Какво е върхът на многоъгълник. Върхът на многоъгълника е

В Уикиречника има запис за „връх“ Apex е най-високата точка на нещо. Терминът апекс може също да означава: В топографията... Wikipedia

VERTEX- (1) V. на конуса е пресечната точка на образуващите на конуса; (2) V. на полиедър е точката, в която съседните ръбове на полиедъра се събират; (3) B. на многоъгълник е точката, в която се срещат две съседни страни на многоъгълника; (4) V. точка на парабола... ... Голяма политехническа енциклопедия

APEX, в математиката, точката, в която се срещат две страни на триъгълник или друг многоъгълник, или се пресичат три или повече страни на пирамида или друг многостен. Горната точка на конуса се нарича още връх... Научно-технически енциклопедичен речник

Изграждане на изпъкнала обвивка с помощта на алгоритъма разделяй и владей за построяване на изпъкнала обвивка. Съдържание 1 Описание 2 Дефиниции 3 Изпълнение ... Wikipedia

Изграждане на изпъкнала обвивка с помощта на алгоритъма разделяй и владей за построяване на изпъкнала обвивка. Съдържание 1 Описание 2 Дефиниции 3 Реализация 4 Сложност на алгоритъма ... Wikipedia

Проверка дали дадена точка принадлежи на даден многоъгълник В равнина са дадени многоъгълник и точка. Многоъгълникът може да бъде или изпъкнал, или не изпъкнал. Необходимо е да се реши въпросът дали една точка принадлежи на многоъгълник. Благодарение на факта, че... ... Wikipedia

Част от пространството, ограничено от колекция от краен брой равнинни многоъгълници (вижте ГЕОМЕТРИЯ), свързани по такъв начин, че всяка страна на всеки многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник (наречен... ... Енциклопедия на Collier

Дискретна група от холоморфни трансформации на (отворена) окръжност върху сферата на Риман, т.е. окръжност или полуравнина върху комплексната равнина. Най-често за K се приема горната полуравнина или единичният кръг. В първия случай елементите на функционалната група са ... Математическа енциклопедия

На въпроса какво е многоъгълник зададен от автора европейскинай-добрият отговор е

Плоска затворена прекъсната линия;


Видове многоъгълници
Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.
Многоъгълник с n върха се нарича n-ъгълник.
Плосък многоъгълник е фигура, която се състои от многоъгълник и ограничена част от площта, ограничена от него.
Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните (еквивалентни) условия:
той лежи от едната страна на всяка права линия, свързваща съседните й върхове. (т.е. продълженията на страните на многоъгълника не пресичат другите му страни);
това е пресечната точка (т.е. общата част) на няколко полуравнини;
Всеки диагонал лежи вътре в многоъгълника;
всеки сегмент с краища в точки, принадлежащи на многоъгълника, принадлежи изцяло на него.
Изпъкнал многоъгълник се нарича правилен, ако всички страни са равни и всички ъгли са равни, например равностранен триъгълник, квадрат и правилен петоъгълник.
Правилен многоъгълник със самопресичане се нарича звезден многоъгълник, например правилни пет- и осем-лъчеви звезди.
Изпъкнал многоъгълник се нарича вписан в окръжност, ако всичките му върхове лежат на една и съща окръжност.
Казва се, че изпъкнал многоъгълник е описан около окръжност, ако всичките му страни докосват някаква окръжност.
Върховете на многоъгълник се наричат ​​съседни, ако са краища на една от страните му.
Отсечките, свързващи несъседни върхове на многоъгълник, се наричат ​​диагонали.
Ъгълът (или вътрешният ъгъл) на многоъгълник при даден връх е ъгълът, образуван от неговите страни, събиращи се в този връх и разположени във вътрешната област на многоъгълника. По-специално, ъгълът може да надвишава 180°, ако многоъгълникът не е изпъкнал.
Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на многоъгълника при този връх. Като цяло външен ъгъл е разликата между 180° и вътрешен ъгъл; той може да приема стойности от -180° до 180°.

Отговор от Микроскоп[гуру]
Многоъгълникът е геометрична фигура, обикновено дефинирана като затворена начупена линия.

Има три различни опции за дефиниране на полигон:
Плоска затворена прекъсната линия;
Плоска затворена начупена линия без самопресичане;
Част от равнина, ограничена от затворена полилиния.

Във всеки случай върховете на многоъгълника се наричат ​​върхове на многоъгълника, а сегментите се наричат ​​страни на многоъгълника.

Отговор от Владислав Боровик[новак]
Многоъгълникът е фигура, която има няколко страни и ъгли.

Отговор от Брак[новак]
многоъгълник е мястото, където има много ъгли

Отговор от Саша Сафенрайдър[новак]
многоъгълник е мястото, където има много ъгли

Концепцията за многоъгълник. Какво е многоъгълник

Многоъгълнике геометрична фигура, която е затворена начупена линия.

Има три опции за дефиниране на полигони:

• Многоъгълникът е плоска затворена начупена линия;
• Многоъгълникът е плоска затворена начупена линия без самопресичания;
• Многоъгълникът е част от равнина, която е ограничена от затворена полилиния.

Върховете на начупената линия се наричат върховете на многоъгълника, а сегментите - страни на многоъгълника.

Върховемногоъгълници се наричат съседни, ако те са краищата на една от страните му.

Наричат ​​се сегменти, свързващи несъседни върхове на многоъгълник диагонали.

Ъгъл (или вътрешен ъгъл) на многоъгълникв даден връх се нарича ъгълът, образуван от неговите страни, събиращи се в този връх и разположени във вътрешната област на многоъгълника.

Външен ъгъл на изпъкнал многоъгълникв даден връх се нарича ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на многоъгълника в този връх. Като цяло външен ъгъл е разликата между 180° и вътрешен ъгъл

Многоъгълник се нарича изпъкнал, при условие че е изпълнено едно от следните условия:

• Изпъкнал многоъгълник лежи от едната страна на всяка линия, свързваща нейните съседни върхове;
• Изпъкнал многоъгълник е пресечната точка на няколко полуравнини;
• Всеки сегмент с краища в точки, принадлежащи на изпъкнал многоъгълник, принадлежи изцяло на него.

Изпъкнал многоъгълник се нарича правилно, ако всички страни са равни и всички ъгли са равни, например равностранен триъгълник, квадрат и правилен петоъгълник.

Изпъкнал многоъгълник се нарича вписан в окръжност, ако всичките му върхове лежат на една и съща окръжност.

Казва се, че изпъкнал многоъгълник е описан около окръжност, ако всичките му страни докосват някаква окръжност.

Класификация (видове) на многоъгълници

Класификацията на полигоните по тип може да се основава на много свойства, най-важните от които са:

• брой върхове
• изпъкнал
• точно
• способността да се впише или опише кръг

Изпъкнал многоъгълник винаги лежи от едната страна на линията, която съдържа някоя от страните му. (виж по-горе)

Правилен многоъгълник има всички страни и ъгли равни. Поради това те имат някои специални свойства (вижте квадрата).

Самопресичащите се многоъгълници също могат да бъдат правилни. Например пентаграма („петлъчена звезда“).

Полигоните също могат да бъдат разграничени във връзка със способността да се впишат в многоъгълник или да опишат кръг около многоъгълник. Може да има многоъгълници, около които е невъзможно да се опише кръг, а също и да се впише такъв. В същото време винаги е възможно да се опише кръг около всеки триъгълник.

Свойства на многоъгълник

• Сумата от вътрешните ъгли на n-ъгълник е (n − 2)π.
• Сборът от вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник е 180(n − 2).
• Броят на диагоналите на всеки многоъгълник е n(n − 3) / 2, където n е броят на страните.

Всеки диагонал се разделя на два многоъгълника и. За и означаваме броя на върховете в и съответно. Многоъгълникът е -монотонен, ако няма разделени или слети върхове.

ТОЧКА - В математиката, точката, в която се срещат две страни на триъгълник или друг многоъгълник, или се пресичат три или повече страни на пирамида или друг многостен. Алгоритъм за точка в многоъгълник - Проверка дали дадена точка принадлежи на даден многоъгълник В равнина са дадени многоъгълник и точка. Многоъгълникът може да бъде или изпъкнал, или не изпъкнал.

ДИАГОНАЛ - (гръцки, от dia през и gonia ъгъл). 1) права линия, свързваща върховете на два ъгъла в праволинейна фигура, които не лежат на една и съща права линия. Определение. Многоъгълникът е геометрична фигура, ограничена от всички страни от затворена прекъсната линия, състояща се от три или повече сегмента (връзки). Отсечките (връзките) на една затворена начупена линия се наричат ​​страни на многоъгълника, а общите точки на две отсечки са нейните върхове.

Определение. Четириъгълникът е плоска геометрична фигура, състояща се от четири точки (върховете на четириъгълника) и четири последователни сегмента, които ги свързват (страните на четириъгълника). Четириъгълникът никога няма три върха на една права. Правоъгълникът е четириъгълник с всички прави ъгли. Многоъгълникът може да бъде затворена начупена линия със самопресичане и правилни звездни многоъгълници.

Линии и многоъгълници

1) β на n-ъгълник с β-страна или γ-страна в зависимост от това кой ъгъл е съседен на левия му край (когато се гледа отвътре). Ако е ориентиран по различен начин от ABC, тогава горната му страна, равна и успоредна на AB, е страната P и тогава n е четно (в правилния нечетен триъгълник няма успоредни страни).

Многоъгълник, определен от една полилиния

Нека докажем, че от всеки връх на многоъгълника има поне два диагонала. Но тогава всяка страна на n-ъгълника лежи в разделителен триъгълник, съдържащ още една от неговите страни. Даден е изпъкнал многоъгълник, чиито две страни не са успоредни.

По този начин ъглите, съответстващи на различни страни, не се припокриват. Ще преместим права, успоредна на m, и ще разгледаме дължината на отсечката, изрязана върху нея от многоъгълника.

Цвят на запълване на многоъгълник

Триангулацията на всеки полигон не е уникална. Това се вижда от примера на фигурата. Прост многоъгълник е фигура, ограничена от една затворена полилиния, чиито страни не се пресичат.

Задайте стил на многоъгълник

Всеки прост многоъгълник с върхове винаги има триангулация и броят на триъгълниците в него не зависи от самата триангулация. В общия случай в произволен -gon има само възможни варианти за конструиране на диагонали. За някои класове полигони предишната оценка може да бъде подобрена. Например, ако многоъгълникът е изпъкнал, тогава просто трябва да изберете един от неговите върхове и да го свържете с всички останали, с изключение на съседите му.

След това доказваме, че съдържа върхове за разделяне и сливане. За да направите многоъгълник монотонен, трябва да се отървете от разделянето и сливането на върховете, като начертаете дигонали, които не се пресичат от такива върхове. Нека разгледаме хоризонтална линия и я преместим отгоре надолу по равнината, върху която лежи оригиналният многоъгълник. Ще го спрем на всеки връх на многоъгълника.

Добавяне на полигон към карта

Нека и са най-близките ляв и десен ръб по отношение на разделения връх, който пресича в момента. Типът на съхранения връх няма значение. По този начин, за да конструирате диагонал за разделен връх, трябва да се обърнете към показалеца на левия му ръб, който в момента се пресича.

При подхода, описан по-горе, се изисква да се намерят пресечните точки на линията на метене и левите ръбове на многоъгълника. Нека създадем приоритетна опашка от върхове, в която приоритет ще бъде -координатата на върха. Ако два върха имат еднакви -координати, левият има по-висок приоритет. Върховете ще бъдат добавени в „спирките“ на линията за метене.

Оттук нататък тя не пресича нито една от страните в външни точки. Тъй като върховете не могат да бъдат вътре и двата края на всеки предварително добавен диагонал трябва да лежат отгоре, диагоналът не може да пресича нито един от предварително добавените диагонали.

Ще преминем отгоре надолу по върховете на многоъгълника, като рисуваме диагонали, където е възможно. Следователно нашият многоъгълник лежи в лента с граници b и c, от което получаваме, че P е върхът на многоъгълника, който е най-отдалечен от линията b, съдържаща страна a.

Многоъгълник. Върхове, ъгли, страни и диагонали
многоъгълник. Периметър на многоъгълник.
просто многоъгълник. Изпъкнал многоъгълник.
Сума от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник.

Нарича се плоска фигура, образувана от затворена верига от сегменти многоъгълник. В зависимост от броя на ъглите многоъгълникът може да бъде триъгълник, четириъгълник, петоъгълник, шестоъгълники т.н. Фигура 17 показва шестоъгълника ABCDEF. Точки A, B, C, D, E, F – върхове

многоъгълник; ъгли A, B, C, D, E, F – многоъгълни ъгли; сегменти AC, AD, BE и др. - диагонали; AB, BC, CD, DE, EF, FA – страни на многоъгълник; сумата от дължините на страните AB + BC + ... + FA се нарича периметър и се обозначава p (понякога означавано - 2p, тогава p е полупериметър). В елементарната геометрия се разглеждат само прости многоъгълници, чиито контури нямат самопресичания, както е показано на фиг. 18. Ако всички диагонали лежат вътре в многоъгълника, той се нарича изпъкнал. Шестоъгълникът на фиг. 17 е изпъкнал; петоъгълникът ABCDE на фиг. 19 не е изпъкнал, тъй като неговият диагонал AD е отвън. Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 180º (n – 2), където n е броят на ъглите (или страните) на многоъгълника.

Успоредник. Свойства и характеристики на успоредник.

Правоъгълник. Основни свойства на правоъгълника. Ромб.

Квадрат . Трапец. Средни линии на трапец и триъгълник.

Успоредник (ABCD, фиг. 32) е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Всякакви две срещуположни страни на успоредника се наричат ​​негови основи, а разстоянието между тях се нарича негова височина (BE, фиг. 32).

Свойства на успоредник.

1. Противоположните страни на успоредник са равни(AB = CD, AD = BC).

2. Противоположните ъгли на успоредник са равни(A=C, B=D).

3. Диагоналите на успоредник се разполовяват в пресечната си точка.(AO = OC, BO = OD).

4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на сбора от квадратитечетирите му страни:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Признаци на успоредник.

Четириъгълникът е успоредник, ако е изпълнено едно от следните условия:

1. Противоположните страни са равни по двойки(AB = CD, AD = BC).

2. Срещуположните ъгли са равни по двойки(A=C, B=D).

3. Две противоположни страни са равни и успоредни(AB = CD, AB || CD).

4.Диагоналите се разполовяват в пресечната си точка(AO = OC, BO = OD).

Правоъгълник.

Br />
Ако един от ъглите на успоредник е прав, тогава всички останали ъгли също са прави (защо?). Такъв успоредник се нарича правоъгълник (фиг. 33).

Основни свойства на правоъгълника.

Страните на правоъгълника са и неговите височини.

Диагоналите на правоъгълника са равни: AC = BD.

Квадратът на диагонала на правоъгълник е равен на сумата от квадратите на страните му(вижте Питагоровата теорема по-горе):

AC 2 = AD 2 + DC 2.

Ромб. Ако всички страни на успоредник са равни, тогава този успоредник се наричадиамант (фиг. 34) .

Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни (AC BD) и разполовяват ъглите си (DCA = BCA, ABD = CBD и т.н.).

Квадратът е успоредник с прави ъгли и равни страни (фиг. 35). Квадратът е специален случай на правоъгълник и ромб едновременно; следователно притежава всички изброени по-горе свойства.

R />
Трапец е четириъгълник, чиито срещуположни страни са стороните са успоредни(фиг. 36).

Тук AD || пр.н.е. Паралелни страни се наричатпричини трапец, а другите два (AB и CD) састрани.Разстоянието между основите (BM) евисочина. Отсечка EF, свързваща средни точки E и F

Страничните страни се наричат ​​средна линия на трапеца. Средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на основите:

и успоредно с тях: EF || AD и EF || пр.н.е.

Трапец с равни страни (AB = CD) се нарича равнобедрен без трапец. В равностранен трапец ъглите при всяка основа са равни(A=D, B=C).

Паралелограмът може да се счита за специален случай на трапец.

Средна линия на триъгълника- това е сегмент свързващи средни точкистраничните страни на триъгълника. Средната линия на триъгълника е равна на половинатата основа и успоредна на нея. o свойство следва от предходното

Точка, тъй като триъгълникът може да се разглежда като случай на израждане на трапец, когато една от основите му се превръща в точка.

Многоъгълник, вписан в окръжност.

Многоъгълник, описан около окръжност.

Описано има кръг около многоъгълника.

Надписан в многоъгълен кръг.

Радиус на окръжност, вписана в триъгълник.

Радиус на окръжност, описана около триъгълник .
Правилен многоъгълник.

Център и апотема на правилен многоъгълник.
Съотношения на страни и радиуси на правилни многоъгълници.

Вписан в кръгнаречен многоъгълник чиито върхове са разположени върху окръжността на фиг. 54).Описан около кръг наречен ногончиито страни са допирателни към окръжността

(фиг. 55).

съответно окръжност, минаваща през върховете на многоъгълник(Фиг.54), нареченаописано за многоъгълник; кръг, за в който страните на многоъгълника се допират (фиг. 55), насе нарича вписан в многоъгълник. За произволни невъзможно е да се вмести многоъгълник в него и да се начертае кръг около него. За триъгълник Ник това винаги е възможно.

Радиус r на вписаната окръжностизразено чрез страни a, b, c триъгълник:

Радиус R на описанотокръг изразено с формулата:

В четириъгълник може да се впише окръжност, ако сумите на противоположните му страни са равни.За успоредници това е възможно само за ромб (квадрат). Центърът на вписаната окръжност се намира в точката на пресичане на диагоналите.Може да се опише окръжност около четириъгълник, ако неговата сумапротивоположните ъгли са равни 180º. За успоредниците това е възможно само за правоъгълник (квадрат). Центърът на описаната окръжност лежи в точката на пресичане на диагоналите.Можете да опишете окръжност около трапец, ако е равностранен.r />

Правилен многоъгълник е многоъгълник с равни страни и ъгли.

На фиг.56 е показан правилен шестоъгълник, а на фиг.57 е правилен осмоъгълник. Правилен четириъгълник е квадрат; правилен триъгълник е равностранен триъгълник. Всеки ъгъл на правилен многоъгълник е равен на 180º (n – 2) / n, където n е броят на неговите ъгли. Вътре в правилен многоъгълник има точка O (фиг. 56), еднакво отдалечена от всичките му върхове (OA = OB = OC = ... = OF), която се нарича център на правилния многоъгълник. Центърът на правилен многоъгълник също е на еднакво разстояние от всичките му страни (OP = OQ = OR = ...). Отсечките OP, OQ, OR, ... се наричат ​​апотеми; отсечки OA, OB, OC, ... са радиусите на правилен многоъгълник. В правилен многоъгълник може да се впише окръжност и около нея може да се опише окръжност. Центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат с центъра на правилен многоъгълник. Радиусът на описаната окръжност е радиусът на правилен многоъгълник, а радиусът на вписаната окръжност е неговата апотема. Съотношенията на страните и радиусите на правилните многоъгълници:

За повечето правилни многоъгълници е невъзможно да се изрази връзката между техните страни и радиуси с помощта на алгебрична формула.

ПРИМЕР Може ли от кръг да се изреже квадрат със страна 30 см?

40 см в диаметър?

Решение: Най-големият квадрат, ограден в кръг, е вписан

Квадрат. Съгласно горната формула, неговата

Страната е равна на:

Следователно квадрат със страна 30 см не може да бъде изрязан

От кръг с диаметър 40 см.