Това, което се нарича аритметична прогресия. Как да намерим аритметична прогресия? Примери за аритметична прогресия с решение

Много хора са чували за аритметичната прогресия, но не всеки има добра представа какво е това. В тази статия ще дадем съответното определение, а също така ще разгледаме въпроса как да намерим разликата на аритметичната прогресия и ще дадем редица примери.

Математическа дефиниция

Така че, ако говорим за аритметична или алгебрична прогресия (тези понятия дефинират едно и също нещо), това означава, че има определена редица от числа, която отговаря на следния закон: всеки две съседни числа в серията се различават с една и съща стойност. Математически се записва така:

Тук n означава номера на елемента a n в редицата, а числото d е разликата на прогресията (името му следва от представената формула).

Какво означава да знаеш разликата d? За това колко „далеч“ са съседните числа едно от друго. Но познаването на d е необходимо, но не достатъчно условие за определяне (възстановяване) на цялата прогресия. Необходимо е да знаете още едно число, което може да бъде абсолютно всеки елемент от разглежданата серия, например 4, a10, но като правило те използват първото число, тоест 1.

Формули за определяне на елементите на прогресия

Като цяло информацията по-горе вече е достатъчна, за да преминете към решаване на конкретни проблеми. Въпреки това, преди да бъде дадена аритметичната прогресия и ще е необходимо да се намери нейната разлика, ще представим няколко полезни формули, като по този начин улесним последващия процес на решаване на проблеми.

Лесно е да се покаже, че всеки елемент от редицата с номер n може да бъде намерен, както следва:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Всъщност всеки може да провери тази формула чрез просто търсене: ако замените n = 1, получавате първия елемент, ако замените n = 2, тогава изразът дава сумата от първото число и разликата и т.н.

Условията на много задачи са съставени по такъв начин, че при известна двойка числа, чиито числа също са дадени в последователността, е необходимо да се реконструира цялата редица от числа (намерете разликата и първия елемент). Сега ще решим този проблем в обща форма.

И така, нека са дадени два елемента с номера n и m. Използвайки формулата, получена по-горе, можете да създадете система от две уравнения:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

За да намерим неизвестни количества, ще използваме добре позната проста техника за решаване на такава система: извадете лявата и дясната страна по двойки, равенството ще остане валидно. Ние имаме:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Така изключихме едно неизвестно (a 1). Сега можем да напишем крайния израз за определяне на d:

d = (a n - a m) / (n - m), където n > m

Получихме много проста формула: за да изчислим разликата d в ​​съответствие с условията на проблема, е необходимо само да вземем съотношението на разликите между самите елементи и техните серийни номера. Трябва да се обърне внимание на един важен момент: разликите се вземат между „старшите“ и „младшите“ членове, т.е. n > m („старши“ означава стоящ по-далеч от началото на последователността, неговата абсолютна стойност може да бъде или по-голям или по-малко по-"младши" елемент).

Изразът за прогресията на разликата d трябва да бъде заменен в някое от уравненията в началото на решаването на задачата, за да се получи стойността на първия член.

В нашата епоха на развитие на компютърните технологии много ученици се опитват да намерят решения за своите задачи в Интернет, така че често възникват въпроси от този тип: намерете разликата на аритметична прогресия онлайн. За такава заявка търсачката ще върне няколко уеб страници, като отидете на които ще трябва да въведете данните, известни от условието (това могат да бъдат два члена на прогресията или сбор от определен брой от тях ) и веднага ще получите отговор. Този подход към решаването на проблема обаче е непродуктивен по отношение на развитието на ученика и разбирането на същността на възложената му задача.

Решение без използване на формули

Нека решим първата задача, без да използваме някоя от дадените формули. Нека са дадени елементите на редицата: a6 = 3, a9 = 18. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Известни елементи стоят близо един до друг в редица. Колко пъти трябва да се добави разликата d към най-малкото, за да се получи най-голямото? Три пъти (първият път, добавяйки d, получаваме 7-ия елемент, втория път - осмия, накрая, третия път - деветия). Кое число трябва да се добави към три три пъти, за да се получи 18? Това е числото пет. Наистина ли:

Така неизвестната разлика d = 5.

Разбира се, решението можеше да се извърши с помощта на подходящата формула, но това не беше направено умишлено. Подробно обяснение на решението на проблема трябва да стане ясен и ясен пример за това какво е аритметична прогресия.

Задача, подобна на предишната

Сега нека решим подобен проблем, но да променим входните данни. Така че трябва да намерите дали a3 = 2, a9 = 19.

Разбира се, можете отново да прибягвате до метода на решение „челно“. Но тъй като са дадени елементи от серията, които са сравнително далеч един от друг, този метод няма да бъде напълно удобен. Но използването на получената формула бързо ще ни доведе до отговора:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тук сме закръглили крайното число. Степента, в която това закръгляване е довело до грешка, може да се прецени чрез проверка на резултата:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Този резултат се различава само с 0,1% от стойността, дадена в условието. Следователно закръгляването, използвано до най-близките стотни, може да се счита за успешен избор.

Проблеми, свързани с прилагането на формулата за член

Нека разгледаме класически пример за задача за определяне на неизвестното d: намерете разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 12, a5 = 40.

Когато са дадени две числа от неизвестна алгебрична редица и едното от тях е елементът a 1, тогава не е нужно да мислите дълго, а трябва веднага да приложите формулата за член a n. В този случай имаме:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Получихме точното число при разделяне, така че няма смисъл да проверяваме точността на изчисления резултат, както беше направено в предишния параграф.

Нека решим друга подобна задача: трябва да намерим разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 16, a8 = 37.

Използваме подход, подобен на предишния, и получаваме:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Какво още трябва да знаете за аритметичната прогресия?

В допълнение към проблемите за намиране на неизвестна разлика или отделни елементи, често е необходимо да се решават задачи за сумата от първите членове на редица. Разглеждането на тези проблеми е извън обхвата на статията, но за пълнота на информацията представяме обща формула за сумата от n числа в серия:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Каква е основната същност на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Разбира се, трябва да знаете и първия член а 1и разлика в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.

Запаметяването (или записването) на тази формула не е достатъчно. Трябва да разберете същността му и да приложите формулата в различни проблеми. И също така да не забравиш в точния момент, да...) Как не забравяйте- Не знам. И тук как да запомнитеАко е необходимо, определено ще ви посъветвам. За тези, които завършат урока до края.)

И така, нека да разгледаме формулата за n-тия член на аритметична прогресия.

Какво е формула като цяло? Между другото, погледнете, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво е то n-ти член.

Прогресията като цяло може да бъде записана като поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, .....

а 1- обозначава първия член на аритметичната прогресия, а 3- трети член, а 4- четвъртият и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, да кажем, че работим с а 5, ако сто и двадесети - т 120.

Как можем да го определим най-общо? всякаквитермин на аритметична прогресия, с всякаквиномер? Много просто! Като този:

a n

Това е, което е n-ти член на аритметична прогресия.Буквата n скрива всички номера на членове наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв рекорд? Само си помислете, вместо цифра са записали буква...

Тази нотация ни дава мощен инструмент за работа с аритметична прогресия. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И решаване на куп други проблеми с прогресията. По-нататък ще видите сами.

Във формулата за n-тия член на аритметична прогресия:

а 1- първият член на аритметичната прогресия;

н- членски номер.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n ; a 1; дИ н. Всички проблеми с прогресията се въртят около тези параметри.

Формулата на n-тия член може също да се използва за записване на конкретна прогресия. Например проблемът може да казва, че прогресията е определена от условието:

a n = 5 + (n-1) 2.

Такъв проблем може да бъде задънена улица... Няма нито серия, нито разлика... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да се разбере, че в тази прогресия a 1 =5 и d=2.

И може да бъде още по-лошо!) Ако вземем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,Да, отворете скобите и донесете подобни? Получаваме нова формула:

a n = 3 + 2n.

Това Просто не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие клопката. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет... Малко по-надолу ще работим с такава модифицирана формула.

В проблемите с прогресията има друга нотация - a n+1. Това е, както се досещате, членът „n плюс първо“ на прогресията. Значението му е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто номер е по-голям от числото n с единица. Например, ако в някакъв проблем вземем a nпети мандат тогава a n+1ще бъде шестият член. и т.н.

Най-често обозначението a n+1намерени във формулите за повторение. Не се страхувайте от тази страшна дума!) Това е просто начин за изразяване на член на аритметична прогресия през предишния.Да кажем, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки повтаряща се формула:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвъртият - през трети, петият - през четвърти и т.н. Как можем веднага да преброим, да речем, двадесетия срок? а 20? Но няма начин!) Докато не разберем 19-ия член, не можем да преброим 20-ия. Това е основната разлика между рекурентната формула и формулата на n-тия член. Повтарящи се работи само чрез предишенчлен, а формулата на n-тия член е през първии позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да пресмятате цялата поредица от числа по ред.

В аритметична прогресия е лесно да превърнете повтаряща се формула в правилна. Пребройте чифт последователни членове, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, напишете формулата в обичайната й форма и работете с нея. Такива задачи често се срещат в Държавната академия на науките.

Приложение на формулата за n-тия член на аритметична прогресия.

Първо, нека да разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавяне и добавяне... Час-два.)

И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го засечете.) Нека решим.

Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 =3, d=1/6.Остава да разберем какво е равно н.Няма проблем! Трябва да намерим 121. Така че ние пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересува ни членът на аритметичната прогресия номер сто и двадесет и едно.Това ще бъде нашето н.Това е смисълът н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заместваме всички числа във формулата и изчисляваме:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Това е. Също толкова бързо човек може да намери петстотин и десетия член и хиляда и третия, който и да е. Ние поставяме вместо нжелания номер в индекса на буквата " а"и в скоби, и броим.

Нека ви напомня: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Нека решим проблема по по-хитър начин. Нека се натъкнем на следния проблем:

Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.

Ако имате затруднения, ще ви кажа първата стъпка. Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Да да. Запишете с ръце, направо в бележника си:

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? На разположение d=-0,5,има седемнадесети член... Това ли е? Ако мислите, че това е, значи няма да решите проблема, да...

Все още имаме номер н! В състояние а 17 =-2скрит два параметъра.Това е както стойността на седемнадесетия член (-2), така и неговия номер (17). Тези. n=17.Тази „дреболия“ често се изплъзва покрай главата и без нея (без „дреболията“, а не главата!) проблемът не може да бъде решен. Въпреки че... и без глава.)

Сега можем просто глупаво да заменим нашите данни във формулата:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека заместим:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Това е общо взето всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да го изчислим. Отговорът ще бъде: а 1 = 6.

Тази техника - записване на формула и просто заместване на известни данни - е голяма помощ при прости задачи. Е, разбира се, трябва да можете да изразите променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката може изобщо да не се изучава...

Друг популярен пъзел:

Намерете разликата на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 =2; а 15 =12.

Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)

Нека разгледаме какво знаем: a 1 =2; а 15 =12; и (ще подчертая специално!) n=15. Чувствайте се свободни да замените това във формулата:

12=2 + (15-1)d

Ние правим аритметиката.)

12=2 + 14d

д=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачите за a n, a 1И дреши. Всичко, което остава, е да научите как да намерите номера:

Числото 99 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 =12; d=3. Намерете номера на този член.

Заместваме известните ни количества във формулата на n-тия член:

a n = 12 + (n-1) 3

На пръв поглед тук има две неизвестни величини: a n и n.Но a n- това е някакъв член на прогресията с число н...И ние познаваме този член на прогресията! 99 е. Не знаем номера му. н,Така че това число е това, което трябва да намерите. Заменяме члена на прогресията 99 във формулата:

99 = 12 + (n-1) 3

Изразяваме от формулата н, мислим. Получаваме отговора: n=30.

А сега проблем на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 е член на аритметичната прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Нека напишем формулата отново. Какво, няма параметри? Хм... Защо са ни дадени очи?) Виждаме ли първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: a 1 = -3,6.Разлика дМожете ли да различите от сериала? Лесно е, ако знаете каква е разликата между аритметичната прогресия:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

И така, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестното число ни неразбираемото число 117. В предишната задача поне се знаеше, че е даден членът на прогресията. Но тук дори не знаем... Какво да правим!? Е, как да бъде, как да бъде ... Включете творческите си способности!)

Ние предполагамче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С непознат номер н. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да, да!)) и заместваме нашите числа:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:

Опа! Номерът се получи дробна!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод можем да направим? да Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Това е някъде между сто и първия и сто и втория член. Ако числото се оказа естествено, т.е. е положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: Не.

Задача, базирана на реална версия на GIA:

Аритметична прогресия се дава от условието:

a n = -4 + 6,8n

Намерете първия и десетия член на прогресията.

Тук прогресията е зададена по необичаен начин. Някаква формула... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - също и формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметичната прогресия в него скрит.Всичко е наред, сега ще го намерим.)

Точно както в предишните задачи, ние заместваме n=1в тази формула:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Тук! Първият член е 2,8, а не -4!

Търсим десетия член по същия начин:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Това е.

А сега, за тези, които са прочели тези редове, обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудна бойна ситуация на държавния изпит или единния държавен изпит сте забравили полезната формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Спомням си нещо, но някак несигурно... Или нтам, или n+1, или n-1...Как да бъде!?

Спокоен! Тази формула е лесна за извеждане. Не е много строго, но определено е достатъчно за увереност и правилно решение!) За да направите заключение, достатъчно е да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.

Начертайте числова ос и отбележете първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И ние отбелязваме разликата дмежду членовете. Като този:

Гледаме картината и си мислим: на какво е равен вторият член? Второ един д:

а 2 =a 1 + 1 д

Какъв е третият член? треточлен е равен на първия член плюс две д.

а 3 =a 1 + 2 д

Схващаш ли? Не напразно подчертавам някои думи с удебелен шрифт. Добре, още една стъпка).

Какъв е четвъртият член? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.

а 4 =a 1 + 3 д

Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. д, Винаги с един по-малко от номера на члена, който търсите н. Тоест до броя n, брой интервалище n-1.Следователно формулата ще бъде (без вариации!):

Като цяло, визуалните изображения са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава... само формула!) Освен това формулата на n-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да вмъкнете картина в уравнението...

Задачи за самостоятелно решаване.

Да загрея:

1. В аритметична прогресия (a n) a 2 =3; а 5 =5,1. Намерете 3.

Подсказка: според картинката задачата се решава за 20 секунди... По формулата излиза по-трудно. Но за овладяването на формулата е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен с помощта както на картината, така и на формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е загрявка.)

2. В аритметична прогресия (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Намерете a 3 .

Какво, не искате да нарисувате картина?) Разбира се! По-добре според формулата, да...

3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията е определена по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и петия член... Не всеки е способен на такъв подвиг.) Но формулата на n-ия член е по силите на всеки!

4. Дадена е аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете номера на най-малкия положителен член на прогресията.

5. Съгласно условията на задача 4, намерете сумата от най-малките положителни и най-големите отрицателни членове на прогресията.

6. Произведението от петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е равно на -2,5, а сумата от третия и единадесетия член е равна на нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да...) Методът „върхът на пръста“ няма да работи тук. Ще трябва да пишете формули и да решавате уравнения.

Отговори (в безпорядък):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има един тънък момент. Ще бъде необходимо внимание при четене на проблема. И логика.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И елементът на фантазията за четвъртата, и фината точка за шестата, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми, включващи формулата на n-тия член - всичко е описано. Препоръчвам.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Сума от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От основно до доста солидно.

Първо, нека разберем значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мучене. За да намерите сумата на аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много, или много... добавянето е досадно.) В този случай формулата идва на помощ.

Формулата за сумата е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много нещата.

S n - сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всекичленове, с първиот последно.Важно е. Събират се точно всичкочленове подред, без прескачане или прескачане. И по-точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сбора от третия и осмия член или сбора от петия до двадесетия член, директното прилагане на формулата ще ви разочарова.)

а 1 - първичлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последният номер от поредицата. Не много познато име, но когато се приложи към сумата, е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Труден въпрос: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраенаритметична прогресия?)

За да отговорите уверено, трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и... прочетете внимателно задачата!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе крайна, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение дали е дадена прогресията: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: поредица от числа или формула за n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В една задача цялата тази ценна информация често е криптирана, да... Но няма значение, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)

Примери за задачи върху сумата от аритметична прогресия.

Първо полезна информация:

Основната трудност при задачите, включващи сумата от аритметична прогресия, се състои в правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите криптират тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството с помощта на формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния член н.

Къде мога да получа номера на последния член? н? Да, точно там, при условие! Казва: намерете сумата първите 10 членове.Е, с кой номер ще е? последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nЩе заместим във формулата а 10, а вместо това н- десет. Повтарям, номерът на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи а 1И а 10. Това лесно се изчислява с помощта на формулата за n-тия член, която е дадена в формулировката на задачата. Не знаете как да направите това? Посетете предишния урок, без това няма как.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава само да ги замените и да преброите:

Това е. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 =2,3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки термин по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Остава да замените всички елементи във формулата за сумата на аритметичната прогресия и да изчислите отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nПросто заместваме формулата за n-тия член и получаваме:

Нека представим подобни и да получим нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук a n. При някои проблеми тази формула помага много, да... Можете да я запомните тази формула. Или можете просто да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка винаги трябва да помните формулата за сбора и формулата за n-тия член.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Еха! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо... Как да живееш!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите всички елементи от сумата на аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще бъде първи? 10, вероятно.) А последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да запишете серия според условията на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Със сигурност! Всеки термин се различава от предишния със строго три. Ако добавите 2 или 4 към термин, да речем, резултатът, т.е. новото число вече не се дели на 3. Можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще бъде полезно!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът? нпоследен член? Който мисли, че 99, греши фатално... Числата винаги вървят подред, но нашите членове надскачат три. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да запишете прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, ще открием, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Нека да разгледаме формулата за сумата на аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме от формулировката на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава само елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и изчисляваме:

Отговор: 1665

Друг вид популярен пъзел:

4. Като се има предвид аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четири.

Гледаме формулата за сумата и... се разстройваме.) Формулата, напомням, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да напишете цялата прогресия в серия и да добавите членове от 20 до 34. Но... някак си е глупаво и отнема много време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще бъде от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - от двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го съберем със сумата от членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

От това можем да видим, че намираме сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Вземат се предвид и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Да започваме?

Извличаме параметрите на прогресията от изявлението на проблема:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Изчисляваме ги с помощта на формулата за n-тия член, както в задача 2:

а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Нищо не остана. От сбора на 34 члена извадете сбора на 19 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има един много полезен трик за решаването на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме нещо, което изглежда не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляне на ненужното от пълния резултат. Този вид „финт с ушите“ често ви спестява от зли проблеми.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате всяка задача, включваща сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула за n-тия член:

Тези формули веднага ще ви подскажат какво да търсите и в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия е дадена от условието: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива проблеми често се срещат в Държавната академия на науките.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и всеки следващ ден похарчете с 50 рубли повече от предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Допълнителната формула от задача 2 ще помогне.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Ако за всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти член на редицата , и естествено число н — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

Където д - определено число.

По този начин разликата между следващите и предишните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

Например,

Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

следователно

◄

Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• Ако д > 0 , след това се увеличава;
• Ако д < 0 , тогава намалява;
• Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Където р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

Например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

Например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

Например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

Например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресия

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , Че

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Че

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Математиката има своята красота, също като рисуването и поезията.

Руски учен, механик N.E. Жуковски

Много често срещани проблеми при приемните изпити по математика са проблемите, свързани с понятието аритметична прогресия. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да имате добри познания за свойствата на аритметичната прогресия и да имате определени умения за тяхното прилагане.

Нека първо си припомним основните свойства на аритметичната прогресия и да представим най-важните формули, свързани с това понятие.

Определение. Числова последователност, в който всеки следващ член се различава от предходния с едно и също число, наречена аритметична прогресия. В този случай числотонаречена разлика в прогресията.

За аритметична прогресия са валидни следните формули:

, (1)

Където . Формула (1) се нарича формула на общия член на аритметичната прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на аритметичната прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното аритметично на съседните му членове и .

Забележете, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича „аритметична“.

Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:

(3)

За изчисляване на суматапърви условия на аритметична прогресияобикновено се използва формулата

(5) където и .

Ако вземем предвид формулата (1), то от формула (5) следва

Ако означим , тогава

Където . Тъй като , формули (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).

В частност , от формула (5) следва, Какво

Малко известно на повечето ученици е свойството на аритметичната прогресия, формулирано чрез следната теорема.

Теорема.Ако , тогава

Доказателство.Ако , тогава

Теоремата е доказана.

Например , използвайки теоремата, може да се покаже, че

Нека да преминем към разглеждане на типични примери за решаване на задачи по темата „Аритметична прогресия“.

Пример 1.Нека бъде. Намирам .

Решение.Прилагайки формула (6), получаваме . Тъй като и , тогава или .

Пример 2.Нека е три пъти по-голямо и когато се раздели на частното, резултатът е 2, а остатъкът е 8. Определете и .

Решение.От условията на примера следва системата от уравнения

Тъй като , , и , то от системата от уравнения (10) получаваме

Решението на тази система от уравнения е и .

Пример 3.Намерете дали и .

Решение.Съгласно формула (5) имаме или . Въпреки това, използвайки свойство (9), получаваме .

Тъй като и , Тогава от равенството уравнението следваили .

Пример 4.Намерете дали.

Решение.Съгласно формула (5) имаме

Въпреки това, използвайки теоремата, можем да напишем

От тук и от формула (11) получаваме .

Пример 5. Дадено: . Намирам .

Решение.От тогава. Въпреки това, следователно.

Пример 6.Нека и . Намирам .

Решение.Използвайки формула (9), получаваме . Следователно, ако , тогава или .

Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Решавайки кое, получаваме и .

Естествен корен на уравнениетое .

Пример 7.Намерете дали и .

Решение.Тъй като съгласно формула (3) имаме, че , то системата от уравнения следва от условията на задачата

Ако заместим изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или .

Корените на квадратно уравнение саИ .

Нека разгледаме два случая.

1. Нека , тогава . Тъй като и , тогава .

В този случай, съгласно формула (6), имаме

2. Ако , тогава , и

Отговор: и.

Пример 8.Известно е, че и. Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5) и условието на примера, записваме и .

Това предполага системата от уравнения

Ако умножим първото уравнение на системата по 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме

Съгласно формула (9) имаме. В тази връзка следва от (12)или .

Тъй като и , тогава .

Отговор: .

Пример 9.Намерете дали и .

Решение.Тъй като , и по условие , тогава или .

От формула (5) е известно, Какво . От тогава.

следователно тук имаме система от линейни уравнения

От тук получаваме и . Като вземем предвид формула (8), пишем .

Пример 10.Решете уравнението.

Решение.От даденото уравнение следва, че . Нека приемем, че , и . В такъв случай .

Съгласно формула (1) можем да запишем или .

Тъй като , тогава уравнение (13) има единствения подходящ корен .

Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и .

Решение.Тъй като , тогава разглежданата аритметична прогресия е намаляваща. В тази връзка изразът приема максималната си стойност, когато е числото на минималния положителен член на прогресията.

Нека използваме формула (1) и факта, това и . Тогава получаваме това или .

Тъй като , тогава или . Въпреки това, в това неравенствонай-голямото естествено число, Ето защо .

Ако стойностите на и се заменят във формула (6), получаваме.

Отговор: .

Пример 12.Определете сбора на всички двуцифрени естествени числа, които при деление на числото 6 оставят остатък 5.

Решение.Нека означим с множеството от всички двуцифрени естествени числа, т.е. . След това ще изградим подмножество, състоящо се от тези елементи (числа) на множеството, които, когато се разделят на числото 6, дават остатък от 5.

Лесен за монтаж, Какво . очевидно, че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в който и .

За да установим кардиналността (броя елементи) на множеството, приемаме, че . Тъй като и , следва от формула (1) или . Като вземем предвид формула (5), получаваме .

Горните примери за решаване на проблеми в никакъв случай не могат да претендират за изчерпателност. Тази статия е написана въз основа на анализ на съвременни методи за решаване на типични задачи по дадена тема. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с аритметичната прогресия, е препоръчително да се обърнете към списъка с препоръчителна литература.

1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по начална математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.