Закон коши распределения случайных величин. Распределение коши

Казалось бы, распределение Коши выглядит очень привлекательно для описания и моделирования случайных величин . Однако в действительности это не так. Свойства распределения Коши резко отличны от свойств распределения Гаусса , Лапласа и других экспоненциальных распределений.

Дело в том, что распределение Коши близко к предельно пологому. Напомним, что распределение называется предельно пологим, если при х -> +оо его плотность вероятности

Для распределения Коши не существует даже первого начального момента распределения , то есть математического ожидания , так как определяющий его интеграл расходится. При этом распределение имеет и медиану и моду, которые равны параметру а.

Разумеется, дисперсия этого распределения (второй центральный момент) также равна бесконечности. На практике это означает, что оценка дисперсии по выборке из распределения Коши будет неограниченно возрастать с увеличением объема данных.

Из вышесказанного следует, что аппроксимация распределением Коши случайных процессов , которые характеризуются конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией, неправомерна.

Итак, мы получили симметричное распределение, зависящее от трех параметров, с помощью которого можно описывать выборки случайных величин, в том числе с пологими спадами. Однако, это распределение обладает недостатками, которые были рассмотрены при обсуждении распределения Коши, а именно, математическое ожидание существует только при а > 1, дисперсия конечна только при ОС > 2, и вообще, конечный момент распределения к-го порядка существует при а > k.

На рисунке 14.1 использовано 8 000 выборок из известного распределения Коши, которое имеет бесконечное среднее и дисперсию. Распределение Коши более подробно описывается ниже. Используемый здесь ряд был "нормализован" путем вычитания среднего и деления на выборочное стандартное отклонение . Таким образом, все единицы выражены в стандартных отклонениях . Для сравнения мы используем 8 000 гауссовых случайных переменных , которые были нормализованы аналогичным образом. Важно понять, что два последующих шага всегда будут заканчиваться в среднем 0 и стандартном отклонении 1, потому что они были нормализованы к этим значениям. Конвергенция означает, что временной ряд быстро идет к устойчивому значению.

Эти два известных распределения, распределение Коши и нормальное распределение , имеют много применений. Они также являются единственными двумя членами семейства устойчивых распределений , для которых могут быть явно выведены функции плотности вероятностей . Во всех других дробных случаях они должны быть оценены, обычно посредством численных средств. Мы обсудим один из этих методов в одном из последующих разделов этой главы.

В Главе 14 мы исследовали последовательное стандартное отклонение и среднее значение американской фондовой биржи и сравнили его с временным рядом , полученным из распределения Коши. Мы сделали это, чтобы увидеть влияние бесконечных дисперсии и среднего на временной ряд. Последовательное стандартное отклонение - стандартное отклонение временного ряда , когда мы за раз прибавляем

Сделайте первое приближение Z к u(o,F), взяв взвешенное среднее значение F квантилей распределений Коши и гауссовых распределений.

Таблица А3.2 преобразовывает результаты Таблицы А3.1 в квантили. Чтобы узнать, какое значение F объясняет 99 процентов наблюдений для а= 1,0, опуститесь по столбцу F влево к 0,99 и поперек к значению и=31,82. Распределение Коши требует наблюдений 31,82 значений с от среднего, чтобы охватить 99 процентов вероятности. Напротив, нормальный случай достигает 99-процентного уровня при и=3,29. Это отличается от стандартного нормального случая, который составляет 2,326 стандартных отклонений , а не 3,29 единиц с.

Р(> (птг)1/2Г(п/2) п При п = 1 соответствующее распределение называют распределением Коши.

Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным . В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, Е(Х) зависит от t.

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины Х, . .., Х взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Коша два или более факторов, например трудовые и материальные активы, участвуют в процессе производства товаров и оказании услуг, а также в последующем формировании денежных поступлений, логичное распределение последних по факторам представляется в целом невозможным. Предполагалось приводить в соответствие активам, которые могли быть использованы, чистые предельные поступления, но сумма частных предельных поступлений может оказаться выше совокупных чистых поступлений от реализации продукции и оказания услуг.

Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности , частными случаями которой были нормальные распределения , так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы . Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала , что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны.

На рисунке 14.2(а) показано последовательное стандартное отклонение для тех ке двух рядов. Последовательное стандартное отклонение , подобно последовательному реднему, является вычислением стандартного отклонения , по мере того как по одному добавляются наблюдения. В этом случае разница еще более поразительна. Случайный эяд быстро сходится к стандартному отклонению 1. Распределение Коши, напротив, никогда не сходится. Вместо этого оно характеризуется несколькими большими прерывистыми скачками и большими отклонениями от нормализованного значения 1.

Это логарифм характеристической функции для распределения Коши, которое, как известно, имеет бесконечную дисперсию и среднее. В этом случае 8 становится медианой распределения, а с - семи-интерквартильным размахом.

Холт и Кроу (Holt and row, 1973) нашли функцию плотности вероятностей для а = 0,25 - 2,00 и Р равного от -1,00 до +1,00, оба в приращениях 0,25. Используемая ими методология интерполировала между известными распределениями, типа распределений Коши и нормальных распределений , и интегрального представления из работы Золотарева (Zolotarev, 1964/1966). Таблицы, подготовленные для бывшего

Как мы говорили в Главе 14, явные выражения для устойчивых распределений существуют только для частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Однако Бергстром (Bergstrom, 1952) разработал разложение в ряд, которое Фамэ и Ролл использовали для приближения плотностей для многих значений альфы. Когда a > 1.0, они могли использовать результаты Бергстрома для выведения следующего сходящегося ряда

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Распределение Коши

Плотность вероятности Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Обозначение	$\mathrm{C}(x_0,\gamma)$
Параметры	$x_0$ - коэффициент сдвига $\gamma > 0$ - коэффициент масштаба
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)$
Плотность вероятности	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left}$
Функция распределения	$\frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
Математическое ожидание	не существует
Медиана	$x_0$
Мода	$x_0$
Дисперсия	$+\infty$
Коэффициент асимметрии	не существует
Коэффициент эксцесса	не существует
Дифференциальная энтропия	$\ln(4\,\pi\,\gamma)$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,$

Определение

Пусть распределение случайной величины

X

задаётся плотностью

f_X(x)

, имеющей вид:

$f_X(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]$ ,

$x_0 \in \mathbb{R}$ - параметр сдвига;
$\gamma > 0$ - параметр масштаба.

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Коши и пишут $X \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma)$ . Если $x_0 = 0$ и $\gamma = 1$ , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

F^{-1}_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования .

Моменты

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx

не определён для $\alpha \geqslant 1$ , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: $\lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]\, dx = x_0$ ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

Распределение Коши бесконечно делимо .
Распределение Коши устойчиво . В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если $X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm{C}(0,1)$ , то

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)

Связь с другими распределениями

Если $U \sim U$ , то

x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma)

Если $X_1,X_2$ - независимые нормальные случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,2$ , то

\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1)

Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента :

\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1)

Появление в практических задачах

Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (т.е. направление прямой изотропно на плоскости).
В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

	п Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| Биномиальное \| Геометрическое \| Гипергеометрическое \| Логарифмическое \| Отрицательное биномиальное \| Пуассона \| Дискретное равномерное	Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Гиперэкспоненциальное \| Распределение Гомпертца \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| Логнормальное \| Нормальное (Гаусса) \| Логистическое \| Накагами \| Парето \| Пирсона \| \| Экспоненциальное \| Variance-gamma	Многомерное нормальное \| Копула

Напишите отзыв о статье "Распределение Коши"

Отрывок, характеризующий Распределение Коши

Ростов дал шпоры лошади, окликнул унтер офицера Федченку и еще двух гусар, приказал им ехать за собою и рысью поехал под гору по направлению к продолжавшимся крикам. Ростову и жутко и весело было ехать одному с тремя гусарами туда, в эту таинственную и опасную туманную даль, где никто не был прежде его. Багратион закричал ему с горы, чтобы он не ездил дальше ручья, но Ростов сделал вид, как будто не слыхал его слов, и, не останавливаясь, ехал дальше и дальше, беспрестанно обманываясь, принимая кусты за деревья и рытвины за людей и беспрестанно объясняя свои обманы. Спустившись рысью под гору, он уже не видал ни наших, ни неприятельских огней, но громче, яснее слышал крики французов. В лощине он увидал перед собой что то вроде реки, но когда он доехал до нее, он узнал проезженную дорогу. Выехав на дорогу, он придержал лошадь в нерешительности: ехать по ней, или пересечь ее и ехать по черному полю в гору. Ехать по светлевшей в тумане дороге было безопаснее, потому что скорее можно было рассмотреть людей. «Пошел за мной», проговорил он, пересек дорогу и стал подниматься галопом на гору, к тому месту, где с вечера стоял французский пикет.
– Ваше благородие, вот он! – проговорил сзади один из гусар.
И не успел еще Ростов разглядеть что то, вдруг зачерневшееся в тумане, как блеснул огонек, щелкнул выстрел, и пуля, как будто жалуясь на что то, зажужжала высоко в тумане и вылетела из слуха. Другое ружье не выстрелило, но блеснул огонек на полке. Ростов повернул лошадь и галопом поехал назад. Еще раздались в разных промежутках четыре выстрела, и на разные тоны запели пули где то в тумане. Ростов придержал лошадь, повеселевшую так же, как он, от выстрелов, и поехал шагом. «Ну ка еще, ну ка еще!» говорил в его душе какой то веселый голос. Но выстрелов больше не было.
Только подъезжая к Багратиону, Ростов опять пустил свою лошадь в галоп и, держа руку у козырька, подъехал к нему.
Долгоруков всё настаивал на своем мнении, что французы отступили и только для того, чтобы обмануть нас, разложили огни.
– Что же это доказывает? – говорил он в то время, как Ростов подъехал к ним. – Они могли отступить и оставить пикеты.
– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l"empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей случайной величины Х, имеющее плотность

где - ∞ < μ < ∞ и λ>0 - параметры. Коши распределение унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся модой и медианой этого распределения [на рисунке а и б изображены графики плотности р(х; λ, μ) и соответствующей функции распределения F (х; λ, μ) при μ =1,5 и λ = 1]. Математическое ожидание Коши распределения не существует. Характеристическая функция Коши распределения равна e iμt - λ|t| , - ∞ < t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Если независимые случайные величины Х 1 ,...,Х n имеют одно и то же Коши распределение, то их арифметическое среднее (Х 1 + ... + X n)/n для любого n = 1,2, ... имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Пуассоном (1830). Коши распределение является устойчивым распределением. Отношение X/Y независимых случайных величин Х и Y со стандартным нормальным распределением имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Распределение тангенса tg Z случайной величины Z, с равномерным распределением на отрезке [-π/2, π/2], также имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Коши распределение рассматривалось О. Коши (1853).

Физическая энциклопедия

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение вероятностей с плотностью

и ф-цией распределения

Параметр сдвига, >0 - параметр масштаба. Рассмотрено в 1853 О. Коши. Характеристическая функция К. р. равна ехр ; моменты порядка р 1 не существуют, поэтому больших чисел закон для К. р. не выполняется [если X 1 ..., Х n - независимые случайные величины с одинаковым К. р., то n -1 ( Х 1 + ... + Х n ) имеет то же К. р.]. Семейство К. р. замкнуто относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет распределение (*), то аХ+b также имеет К. р. с параметрами , . К. р.- устойчивое распределение с показателем 1, симметричное относительно точки х= . К. р. имеет, напр., отношение X/Y независимых нормально распределённых случайных величин с нулевыми средними, а также ф-ция , где случайная величина Z равномерно распределена на . Рассматривают также многомерные аналоги К. р.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., , т. 2, М., 1984.

- поверхность, являющаяся границей области причинной предсказуемости физ. явлений в будущем по нач. данным, заданным на нек-рой пространственноподобной трёхмерной поверхности...
Физическая энциклопедия
- задача о нахождении решения дифференц. ур-ния, удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823-24 О. Коши...
Физическая энциклопедия
- интегральная ф-ла, выражающая значение аналитической функции f в точке, лежащей внутри замкнутого контура, не содержащего внутри себя особенностей f , через её значения на этом контуре: ...
Физическая энциклопедия
- ...
Этнографические термины
- см. Частота распределения...
Медицинские термины
- Огюстен Луи, барон, французский математик, создатель комплексного анализа. Развивая идеи ЭЙЛЕРА, формализовал многие понятия математического ИСЧИСЛЕНИЯ...
Научно-технический энциклопедический словарь
- знаменитый французский математик. Первым его учителем и воспитателем был его отец - страстный латинист и ревностный католик. 13-ти лет Огюстен К. был определен в центральную школу...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- Огюстен Луи, французский математик, член Парижской АН. Окончил Политехническую школу и Школу мостов и дорог в Париже. В 1810-13 работал инженером в г. Шербур...
- одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые систематически изучавшаяся О. Коши. Заключается в нахождении решения u ...
Большая Советская энциклопедия
- интеграл вида...
Большая Советская энциклопедия
- неравенство для конечных сумм, имеющее вид: ...
Большая Советская энциклопедия
- специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью p = 0...
Большая Советская энциклопедия
- Огюстен Луи, французский математик. Один из основоположников теории функций. Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел, геометрии...
Современная энциклопедия
- РИМАНА УРАВНЕНИЯ - дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции комплексного переменного...
- одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего т. н. начальным условиям...
Большой энциклопедический словарь
- сущ., кол-во синонимов: 1 обувь...
Словарь синонимов

"КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах

Распределение

Из книги Воспоминания и размышления о давно прошедшем автора Болибрух Андрей Андреевич

Распределение Еще задолго до окончания аспирантуры я определился с выбором будущей профессии, решив стать преподавателем математики в ВУЗе. Я совершенно сознательно не хотел идти работать в какое-либо НИИ, руководствуясь при этом следующими двумя

37. Коши и чакры

Из книги Пранаяма. Путь к тайнам йоги автора Лисбет Андрэ ван

37. Коши и чакры Чтобы глубоко понять значение пранаямы во всех ее измерениях, которое далеко выходит за сугубо физиологические рамки, необходимо знать фундаментальные принципы индийской философии. Однако смею заверить западных читателей, что здесь они не встретятся с

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ

Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр Александрович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана

Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их

Коши

Из книги Энциклопедический словарь (К) автора Брокгауз Ф. А.

автора БСЭ

Коши распределение

БСЭ

Коши теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (КО) автора БСЭ

Огюстен Коши

автора Дуран Антонио

Огюстен Коши В первой половине XIX века был окончательно сформирован четкий фундамент анализа бесконечно малых. Решение этой задачи начал Коши, а завершил Вейерштрасс. Значимый вклад также внес Бернард Больцано своими работами о непрерывных функциях, которые выходят за

Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики

Из книги Истина в пределе [Анализ бесконечно малых] автора Дуран Антонио

Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики Следует рассказать и об эстетическом начале, поскольку, вопреки мнению многих, эстетика не только не чужда математике, но и составляет ее значимую часть.Название этой главы - «Укрощенные бесконечно малые» - указывает, что