Дадено е разпределението на дискретна случайна променлива, намерете. Закон за разпределение на случайни величини

х; значение Е(5); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от сегмента. Построете многоъгълник на разпределение.

1. Известна е функцията на разпределение F(x) на дискретна случайна променлива х:

Задайте закона за разпределение на случайна променлива хпод формата на таблица.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

1. Вероятността магазинът да има сертификати за качество за цялата гама продукти е 0,7. Комисията провери наличието на удостоверения в четири магазина в района. Съставете закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на магазините, в които не са открити сертификати за качество по време на проверка.

1. За да се определи средното време на горене на електрическите лампи в партида от 350 еднакви кутии, от всяка кутия е взета за изпитване по една електрическа лампа. Оценете отдолу вероятността средната продължителност на горене на избраните електрически лампи да се различава от средната продължителност на горене на цялата партида по абсолютна стойност с по-малко от 7 часа, ако е известно, че стандартното отклонение на продължителността на горене на електрическите лампи в всяка кутия е по-малко от 9 часа.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 500 връзки да се случи следното:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива х.

1. Автоматична машина прави ролки. Смята се, че диаметърът им е нормално разпределена случайна величина със средна стойност 10 mm. Какво е стандартното отклонение, ако с вероятност от 0,99 диаметърът е в диапазона от 9,7 mm до 10,3 mm.

Проба А: 6 9 7 6 4 4

Проба Б: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Вариант 17.

1. Сред 35-те части 7 са нестандартни. Намерете вероятността две произволно взети части да се окажат стандартни.

1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сборът на точките от изпуснатите страни да е кратен на 9.

1. Думата „ПРИКЛЮЧЕНИЕ“ е съставена от карти, всяка с по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените по реда на появяване букви да образуват думата: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ЗАТВОРНИК.

1. Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 2 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Ав един тест е равен на 0,4. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 7 независими опита;
2. събитие Аще се появи не по-малко от 220 и не повече от 235 пъти в серия от 400 опита.

1. Заводът изпрати 5000 висококачествени продукта в базата. Вероятността за повреда на всеки продукт при транспортиране е 0,002. Намерете вероятността не повече от 3 продукта да бъдат повредени по време на пътуването.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 9 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 3 черни топки. 3 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 4 от втората урна.Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. В кутията има 10 молива. Изтеглени са произволно 4 молива. Случайна стойност х– броя на сините моливи сред избраните. Намерете закона за неговото разпределение, началните и централните моменти на 2-ри и 3-ти ред.

1. Отделът за технически контрол проверява за дефекти 475 продукта. Вероятността продуктът да е дефектен е 0,05. Намерете, с вероятност 0,95, границите, в които ще се съдържа броят на дефектните продукти сред тестваните.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,003. Намерете вероятността сред 1000 връзки да се случи следното:
1. поне 4 неправилни връзки;
2. повече от две неправилни връзки.

1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайната променлива X.

1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните проблеми:
1. създаване на вариационна серия;

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

Мода и медиана;

Проба А: 0 0 2 2 1 4

1. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Вариант 18.

1. От 10 лотарийни билета 2 са печеливши. Намерете вероятността от пет билета, взети на случаен принцип, един да бъде печеливш.

1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е по-голяма от 15.

1. Думата „ПЕРИМЕТЪР“ е съставена от карти, всяка от които има написана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват думата: а) ПЕРИМЕТЪР; б) МЕТЪР.

1. Една урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 4 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Вероятност за настъпване на събитие Ав едно изпитване е равно на 0,55. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 5 предизвикателства;
2. събитие Аще се появи не по-малко от 130 и не повече от 200 пъти в серия от 300 опита.

1. Вероятността консерва да се счупи е 0,0005. Намерете вероятността от 2000 кутии две да имат теч.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 4 черни топки. Две топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и три топки се изтеглят на случаен принцип от втората урна. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.

1. Сред частите, пристигащи за монтаж, 0,1% са дефектни от първата машина, 0,2% от втората, 0,25% от третата и 0,5% от четвъртата. Коефициентите на производителност на машината са съответно 4:3:2:1. Произволно взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността детайлът да е направен на първата машина.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. Електротехникът има три електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0, 1. Електрическите крушки се завинтват в гнездото и се пуска ток. При включване на тока дефектната крушка веднага изгаря и се заменя с друга. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя на тестваните електрически крушки.

1. Вероятността за попадение в цел е 0,3 за всеки от 900 независими изстрела. Използвайки неравенството на Чебишев, изчислете вероятността целта да бъде уцелена поне 240 пъти и най-много 300 пъти.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 800 връзки да се случи следното:
1. поне три неправилни връзки;
2. повече от четири неправилни връзки.

1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайната променлива X. Начертайте графики на функциите и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива Х.

1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните проблеми:
1. създаване на вариационна серия;
2. изчисляване на относителни и натрупани честоти;
3. съставят емпирична функция на разпределение и я начертаят;
4. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба А: 4 7 6 3 3 4

1. Използвайки пример B, решете следните задачи:
1. създаване на групирани вариационни серии;
2. изграждане на хистограма и честотен полигон;
3. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Вариант 19.

1. В обекта работят 16 жени и 5 мъже. На случаен принцип бяха избрани 3 души с персоналните им номера. Намерете вероятността всички избрани хора да бъдат мъже.

2. Хвърлят се четири монети. Намерете вероятността само две монети да имат „герб“.

3. Думата “ПСИХОЛОГИЯ” е съставена от карти, на всяка от които е изписана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПЕРСОНАЛ.

4. Урната съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:

а. 3 бели топки;

b. по-малко от 3 бели топки;

° С. поне една бяла топка.

5. Вероятност за настъпване на събитие Ав един опит е равен на 0,5. Намерете вероятностите за следните събития:

а. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 5 независими опита;

b. събитие Аще се появи най-малко 30 и не повече от 40 пъти в серия от 50 опита.

6. Има 100 машини с еднаква мощност, работещи независимо една от друга в един и същ режим, при който задвижването им е включено за 0,8 работни часа. Каква е вероятността във всеки един момент от времето да бъдат включени от 70 до 86 машини?

7. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 8 бели и 3 черни топки. 4 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 1 топка от втората. Намерете вероятността сред изтеглените топки да има само 4 черни топки.

8. В салона за продажба на автомобили ежедневно се приемат автомобили от три марки в обеми: „Москвич” – 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% от всички внесени автомобили. Сред автомобилите Москвич 0,5% са с устройство против кражба, Ока – 0,01%, Волга – 0,1%. Намерете вероятността взетата за проверка кола да има устройство против кражба.

9. Числата и се избират на случаен принцип върху сегмента. Намерете вероятността тези числа да удовлетворяват неравенствата.

10. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х; значение Е(2); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.

Както е известно, случайна величина се нарича променлива величина, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а стойностите им се означават със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределение може да се посочи графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или няколко числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на „средна стойност“ на случайна променлива или число, показващо средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

• Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
  За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
• дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
  За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
• Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата „Законът за разпределение на дискретна случайна променлива“

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли, 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.

Решение. Според условията на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Нека представим получения закон под формата на таблица:

Нека намерим математическото очакване на стойността X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете многоъгълник на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната случайна променлива X = (броят неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 = 0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 = 1 (един елемент е неуспешен), x 3 = 2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 =3 (три елемента са неуспешни).

Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за отказ на всеки елемент са равни, следователно е приложим Формула на Бернули . Като се има предвид, че според условието n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Така желаният биномиален закон за разпределение на X има формата:

Начертаваме възможните стойности на x i по абсцисната ос и съответните вероятности p i по ординатната ос. Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

3. Да намерим функцията на разпределение F(x) = Р(Х

Графика на функция F(x)

4. За биномно разпределение X:
- математическо очакване M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя от тях не е предварително известна. Следователно за случайна променлива можете да посочите само стойности, една от които тя определено ще приеме в резултат на експеримент. По-нататък ще наричаме тези стойности възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

Отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделене случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани, се нарича изброимо. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nпродукти. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатое случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е месечното потребление на електроенергия на предприятието.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височината с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна променлива е интервалът от 0 до 2 м.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и законът за разпределение е установен.

Закон за разпределение на случайна величина е релация, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността и характеристична функция се използват като закони на разпределение.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Съгласно закона за разпределение може да се прецени преди експеримента кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде зададен под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайната променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събития X 1, X 2,..., X n, състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1, x 2,... x n, са непоследователни и единствените възможни (тъй като в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серията на разпределение може да бъде изобразена графично, ако стойностите на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности са нанесени по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерЛотарията включва: автомобил на стойност 5000 den. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единици, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици За 7 дни са продадени общо 1000 билета. единици Съставете закон за разпределение на нетните печалби, получени от участник в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетните печалби на билет - са равни на 0-7 = -7 пари. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако в билета има печалби съответно от видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

Дадена е серия на разпределение на дискретна случайна променлива. Намерете липсващата вероятност и начертайте функцията на разпределение. Изчислете математическото очакване и дисперсията на това количество.

Случайната променлива X приема само четири стойности: -4, -3, 1 и 2. Тя приема всяка от тези стойности с определена вероятност. Тъй като сумата от всички вероятности трябва да е равна на 1, липсващата вероятност е равна на:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Нека съставим функцията на разпределение на случайната променлива X. Известно е, че функцията на разпределение , тогава:

следователно

Нека начертаем функцията Е(х) .

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е равно на сумата от произведенията на стойността на случайната променлива и съответната вероятност, т.е.

Намираме дисперсията на дискретна случайна променлива по формулата:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Елементи на комбинаториката Тук: - факториел на число

Действия върху събития Събитие е всеки факт, който може или не може да се случи в резултат на преживяване. Обединяване на събития АИ IN- това събитие СЪСкойто се състои от поява или събитие А, или събития IN, или и двете събития едновременно. Обозначаване: ; Пресичащи събития АИ IN- това събитие СЪС, което се състои в едновременното настъпване на двете събития. Обозначаване: ;

Класическа дефиниция на вероятността Вероятност за събитие Ае отношението на броя на експериментите , благоприятни за настъпване на събитие А, към общия брой експерименти :

Формула за умножение на вероятностите Вероятност за събитие може да се намери с помощта на формулата: - вероятност за събитие а, - вероятност за събитие IN, - вероятност за събитие INпри условие, че събитието Авече се е случило. Ако събития A и B са независими (настъпването на едното не влияе върху настъпването на другото), тогава вероятността за събитието е равна на:

Формула за добавяне на вероятности Вероятността за събитие може да се намери с помощта на формулата: Вероятност за събитие а, Вероятност за събитие IN, - вероятност за едновременно протичане на събития АИ IN. Ако събития A и B са несъвместими (не могат да се случат едновременно), тогава вероятността за събитието е равна на:

Формула за пълна вероятност Нека събитието Аможе да се случи едновременно с едно от събитията , , …, - нека ги наречем хипотези. Също известен - вероятност за изпълнение аз-та хипотеза и - вероятност за възникване на събитие А при изпълнение аз-та хипотеза. Тогава вероятността от събитието Аможе да се намери по формулата:

Схема на Бернули Нека има n независими теста. Вероятност за настъпване (успех) на събитие Авъв всяка от тях е постоянна и равна стр, вероятността от повреда (т.е. събитието да не се случи А) р = 1 - стр. Тогава вероятността за поява куспех в нтестовете могат да бъдат намерени с помощта на формулата на Бернули: Най-вероятният брой успехи в схемата на Бернули това е броят на случванията на определено събитие, което има най-висока вероятност. Може да се намери с помощта на формулата:

Случайни променливи дискретно непрекъснато (например броят на момичетата в семейство с 5 деца) (например времето, в което чайникът работи правилно) Числени характеристики на дискретни случайни величини Нека дискретно количество е дадено от серия на разпределение: х Р , , …, - стойности на случайна променлива х; , , …, са съответните вероятностни стойности. Разпределителна функция Функция на разпределение на случайна величина хе функция, дефинирана на цялата числова ос и равна на вероятността, че хще има по-малко х:

Въпроси за изпита

Събитие. Операции върху случайни събития.

Концепцията за вероятността от събитие.

Правила за събиране и умножение на вероятности. Условни вероятности.

Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

Схема на Бернули.

Случайна променлива, нейната функция на разпределение и ред на разпределение.

Основни свойства на функцията на разпределение.

Очаквана стойност. Свойства на математическото очакване.

дисперсия. Свойства на дисперсията.

Плътност на разпределение на вероятността на едномерна случайна променлива.

Видове разпределения: равномерно, експоненциално, нормално, биномно и Поасоново разпределение.

Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас.

Закон и функция на разпределение на система от две случайни величини.

Плътност на разпределение на система от две случайни променливи.

Условни закони на разпределение, условно математическо очакване.

Зависими и независими случайни променливи. Коефициент на корелация.

проба. Обработка на проби. Многоъгълна и честотна хистограма. Емпирична функция на разпределение.

Концепцията за оценка на параметрите на разпределението. Изисквания към оценката. Доверителен интервал. Конструиране на интервали за оценка на математическото очакване и стандартното отклонение.

Статистически хипотези. Критерии за съгласие.

При приложенията на теорията на вероятностите количествените характеристики на експеримента са от първостепенно значение. Количество, което може да бъде количествено определено и което в резултат на експеримент може да приеме различни стойности в зависимост от случая, се нарича случайна величина.

Примери за случайни променливи:

1. Колко пъти се появява четен брой точки при десет хвърляния на зара.

2. Броят на попаденията в мишената от стрелец, който стреля серия от изстрели.

3. Броят на фрагментите от експлодиращ снаряд.

Във всеки от дадените примери случайната променлива може да приема само изолирани стойности, тоест стойности, които могат да бъдат номерирани с помощта на естествена серия от числа.

Такава случайна променлива, чиито възможни стойности са отделни изолирани числа, които тази променлива приема с определени вероятности, се нарича отделен.

Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен (изброим).

Закон за разпределениеДискретна случайна променлива е списък от нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде определен под формата на таблица (серия на разпределение на вероятностите), аналитично и графично (многоъгълник на разпределение на вероятностите).

Когато се провежда експеримент, става необходимо да се оцени стойността, която се изследва „средно“. Ролята на средна стойност на случайна величина играе числова характеристика, наречена математическо очакване,което се определя по формулата

Където х 1 , х 2 ,.. , х н– стойности на случайни променливи х, А стр 1 ,стр 2 , ... , стр н– вероятностите на тези стойности (обърнете внимание, че стр 1 + стр 2 +…+ стр н = 1).

Пример. Стрелбата се извършва в целта (фиг. 11).

Попадение в I дава три точки, във II – две точки, в III – една точка. Броят точки, отбелязани в един изстрел от един стрелец, има закон за разпределение на формата

За да сравните уменията на стрелците, достатъчно е да сравните средните стойности на отбелязаните точки, т.е. математически очаквания М(х) И М(Y):

М(х) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

М(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Вторият стрелец дава средно малко по-голям брой точки, т.е. ще даде по-добри резултати при многократно задействане.

Нека отбележим свойствата на математическото очакване:

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

М(° С) = В.

2. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете:

М =(х 1 + х 2 +…+ х н)= М(х 1)+ М(х 2)+…+ М(х н).

3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни величини е равно на произведението на математическите очаквания на факторите

М(х 1 х 2 … х н) = М(х 1)М(х 2)… М(х н).

4. Математическото отрицание на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване (задача 4.6).

М(х) = пр.

За да се оцени как една случайна променлива „средно“ се отклонява от своето математическо очакване, т.е. За да се характеризира разпространението на стойностите на случайна променлива в теорията на вероятностите, се използва концепцията за дисперсия.

Дисперсияслучайна величина хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението:

д(х) = М[(х - М(х)) 2 ].

Дисперсията е числена характеристика на дисперсията на случайна променлива. От дефиницията става ясно, че колкото по-малка е дисперсията на случайна променлива, толкова по-близко нейните възможни стойности са разположени около математическото очакване, т.е. толкова по-добре се характеризират стойностите на случайната променлива от нейното математическо очакване .

От дефиницията следва, че дисперсията може да се изчисли по формулата

.

Удобно е дисперсията да се изчисли по друга формула:

д(х) = М(х 2) - (М(х)) 2 .

Дисперсията има следните свойства:

1. Дисперсията на константата е нула:

д(° С) = 0.

2. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигане на квадрат:

д(CX) = ° С 2 д(х).

3. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсията на членовете:

д(х 1 + х 2 + х 3 +…+ х н)= д(х 1)+ д(х 2)+…+ д(х н)

4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението на броя опити и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване:

д(х) = npq.

В теорията на вероятностите често се използва числова характеристика, равна на корен квадратен от дисперсията на случайна променлива. Тази числена характеристика се нарича средно квадратично отклонение и се обозначава със символа

.

Той характеризира приблизителния размер на отклонението на случайна величина от средната й стойност и има същата размерност като случайната величина.

4.1. Стрелецът стреля три пъти по целта. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е 0,3.

Изградете серия за разпределение на броя на попаденията.

Решение. Броят на попаденията е дискретна случайна променлива х. Всяка стойност х н случайна величина хсъответства на определена вероятност П н .

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива в този случай може да бъде специфициран близко разпространение.

В този проблем хприема стойности 0, 1, 2, 3. Според формулата на Бернули

,

Нека намерим вероятностите на възможните стойности на случайната променлива:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Чрез подреждане на стойностите на случайната променлива хв нарастващ ред получаваме серията на разпределение:

Имайте предвид, че сумата

означава вероятността случайната променлива хще приеме поне една стойност измежду възможните и следователно това събитие е надеждно

.

4.2 .В урната има четири топки с номера от 1 до 4. Изваждат се две топки. Случайна стойност х– сумата от числата на топките. Конструирайте серия на разпределение на случайна променлива х.

Решение.Стойности на случайни променливи хса 3, 4, 5, 6, 7. Нека намерим съответните вероятности. Стойност на случайна променлива 3 хможе да се приеме само в случай, когато една от избраните топки е с номер 1, а другата 2. Броят на възможните резултати от теста е равен на броя на комбинациите от четири (броя на възможните двойки топки) от две.

Използвайки класическата вероятностна формула, получаваме

по същия начин,

Р(х= 4) =Р(х= 6) =Р(х= 7) = 1/6.

Сумата 5 може да се появи в два случая: 1 + 4 и 2 + 3, така че

.

хима формата:

Намерете функцията на разпределение Е(х) случайна величина хи го начертайте. Изчислете за хнеговото математическо очакване и дисперсия.

Решение. Законът за разпределение на случайна променлива може да бъде определен чрез функцията на разпределение

Е(х) = П(х х).

Разпределителна функция Е(х) е ненамаляваща, ляво-непрекъсната функция, дефинирана на цялата числова ос, докато

Е (- )= 0,Е (+ )= 1.

За дискретна случайна променлива тази функция се изразява с формулата

.

Следователно в този случай

Графика на функцията на разпределение Е(х) е стъпаловидна линия (фиг. 12)

Очаквана стойностМ(х) е среднопретеглената аритметична стойност на стойностите х 1 , Х 2 ,……Х нслучайна величина хс везни ρ 1, ρ 2, …… , ρ н и се нарича средна стойност на случайната променлива х. Според формулата

М(х)= х 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x н ρ н

М(х) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

дисперсияхарактеризира степента на дисперсия на стойностите на случайна променлива от нейната средна стойност и се обозначава д(х):

д(х)=М[(HM(х)) 2 ]= М(х 2) –[М(х)] 2 .

За дискретна случайна променлива дисперсията има формата

или може да се изчисли с помощта на формулата

Замествайки числените данни на проблема във формулата, получаваме:

М(х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

д(х) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Два зара се хвърлят два пъти едновременно. Напишете биномиалния закон за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на срещанията на четен общ брой точки на два зара.

Решение. Нека представим едно случайно събитие

А= (два зара с едно хвърляне доведоха до общ четен брой точки).

Използвайки класическата дефиниция на вероятността, намираме

Р(А)= ,

Където н - броят на възможните резултати от теста се намира според правилото

умножение:

н = 6∙6 =36,

м - брой хора, подкрепящи събитието Арезултати - равни

м= 3∙6=18.

По този начин вероятността за успех в едно изпитание е

ρ = П(А)= 1/2.

Задачата се решава с помощта на тестова схема на Бернули. Едно предизвикателство тук ще бъде хвърлянето на два зара веднъж. Брой такива тестове н = 2. Случайна променлива хприема стойности 0, 1, 2 с вероятности

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Изискваното биномно разпределение на случайна променлива хможе да се представи като серия на разпространение:

4.5 . В партида от шест части има четири стандартни. Три части бяха избрани на случаен принцип. Конструирайте вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива х– броя на стандартните части сред избраните и намиране на математическото му очакване.

Решение.Стойности на случайни променливи хса числата 0,1,2,3. Това е ясно Р(х=0)=0, тъй като има само две нестандартни части.

Р(х=1) =
=1/5,

Р(X= 2) =
= 3/5,

Р(х=3) =
= 1/5.

Закон за разпределение на случайна величина хНека го представим под формата на серия за разпространение:

Очаквана стойност

М(х)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Докажете, че математическото очакване на дискретна случайна променлива х- брой появявания на събитието А V ннезависими опити, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на ρ – равно на произведението на броя опити по вероятността за настъпване на събитие в едно изпитване, т.е. да се докаже, че математическото очакване на биномното разпределение

М(х) =н . ρ ,

и дисперсия

д(х) =н.п. .

Решение.Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2..., н. Вероятност Р(х= k) се намира с помощта на формулата на Бернули:

Р(х=к)= Р н(k)= ρ Да се (1-ρ ) н-Да се

Серия на разпределение на случайна променлива хима формата:

Където р= 1- ρ .

За математическото очакване имаме израза:

М(х)=ρq н - 1 +2 ρ 2 р н - 2 +…+.н ρ н

В случай на един тест, тоест с n= 1 за случайна променлива х 1 – брой повторения на събитието А- серията на разпределение има формата:

М(х 1)= 0∙q + 1 ∙ стр = стр

д(х 1) = стр – стр 2 = стр(1- стр) = pq.

Ако х k – брой повторения на събитието Ав кой тест тогава Р(х Да се)= ρ И

X=X 1 +X 2 +….+X н .

От тук получаваме

М(х)=М(х 1 )+М(х 2)+ … +М(х н)= nρ,

д(х)=D(х 1)+D(х 2)+ ... +D(х н)=npq.

4.7. Отделът за контрол на качеството проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 продукта. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива х- броя на партидите, всяка от които ще съдържа 4 стандартни продукта - ако на проверка подлежат 50 партиди.

Решение. Вероятността във всяка произволно избрана партида да има 4 стандартни продукта е постоянна; нека го обозначим с ρ .Тогава математическото очакване на случайната променлива хравно на М(х)= 50∙ρ.

Нека намерим вероятността ρ според формулата на Бернули:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М(х)= 50∙0,32=16.

4.8 . Хвърлят се три зара. Намерете математическото очакване на сбора от падналите точки.

Решение.Можете да намерите разпределението на случайна променлива х- сумата на падналите точки и след това нейното математическо очакване. Този път обаче е твърде тромав. По-лесно е да се използва друга техника, представляваща случайна променлива х, чието математическо очакване трябва да се изчисли, под формата на сума от няколко по-прости случайни променливи, чието математическо очакване е по-лесно за изчисляване. Ако случайната променлива х азе броят на прехвърлените точки аз– та кости ( аз= 1, 2, 3), след това сумата от точките хще се изрази във формата

X = X 1 + X 2 + X 3 .

За да се изчисли математическото очакване на оригиналната случайна променлива, всичко, което остава, е да се използва свойството на математическото очакване

М(х 1 + X 2 + X 3 )= М(х 1 )+ М(х 2)+ М(х 3 ).

Очевидно е, че

Р(х аз = К)= 1/6, ДА СЕ= 1, 2, 3, 4, 5, 6, аз= 1, 2, 3.

Следователно, математическото очакване на случайната променлива х азизглежда като

М(х аз) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М(х) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се провалили по време на тестването, ако:

а) вероятността от повреда за всички устройства е еднаква Р, а броят на тестваните устройства е равен на н;

б) вероятност за провал за аз – на устройството е равно на стр аз , аз= 1, 2, … , н.

Решение.Нека случайната променлива хтогава е броят на неуспешните устройства

X = X 1 + X 2 + … + X н ,

х аз =

Това е ясно

Р(х аз = 1)= Р аз , Р(х аз = 0)= 1– Р аз ,i= 1, 2, … ,н.

М(х аз)= 1∙Р аз + 0∙(1-Р аз)=P аз ,

М(х)=М(х 1)+М(х 2)+ … +М(х н)=P 1 +P 2 + … + П н .

В случай "а" вероятността от повреда на устройството е същата, т.е

Р аз =стр,i= 1, 2, … ,н.

М(х)= н.п..

Този отговор може да бъде получен веднага, ако забележим, че случайната променлива хима биномиално разпределение с параметри ( н, стр).

4.10. Два зара се хвърлят едновременно два пъти. Напишете биномиалния закон за разпределение на дискретна случайна променлива Х -броят на хвърлянията на четен брой точки на два зара.

Решение. Позволявам

А=(хвърляне на четно число на първия зар),

B =(хвърляне на четно число на втория зар).

Получаването на четно число на двата зара с едно хвърляне се изразява чрез произведението AB.Тогава

Р (AB) = Р(А)∙Р(IN) =
.

Резултатът от второто хвърляне на два зара не зависи от първото, така че формулата на Бернули се прилага, когато

н = 2,p = 1/4, р = 1– p = 3/4.

Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2 , вероятността за което може да се намери с помощта на формулата на Бернули:

Р(X= 0)= П 2 (0) = р 2 = 9/16,

Р(X= 1)= П 2 (1)= В ,Р∙р = 6/16,

Р(X= 2)= П 2 (2)= В , Р 2 = 1/16.

Серия на разпределение на случайна променлива Х:

4.11. Устройството се състои от голям брой независимо работещи елементи с една и съща много малка вероятност от повреда на всеки елемент във времето T. Намерете средния брой откази за времето Tелементи, ако вероятността поне един елемент да се повреди през това време е 0,98.

Решение. Брой хора, отказали във времето Tелементи – случайна величина х, който се разпределя по закона на Поасон, тъй като броят на елементите е голям, елементите работят независимо и вероятността от повреда на всеки елемент е малка. Средният брой повторения на събитие в нтестове е равно

М(х) = н.п..

Тъй като вероятността от провал ДА СЕелементи от низразено с формулата

Р н (ДА СЕ)
,

където  = н.п., тогава вероятността нито един елемент да не се повреди през това време T получаваме К = 0:

Р н (0)= д -  .

Следователно вероятността за обратното събитие е във времето T поне един елемент не успее – равен на 1 - д -  . Според условията на задачата тази вероятност е 0,98. От ур.

1 - д -  = 0,98,

д -  = 1 – 0,98 = 0,02,

от тук  = -вътре 0,02  4.

И така, във времето Tработа на устройството, средно 4 елемента ще се повредят.

4.12 . Заровете се хвърлят, докато се появи „две“. Намерете средния брой хвърляния.

Решение. Нека въведем случайна променлива х– броя тестове, които трябва да се извършат до настъпване на интересуващото ни събитие. Вероятността, че х= 1 е равна на вероятността при едно хвърляне на зара да се появи “двойка”, т.е.

Р(X= 1) = 1/6.

Събитие х= 2 означава, че при първия тест „двойката“ не е излязла, но при втория се е получила. Вероятност за събитие х= 2 се намира по правилото за умножаване на вероятностите за независими събития:

Р(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

по същия начин,

Р(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

и т.н. Получаваме серия от вероятностни разпределения:

Средният брой хвърляния (изпитания) е математическото очакване

М(х) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + ДА СЕ (5/6) ДА СЕ -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + ДА СЕ (5/6) ДА СЕ -1 + …)

Нека намерим сумата на серията:

ДА СЕж ДА СЕ -1 = (ж ДА СЕ) ж 
.

следователно

М(х) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

По този начин трябва да направите средно 6 хвърляния на зара, докато се появи „две“.

4.13. Провеждат се независими тестове със същата вероятност за възникване на събитието Авъв всеки тест. Намерете вероятността за възникване на събитие А, ако дисперсията на броя на появяванията на събитие в три независими опита е 0,63 .

Решение.Броят на случаите на събитие в три опита е случайна променлива х, разпределени по биномния закон. Дисперсията на броя на случванията на дадено събитие в независими опити (с еднаква вероятност за възникване на събитието във всяко изпитване) е равна на произведението на броя на изпитанията по вероятностите за възникване и ненастъпване на събитието (задача 4.6)

д(х) = npq.

По условие н = 3, д(х) = 0,63, така че можете Рнамерете от уравнението

0,63 = 3∙Р(1-Р),

който има две решения Р 1 = 0,7 и Р 2 = 0,3.