Ако 2 са успоредни. Успоредни прави, признаци и условия за успоредни прави

Признаци за успоредност на две прави

Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:

кръстосаните ъгли са равни, или

съответните ъгли са равни, или

сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава

линиите са успоредни(Фиг. 1).

Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.

Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.

Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълник ABM. За категоричност нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.

Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).

Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.

Задача 1.Да се ​​построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.

Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).

След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.

От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.

Основното свойство на успоредните прави е следното.

Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.

1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).

2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).

Следващата теорема също е вярна.

Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:

напречните ъгли са равни;

съответните ъгли са равни;

сборът от едностранните ъгли е 180°.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж фиг. 2).

Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярно, тогава обратната теорема може да е невярна.

Нека обясним това с помощта на примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Не е задължително два равни ъгъла да са вертикални.

Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЕЛНА ПРАВА

§ 38. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЪГЛИ,
ОБРАЗУВА СЕ ОТ ДВЕ УСПОРЕДНИ ЛИНИИ И ЕДНА ВТОРИЧНА.

Знаем, че две прави са успоредни, ако при пресичането им на трета права съответните ъгли са равни, или вътрешните или външните ъгли, разположени на кръст, са равни, или сборът от вътрешните, или сборът от външните едностранни ъгли е равен на 2 д. Нека докажем, че и обратните теореми са верни, а именно:

Ако две успоредни прави се пресичат от трета, тогава:

1) съответните ъгли са равни;
2) вътрешните напречни ъгли са равни;
3) външните напречни ъгли са равни;
4) сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 д ;
5) сумата от външните едностранни ъгли е равна на 2 д .

Нека докажем например, че ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Нека правите AB и CD са успоредни и MN е техният секанс (фиг. 202) Нека докажем, че съответните ъгли 1 и 2 са равни един на друг.

Да приемем, че / 1 и / 2 не са равни. Тогава в точка O можем да конструираме / МОК, съответни и равни / 2 (чертеж 203).

Но ако / MOQ = / 2, тогава правата OK ще бъде успоредна на CD (§ 35).

Открихме, че през точка O са прекарани две прави AB и OK, успоредни на права CD. Но това не може да бъде (§ 37).

Стигнахме до противоречие, защото го предположихме / 1 и / 2 не са равни. Следователно нашето предположение е неправилно и / 1 трябва да е равно / 2, т.е. съответните ъгли са равни.

Нека установим връзките между останалите ъгли. Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е техният секанс (фиг. 204).

Току-що доказахме, че в този случай съответните ъгли са равни. Да приемем, че всеки два от тях имат по 119°. Нека изчислим размера на всеки от останалите шест ъгъла. Въз основа на свойствата на съседните и вертикалните ъгли откриваме, че четири от осемте ъгъла ще имат по 119°, а останалите ще имат по 61°.

Оказа се, че вътрешните и външните напречни ъгли са равни по двойки, а сумата от вътрешните или външните едностранни ъгли е равна на 180° (или 2 д).

Същото ще се случи за всяка друга стойност на равни съответни ъгли.

Следствие 1. Ако всяка от двете прави AB и CD е успоредна на една и съща трета права MN, тогава първите две прави са успоредни една на друга (чертеж 205).

Всъщност, като начертаем секанса EF (фиг. 206), получаваме:
а) / 1 = / 3, тъй като AB || MN; б) / 2 = / 3, тъй като CO || MN.

означава, / 1 = / 2, а това са ъглите, съответстващи на правите AB и CD и секущата EF, следователно правите AB и CD са успоредни.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата (чертеж 207).

Наистина, ако EF _|_ AB, тогава / 1 = д; ако AB || CD, тогава / 1 = / 2.

следователно / 2 = дт.е. EF _|_ CD .

1) Ако при пресичане на две прави с напречна линия ъглите между тях са равни, то правите линии са успоредни.

2) Ако, когато две прави се пресичат с напречна, съответните ъгли са равни, тогава правите са успоредни.

3) Ако при пресичане на две прави с напречна сумата от едностранните ъгли е равна на 180°, то правите са успоредни.

3. През точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

4 Ако права пресича една от две успоредни прави, тогава тя пресича и другата.

5. Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни.

Свойства на успоредните прави

1) Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, то пресичащите се ъгли са равни.

2) Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, то съответните ъгли са равни.

3) Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава сумата от едностранните ъгли е 180°.

7. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

8. Решаване на система от две уравнения с двеТакава двойка числа се нарича неизвестна х И при , които, когато бъдат заменени в тази система, превръщат всяко от нейните уравнения в правилно числово равенство.

9.Решете системата от уравнения- означава да се намерят всички негови решения или да се установи, че няма такива.

1. Методи за решаване на система от уравнения:

а) заместване

б) добавяне;

в) графика.

10. Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.

11.Външен ъгълна триъгълник е ъгъл, съседен на някакъв ъгъл на този триъгълник.

Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него.

12. Във всеки триъгълник или всички ъгли са остри, или два ъгъла са остри, а третият е тъп или прав.

13 Ако и трите ъгъла на триъгълник са остри, тогава триъгълникът се нарича остроъгълен.

14.Ако един от ъглите на триъгълник е тъп, тогава триъгълникът се нарича тъпоъгълен.

15. Ако един от ъглите на триъгълник е прав, тогава триъгълникът се нарича правоъгълен.

16. Страната на правоъгълен триъгълник, лежаща срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите две страни са крака.

17. В триъгълник: 1) по-големият ъгъл лежи срещу по-голямата страна; 2) назад, по-голямата страна лежи срещу по-големия ъгъл.

18. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е по-дълга от катета.

19. Ако два ъгъла на триъгълник са равни, то триъгълникът е равнобедрен (признак на равнобедрен триъгълник).

20. Всяка страна на триъгълник е по-малка от сумата на другите две страни.

21 Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е 90°.

22. Катет на правоъгълен триъгълник, лежащ срещу ъгъл 30°, е равен на половината от хипотенузата.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници: 1) от двете страни; 2) по хипотенузата и острия ъгъл; 3) по хипотенузата и крака; 4) по крака и остър ъгъл

Дължината на перпендикуляр, прекаран от точка към права, се нарича разстояние от тази точка до правата.

В тази статия ще говорим за успоредни прави, ще дадем дефиниции и ще очертаем признаците и условията на паралелизма. За да направим теоретичния материал по-ясен, ще използваме илюстрации и решения на типични примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Успоредни прави на равнина– две прави в равнина, които нямат общи точки.

Определение 2

Паралелни линии в триизмерното пространство– две прави в тримерното пространство, лежащи в една равнина и нямащи общи точки.

Необходимо е да се отбележи, че за определяне на успоредни прави в пространството е изключително важно уточнението „лежат в една и съща равнина“: две прави в тримерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни , но пресичащи се.

За обозначаване на успоредни прави е обичайно да се използва символът ∥. Тоест, ако дадените прави a и b са успоредни, това условие трябва да се запише накратко, както следва: a ‖ b. Вербално успоредността на правите се означава по следния начин: правите a и b са успоредни, или правата a е успоредна на правата b, или правата b е успоредна на правата a.

Нека формулираме твърдение, което играе важна роля в разглежданата тема.

Аксиома

През точка, която не принадлежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение не може да бъде доказано въз основа на известните аксиоми на планиметрията.

В случая, когато говорим за пространство, е вярна теоремата:

Теорема 1

През всяка точка от пространството, която не принадлежи на дадена права, ще има една права, успоредна на дадената.

Тази теорема е лесна за доказване въз основа на горната аксиома (програма по геометрия за 10 - 11 клас).

Критерият за успоредност е достатъчно условие, чието изпълнение гарантира успоредност на правите. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да потвърди факта на паралелизма.

По-специално, съществуват необходими и достатъчни условия за паралелност на линиите в равнината и в пространството. Нека обясним: необходимо означава условието, чието изпълнение е необходимо за успоредни прави; ако не е изпълнено, правите не са успоредни.

В обобщение, необходимо и достатъчно условие за успоредност на правите е условие, чието спазване е необходимо и достатъчно, за да бъдат правата успоредни една на друга. От една страна, това е знак за успоредност, от друга страна, това е свойство, присъщо на успоредните прави.

Преди да дадем точната формулировка на необходимо и достатъчно условие, нека си припомним няколко допълнителни понятия.

Определение 3

Секуща права– права, пресичаща всяка от две дадени несъвпадащи прави.

Пресичайки две прави линии, напречната образува осем неразвити ъгъла. За да формулираме необходимо и достатъчно условие, ще използваме такива видове ъгли като кръстосани, съответстващи и едностранни. Нека ги демонстрираме на илюстрацията:

Теорема 2

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни дадените прави е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса.

Нека илюстрираме графично необходимото и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина:

Доказателството за тези условия присъства в програмата по геометрия за 7 - 9 клас.

По принцип тези условия важат и за триизмерното пространство, при условие че две прави и секуща принадлежат на една и съща равнина.

Нека посочим още няколко теореми, които често се използват за доказване на факта, че правите са успоредни.

Теорема 3

В една равнина две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. Тази характеристика се доказва въз основа на посочената по-горе аксиома за паралелизъм.

Теорема 4

В триизмерното пространство две линии, успоредни на трета, са успоредни една на друга.

Доказателството на признак се изучава в учебната програма по геометрия за 10. клас.

Нека дадем илюстрация на тези теореми:

Нека посочим още една двойка теореми, които доказват успоредността на правите.

Теорема 5

В равнина две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека формулираме подобно нещо за триизмерното пространство.

Теорема 6

В триизмерното пространство две линии, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека да илюстрираме:

Всички горни теореми, признаци и условия позволяват удобно да се докаже успоредността на линиите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на правите, може да се покаже, че съответните ъгли са равни, или да се демонстрира фактът, че две дадени прави са перпендикулярни на третата и т.н. Но имайте предвид, че често е по-удобно да използвате метода на координатите, за да докажете успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система

В дадена правоъгълна координатна система права линия се определя от уравнението на права линия в равнина от един от възможните видове. По същия начин, права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, съответства на някои уравнения за права линия в пространството.

Нека запишем необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави в правоъгълна координатна система в зависимост от вида на уравнението, описващо дадените прави.

Да започнем с условието за успоредност на прави в равнина. Базира се на дефинициите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на правата в равнина.

Теорема 7

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на дадените прави да са колинеарни, или нормалните вектори на дадените прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалният вектор на другата права.

Става очевидно, че условието за паралелност на прави в равнина се основава на условието за колинеарност на векторите или условието за перпендикулярност на два вектора. Тоест, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващи вектори на прави a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) са нормални вектори на прави a и b, тогава записваме горното необходимо и достатъчно условие, както следва: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , където t е някакво реално число. Координатите на направляващите или правите вектори се определят от дадените уравнения на правите линии. Нека да разгледаме основните примери.

1. Права a в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение на правата: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; права линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (A 1, B 1) и (A 2, B 2). Записваме условието за паралелност, както следва:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Права a се описва от уравнението на права с наклон от вида y = k 1 x + b 1 . Права b - y = k 2 x + b 2. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (k 1, - 1) и (k 2, - 1), а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Така, ако успоредни прави на равнина в правоъгълна координатна система са дадени с уравнения с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на дадените прави ще бъдат равни. И обратното твърдение е вярно: ако несъвпадащите прави на равнина в правоъгълна координатна система се определят от уравненията на права с еднакви ъглови коефициенти, то тези дадени прави са успоредни.

1. Правите a и b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права върху равнина: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или от параметрични уравнения на права в равнина: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогава насочващите вектори на дадените прави ще бъдат съответно: a x, a y и b x, b y, а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

a x = t b x a y = t b y

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1

Дадени са две линии: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1. Необходимо е да се определи дали са успоредни.

Решение

Нека напишем уравнението на права линия в сегменти под формата на общо уравнение:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Виждаме, че n a → = (2, - 3) е нормалният вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2, 1 5 е нормалният вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.

Получените вектори не са колинеарни, защото няма такава стойност на tat, при която равенството да е вярно:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

По този начин не е изпълнено необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина, което означава, че дадените прави не са успоредни.

Отговор:дадените прави не са успоредни.

Пример 2

Дадени са правите y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2. Паралелни ли са?

Решение

Нека преобразуваме каноничното уравнение на правата x 1 = y - 4 2 в уравнението на правата с наклон:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Виждаме, че уравненията на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не са еднакви (ако беше друго, правите щяха да съвпадат) и ъгловите коефициенти на правите са равни, което означава, че дадените прави са успоредни.

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин. Първо, нека проверим дали дадените линии съвпадат. Използваме която и да е точка на правата y = 2 x + 1, например (0, 1), координатите на тази точка не съответстват на уравнението на правата x 1 = y - 4 2, което означава, че линиите не съвпадат.

Следващата стъпка е да се определи дали е изпълнено условието за успоредност на дадените прави.

Нормалният вектор на правата y = 2 x + 1 е векторът n a → = (2 , - 1) , а векторът на посоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Скаларното произведение на тези вектори е равно на нула:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

По този начин векторите са перпендикулярни: това ни демонстрира изпълнението на необходимото и достатъчно условие за паралелност на оригиналните линии. Тези. дадените прави са успоредни.

Отговор:тези линии са успоредни.

За да се докаже паралелността на правите в правоъгълна координатна система на тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.

Теорема 8

За да бъдат успоредни две несъвпадащи прави в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни.

Тези. като се имат предвид уравненията на линиите в тримерното пространство, отговорът на въпроса: успоредни ли са или не, се намира чрез определяне на координатите на насочващите вектори на дадените линии, както и проверка на условието за тяхната колинеарност. С други думи, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) са насочващите вектори на правите a и b, съответно, тогава, за да бъдат успоредни, съществуването на такова реално число t е необходимо, така че да е в сила равенството:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Пример 3

Дадени са правите x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необходимо е да се докаже успоредността на тези линии.

Решение

Условията на задачата са дадени от каноничните уравнения на една права в пространството и параметричните уравнения на друга права в пространството. Водещи вектори а → и b → дадените линии имат координати: (1, 0, - 3) и (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , тогава a → = 1 2 · b → .

Следователно е изпълнено необходимото и достатъчно условие за паралелност на линиите в пространството.

Отговор:успоредността на дадените прави е доказана.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

съответните ъгли: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

вътрешни напречни ъгли: 3 и 5, 4 и 6;

външни напречни ъгли: 1 и 7, 2 и 8;

вътрешни едностранни ъгли: 3 и 6, 4 и 5;

външни едностранни ъгли: 1 и 8, 2 и 7.

И така, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но според това, което е доказано, ∠ 4 = ∠ 6.

Следователно ∠ 2 = ∠ 8.

3. Съответни ъгли 2 и 6 са еднакви, тъй като ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 4 = ∠ 6. Нека също така се уверим, че другите съответни ъгли са равни.

4. Сума вътрешни едностранни ъгли 3 и 6 ще бъдат 2d, защото сумата съседни ъгли 3 и 4 е равно на 2d = 180 0, а ∠ 4 може да бъде заменено с идентичното ∠ 6. Уверяваме се също, че сбор от ъгли 4 и 5 е равно на 2d.

5. Сума външни едностранни ъглище бъде 2d, защото тези ъгли съответно са равни вътрешни едностранни ъгликато ъгли вертикален.

От горното доказано оправдание получаваме обратни теореми.

Когато при пресичането на две прави с произволна трета линия получаваме, че:

1. Вътрешните напречни ъгли са еднакви;

или 2.Външните напречни ъгли са еднакви;

или 3.Съответните ъгли са равни;

или 4.Сумата от вътрешните едностранни ъгли е 2d = 180 0;

или 5.Сумата на външните едностранни е 2d = 180 0 ,

тогава първите две линии са успоредни.