойство тази таблица може да бъде разширена с помощта на формули за намаляване. По-долу представяме разширена таблица на стойностите на основните тригонометрични функции за ъгли 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 градуса (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π радиана).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
грях α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | № 6 | № 4 | № 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Периодичността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса ви позволява да разширите тази таблица до произволно големи ъглови стойности. Стойностите, събрани в таблицата, се използват най-често при решаване на задачи, така че се препоръчва да ги запомните.
Как да използвате таблицата с основните стойности на тригонометричните функции
Принципът на използване на таблица със стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси е ясен на интуитивно ниво. Пресечната точка на ред и колона дава стойността на функцията за определен ъгъл.
Пример. Как да използваме таблицата със синуси, косинуси, тангенси и котангенси
Трябва да намерим на какво е равно sin 7 π 6
Намираме колона в таблицата, чиято последна стойност на клетка е 7 π 6 радиана – същото като 210 градуса. След това избираме термина на таблицата, в която са представени стойностите на синусите. В пресечната точка на реда и колоната намираме желаната стойност:
sin 7 π 6 = - 1 2
Маси Bradis
Таблицата на Bradis ви позволява да изчислите стойността на синус, косинус, тангенс или котангенс с точност до 4 знака след десетичната запетая без използването на компютърна технология. Това е един вид заместител на инженерен калкулатор.
справка
Владимир Модестович Брадис (1890 - 1975) - съветски математик-учител, от 1954 г. член-кореспондент на Академията на педагогическите науки на СССР. Таблици с четирицифрени логаритми и естествени тригонометрични величини, разработени от Брадис, са публикувани за първи път през 1921 г.
Първо, представяме таблицата на Брадис за синуси и косинуси. Тя ви позволява доста точно да изчислите приблизителните стойности на тези функции за ъгли, съдържащи цяло число градуси и минути. Най-лявата колона на таблицата представлява градуси, а горният ред представлява минути. Имайте предвид, че всички ъглови стойности на таблицата на Bradis са кратни на шест минути.
Таблица на Брадис за синуси и косинуси
грях | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
грях | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
За да намерите стойностите на синусите и косинусите на ъглите, които не са представени в таблицата, е необходимо да използвате корекции.
Сега представяме таблицата на Брадис за тангенси и котангенси. Той съдържа стойности на тангенси на ъгли от 0 до 76 градуса и котангенси на ъгли от 14 до 90 градуса.
Таблица на Брадис за тангенс и котангенс
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Как да използвате таблиците Bradis
Помислете за таблицата на Брадис за синуси и косинуси. Всичко, свързано със синусите, е отгоре и отляво. Ако ни трябват косинуси, погледнете дясната страна в долната част на таблицата.
За да намерите стойностите на синуса на ъгъл, трябва да намерите пресечната точка на реда, съдържащ необходимия брой градуси в най-лявата клетка и колоната, съдържаща необходимия брой минути в горната клетка.
Ако точната стойност на ъгъла не е в таблицата на Bradis, прибягваме до корекции. Корекциите за една, две и три минути са дадени в най-десните колони на таблицата. За да намерим стойността на синуса на ъгъл, който не е в таблицата, намираме стойността, която е най-близка до него. След това добавяме или изваждаме корекцията, съответстваща на разликата между ъглите.
Ако търсим синус на ъгъл, който е по-голям от 90 градуса, първо трябва да използваме формулите за редукция и едва след това таблицата на Брадис.
Пример. Как да използвате масата Bradis
Да кажем, че трябва да намерим синуса на ъгъла 17 ° 44 ". Използвайки таблицата, намираме на какво е равен синусът на 17 ° 42 " и добавяме корекция от две минути към неговата стойност:
17°44" - 17°42" = 2" (необходима корекция) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
Принципът на работа с косинусите, тангенсите и котангенсите е подобен. Важно е обаче да запомните знака на измененията.
важно!
При изчисляване на стойностите на синусите корекцията има положителен знак, а при изчисляване на косинусите корекцията трябва да се вземе с отрицателен знак.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Основните тригонометрични функции включват: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Въз основа на това тангенсът на ъгъл в тригонометрията се определя като тригонометрична функция, която изразява отношението на синуса на този ъгъл към косинуса на същия ъгъл. Ако е необходимо да се определи тангентата на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, тогава тя може да се изчисли геометрично, тъй като тангентата в този случай ще бъде равна на съотношението на противоположната страна към съседната страна на десния триъгълник. Самият термин „допирателна“ е заимстван от латинския език, буквалният му превод означава „докосване“. Тангентата се обозначава с латински букви. Тангенсът на ъгъл x ще бъде означен като „tg x“, въпреки че западните математици традиционно означават тангенс със съкращение от английската дума: допирателната на ъгъл x се обозначава там като „tan x“.
Каква е тангенса от 30 градуса?
Въз основа на факта, че тангенсът на ъгъл е равен на отношението на синуса на ъгъл към косинуса на същия ъгъл, тангенсът на ъгъл от 30 градуса може да се получи чрез разделяне на стойността на синуса на ъгъл от 30 градуса по стойността на косинуса на същия ъгъл. Тангенсът ще бъде равен на 0,5774.
Колко е тангенса на 60 градуса?
Тангенсът на ъгъл от 60 градуса се изчислява по подобен начин: разделянето на синуса на ъгъл от 60 градуса на стойността на косинуса на същия ъгъл дава числото 1,7321, което е тангенсът на 60 градуса.
Каква е тангенса на 45 градуса?
Тъй като стойността на синуса на ъгъл от 45 градуса е равна на стойността на косинуса на същия ъгъл, стойността на тангенса на ъгъл от 45 градуса, получена чрез разделяне на синуса на косинуса, дава едно (тангенс е равно на 1).
Колко е тангенса на 90 градуса?
Невъзможно е да се изчисли тангенса на ъгъл от 90 градуса, тъй като косинусът на ъгъл от 90 градуса е равен на нула, а едно от основните правила за разделяне е правилото, че „не можете да разделите на нула“, докато тангенсът в този случай трябва да се получи чрез разделяне на синус на косинус, тоест на нула. Стойността на тангенса от 90 градуса не е определена.
Колко е тангенса на 120 градуса?
По същия начин, изчислявайки тангенса на ъгъл от 120 градуса, можете да получите числото -1,7321 (отрицателно), което ще бъде тангенса на ъгъл от 120 градуса.
Какво е тангенс 0 градуса?
Поради факта, че синусът на ъгъл от 0 градуса е равен на нула, а косинусът на същия ъгъл е равен на 1, тангенсът се получава чрез разделяне на нула на едно, което дава 0. Тангенсът от 0 градуса е следователно равно на 0.
Колко е тангенса на 135 градуса?
Тангенсът от 135 градуса е равен на -1 (минус едно), използвайки подобно смятане.
Забележка: Вижте също таблица със стойности на тригонометрични функциидруги ъгли.
Синус, косинус, тангенс на ъгъл 45 градуса (sin 45, cos 45, tg 45)
Таблични стойности на синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусапосочено . Следва обяснение на метода и правилността на изчисляване на тези стойности за произволен правоъгълен триъгълник.
45 градуса е π/4 радиана. Формулите за стойностите на косинус, синус и тангенс пи/4 радиана са дадени по-долу (въпреки че са идентични).
това е например тен π/4 = тен 45степени
СТОЙНОСТИ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ ПРИ α=45°
Как да изчислим самостоятелно стойностите на sin cos tg 45 градуса?
Нека построим и разгледаме правоъгълен триъгълник ABC, чийто ъгъл ∠ B = 45°. Въз основа на съотношението на страните му изчисляваме стойностите на тригонометричните функции в правоъгълен триъгълник за ъгъл от 45 градуса. Тъй като триъгълникът е правоъгълен, стойностите на функциите синус, косинус и тангенс ще бъдат равни на съотношението на съответните му страни.
Тъй като стойностите на функциите синус, косинус и тангенс зависят изключително от градусната мярка на ъгъла (или стойността, изразена в радиани), съотношенията, които намерихме, ще бъдат стойностите на функцията на синус 45, косинус 45 и допирателна 45 градуса.
Според свойствата на правоъгълен триъгълник ъгъл C е прав и е равен на 90 градуса. Първоначално построихме ъгъл B с градусна мярка 45 градуса. Нека намерим стойността на ъгъл А.Тъй като сумата от ъглите на триъгълник е 180 градуса, тогава
∠
A+ ∠
B + ∠
С = 180°
Ъгъл C е прав и е равен на 90 градуса, ъгъл B първоначално дефинирахме като 45 градуса, по този начин:
∠
A = 180° - ∠
С - ∠
B = 180° - 90° - 45° = 45°
Тъй като този триъгълник има два ъгъла, равни един на друг, тогава триъгълникът ABC е правоъгълен и в същото време равнобедрен, в която двата катета са равни един на друг: AC = BC.
Да приемем, че дължината на страните е равна на определено число AC = BC = a. Знаейки дължините на краката, изчисляваме дължината на хипотенузата.
Според Питагоровата теорема: AB 2 = AC 2 + BC 2
Нека заменим дължините AC и BC с променливата a, тогава получаваме:
AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,
тогава AB=a √ 2.
Като резултат изразихме дължините на всички страниправоъгълен триъгълник с ъгъл 45 градуса през променливата a.
Според свойствата на тригонометричните функции в правоъгълен триъгълник отношението на съответните страни на триъгълника ще бъде равно на стойността на съответните функции. Така за ъгъл α = 45 градуса:
sin α = BC / AB(според дефиницията на синус за правоъгълен триъгълник, това е отношението на срещуположния катет към хипотенузата, BC - катет, AB - хипотенуза)
cos α = AC / AB(според дефиницията на косинус, това е отношението на съседния катет към хипотенузата, AC е катетът, AB е хипотенузата)
tg α = BC / AC(по същия начин, тангентата за ъгъл α ще бъде равна на отношението на противоположната страна към съседната)
Вместо да обозначаваме страните, заместваме стойностите на техните дължини чрез променливата a.
Въз основа на това (вижте таблицата със стойности грях 45, cos 45, tg 45) получаваме:
Таблични стойности грях 45, cos 45, tg 45(тоест стойността синус 45, косинус 45 и тангенс 45градуси могат да бъдат изчислени като съотношение на съответните страни на даден триъгълник), ние заместваме стойностите на дължините на страните, изчислени по-горе, във формулите и получаваме резултата на снимката по-долу.
Таблични стойности: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градуса
По този начин:
- тангенсът от 45 градуса е равен на едно
- синус от 45 градуса е равен на косинус от 45 градуса и е равен на корен от две на половина (същото като едно делено на корен от две)
Както се вижда от дадените по-горе изчисления, за изчисляване на стойностите на съответната тригонометрична функция не са важни дължините на страните на триъгълника, а тяхното съотношение, което винаги е едно и също за едни и същи ъгли , независимо от размера на даден триъгълник.
Синус, косинус и тангенс π/4 радиана
В задачите, предложени за решаване в гимназията и на външния тест / Единния държавен изпит, вместо градусната мярка на ъгъла често се среща указание за неговата големина, измерена в радиани. Мярката за ъгъл, изразена в радиани, се основава на числото pi, което изразява зависимостта на обиколката на кръг от неговия диаметър.
За по-лесно разбиране препоръчвам да запомните прост принцип за преобразуване на градуси в радиани. Диаметърът на окръжност покрива дъга от 180 градуса. Така пи радианът ще бъде равен на 180 градуса. Откъдето е лесно да преобразувате всяка градусна мярка на ъгъл в радиани и обратно.
Нека вземем предвид това 45 градусов ъгъл, изразен в радиани, е равно на (180 / 45 = 4) π/4 (pi по четири). Следователно стойностите, които открихме, са правилни за същата градусна мярка за ъгъл, изразена в радиани:
- тангенс π/4(пи върху четири) е равно на едно
- синус π/4(пи по четири) градуса е равно на косинус π/4градуса и е равно на корен от две по половина
Тангентна таблица е една от четирите най-използвани тригонометрични таблици в Bradis Table Book. Въпреки че тангенсът и котангенсът са по същество производни на синус и косинус, често е полезно да имате готови изчислени стойности за тангентите.
Тригонометрични функции и тяхното значение в изучаването на геометрията
В геометрията тригонометричните функции играят специална роля, с помощта на която определят как страните и ъглите на правоъгълния триъгълник са свързани помежду си. Разбира се, тригонометрията не стои неподвижна и от времето на Евклид тя напредна много и сега тези функции могат да бъдат изразени чрез решение на диференциални уравнения.
В момента се използва шест нотации за основни тригонометрични функции , а четири от шестте функции, те са последните в редицата, могат да бъдат определени не само с помощта на геометрия.
синусите (грях)
Косинус (защото)
Допирателна (tg/тен)
Котангенс (ctg/cot)
Секанс (сек)
Косеканс (cosec/csc) .
Нека разгледаме самия правоъгълен триъгълник; обозначенията на неговите страни и ъгли във всички справочници са, както обикновено, стандартни, независимо от коя страна лежи в равнината.
В този триъгълник има три ъгъла, означени с α, β, γ, като γ винаги е 90°. Страната, лежаща срещу правия ъгъл γ, се нарича хипотенуза, обозначава се с буквата C. Ъгъл α, от който започват всички изчисления, се намира срещу страната a / BC /, наречена противоположна на този ъгъл, и страна b / AC /, който е в близост, подчинен на този ъгъл и се нарича съседен.
Според теорията на Евклид, която все още е вярна (и винаги ще бъде вярна), сборът от ъглите на такъв триъгълник, който е в една и съща равнина, ще бъде равен на 180 или числото π. И стойността на всеки ъгъл ще бъде между 0 и π /2.
Тогава тригонометричните функции могат да бъдат изразени чрез размерите на страните на този триъгълник. Тъй като ъгъл α е първият както в гръцката азбука, така и в нашия триъгълник, започваме запознаването си с функциите от този ъгъл.
- Синус α се изразява чрез отношението на крака, който лежи срещу този ъгъл към хипотенузата на нашия триъгълник, т.е. sin α = a: c.
- Косинус α се изразява чрез съотношението на крака, който е съседен на ъгъла α, и хипотенузата c, cos α = b: c. Между другото, sin β = α: с, което ни позволява да приемем, че sin α е равно на cos β и следователно sin β е равно на cos α.
- Тангента α равно на частното от отношението на срещуположната страна a към съседната страна b : tg α = a: b.
- Котангенс на ъгъл α съответно е равно на ctg α = b: a.
- Ъгъл секанс α е отношението на хипотенузата на триъгълника към крака, съседен на този ъгъл, sec α = c: b.
- Косеканс на ъгъл α е отношението на хипотенузата на триъгълник към катета, който е срещу ъгъла, cosecα = c: a.
Тези функции могат също да бъдат изразени чрез окръжност чрез задаване на координатна система. Задаваме координатна система с център в точка O. Ъгълът, на който се завърта сегментът OA, показан на чертежа, ще се счита за произволен, нека го наречем θ.
Тогава тангенсът на този ъгъл θ се счита за отношението на ординатата на точка А върху окръжността към нейната абциса. Следователно, ако ctg α = b: a и AC = sin θ, OS = cos θ, тогава tanθ = sin θ: cos θ. По подобен начин получаваме cos θ = cos θ: sin θ или 1: tanθ.