Все о логарифмических неравенствах. Разбор примеров
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.
Задача. Решите неравенство:
Для начала выпишем ОДЗ логарифма:
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
x
2 + 1 ≠ 1;
x
2 ≠ 0;
x
≠ 0.
Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:
Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:
(10 − (x
2 + 1)) · (x
2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x
2) · x
2 < 0;
(3 − x
) · (3 + x
) · x
2 < 0.
Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:
Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.
Преобразование логарифмических неравенств
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:
- Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
- Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
- Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
- Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
- Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Задача. Решите неравенство:
Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:
3x
− 2 = 0;
x
= 2/3.
Затем - нули знаменателя:
x
− 1 = 0;
x
= 1.
Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:
Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
log 2 (x
− 1) 2 < 2;
log 2 (x
− 1) 2 < log 2 2 2 .
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
(f
(x
) − g
(x
)) · (k
(x
) − 1) < 0;
((x
− 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x
2 − 2x
+ 1 − 4 < 0;
x
2 − 2x
− 3 < 0;
(x
− 3)(x
+ 1) < 0;
x
∈ (−1; 3).
Получили два множества:
- ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).
Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе. В презентации представлены решения заданий С3 ЕГЭ - 2014 по математике.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы учитель математики МБОУ СОШ № 143 Князькина Т. В.
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) · (k (x) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ логарифма! Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f (x) > 0; g (x) > 0; k (x) > 0; k (x) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.
Решите неравенство: Решение Для начала выпишем ОДЗ логарифма Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Теперь решаем основное неравенство: Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше».
Имеем: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Преобразование логарифмических неравенств Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. А именно: Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом. Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Решите неравенство: Решение Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма: Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Затем - нули знаменателя: x − 1 = 0; x = 1. Отмечаем нули и знаки на координатной прямой:
Получаем x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка: Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их: log 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) · (k (x) − 1)
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) -все точки выколоты. Ответ: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Решение заданий ЕГЭ-2014 типа С3
Решите систему неравенств Решение. ОДЗ: 1) 2)
Решите систему неравенств 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − (продолжение)
Решите систему неравенств 4) Общее решение: и -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 (продолжение)
Решите неравенство (продолжение) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4
Решите неравенство Решение. ОДЗ:
Решите неравенство (продолжение)
Решите неравенство Решение. ОДЗ: -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2
С ними находятся внутри логарифмов.
Примеры:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 {(x^2-3)}< \log_3{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2{(x+1)}+10≤11 \lg{(x+1)}\)
Как решать логарифмические неравенства:
Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).
Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.
\(\log_2{(8-x)}<1\) Решение: |
\(\log\)\(_{0,5}\)
\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)
\({(x+1)}\) Решение: |
Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:
Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)
\(>0\) |
|
\(\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Раскрываем скобки, приводим . |
\(\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
\(\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\) |
Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\)
и \(\frac{3}{2}\)
. Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль. |
|
Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. |
|
Записываем окончательный ответ. |
Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(x>0\) |
Приступим к решению. |
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем . |
\(t=\log_3x\) |
Раскладываем левую часть неравенства на . |
\(D=1+8=9\) |
|
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену. |
|
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Преобразовываем \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac{1}{3}\). |
\(\left[ \begin{gathered} \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется. |
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке. |
|
Запишем ответ. |
Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке .
А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?
Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:
$$\log_{2x} x^2 > \log_{2x} x.$$
Как положено, начнем с ОДЗ.
ОДЗ
$$\left[ \begin{array}{l}x>0,\\ 2x ≠ 1. \end{array}\right.$$
Решение неравенства
Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы - меняется.
Запишем это в виде системы:
$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x>1,\\ x^2 > x; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.
$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).
Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств $$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` - это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно - так запомнится лучше).
Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Метод интервалов даст следующую картину:
(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.
Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием
$$\log_{2-x} 3 \leqslant \log_{2-x} x.$$
ОДЗ
$$\left\{\begin{array}{l}2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x < 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$
Решение неравенства
По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.
Третий пример. Логарифм от дроби
$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant -1.$$
ОДЗ
$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x+5}{6-5x}>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end{array} \right.$$
Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:
Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.
Решение неравенства
Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.
$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant \log_x x^{-1}.$$
С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:
$$(x-1)\left(\frac{4x+5}{6-5x} -\frac{1}{x}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{4x^2+5x - 6+5x}{x(6-5x)}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x - 3}{x(6-5x)}\right)\leqslant0.$$