Ирационални функции. Графичен метод за решаване на ирационални уравнения
Този учебен материал е само за справка и се отнася до широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как да изградите графика правилно и БЪРЗО. В хода на изучаване на висша математика без познаване на графиките на основните елементарни функции ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от значенията на функциите. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.
Не претендирам за изчерпателност и научна изчерпателност на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.
Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:
Освен това има ултра кратък синопсис по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!
Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса; може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!
И да започнем веднага:
Как правилно да конструираме координатни оси?
На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.
Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.
Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.
Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова правоъгълна координатна система:
1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.
2) Подписваме осите с големи букви „X“ и „Y“. Не забравяйте да обозначите осите.
3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече
НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира еднозначно координатната мрежа.
По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така, например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.
Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.
Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от продаваните тетрадки са меко казано пълна глупост. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За попълване на тестове препоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, квадрат) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро или с почти празно.
Допълнително: Визията за правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информация за координатните квартали можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.
3D калъф
Тук е почти същото.
1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.
2) Маркирайте осите.
3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.
Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).
За какво са всички тези правила? Правилата са създадени за да се нарушават. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на артикула ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.
Графики и основни свойства на елементарни функции
Линейна функция е дадена от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.
Пример 1
Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.
Ако , тогава
Да вземем друга точка, например 1.
Ако , тогава
При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:
А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.
Намерени са две точки, нека направим рисунка:
Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.
Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:
Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. В този случай беше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.
1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на правата пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.
2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се начертава веднага, без да се откриват точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“
3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се начертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“
Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.
Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.
Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.
Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином
Парабола. Графика на квадратична функция 
() представлява парабола. Помислете за известния случай:
Нека си припомним някои свойства на функцията.
И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да научите от теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:
Така върхът е в точката
Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията 
– не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.
В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:
Този алгоритъм на изграждане образно може да се нарече „совалка” или принципът „напред и назад” при Анфиса Чехова.
Да направим чертежа:
От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:
За квадратична функция 
() вярно е следното:
Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.
Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.
Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.
Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:
Нека изброим основните свойства на функцията
Графика на функция
Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:
Основни свойства на функцията:
В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .
Би било ГРУБА грешка, ако при съставяне на чертеж небрежно позволите графиката да се пресече с асимптота.
Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.
Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат в подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.
Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.
Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факт е очевиден от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: 
.
Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.
Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).
Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.
Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.
Пример 3
Конструирайте десния клон на хиперболата
Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:
Да направим чертежа:
Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата на точковата конструкция ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.
Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.
Графика на експоненциална функция
В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.
Нека ви напомня, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки вероятно са достатъчни:
Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.
Основни свойства на функцията:
Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.
Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.
Графика на логаритмична функция
Да разгледаме функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:
Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте учебниците си.
Основни свойства на функцията:
Домейн: 
Диапазон от стойности: .
Функцията не е ограничена отгоре: 
, макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: 
. Така че оста е вертикална асимптота
за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.
Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .
По принцип графиката на логаритъма при основа изглежда по същия начин: , , (десетичен логаритъм при основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.
Няма да разглеждаме случая; не помня последния път, когато съм правил графика с такава основа. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.
В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция– това са две взаимно обратни функции. Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.
Графики на тригонометрични функции
Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса
Нека начертаем функцията
Тази линия се нарича синусоида.
Позволете ми да ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.
Основни свойства на функцията:
Тази функция е периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.
Домейн: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.
Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.
“Трансформация на графики на функции” - Разтягане. Симетрия. Затвърдете изграждането на графики на функции, като използвате трансформации на графики на елементарни функции. Построяване на графики на сложни функции. Самостоятелна работа Вариант 1 Вариант 2. Паралелен пренос. Свържете всяка графика с функция. Трансформация на графики на функции. Нека разгледаме примери за трансформации и да обясним всеки тип трансформация.
“Ирационално уравнение” - Алгоритъм за решаване на уравнения. История на неразумни числа. Коя стъпка в решаването на уравнението води до появата на допълнителни корени. „Урок-дискусия“. Намери грешката. Въведение. „Чрез уравнения и теореми съм решил много различни проблеми.“ По време на часовете. В спор обидите, упреците и враждебността към съучениците са неприемливи.
„Графика на функция“ - Ако линейна функция е дадена с формула от вида y = khx, т.е. b = 0, тя се нарича пряка пропорционалност. Ако линейна функция е дадена с формулата y = b, т.е. k = 0, тогава нейната графика минава през точката с координати (b; 0), успоредни на оста OX. функция. Линейна функция е функция, която може да бъде определена с формулата y = kx + b, където x е независимата променлива, k и b са някои числа.
Как да начертая графика на линейна функция? - Стойността на y, при която x=3. Укрепване на покрития материал. Методическа тема. Постройте графика на линейната функция y=-3x+6. - Определете свойствата на тази функция. Проверка: Ученик на дъската. Изследване на функциите. Писмено със заверка. В рамките на училищната програма.
“Графика на функцията Y X” - Пример 1. Нека изградим графика на функцията y=(x - 2)2, базирана на графиката на функцията y=x2 (щракване с мишката). За да видите графиките, щракнете с мишката. Пример 2. Нека построим графика на функцията y = x2 + 1, базирана на графиката на функцията y=x2 (щракване с мишката). Парабола y = x2. Графиката на функцията y=(x - m)2 е парабола с връх в точката (m; 0).
“Ирационални уравнения и неравенства” - Методи на решаване. 3. Въвеждане на спомагателни променливи. 1. Степенуване. Ирационални уравнения. Методи за решаване. Ирационални уравнения и неравенства. 2. Умножение със спрегнатия израз. 4. Избиране на пълен квадрат под знака за радикал. 6. Графичен метод. Ирационални неравенства.
знание основни елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основата, всичко се основава на тях, всичко се гради от тях и всичко се свежда до тях.
В тази статия ще изброим всички основни елементарни функции, ще предоставим техните графики и ще дадем без заключение или доказателство свойства на основните елементарни функциипо схемата:
- поведение на функция в границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте статията класификация на точките на прекъсване на функция);
- четно и нечетно;
- интервали на изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатост (изпъкналост надолу), точки на инфлексия (ако е необходимо, вижте статията изпъкналост на функция, посока на изпъкналост, точки на инфлексия, условия на изпъкналост и инфлексия);
- наклонени и хоризонтални асимптоти;
- особени точки на функции;
- специални свойства на някои функции (например най-малкият положителен период на тригонометричните функции).
Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете на тези раздели на теорията.
Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), n-ти корен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.
Навигация в страницата.
Постоянна функция.
Константна функция е дефинирана върху множеството от всички реални числа по формулата , където C е някакво реално число. Константна функция свързва всяка реална стойност на независимата променлива x със същата стойност на зависимата променлива y - стойността C. Постоянната функция се нарича още константа.
Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Като пример ще покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и, които на фигурата по-долу съответстват съответно на черна, червена и синя линия.
Свойства на константна функция.
- Домейн: цялото множество от реални числа.
- Постоянната функция е четна.
- Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено число C.
- Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
- Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.
- Няма асимптоти.
- Функцията минава през точката (0,C) на координатната равнина.
Корен от n-та степен.
Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.
Корен от степен n, n е четно число.
Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.
Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики 
и съответстват на черни, червени и сини линии.
Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонентата.
Свойства на n-тата коренна функция за четно n.
Коренът n, n е нечетно число.
Коренната функция n с нечетен степенен корен n е дефинирана върху целия набор от реални числа. Например, ето графиките на функциите 
и съответстват на черни, червени и сини криви.
За други нечетни стойности на коренния експонент графиките на функциите ще имат подобен вид.
Свойства на n-та коренна функция за нечетно n.
Силова функция.
Степенната функция е дадена с формула от вида .
Нека разгледаме формата на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.
Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай външният вид на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четността или нечетността на показателя, както и от неговия знак. Следователно първо ще разгледаме степенните функции за нечетни положителни стойности на експонента a, след това за четни положителни експоненти, след това за нечетни отрицателни експоненти и накрая за четни отрицателни a.
Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя a. Ще ги разгледаме, първо, за a от нула до едно, второ, за по-голямо от едно, трето, за a от минус едно до нула, четвърто, за по-малко от минус едно.
В края на този раздел, за пълнота, ще опишем степенна функция с нулев показател.
Степенна функция с нечетен положителен показател.
Нека разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, т.е. с a = 1,3,5,....
Фигурата по-долу показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия, – зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x.
Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.
Степенна функция с четен положителен показател.
Нека разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a = 2,4,6,....
Като пример даваме графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия. За a=2 имаме квадратна функция, чиято графика е квадратна парабола.
Свойства на степенна функция с четен положителен показател.
Степенна функция с нечетен отрицателен показател.
Погледнете графиките на степенната функция за нечетни отрицателни стойности на степента, тоест за a = -1, -3, -5,....
Фигурата показва графики на степенни функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.
Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.
Степенна функция с четен отрицателен показател.
Нека преминем към степенната функция за a=-2,-4,-6,….
Фигурата показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия.
Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.
Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.
Забележка!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниране на степенната функция е интервалът. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме множеството за области на дефиниране на степенни функции с дробни положителни показатели. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.
Нека разгледаме степенна функция с рационален или ирационален показател a и .
Нека представим графики на степенни функции за a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).
Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от едно.
Нека разгледаме степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател a и .
Нека представим графики на степенни функции, дадени от формулите 
(съответно черни, червени, сини и зелени линии).
За други стойности на експонента a, графиките на функцията ще имат подобен вид.
Свойства на степенната функция при .
Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.
Забележка!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниция на степенна функция е интервалът 
. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме областите на дефиниране на степенни функции с дробни дробни отрицателни показатели съответно за множество. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.
Да преминем към степенната функция, kgod.
За да имате добра представа за формата на графиките на степенните функции за , ние даваме примери за графики на функции 
(съответно черни, червени, сини и зелени криви).
Свойства на степенна функция с показател a, .
Степенна функция с нецелочислен реален показател, който е по-малък от минус едно.
Нека дадем примери за графики на степенни функции за 
, те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.
Свойства на степенна функция с нецяло число отрицателен показател, по-малък от минус едно.
Когато a = 0, имаме функция - това е права линия, от която точката (0;1) е изключена (беше договорено да не се придава никакво значение на израза 0 0).
Експоненциална функция.
Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.
Графиката на експоненциалната функция, където и приема различни форми в зависимост от стойността на основата a. Нека разберем това.
Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до едно, т.е.
Като пример представяме графики на експоненциалната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.
Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.
Нека преминем към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, т.е.
Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синя линия и - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.
Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.
Логаритмична функция.
Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция, където , . Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента, тоест за.
Графиката на логаритмична функция има различни форми в зависимост от стойността на основата a.
В тази статия накратко обобщаваме информацията, която се отнася до толкова важна математическа концепция като функцията. Ще говорим за това какво е числова функцияи какво трябва да знаете и да можете да изследвате.
Какво стана числова функция? Нека имаме две числови групи: X и Y и има определена връзка между тези групи. Тоест всеки елемент x от множеството X, според определено правило, се присвоява единичен елемент y от набор Y.
Важно, това Всеки елемент x от множеството X съответства на един и само един елемент y от множеството Y. 
Правилото, по което свързваме всеки елемент от множеството X с един елемент от множеството Y, се нарича числова функция.
Множеството X се нарича област на дефиниция на функцията.
Множеството Y се нарича набор от функционални стойности.
Равенството се вика уравнение на функцията.В това уравнение - независима променлива или аргумент на функцията. - зависима променлива.
Ако вземем всички двойки и им присвоим съответните точки в координатната равнина, получаваме функционална графика.Функционалната графика е графично представяне на връзката между множествата X и Y.
Функционални свойстваможем да определим, като разгледаме графиката на функцията и, обратно, като разгледаме можем да го начертаем.
Основни свойства на функциите.
1. Домейн на функцията.
Област на функцията D(y)е множеството от всички допустими стойности на аргумента x (независима променлива x), за които изразът от дясната страна на уравнението на функцията има смисъл. С други думи, това са изрази.
Да се Използвайки графиката на функцията, намерете нейната дефиниционна област, nвече се движи с отляво надясно по оста OX, запишете всички интервали от стойности x, на които съществува графиката на функцията.
2. Набор от стойности на функцията.
Набор от стойности на функцията E(y)е множеството от всички стойности, които зависимата променлива y може да приеме.
Да се според графиката на функциятаза да намерите неговия набор от стойности, трябва да се преместите отдолу нагоре по оста OY и да запишете всички интервали от y стойности, на които съществува графиката на функцията.
3. Функционални нули.
Функционални нули -Това са тези стойности на аргумента x, при които стойността на функцията (y) е равна на нула.
За да намерите нулите на функция, трябва да решите уравнението. Корените на това уравнение ще бъдат нулите на функцията.
За да намерите нулите на функция от нейната графика, трябва да намерите точките на пресичане на графиката с оста OX. Абсцисите на пресечните точки ще бъдат нули на функцията.
4. Интервали с постоянен знак на функция.
Интервалите с постоянен знак на функция са тези интервали от стойности на аргументи, върху които функцията запазва знака си, т.е. или .
Да намеря , трябва да решите неравенствата и .
Да намеря интервали на постоянен знак на функцияспоред нейния график е необходимо
5. Интервали на монотонност на функция.
Интервалите на монотонност на функция са тези интервали от стойности на аргумента x, при които функцията нараства или намалява.
Казва се, че една функция се увеличава на интервал I, ако за всеки две стойности на аргумента, принадлежащи на интервал I, е валидно следното отношение: 
.
С други думи, функция нараства на интервал I, ако по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
За да определите интервалите на нарастваща функция от графиката на функция, трябва да се движите отляво надясно по линията на графиката на функцията, за да маркирате интервалите на стойностите на аргумента x, при които графиката отива нагоре.
Казва се, че функция намалява на интервала I, ако за всеки две стойности на аргумента, принадлежащи на интервала I, така че следната връзка е валидна: 
.
С други думи, функция намалява на интервал I, ако по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малка стойност на функцията.
За да определите интервалите на намаляваща функция от графиката на функция, трябва да се движите отляво надясно по линията на графиката на функцията, за да маркирате интервалите на стойностите на аргумента x, при които графиката слиза.
6. Точки на максимум и минимум на функцията.
Точка се нарича максимална точка на функция, ако има такава околност I на точката, че за всяка точка x от тази околност е валидна връзката:
.
Графично това означава, че точката с абсцисата x_0 лежи над други точки от околността I на графиката на функцията y=f(x).
Точка се нарича минимална точка на функция, ако има такава околност I на точката, че за всяка точка x от тази околност е валидна връзката:
Графично това означава, че точката с абсцисата се намира под други точки от околността на I графика на функцията.
Обикновено намираме максималните и минималните точки на функция, като изследваме функцията, използвайки нейната производна.
7. Четна (нечетна) функция.
Функция се извиква дори ако са изпълнени две условия:
С други думи, Областта на дефиниране на четна функция е симетрична спрямо началото.
b) За всяка стойност на аргумента x, принадлежаща към областта на дефиниране на функцията, отношението е изпълнено 
.
Една функция се нарича странна, ако са изпълнени две условия:
а) За всяка стойност на аргумента , принадлежаща към домейна на функцията, също принадлежи към домейна на функцията.
