Пи произход. Какво е пи и каква е неговата история

14 март 2012 г.

На 14 март математиците празнуват един от най-необичайните празници - Международен ден на пи. Тази дата не е избрана случайно: числовият израз π (Pi) - 3.14 (3-ти месец (март) 14-ти ден).

За първи път учениците попадат на това необичайно число още в началните класове, когато изучават кръга и кръга. Числото π е математическа константа, която изразява съотношението на обиколката на окръжност и дължината на нейния диаметър. Тоест, ако вземете кръг с диаметър, равен на единица, тогава обиколката ще бъде равна на числото "Pi". Числото π има безкрайна математическа продължителност, но всекидневните изчисления използват опростено изписване на числото, оставяйки само два десетични знака - 3.14.

През 1987 г. този ден се празнува за първи път. Физикът Лари Шоу от Сан Франциско забеляза, че в американската система от дати (месец / ден) датата 14 март - 3/14 съвпада с числото π (π \u003d 3.1415926 ...). Обикновено празненствата започват в 13:59:26 ч. (Π \u003d 3,14 15926 …).

Историята на пи

Предполага се, че историята на числото π започва в Древен Египет. Египетските математици определиха областта на кръг с диаметър D като (D-D / 9) 2. Този запис показва, че по това време числото π е било приравнено на дроба (16/9) 2, или 256/81, т.е. π 3160 ...

През VI век. Преди новата ера. в Индия, в религиозната книга на джайнизма има записи, показващи, че числото π по това време е взето равно на квадратния корен от 10, което дава частта 3.162 ...
През III век. BC Архимед в своя малък труд "Измерване на кръга" обосновава три разпоредби:

Всеки кръг е равен на правоъгълен триъгълник, краката на който съответно са равни на дължината на окръжността и нейния радиус;
Площите на окръжност се отнасят до квадрат, изграден на диаметър от 11 до 14;
Съотношението на всеки кръг към неговия диаметър е по-малко от 3 1/7 и повече от 3 10/71.

Архимед обосновава последната позиция чрез последователно изчисляване на периметъра на правилни надписани и описани многоъгълници с удвояване на броя на техните страни. Според точните изчисления на Архимед, съотношението на кръга към диаметъра е между числата 3 * 10/71 и 3 * 1/7, което означава, че числото "pi" е 3.1419 ... Истинската стойност на това съотношение е 3.1415922653 ...
През V век. Преди новата ера. китайският математик Зу Чонджи намери по-точна стойност за това число: 3.1415927 ...
През първата половина на XV век. астроном и математик-Каши изчисли π с 16 десетични знака.

Век и половина по-късно в Европа Ф. Виет намери числото π със само 9 правилни десетични знака: той направи 16 удвоени от броя на страните на многоъгълници. Ф. Виетпервим забеляза, че π може да се намери, използвайки границите на някои серии. Това откритие имаше голямо значение и даде възможност да се изчисли π с всякаква точност.

През 1706 г. английският математик У. Джонсън въвежда обозначението за съотношението на обиколката към диаметъра и го обозначава с модерния символ π с първата буква на гръцката дума периферия-кръг.

За дълъг период от време учени по целия свят се опитват да разгадаят мистерията на това мистериозно число.

Каква е трудността при изчисляването на стойността на π?

Числото π е ирационално: не може да бъде изразено като дроб p / q, където p и q са цели числа, това число не може да бъде корен на алгебраично уравнение. Невъзможно е да се посочи алгебрично или диференциално уравнение, чийто корен ще бъде π, следователно това число се нарича трансцендентално и се изчислява, като се разгледа процес и се прецизира чрез увеличаване на етапите на разглеждания процес. Многобройните опити за изчисляване на максималния брой цифри на числото π доведоха до факта, че днес благодарение на съвременните изчислителни технологии е възможно да се изчисли последователност с точност от 10 трилиона цифри след десетичната запетая.

Десетичните цифри на π са доста случайни. Всяка последователност от числа може да се намери в десетичното разширение на число. Приема се, че това число в криптиран вид съдържа всички написани и неписани книги, като всяка информация, която може да си представим, е в число π.

Можете сами да опитате да разрешите мистерията на това число. Записването на числото "Pi" в пълен размер, разбира се, няма да работи. Но най-любопитното предлагам да се разгледат първите 1000 цифри от числото π \u003d 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Запомнете числото "Pi"

В момента с помощта на компютри числото "Pi" е изчислено в десет трилиона цифри. Максималният брой цифри, които човек би могъл да запомни, е сто хиляди.

За да запомнят максималния брой цифри на числото "Pi", те използват различни поетични "бележки", в които думите с определен брой букви са подредени в една и съща последователност като числата в числото "Pi": 3.1415926535897932384626433832795…. За да възстановите числото, трябва да преброите броя на знаците във всяка от думите и да ги запишете по ред.

Значи знам числото, наречено „Пи“. Много добре! (7 цифри)

Така Миша и Анюта дойдоха
Pi, за да разберете номера, който искаха. (11 цифри)

Това знам и помня отлично:
Пи много знаци са излишни за мен, напразно.
Нека вложим доверието си в огромни знания
Тези, които са преброили числата на армадата. (21 цифри)

Веднъж при Коля и Арина
Разкъсахме перушините.
Бял пух летеше, обикаляше,
Той загърми, замръзна,
Удовлетворен
Той ни даде
Главоболие от стари жени.
Леле, духът на пух е опасен! (25 знака)

Можете да използвате римувани низове, които да ви помогнат да запомните желаното число.

За да не правим грешки
Трябва да прочетете правилно:
Деветдесет и шест

Ако наистина опитате
Можете да прочетете веднага:
Три, четиринадесет, петнадесет,
Деветдесет и шест.

Три, четиринадесет, петнадесет,
Девет, две, шест, пет, три, пет.
За да се занимавате с наука,
Всеки трябва да знае това.

Можете просто да опитате
И повтаряйте по-често:
„Три, четиринадесет, петнадесет,
Девет, двадесет и шест и пет. "

Все още имате въпроси? Искате ли да знаете повече за Pi?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

Текстът на творбата е поставен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

ВЪВЕДЕНИЕ

1. Съответствие на работата.

В безкраен набор от числа, както и сред звездите на Вселената, се открояват отделни числа и техните цели „съзвездия“ с невероятна красота, числа с изключителни свойства и един вид хармония, присъщи само на тях. Просто трябва да можете да видите тези числа, да забележите техните свойства. Погледнете внимателно естествената последователност на числата - и в нея ще намерите много изненадващи и чужди, смешни и сериозни, неочаквани и любопитни. Този, който гледа, вижда. В крайна сметка хората дори в лятна звездна нощ няма да забележат ... сиянието. Полюсни звезди, ако не насочат погледа си към безоблачните височини.

Преминавайки от клас в клас, се запознах с естествено, дробно, десетично, отрицателно, рационално. Тази година съм изучил ирационалното. Сред ирационалните числа има специално число, чиито точни изчисления се извършват от учените в продължение на много векове. Запознах се с него в 6 клас, докато изучавахме темата "Обиколка и площ на кръг". Беше подчертано, че често ще се срещаме с него на уроците в гимназията. Интересни бяха практическите задачи за намиране на числовата стойност на числото π. Числото π е едно от най-интересните числа, открити при изучаването на математиката. Намира се в различни училищни дисциплини. Има много интересни факти, свързани с числото π, затова е интересно да се проучи.

Като чух много интересни неща за този номер, аз самият реших, като изучавам допълнителна литература и потърсих в Интернет, да открия възможно най-много информация за нея и да отговоря на проблемни въпроси:

Откога хората знаят за пи?

Защо е необходимо да се изучава?

Какви интересни факти са свързани с него

Вярно ли е, че пи е приблизително 3,14

Ето защо, пред мен поставих мишена: изследва историята на числото π и значението на числото π на настоящия етап от развитието на математиката.

Задачи:

Проучете литературата, за да получите информация за историята на числото π;

Установете някои факти от „съвременната биография“ на числото π;

Практическо изчисляване на приблизителната стойност на съотношението на обиколката към диаметъра.

Обект на изследване:

Обект на изследване: Брой на PI.

Предмет на изследване: Интересни факти, свързани с броя на ПИ.

2. Основната част. Удивително число π.

Никой друг номер не е толкова загадъчен, колкото Пи с известната си безкрайна серия от числа. В много области на математиката и физиката учените използват това число и неговите закони.

Малко от всички числа, които се използват в математиката, науката, инженерството и ежедневието, получават толкова внимание, колкото и пи. Една книга казва: „Пи пленява умовете на научните гении и любители математици по целия свят“ („Фрактали за класната стая“).

Тя може да се намери в теорията на вероятностите, в решаването на задачи със сложни числа и в други области на математиката, които са неочаквани и далеч от геометрията. Английският математик Август де Морган нарече веднъж "пи" "... тайнственият номер 3.14159 ..., който се изкачва през вратата, през прозореца и през покрива." Това мистериозно число, свързано с един от трите класически проблема на Античността - изграждането на площад, чиято площ е равна на площта на даден кръг, включва влак от драматични исторически и любопитни забавни факти.

Някои дори го смятат за едно от петте най-важни числа в математиката. Но, както е отбелязано в книгата „Фрактали за класната стая“, с цялото значение на pi, „е трудно да се намерят области в научните изчисления, които биха изисквали повече от двадесет десетични знака на pi“.

3. Концепцията за пи

Числото π е математическа константа, изразяваща съотношението на обиколката на окръжност и дължината на нейния диаметър... Числото π (произнася се "Пи") Е математическа константа, изразяваща съотношението на обиколката на окръжност и дължината на нейния диаметър. Означава се с буквата на гръцката азбука "пи".

Числено π започва от 3.141592 и има безкрайна математическа продължителност.

4. История на числото "pi"

Според експерти, това число е открито от вавилонските магьосници... Той е използван при изграждането на известната Вавилонска кула. Въпреки това, недостатъчно точното изчисляване на стойността на pi доведе до срив на целия проект. Възможно е тази математическа константа да залегне в изграждането на легендарния храм на цар Соломон.

Историята на pi, която изразява съотношението на обиколката на окръжност и нейния диаметър, започва в Древен Египет. Диаметър на кръга д Египетските математици, определени като (d-d / 9) 2 (този запис е даден тук със съвременни символи). От горния израз можем да заключим, че по това време числото p се е считало за равно на дроб (16/9) 2 , или 256/81 , т.е. π = 3,160...

В свещената книга на джайнизма (една от най-старите религии, съществувала в Индия и възникнала през VI в. Пр. Н. Е.) Има указание, от което следва, че числото р по това време е било прието равно, което дава част 3,162... Древни гърци Евдокс, Хипократ и други измервания на кръг се свеждат до изграждането на сегмент, а измерването на кръг - до изграждането на квадрат с равен размер. Трябва да се отбележи, че в продължение на много векове математиците от различни страни и народи се опитват да изразят съотношението на обиколката към диаметъра чрез рационално число.

Архимед през III век. Преди новата ера. В своята малка работа "Измерване на кръг" той обосновава три разпоредби:

Всеки кръг е равен на правоъгълен триъгълник, краката на който съответно са равни на дължината на окръжността и нейния радиус;

Площите на окръжност се отнасят към квадрата, изобразен върху диаметъра като 11 до 14;

Съотношението на всеки кръг към неговия диаметър е по-малко 3 1/7 и още 3 10/71 .

Точни изчисления Архимед съотношението на кръга към диаметъра е между числата 3*10/71 и 3*1/7 , което означава, че π = 3,1419... Истинският смисъл на тази връзка 3,1415922653... През V век. Преди новата ера. Китайски математик Зу Чонджи беше открито по-точно значение на това число: 3,1415927...

През първата половина на XV век. обсерватории Улугбек, близо до Самарканд, астроном и математик ал-Каши изчислено пи с 16 десетични знака. Ал-Кашинаправи уникални изчисления, които бяха необходими за съставяне на таблица на синусите с стъпка от 1" ... Тези таблици са изиграли важна роля в астрономията.

Век и половина по-късно в Европа F. Wiet намери пи с само 9 правилни десетични знака, което прави 16 удвоени от броя на страните на многоъгълниците. Но в същото време F. Wiet първи забеляза, че пи може да се намери с помощта на границите на някои серии. Това откритие беше много

стойност, тъй като ни позволи да изчислим pi с всякаква точност. Само 250 години след това ал-Каши резултатът му беше надминат.

Номер за рожден ден „”.

Неофициалният празник „PI Day“ се отбелязва на 14 март, което в американски формат (ден / ден) се изписва като 3/14, което съответства на приблизителната стойност на PI.

Има и алтернативна версия на празника - 22 юли. Нарича се „Приблизителен ден на Пи“. Факт е, че представянето на тази дата като дроб (22/7) също дава числото Pi. Смята се, че празникът е изобретен през 1987 г. от физика от Сан Франциско Лари Шоу, който обърна внимание на факта, че датата и часът съвпадат с първите цифри на числото π.

Интересни факти, свързани с числото ""

Учени от Токиоския университет, ръководени от професор Ясумаса Канада, успяха да поставят световния рекорд в пи изчисленията до 12 411 трилиона цифри. За да направите това, група програмисти и математици се нуждаят от специална програма, суперкомпютър и 400 часа компютърно време. (Книга на рекордите на Гинес).

Германският крал Фредерик II бил толкова очарован от това число, че му посветил ... целия дворец на Кастел дел Монте, в пропорциите на който може да се изчисли PI. Сега вълшебният дворец е под закрилата на ЮНЕСКО.

Как да запомните първите цифри на числото “”.

Първите три цифри от числото  \u003d 3.14 ... не е трудно да се запомни. И за да запомните повече знаци, има забавни поговорки и стихове. Например такива:

Просто трябва да опитате

И помнете всичко такова, каквото е:

Деветдесет и шест.

С. Бобров. "Вълшебната Бикорна"

Всеки, който се научи на този четириъгълник, винаги може да назове 8 знака от числото :

В следващите фрази числовите знаци  могат да бъдат идентифицирани по броя на буквите във всяка дума:

“Какво знам за кръговете? " (3.1416);

“Значи знам число, наречено Пи. - Много добре!"

(3,1415927);

“Учете и знайте в числото, известно зад фигурата, как да отбележите късмет “

(3,14159265359)

5. Обозначаване на числото pi

Английският математик е първият, който въвежда обозначаването на съотношението на обиколката към диаметъра от съвременния символ pi У. Джонсън през 1706 г. Той взе като символ първата буква от гръцката дума "periferia", което означава "Кръг"... Въведена У. Джонсън обозначението стана обичайно след публикуването на произведения Л. Ойлеркойто използва въведения символ за първи път в 1736 гр.

В края на 18 век А. М. Лахандре базирани на произведения И. Г. Ламберт доказа, че пи е ирационален. Тогава немски математик F.Lindemanнадграждане върху научните изследвания С. Ермита, намери строго доказателство, че това число е не само нерационално, но и трансцендентално, т.е. не може да бъде корен на алгебрично уравнение. Търсенето на точния израз на pi продължи и след работата Ф. Виета... В началото на XVII век Холандски математик от Кьолн Лудолф ван Зейлен (1540-1610) (някои историци го наричат Л. ван Килен) намерени 32 правилни знака. Оттогава (година на публикуване 1615) стойността на числото p с 32 десетични знака се нарича числото Ludolph.

6. Как да запомните числото "Pi" с точност от единадесет цифри

Pi е съотношението на обиколката на една окръжност към нейния диаметър и се изразява като безкраен десетичен дроб. В ежедневието ни е достатъчно да знаем три знака (3.14). Някои изчисления обаче изискват повече точност.

Нашите предци не разполагали с компютри, калкулатори и справочници, но от времето на Петър Велики се занимавали с геометрични изчисления в астрономията, машиностроенето и корабостроенето. Впоследствие тук е добавена електротехниката - има концепцията за "кръгова честота на променлив ток". За запаметяване на числото „Пи“ е измислен куплет (за съжаление не знаем автора и мястото на първата му публикация; но в края на 40-те години на ХХ век московските ученици учат според учебника по геометрия на Киселев, където е даден).

Куплетът е написан по правилата на стария руски правопис, според който след съгласна в края на думата задължително беше поставен "Меки" или "Твърда" знак. Ето го, този чудесен исторически куплет:

Който се шегува и скоро ще пожелае

„Пи“, за да разберете номера - вече знае.

Има смисъл за всеки, който ще се занимава с точни изчисления в бъдеще. И така, какво е пи на единадесет цифри? Пребройте броя на буквите във всяка дума и напишете тези числа подред (отделете първото число със запетая).

Тази точност вече е напълно достатъчна за инженерни изчисления. В допълнение към стария, има и съвременен начин за запаметяване, който беше посочен за читател, който наричаше себе си Георги:

За да не правим грешки

Трябва да се чете правилно:

Три, четиринадесет, петнадесет,

Деветдесет и шест.

Просто трябва да опитате

И помнете всичко такова, каквото е:

Три, четиринадесет, петнадесет,

Деветдесет и шест.

Три, четиринадесет, петнадесет,

Девет, две, шест, пет, три, пет.

За да се занимавате с наука,

Всеки трябва да знае това.

Можете просто да опитате

И повтаряйте по-често:

„Три, четиринадесет, петнадесет,

Девет, двадесет и шест и пет. "

Е, математиците с помощта на съвременни компютри могат да изчислят почти произволен брой цифри на пи.

7. Запишете запаметяване на числото pi

Човечеството се опитва да помни знаците на пи от дълго време. Но как може да се запомни безкрайността? Любим въпрос на професионалните мнемонисти. Разработени са много уникални теории и техники за овладяване на огромно количество информация. Много от тях са пи тествани.

Световният рекорд, поставен в Германия през миналия век, е 40 000 знака. Руският рекорд за пи стойности е поставен на 1 декември 2003 г. в Челябинск от Александър Беляев. За час и половина, с кратки почивки, Александър написа 2500 цифри пи на черната дъска.

Преди това се смяташе за рекорд в Русия, в който са изброени 2000 знака, което е направено през 1999 г. в Екатеринбург. Според Александър Беляев, ръководител на центъра за развитие на въображаема памет, всеки от нас може да проведе такъв експеримент със своята памет. Важно е само да знаете специални техники за запаметяване и да тренирате периодично.

Заключение.

Pi се появява във формули, използвани в много полета. Физика, електротехника, електроника, теория на вероятностите, строителство и навигация са само част от тях. И изглежда, че както няма край на знаците на пи, така и няма край на възможностите за практическо приложение на това полезно, неуловимо число пи.

В съвременната математика числото pi е не само съотношението на обиколката към диаметъра, то е включено в голям брой различни формули.

Тази и други взаимозависимости позволиха на математиците да разберат още по-дълбоко естеството на пи.

Точната стойност на числото π в съвременния свят е не само от собствената му научна стойност, но се използва и за много точни изчисления (например орбитата на сателит, изграждането на гигантски мостове), както и за оценка на скоростта и мощността на съвременните компютри.

В момента числото π се свързва с трудно забележим набор от формули, математически и физически факти. Броят им продължава да расте бързо. Всичко това говори за нарастващия интерес към най-важната математическа константа, изучаването на която продължава повече от двадесет и два века.

Извършената работа ми беше интересна. Исках да знам за историята на числото π, неговото практическо приложение и мисля, че съм постигнал целта си. Обобщавайки работата, стигам до извода, че тази тема е уместна. Има много интересни факти, свързани с числото π, затова е интересно да се проучи. В работата си се запознах по-подробно с числото - една от вечните ценности, които човечеството използва от много векове. Научих някои аспекти от богатата му история. Разбрах защо древният свят не е знаел правилното съотношение на обиколката към диаметъра. Погледнахте ясно как можете да получите номера. Въз основа на експериментите той изчислява приблизителната стойност на числото по различни начини. Извърши обработката и анализа на резултатите от експеримента.

Всеки студент днес трябва да знае какво означава числото и каква е приблизителната стойност. В края на краищата, всеки има първо запознаване с число, неговото използване при изчисляване на обиколката, площта на кръг се случва в 6-ти клас. Но, за съжаление, това знание остава формално за мнозина и след година или две малко хора помнят не само, че съотношението на обиколката на окръжност към нейния диаметър е едно и също за всички кръгове, но дори и трудно запомнят числовата стойност на числото, равно на 3 , четиринадесет.

Опитах се да вдигна завесата на най-богатата история на числото, което човечеството използва от много векове. Аз самият направих презентация за работата си.

Историята на числата е завладяваща и загадъчна. Бих искал да продължа изследванията си върху други невероятни числа в математиката. Това ще бъде предмет на следващите ми изследвания.

Списък с референции.

1. Glazer G.I. История на математиката в IV-VI клас в училище. - М .: Образование, 1982.

2. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. Зад страниците на учебник по математика - М .: Образование, 1989.

3. Жуков А. В. Вездесъщият брой пи. - М .: Редакция URSS, 2004.

4. Kampan F. История на числото "pi". - Москва: Наука, 1971.

5. Свечников А.А. пътуване в историята на математиката - М .: Педагогика - Прес, 1995.

6. Енциклопедия за деца. T.11. Математика - М .: Аванта +, 1998.

Интернет ресурси:

- http: // crow.academy.ru/ Materials_ / pi / history.htm

Http: //hab/kp.ru// ежедневно / 24123/344634 /

абстрактен

Невероятно пи

Въведение

март, Денят на Пи се отбелязва по целия свят. Този празник е изобретен през 1987 г. от физика от Сан Франциско Лари Шоу, който забелязва, че в американската дата система (месец / ден) датата е 14 март (3.14), а часът 1:59 съвпада с първите цифри на числото π \u003d 3.14159). Денят на Пи обикновено се празнува в 13:59 местно време (12-часова система). За празника пекат (или купуват) пайове (торти), защото на английски π произнася се "пай", което звучи същото като думата пай ("пай"). Специални тържества се провеждат в научни дружества и образователни институции. Интересното е, че Пи, празнуван на 14 март, съвпада с рождения ден на един от най-изтъкнатите физици на нашето време Алберт Айнщайн.

Интересуваме се от този номер. Кой пръв предположи за връзката между обиколката и нейния диаметър? Кой пръв изчисли стойността му? Каква е историята на това число? Защо този номер беше наречен „ π»?

Цел на работата: да се запознаете с номера π, изучавайте историята на методите на откриването му

проучете историята на откриването на броя π;

Научете методи за намиране на число π;

В заключение.

1. Обозначение на номераπ

Знаем кой е построил първия самолет, кой е измислил радиото, но кой е първият, който се досети за връзката между обиколката и нейния диаметър, никой не знае. Но се знае кога се появява първото обозначаване на този номер с буква. Смята се, че това наименование е въведено за първи път от учителя по английски Уилям Джонсън (1675-1749) в работата му "Преглед на постиженията на математиката", публикувана през 1706 г. По-рано през 1647 г. английският математик Outread използва писмото π за да посочи обиколката. Предполага се, че това обозначение е бутано от първата буква на гръцката азбука на думата περιφερια - кръг. Но международното стандартно обозначение π за числото 3, 141592 ... става след като е приложен от известния руски академик, математик Леонард Ойлер в своите творби през 1737г. Той пише: „Има много други начини за намиране на дължините или зоните на съответната крива или плоска фигура, което може значително да улесни практиката.

... История на числатаπ

Смята се, че числото π е открит за първи път от вавилонските магьосници. Той е използван при изграждането на известната Вавилонска кула, историята на която е включена в Библията. Въпреки това, недостатъчно точно изчисление доведе до срив на целия проект. Смята се също, че броят на Пи лежи в основата на изграждането на известния храм на цар Соломон. История на числата π мина паралелно с развитието на цялата математика. Някои автори разделят целия процес на 3 периода: античния период, през който π изучава от гледна точка на геометрията, класическата епоха, която следва развитието на математическия анализ в Европа през 17 век, и ерата на цифровите компютри.

Древен период

Всеки ученик сега изчислява обиколката по диаметър много по-точно от най-мъдрия свещеник от древната земя на пирамидите или от най-умелия архитект на великия Рим. В древни времена се е смятало, че обиколката е точно 3 пъти по-дълга от диаметъра. Тази информация се съдържа в клинописните таблетки на Древния Интерфлув. Същият смисъл може да се види в текста на Библията: "И той направи морска отливка от мед, - от ръб до ръб десет лакътя, - доста кръгла ... и шнур от тридесет лакът го прегърна наоколо." Въпреки това, вече през II хилядолетие пр.н.е. математиците от Древен Египет намериха по-точна връзка. В папирус Ринда, който датира от около 1650 г. пр. Хр. за номера π дадената стойност е (16/9) 2, което е приблизително 3,16. Древните римляни вярвали, че кръгът е 3,12 по-дълъг от диаметъра, междувременно правилното съотношение е 3, 14159 ... Египетските и римските математици установили съотношението на обиколката към диаметъра не чрез строго геометрично изчисление, както по-късните математици, но го открили просто от опит. Но защо получиха такива грешки? Не можеха ли да покрият някакво кръгло нещо с конец и след това, изправяйки конеца, просто го измерете?

Вземете например ваза с кръгло дъно с диаметър 100 мм. Обиколката трябва да бъде 314 мм. На практика обаче, когато измерваме с конец, едва ли получаваме тази дължина: лесно е да се сбъркаме с един милиметър и след това π ще бъде равно на 3.13 или 3.15. И ако вземем предвид, че диаметърът на вазата не може да бъде измерен съвсем точно, че тук е много вероятно грешка от 1 мм, тогава за π получават се доста широки граници между 3.09 и 3.18.

Решихме да проведем няколко експеримента. За това бяха нарисувани няколко кръга. С помощта на конец и линийка те измервали дължината на всеки кръг и неговия диаметър. Тогава обиколката беше разделена на нейния диаметър. Получихме следните резултати.

No.Дължина на кръгаДиаметър π 114.5 cm5 cm2.9231 cm10 cm3.1310 cm3 cm3, (3) 419.5 cm6.5 cm3516.5 cm5 cm3.5618 cm6 cm3735 cm11 cm3, (18) 820.5 cm6.5 cm3.15922 cm6.9 cm 3.191021 cm3 cm31113 cm4 cm 3.25126 cm1.7 cm3.51312 cm4 cm31412.5 cm4 cm3, 1251526 cm8 cm3.251638 cm12 cm3.2 математика пи цифра цифра

Средно - 3.168

Чрез дефиниране π по този начин можете да получите резултат, който не съвпада с 3.14: след като получим 3.1, друг път 3.12, трети 3.17 и т.н. Случайно сред тях може да има 3,14, но в очите на калкулатор това число няма да има повече тежест от останалите.

Този вид експериментален път по никакъв начин не може да даде приемлива стойност за π. В тази връзка става по-разбираемо защо древният свят не е знаел правилното съотношение на обиколката към диаметъра.

От IV в. Пр. Н. Е математическата наука се развива бързо в древна Гърция. Древногръцките геометри строго доказваха, че дължината на окръжност е пропорционална на нейния диаметър, а площта на окръжност е равна на половината произведение на обиколката и радиус S \u003d Ѕ С R \u003d π R2 ... Това доказателство се приписва на Евклид от Книдус и Архимед.

В своето есе „За измерването на кръг“ Архимед изчисли периметъра на правилни многоъгълници, вписани в кръг и описани около него - от 6 - до 96-тона. Взимайки диаметъра на окръжността като единица, Архимед счита периметъра на вписания многоъгълник за долната оценка за обиколката на окръжността, а периметъра на описания многоъгълник за горната оценка. Имайки предвид обикновените 96-гона, Архимед получи оценката

Така той установи, че числото π затворен в

3,1408 < π < 3,1428. 22/7 все още се счита за доста добро приближение на броя. π за приложни задачи.

В „Алгебрата“ на древния арабски математик Мохамед-бен-Мус относно изчисляването на обиколката четем следните редове: „Най-добрият начин е да умножим диаметъра на 3 1/7. Това е най-бързият и лесен начин. Бог знае най-доброто “.

Джан Хенг изясни значението на числото през II век π, предполагайки два от неговите еквиваленти: 1) 92/29 ≈ 3.1724 ..., 2) √10.

В Индия Арябхата и Бхаскара използваха приблизително 3.1416.

Брахмагупта през VII век предлага √10 като приближение.

Около 265 A.D. математик Лю Хуей от кралството на Вей предостави прост и точен алгоритъм за изчисляване π с всякаква степен на точност. Той независимо извърши изчислението за 3072 gon и получи приблизителна стойност за π, π ≈3,14159.

По-късно Лю Хуй излезе с бърз метод за изчисление π и получи приблизителна стойност от 3.1416 само с 96 gon, възползвайки се от факта, че разликата в площта на последователни многоъгълници образува геометрична прогресия с знаменател 4.

През 480-те китайският математик Зу Чонджи демонстрира това π ≈355 / 113 и показа, че 3.1415926< π < 3,1415927, използвайки алгоритъма на Лю Хуй за 12288-gon. Тази стойност остана най-точното приближение на числото π през следващите 900 години.

До II хилядолетие не са известни повече от 10 цифри π.

Класически период

По-нататъшен голям напредък в обучението π свързани с развитието на математическия анализ, по-специално с откриването на серии, които дават възможност за изчисляване π с всякаква точност, обобщаващ подходящия брой членове на поредицата. През 1400 г. Мадхава от Сангамаграма намери първата от тези редове

Този резултат е известен като поредицата Мадхава-Лейбниц или поредицата Грегори-Лейбниц (след като е преоткрита от Джеймс Грегъри и Готфрид Лайбниц през 17 век). Тази серия обаче се сближава с π много бавно, което води до сложността на изчисляването на много цифри от числото на практика - необходимо е да се добавят около 4000 членове от поредицата, за да се подобри оценката на Архимед. Обаче чрез трансформиране на тази серия в

Мадхава успя да изчисли π като 3.14159265359, като правилно дефинира 11 цифри в записа на числата. Този рекорд е разбит през 1424 г. от персийския математик Джамшид ал Каши, който в работата си, озаглавена „Трактат на кръга“, е дал 17 цифри от числото π, от които 16 са верни.

Първият голям европейски принос от времето на Архимед беше холандският математик Лудолф ван Зюлен, който прекара десет години в изчисляването на броя π с 20 десетични цифри (този резултат е публикуван през 1596 г.). Прилагайки метода на Архимед, той донесе удвояване на n-gon, където n \u003d 60 229. След като представи резултатите си в есето „На кръга“ („Van den Circkel“), Лудолф го завърши с думите: „Който има лов, нека си отиде по-далеч“. След смъртта му в ръкописите му са намерени още 15 точни цифри от числото π. Лудолф завещава, че знаците, които е намерил, са издълбани върху надгробния му камък. В чест на него, номерът π понякога наричан „числото на Лудолф“ или „константата на Лудолф“.

По същото време в Европа започват да се развиват методи за анализ и дефиниране на безкрайни серии. Първото такова представяне е формулата на Виета, открита от Франсоа Виета през 1593 година.

Друг известен резултат беше формулата на Уолис: получена от Джон Уолис през 1655г. Серия Leibniz, открита за първи път от Мадхава от Sangamagram през 1400 г. сл. Хр. Ново време за изчисление π използват се аналитични методи, основани на идентичности. Ойлер, автор на нотацията π, получи 153 истински знака. В края на 19 век най-добрият резултат е постигнат от англичанина Уилям Шенкс, на когото са били необходими 15 години, за да изчисли 707 цифри, въпреки че поради грешка само първите 527 са правилни. За да се избегнат подобни грешки, съвременните изчисления от този вид се извършват два пъти. Ако резултатите съвпадат, има голяма вероятност да бъдат правилни.

Ерата на цифровите компютри

Един от първите компютри откри грешката на Shanks през 1948 г .; той брои и 808 знака за няколко часа π.

С появата на компютрите темпът се увеличи:

година - 2037 десетични знака (Джон фон Нойман, ENIAC),

година - 10 000 десетични знака (F. Zhenuy, IBM-704),

година - 100 000 десетични знака (D. Shanks, IBM-7090),

година - 10 000 000 десетични знака (J. Guillou, M. Bouillet, CDC-7600),

година - 29 360 000 десетични знака (D. Bailey, Cray-2),

година - 134 217 000 десетични знака (Т. Канада, NEC SX2),

година - 1011196691 десетични знака (Д. Чудновски и Г. Чудновски, Крей-2 + IBM-3040). Те също са постигнали 2,260 000 000 знака през 1991 г. и 4 044 000 000 знака през 1994 г. Допълнителни записи принадлежат на японската Tamura Canada: през 1995 г. 4294967286 знака, през 1997 г. - 51539600000. До 2011 г. учените успяха да изчислят стойността на числото π с точност от 10 трилиона цифри след десетичната запетая!

3. Поезия на цифрите на числоπ

Обмислете внимателно първите му хиляди знаци, пропити с поезията на тези числа, защото зад тях са сенките на най-големите мислители на Древния свят и Средновековието, Новото и настоящето.

8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Интересни данни за разпределението на цифрите на число π. Някой не беше мързелив, преброен (за милион цифри след десетичната запетая):

нули - 99959,

единици -99758,

двойки -100026,

тройки - 100229,

четворна - 100230,

петици - 100359,

шестици - 99548,

седмици - 99800,

осмици - 99985,

деветки -100106.

Цифри десетично представяне на число π са достатъчно произволни. Той съдържа произволна последователност от числа, просто трябва да го намерите. В този брой всички написани и неписани книги присъстват в кодирана форма, всяка информация, която може да бъде измислена, вече е вградена в π. Просто трябва да обмислите повече знаци, да намерите желаната област и да я дешифрирате. Тук всеки може да намери своя телефонен номер, дата на раждане или домашен адрес.

Тъй като в последователността на знаците на числото pi няма повторения, това означава, че последователността на знаците на pi се подчинява на теорията за хаоса, по-точно числото pi е хаос, написан с числа.

Освен това, ако желаете, можете да представите този хаос графично и има предположение, че този хаос е разумен. През 1965 г. американският математик М. Улем, седнал на скучна среща, без да прави нищо, започнал да записва числата в числото на чекирана хартия. Поставяйки 3 в центъра и се движи по спирала обратно на часовниковата стрелка, той изписва 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и други числа след десетичната запетая. По пътя той обиколи всички прости числа. Представете си неговата изненада и ужас, когато кръговете започнаха да се подреждат по правите! По-късно той генерира цветна картина въз основа на тази рисунка, използвайки специален алгоритъм.

Дълги числа, които приблизително значат π, нямат нито практическа, нито теоретична стойност. Ако искахме например да изчислим дължината на земния екватор с точност 1 см, като приемем, че заемната дължина на нейния диаметър е точна, тогава за това бихме били напълно достатъчни да вземем само 9 цифри след десетичната запетая в числото π. И като вземем два пъти повече цифри (18), бихме могли да изчислим дължината на окръжност, имаща радиус на разстоянието от Земята до Слънцето, с грешка не по-голяма от 0,0001 мм (100 пъти по-малка от дебелината на косъма!).

За обикновени изчисления с число π напълно е достатъчно да попълните две десетични знака (3.14), а за по-прецизни - четири цифри (3.1416: вземаме последната цифра 6 вместо 5, защото следващата цифра е по-голяма от 5).

Мнемонистите обичат да запомнят число π. И те се състезават в броя на запомнените цифри от това безкрайно число. В книгата на рекордите са записани носители на записи от различни страни. Така японецът Hideaki Tomoyori може да възпроизведе броя на PI до 40 000 знака. Отне му около 10 години, за да запомни такъв брой числа. Руският запис за запаметяване на PI номера е много по-скромен. Александър Беляев възпроизведе 2500 цифри от PI. Отне му час и половина да запомни номерата. Запаметяване - месец и половина. Рекордът за запаметяване на числото Пи принадлежи на украинеца Андрей Слюсарчук, който запамети 30 милиона десетични знака. Тъй като обикновено изброяване на това ще отнеме цяла година, съдиите провериха Слюсарчук по следния начин - помолиха го да назове произволни последователности на пи от някоя от 30-те милиона цифри. Отговорът беше проверен при 20-обемна разпечатка. Мнемонистите помнят число π по една проста причина. Ако са възпроизвели само поредица от произволни числа, тогава могат да възникнат подозрения, че човекът не е запомнил тези числа, но ги възпроизвежда според някаква система. Но когато човек възпроизведе безкрайно число π, тогава всички подозрения за нечестност изчезват, тъй като в следващите числа в числото няма шаблон π не. И единственият начин за възпроизвеждане на тези числа е да ги запомните.

Следователно малките стихотворения или ярки фрази остават в паметта по-дълги от числата, за да запомнят всяка цифрова стойност π измислете специални стихотворения или отделни фрази. В произведения от този тип „математическа поезия“ думите са подбрани така, че броят на буквите във всяка дума последователно съвпада със съответната цифра на числото π. Известно е стихотворение на английски - с 13 думи, следователно, давайки 12 десетични знака в числото π

Вижте, че имам мозък, подпомагащ рима, неговите задачи изключват времената;

на немски - 24 думи, а на френски - 30 думи. Те са любопитни, но прекалено големи, разкошни. Има такива стихове и изречения на руски език.

Например,

"Знам и помня това много добре."

"Пи много знаци са излишни за мен, напразно."

„Какво знам за кръговете?“ - въпрос, скрит в себе си и отговорът: 3.1416.

„Учете и знайте в числото, известно зад фигурата, фигурата, като късмет, да отбележите“ (\u003d 3.14159265358).

Архимедов номер

„Пропуснати двадесет и две сови

На големи сухи кучки.

Двадесет и две сови мечтаеха

Около седем големи мишки. "

„Просто трябва да опиташ

И помнете всичко такова, каквото е:

Три, четиринадесет, петнадесет,

Деветдесет и шест.

Има паметник на номера в света π - инсталирана е в Сиатъл пред Музея на изкуствата.

Има и Pi-клубове, чиито членове, като фенове на мистериозния математически феномен, събират все повече и повече информация за числото Pi и се опитват да разгадаят тайната му. През 2005 г. певицата Кейт Буш издава албума Aerial, който включва песен за номера π. В песента, която певицата нарече „Пи“, прозвуча 124-то число от известната серия с числа. Но в нейната песен 25-то число от поредицата е неправилно кръстено и цели 22 числа изчезнаха някъде.

заключение

Докато работихме върху абстрактното, научихме много нови и интересни неща за броя π.

номер π окупирали умовете на учените от древни времена до наши дни. Но не се знае кой е първият, който се досети за връзката между обиколката и нейния диаметър. Международно обозначение на стандарта π за номер 3, 141592 става след като е приложен от известния руски академик, математик Леонард Ойлер в своите творби през 1737г. История на числата π може да се раздели на 3 периода: античния период, класическата ера и ерата на цифровите компютри. За изчисляването му са използвани различни методи. номер π наричан още „числото на Лудолф“. номер π безкрайна непериодична фракция. Числата в десетичното му представяне са съвсем случайни. Никой друг номер не е толкова загадъчен, колкото Пи с известната си безкрайна поредица от числа. В много области на математиката и физиката учените използват това число и неговите закони.

Някои учени дори го смятат за едно от петте най-важни числа в математиката.

номер π много почитатели не само сред учените. съществувам

Пи - клубовете на фенове на този номер, много сайтове в интернет са посветени на това невероятно число.

„Където и да погледнем, виждаме пъргав и трудолюбив номер: той се съдържа в най-простото колело и в най-сложната автоматична машина.“ Кампан Ф.

Списък на използваните източници

1.Жуков А.В. „Повсеместното число π». - М: Редакция URSS, 2004, - 216s

Въведение

Статията съдържа математически формули, така че за четене отидете на сайта за правилното им показване.Числото \\ (\\ pi \\) има богата история. Тази константа представлява съотношението на обиколката на окръжност и нейния диаметър.

В науката числото \\ (\\ pi \\) се използва при всякакви изчисления, където има кръгове. От обема на кутия сода до орбитите на спътниците. И не само кръгове. Всъщност при изследването на извити линии числото \\ (\\ pi \\) помага да се разберат периодичните и осцилаторни системи. Например електромагнитни вълни и дори музика.

През 1706 г. в книгата "Ново въведение в математиката" на британския учен Уилям Джоунс (1675-1749) за първи път гръцката буква \\ (\\ pi \\) е използвана за обозначаване на числото 3.141592 ... Това наименование идва от началната буква на гръцките думи περιϕερεια - кръг, периферия и περιµετρoς - периметър. Общоприетото наименование става след произведенията на Леонард Ойлер през 1737г.

Геометричен период

Продължителността на съотношението на дължината на всеки кръг към неговия диаметър се забелязва отдавна. Жителите на Месопотамия са използвали доста грубо приближение на числото \\ (\\ pi \\). Както следва от древните проблеми, в своите изчисления те използват стойността \\ (\\ pi ≈ 3 \\).

По-точно значение за \\ (\\ pi \\) са използвали древните египтяни. В Лондон и Ню Йорк има две части от древноегипетски папирус, наречен папирус Rinda. Папирусът е съставен от писаря Армес между 2000-1700. Пр. Н. Е. Армес пише в своя папирус, че площта на кръг с радиус \\ (r \\) е равна на площта на квадрат със страна, равна на \\ (\\ frac (8) (9) \\) на диаметъра на окръжност \\ (\\ frac (8 ) (9) \\ cdot 2r \\), тоест \\ (\\ frac (256) (81) \\ cdot r ^ 2 \u003d \\ pi r ^ 2 \\). Следователно \\ (\\ pi \u003d 3.16 \\).

Древногръцкият математик Архимед (287-212 пр.н.е.) е първият, който е поставил задачата да измери кръг на научна основа. Той получи оценката \\ (3 \\ frac (10) (71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Методът е доста прост, но при липса на готови таблици с тригонометрични функции ще трябва да извлечете корените. В допълнение, приближението се сближава до \\ (\\ pi \\) много бавно: с всяка итерация грешката намалява само четирикратно.

Аналитичен период

Въпреки това, до средата на 17 век, всички опити на европейските учени да изчислят числото \\ (\\ pi \\) се свеждат до увеличаване на страните на полигона. Например, холандският математик Лудолф ван Зеулен (1540-1610) изчисли приблизителната стойност на числото \\ (\\ pi \\) с точност до 20 десетични цифри.

Отне му 10 години, за да изчисли. Удвоявайки по метода на Архимед броя на страните на надписани и описани многоъгълници, той достигна \\ (60 \\ cdot 2 ^ (29) \\) - gon с цел да се изчисли \\ (\\ pi \\) с 20 десетични знака.

След смъртта му в ръкописите му са намерени още 15 точни цифри от числото \\ (\\ pi \\). Лудолф завещава, че знаците, които е намерил, са издълбани върху надгробния му камък. В чест на него числото \\ (\\ pi \\) понякога се наричаше "числото на Лудолф" или "константата на Лудолф".

Един от първите, който въведе метод, различен от метода на Архимед, е Франсоа Виет (1540-1603). Той стигна до резултата, че кръг, чийто диаметър е равен на един, има площ:

\\ [\\ frac (1) (2 \\ sqrt (\\ frac (1) (2)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (2) \\ sqrt (\\ frac (1 ) (2))) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (2) \\ sqrt (\\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (2) \\ sqrt (\\ frac (1) (2) \\ cdots)))) \\]

От друга страна, областта е \\ (\\ frac (\\ pi) (4) \\). Замествайки и опростявайки израза, можете да получите следната формула за безкрайния продукт, за да изчислите приблизителната стойност \\ (\\ frac (\\ pi) (2) \\):

\\ [\\ frac (\\ pi) (2) \u003d \\ frac (2) (\\ sqrt (2)) \\ cdot \\ frac (2) (\\ sqrt (2 + \\ sqrt (2))) \\ cdot \\ frac (2 ) (\\ sqrt (2+ \\ sqrt (2 + \\ sqrt (2)))) \\ cdots \\]

Получената формула е първият точен аналитичен израз за числото \\ (\\ pi \\). В допълнение към тази формула, Виет, използвайки метода на Архимед, даде сближаване на числото \\ (\\ pi \\) с 9, използвайки надписани и описани многоъгълници, като се започне с 6-gon и завърши с многоъгълник с \\ (2 ^ (16) \\ cdot 6 \\) страни правилни знаци.

Английският математик Уилям Брункер (1620-1684), използвайки продължителна фракция, получи следните резултати от изчислението за \\ (\\ frac (\\ pi) (4) \\):

\\ [\\ frac (4) (\\ pi) \u003d 1 + \\ frac (1 ^ 2) (2 + \\ frac (3 ^ 2) (2 + \\ frac (5 ^ 2) (2 + \\ frac (7 ^ 2) ) (2 + \\ frac (9 ^ 2) (2 + \\ frac (11 ^ 2) (2 + \\ cdots)))))))]]

Този метод за изчисляване на приближението на \\ (\\ frac (4) (\\ pi) \\) изисква доста много изчисления, за да се получи дори малко приближение.

Стойностите, получени в резултат на заместване, понякога са по-големи или по-малки от числото \\ (\\ pi \\) и всеки път те се приближават до истинската стойност, но за да се получи стойността 3.141592, ще са необходими доста изчисления.

Друг английски математик Джон Мачин (1686-1751) през 1706 г. използва формулата, получена от Лайбниц през 1673 г., за да изчисли числото \\ (\\ pi \\) със 100 десетични знака и го приложи, както следва:

\\ [\\ frac (\\ pi) (4) \u003d 4 arctg \\ frac (1) (5) - arctg \\ frac (1) (239) \\]

Серията се сближава бързо и с нейна помощ можете да изчислите числото \\ (\\ pi \\) с голяма точност. Формули от този тип бяха използвани за задаване на няколко рекорда в епохата на компютъра.

През XVII век. с началото на периода на математиката с променлива величина започва нов етап в изчисляването на \\ (\\ pi \\) Немският математик Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) откри 16 разширението на числото \\ (\\ pi \\) през 1673 г., като цяло той може да бъде записан в следната безкрайна серия:

\\ [\\ pi \u003d 1 - 4 (\\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) - \\ frac (1) (11) + \\ cdots)]

Поредицата се получава чрез заместване на x \u003d 1 в \\ (arctan x \u003d x - \\ frac (x ^ 3) (3) + \\ frac (x ^ 5) (5) - \\ frac (x ^ 7) (7) + \\ frac (x ^ 9) (9) - \\ cdots \\)

Леонард Ойлер развива идеята на Лейбниц в своите творби за използването на серия за arctan x при изчисляване на числото \\ (\\ pi \\). В трактата „De variis modis cirli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (За различни методи за изразяване на квадратирането на окръжност с приблизителни числа), написан през 1738 г., се разглеждат методи за подобряване на изчисленията по формулата на Leibniz.

Ойлер пише, че серията за арктангент ще се сближи по-бързо, ако аргументът клони към нула. За \\ (x \u003d 1 \\) конвергенцията на сериите е много бавна: за да се изчисли с точност от 100 цифри, е необходимо да се добавят \\ (10 \u200b\u200b^ (50) \\) термини от поредицата. Можете да ускорите изчисленията, като намалите стойността на аргумента. Ако вземем \\ (x \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) \\), тогава получаваме серията

\\ [\\ frac (\\ pi) (6) \u003d artctg \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (3) (1 - \\ frac (1) (3 \\ cdot 3) + \\ frac (1) (5 \\ cdot 3 ^ 2) - \\ frac (1) (7 \\ cdot 3 ^ 3) + \\ cdots) \\]

Според Ойлер, ако вземем 210 членове от тази серия, тогава получаваме 100 правилни цифри. Получената серия е неудобна, защото е необходимо да се знае точната стойност на ирационалното число \\ (\\ sqrt (3) \\). Също така, в своите изчисления Ойлер използва разлагането на арктангентите в сумата от арктангентите на по-малки аргументи:

\\ [където x \u003d n + \\ frac (n ^ 2-1) (m-n), y \u003d m + p, z \u003d m + \\ frac (m ^ 2 + 1) (p) \\]

Не всички формули за изчисляване на \\ (\\ pi \\), които Ойлер използва в своите тетрадки, са публикувани. В публикувани статии и тетрадки той разгледа 3 различни серии за изчисляване на арктангента и също така даде много изявления относно броя на сумираните термини, необходими за получаване на приблизителна стойност \\ (\\ pi \\) с дадена точност.

В следващите години прецизирането на стойността на \\ (\\ pi \\) протичаше все по-бързо и по-бързо. Например през 1794 г. Георг Вега (1754-1802 г.) вече идентифицира 140 знака, от които само 136 са правилни.

Период на компютърни изчисления

20 век бе белязан от напълно нов етап в изчисляването на числото \\ (\\ pi \\). Индийският математик Шриниваса Рамануджан (1887-1920) откри много нови формули за \\ (\\ pi \\). През 1910 г. той получава формулата за изчисляване на \\ (\\ pi \\) чрез разширяване на серията на Тейлър на арктангента:

\\ [\\ pi \u003d \\ frac (9801) (2 \\ sqrt (2) \\ sum \\ limit_ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((1103 + 26390k) \\ cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

За k \u003d 100 се постига точност от 600 правилни цифри от \\ (\\ pi \\).

Появата на компютър направи възможно значително увеличаване на точността на получените стойности за по-кратко време. През 1949 г., само за 70 часа, с помощта на ENIAC група учени, ръководени от Джон фон Нойман (1903-1957), получават 2037 десетични знака \\ (\\ pi \\). Дейвид и Григорий Чудновски през 1987 г. получиха формула, с която успяха да поставят няколко рекорда при изчисляването на \\ (\\ pi \\):

\\ [\\ frac (1) (\\ pi) \u003d \\ frac (1) (426880 \\ sqrt (10005)) \\ sum \\ limit_ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((6k)! (13591409 + 545140134k )) ((3k)! (K!) ^ 3 (-640320) ^ (3k)). \\]

Всеки термин от поредицата дава 14 цифри. През 1989 г. са получени 1011,196,691 цифри след десетичната запетая. Тази формула работи добре за изчисляване на \\ (\\ pi \\) на персонални компютри. В момента братята са професори в Политехническия институт на Нюйоркския университет.

Важно скорошно развитие беше откриването на формулата през 1997 г. от Саймън Плуф. Тя ви позволява да извлечете всяка шестнадесетична цифра от \\ (\\ pi \\), без да изчислявате предишните. Формулата се нарича „Формулата на Бейли-Борвен-Плуф“ след авторите на статията, където формулата е публикувана за първи път. Изглежда така:

\\ [\\ pi \u003d \\ sum \\ limit_ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (1) (16 ^ k) (\\ frac (4) (8k + 1) - \\ frac (2) (8k + 4 ) - \\ frac (1) (8k + 5) - \\ frac (1) (8k + 6)). \\]

През 2006 г. Саймън получи някои доста формули за изчисляване на \\ (\\ pi \\) с помощта на PSLQ. Например,

\\ [\\ frac (\\ pi) (24) \u003d \\ sum \\ limit_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (1) (n) (\\ frac (3) (q ^ n - 1) - \\ frac (4) (q ^ (2n) -1) + \\ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \\]

\\ [\\ frac (\\ pi ^ 3) (180) \u003d \\ sum \\ limit_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (1) (n ^ 3) (\\ frac (4) (q ^ (2n) - 1) - \\ frac (5) (q ^ (2n) -1) + \\ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \\]

където \\ (q \u003d e ^ (\\ pi) \\). През 2009 г. японските учени, използвайки суперкомпютъра T2K Tsukuba System, получиха числото \\ (\\ pi \\) с 2,576,980,377,524 десетични знака. Изчисленията отнеха 73 часа и 36 минути. Компютърът е оборудван с 640 четириядрени AMD Opteron процесори, които осигуряват производителност от 95 трилиона операции в секунда.

Следващото постижение в изчислителната техника \\ (\\ pi \\) принадлежи на френския програмист Фабрис Белард, който в края на 2009 г. постави рекорд на личния си компютър, работещ с Fedora 10, изчислявайки 2 699 999 990 000 десетични знака \\ (\\ pi \\). През последните 14 години това е първият световен рекорд, поставен без използване на суперкомпютър. За висока ефективност Фабрис използва формулата на братя Чудновски. Общо изчислението отне 131 дни (103 дни за изчисления и 13 дни за проверка на резултата). Постижението на Белард показва, че за такива изчисления не е необходим суперкомпютър.

Само шест месеца по-късно рекордът на Франсоа беше разбит от инженерите Александър Йе и певецът Кондо. За да се постави рекорд от 5 трилиона десетични знака \\ (\\ pi \\), се използва и персонален компютър, но с по-впечатляващи характеристики: два процесора Intel Xeon X5680 на 3.33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB дискова памет и операционна система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. За изчисленията Александър и Сингър използваха формулата на братята Чудновски. Процесът на изчисление отне 90 дни и 22 TB дисково пространство. През 2011 г. те поставят друг рекорд, изчислявайки 10 трилиона десетични знака за \\ (\\ pi \\). Изчисленията се провеждаха на същия компютър, на който беше поставен предишният им рекорд и отнеха общо 371 дни. В края на 2013 г. Александър и Сингър подобриха рекорда до 12,1 трилиона цифри \\ (\\ pi \\), което им отне само 94 дни за изчисляване. Това подобрение на производителността се постига чрез оптимизиране на производителността на софтуера, увеличаване на броя на процесорните ядра и значително подобряване на устойчивостта на софтуера.

Настоящият запис е този на Александър Йе и Певец Кондо, което е 12.1 трилиона цифри след десетичната запетая \\ (\\ pi \\).

Така разгледахме методите за изчисляване на броя \\ (\\ pi \\), използвани в древността, аналитични методи, а също така прегледахме съвременните методи и записи за изчисляване на числото \\ (\\ pi \\) на компютрите.

Списък на източниците

Жуков А.В. Вездесъщият номер Пи - М .: Издателство ЛКИ, 2007 - 216 с.
Ф. Рудио. Относно очертаването на кръга с приложението на историята на изданието, съставено от Ф. Рудио / Rudio F. - M .: ONTI NKTP СССР, 1936 .-- 235c.
Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Спрингер, 2001 .-- 270стр.
Шухман, Е.В. Приблизително изчисление на пи с помощта на серия за арктан х в публикувани и непубликувани творби на Леонард Ойлер / Е.В. Shukhman. - История на науката и технологиите, 2008 - №4. - С. 2-17.
Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi / Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - том 9 - 222-236стр.
Шумихин, С. Номер Пи. История дълга 4000 години / С. Шумихин, А. Шумихин. - М .: Ексмо, 2011 .-- 192с.
Borwein, J.M. Рамануджан и Пи. / Borwein, J.M., Borwein P.B. В света на науката. 1988 - №4. - С. 58-66.
Алекс Йе. Светът на числата. Режим на достъп: numberworld.org

Хареса?

Казвам