Теорема о рациональных корнях многочлена. Рациональные числа, определение, примеры

И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.

Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.

Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .

Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака:

и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ) :

Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению.

Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре .

Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:

И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)

А теперь немного о

графическом методе решения

Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции с графиком линейной функции (осью абсцисс) :

Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :

При этом, пожалуйста, не путайте два понятия : уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение , алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул . И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора , то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!

А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму :

, значит, уравнение имеет два различных действительных корня:

Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:

Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу , выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще) . Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты их точек пересечения, как на ладони!


Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.

Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.

И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!

И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .

Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два») :

НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: .

Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!

Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :


после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:

Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел ) .

И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс) :

или, если короче:

А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .

Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !

Разминаемся:

Задание 1

Решить графически следующие тригонометрические уравнения:

Ответы в конце урока

Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.

Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и . С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)

Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:

Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .

Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера

А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало статьи:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми , в том числе нулевыми коэффициентами :
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:

Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть) , при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка) , и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Решение : поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны или все неположительны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Или «зеркально»: коэффициенты при нечётных степенях неположительны, и при всёх чётных – положительны.

Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера) .

Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки» . Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные) .

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:


К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x ) , где Q (x ) − многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2) . Для поиска вида многочлена Q (x ) воспользуемся так называемой схемой Горнера . Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

Во вторую клетку нижней строки «сносится» число из клетки над ней, то есть 1. Затем поступают так. Корень уравнения (число 2) умножают на последнее написанное число (1) и складывают результат с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, в нашем примере имеем:

Иррациона́льное число́ - это вещественное число , которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби , где - целые числа , . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби , при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно , является множеством второй категории .

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число , а - натуральное число . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
• Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y .
• Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
• b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.

При этом можно довольно быстро "натолкнуться" на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа невозможно, так как их бесконечно много.

Другое дело, если бы нам удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных чисел. А для тридцати чисел можно и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.

Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1.

В самом деле, если f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, где an, an-1,...,a1, a0 - целые числа, то f (l/m) =0, т.е аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Умножим обе части этого равенства на mn. Получим anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Отсюда следует:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m.

Доказанная тема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Продемонстрируем это на конкретном примере. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a0=8, а m - делитель старшего коэффициента a4=6. при этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ±1, ±2, ±4, ±8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби.

Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. Но опять-таки придется сделать довольно много проверок. А вот следующая теорема упрощает эту работу.

Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km?0.

Для доказательства этой теоремы разделим f (x) на x-k с остатком. Получим f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Так как f (x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s (x), а f (k) - целое число. Пусть s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тогда f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Положим в этом равенстве x=l/m. Учитывая, что f (l/m) =0, получаем

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0).

Умножим обе части последнего равенства на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Отсюда следует, что целое число mnf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mn и l-km тоже взаимно просты, а значит, f (k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся теперь к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков рациональных корней. Применим указанную теорему при k=1 и k=-1, т.е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x), то f (1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко находим, что в нашем случае f (1) =-5, а f (-1) =-15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ±1.

Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь lm=- (1/2) = (-1) /2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь - 1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера:

Таблица 10

Получили, что остаток при делении g (x) на x-2/3 равен - 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).

Далее легко находим, что - 2/3 - корень многочлена g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогда f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x2+2x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются.

Итак, многочлен f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3.

Напомним, что описанный выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±v5 (это корни многочлена х2+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

Теперь дадим несколько советов.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f (x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=±1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f (1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f (1) =0, т.е.1 - корень, а тогда f (1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f (x) на x-1, т.е. получить f (x) = (x-1) s (x), и проводить испытания для многочлена s (x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f (x) - x1=1 - мы уже нашли. Если при проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f (x) = (x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s (x), что сокращает вычисления.

Таким образом, мы научились находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты - целые числа. Докажем, например, что sin100 - число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3?=3sin?-4sin3?. Отсюда sin300=3sin100-4sin3100. Учитывая, что sin300=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin3100-6sin100+1=0. Следовательно, sin100 является корнем многочлена f (x) =8x3-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin100 не является рациональным числом, т.е. sin100 - число иррациональное.

Многочленом от переменной х называется выражение вида: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, где n - натуральное число; аn, an-1, . . . , a 1, a 0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 х, a 0 называются членами многочлена, а 0 - свободным членом. an - коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т. д. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым. например, многочлен 0 х2+0 х+0 - нулевой. Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов πολι - много и νομχ - член.

Многочлен от одной переменной х обозначается: . f (x), g (x), h (x) и т. д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =x 4+2 x 3+ (-3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Многочлен h(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x), если он делит f(x), g(x) и каждый их общий делитель. 2. Многочлен f(x) с коэффициентами из поля Р степени п называется приводимым над полем Р, если существуют многочлены h(x), g(x) Î P[x] степени меньшей п такие, что f(x) = h(x)g(x).

Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и an≠ 0, то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут ст. f (x) =n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена. Например, если f (x) =5 x 4 -2 x+3, то ст. f (x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5 х4. Степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля. Многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля. , нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при которой равен нулю.

Равенство многочленов. Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (равны их соответствующие коэффициенты). f (x) =g (x). Например, многочлены f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 и g(x) =2 x 23 x+1 не равны, у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно принятым условностям мы можем записать: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. В этом случае: f (x) ≠g (x). Не равны и многочлены: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, так как у них коэффициенты при х различны.

А вот многочлены f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 и g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 равны тогда и только тогда, когда а=3, а b= -2. Пусть даны многочлен f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и некоторое число с. Число f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 называется значением многочлена f (x) при х=с. Таким образом, чтобы найти f (c), в многочлен вместо х нужно подставить с и провести необходимые вычисления. Например, если f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, то f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Число с называется корнем многочлена f (x), если f (c) =0.

Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f (x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f (x) - нулевой)" и "значение многочлена f (x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f (x) =x 2 -1 не равен нулю, у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. f (x) ≠ 0, а f (1) =0. Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f (c) = g (c) для каждого числа с.

Операции над многочленами Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Пусть даны два многочлена f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, и g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Ясно, что ст. f(x)=n, а ст. g (x) =m. Если перемножить эти два многочлена, получится многочлен вида f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Так как an≠ 0 и bn≠ 0, то anbm≠ 0, а значит, ст. (f(x)g(x))=m+n. Отсюда следует важное утверждение.

Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x). Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей. Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей. Степени многочленов f (x), g (x) и f (x) ±g (x) связаны следующим соотношением: ст. (f (x) ±g (x)) ≤ max {ст. f (x), ст. g (x)}.

Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется. многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x). Например, если f(x)=x 2+2 x-1 и g(x) =2 x+3, то f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2+2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+3=2 x 2+4 x+1. Видно, что f (g (x)) ≠g (f (x)), т. е. суперпозиция многочленов f (x), g (x) и суперпозиция многочленов g (x), f (x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.

, Алгоритм деления с остатком Для любых f(x), g(x) существуют q(x) (частное) и r(x) (остаток), такие, что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x)

Делители многочлена Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x)=g(x)q(x). Наибольший общий делитель двух многочленов Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x) Тогда - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

Сократить дробь Решение: Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 – х2 – 3 х – 2 2) х3 + 7 х2 + 14 х + 8 х3 + 3 х2 + 2 х – х2 – 3 х – 2 –х– 4 4 х2 + 12 х + 8 0 Следовательно, многочлен (– х2 – 3 х – 2) является НОД числителя и знаменателя данной дроби. Результат деления знаменателя на этот многочлен известен.

Найдем результат деления числителя. x 3 + 6 х2 + 11 х + 6 – х2 – 3 х – 2 х3 + 3 х2 + 2 х –х– 3 3 х2 + 9 х + 6 0 Таким образом, Ответ:

Схема Горнера Разделить с остатком многочлен f(x) на ненулевой многочлен g(x) - это значит представить f(x) в виде f(x)=g(x) s(x)+r(x), где s(x) и r(x) -многочлены и либо r(x)=0, либо ст. r(x)

Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0. Напомним, что требуется найти неполное частное, т. е. его коэффициенты, и остаток. Выразим их из полученных равенств: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Мы нашли формулы, по которым можно вычислять коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.

Таблица 1. Коэффициенты f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коэффициенты s (x) остаток В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c. Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент bn-1, который, как мы установили, равен an.

Коэффициент, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т. е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой. Разделим, например, многочлен f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера. При заполнении первой строки этой схемы нельзя забывать о нулевых коэффициентах многочлена. Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x).

Итак, выполняем деление по схеме Горнера: Таблица 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Получим неполное частное s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 и остаток r=33. заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33. Разделим теперь тот же многочлен f (x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим: Таблица 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В результате имеем f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) +21.

Корни многочленов Пусть с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x). Тогда f (x) делится на х-с1, т. е. f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Положим в этом равенстве х=с2. Получим f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) и, так f (c 2) =0, то (с2 -с1) s 1 (c 2) =0. Но с2≠с1, т. е. с2 -с1≠ 0, а значит, s 1 (c 2) =0. Таким образом, с2 - корень многочлена s 1 (x). Отсюда следует, что s 1 (x) делится на х-с2, т. е. s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Подставим полученное выражение для s 1 (x) в равенство f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Имеем f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Положив в последнем равенстве х=с3 с учетом того, что f (c 3) =0, с3≠с1, с3≠с2, получим, что с3 - корень многочлена s 2 (x). Значит, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), а тогда f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) и т. д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с4, с5, …, сm, мы, наконец, получим f (x) = (x-c 1) (x-c 2) … (х-сm) sm (x), т. е. доказано формулируемое ниже утверждение.

Если с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x). Отсюда вытекает важное следствие. Если с1, с2, …, сm- различные корни многочлена f(x), то f(x) делится на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm). Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень. Действительно, если f(x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f(x) ≥ 0. Пусть теперь f(x) имеет m корней с1, с2, …, сm, причем все они различны. Тогда, по только что доказанному f (x) делится на (х-с1) (х -с2)…(х-сm). В таком случае ст. f(x)≥ст. ((х-с1) (х-с2)…(х-сm))= ст. (х-с1)+ст. (х-с2)+…+ст. (х-сm)=m, т. е. ст. f(x)≥m, а m - это число корней рассматриваемого многочлена. А вот у нулевого многочлена бесконечно много корней, ведь его значение для любого х равно 0. В частности, по этой причине ему и не предписывают никакой определенной степени. Из только что доказанной теоремы следует такое утверждение.

Если многочлен f (x) не является многочленом степени, большей, чем n, и имеет более, чем n корней, то f (x) - нулевой многочлен. В самом деле, из условий этого утверждения следует, что -либо f (x) - нулевой многочлен, либо ст. f (x) ≤n. Если предположить, что многочлен f (x) не нулевой, то ст. f (x) ≤n, и тогда f (x) имеет не более, чем n корней. Приходим к противоречию. Значит, f (x) - ненулевой многочлен. Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены степени, не большей, чем n. Если эти многочлены принимают одинаковые значения при n+1 значении переменной х, то f (x) =g (x).

Для доказательства рассмотрим многочлен h (x) =f (x) - g (x). Ясно, что - либо h (x) =0, либо ст. h (x) ≤n, т. е. h (x) не является многочленом степени, большей, чем n. Пусть теперь число с такое, что f (c) =g (c). Тогда h (c) = f (c) - g (c) =0, т. е. с - корень многочлена h (x). Следовательно, многочлен h (x) имеет n+1 корень, а когда, как только что доказано, h (x) =0, т. е. f (x) =g (x). Если же f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при всех значениях переменной х, то эти многочлены равны

Кратные корни многочлена Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т. е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко. Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х -с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

Если многочлен f(x) представим в виде f(x)=(x-c)mg(x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g(x) делится на х-с. В самом деле, если g(x) делится на х-с, т. е. g(x)=(x-c)s(x), то f(x)=(x-c) m+1 s(x), а значит, f(x) делится на (х-с) m+1. Обратно, если f(x)делится на (х-с) m+1, то f(x)=(x-c) m+1 s(x). Тогда (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) и после сокращения на (х-с)m получим g(x)=(x-c)s(x). Отсюда следует, что g(x) делится на х-с.

Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем: Таблица 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Как видим, остаток при делении f(x) на х-2 равен 0, т. е. делится на х-2. Значит, 2 -корень этого многочлена. Кроме того, мы получили, что f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Теперь выясним, является ли f(x) на (х-2) 2. Это зависит, как мы только что доказали, от делимости многочлена g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12 на х-2.

Снова воспользуемся схемой Горнера: Таблица 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Получили, что g(x) делится на х-2 и g(x)=(x-2)(x 3 -x 2 -5 x+6). Тогда f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Итак, f(x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f(x) на (x-2)3. Для этого проверим, делится ли h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 на х-2: Таблица 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Получим, что h(x) делится на х-2, а значит, f(x) делится на (х-2) 3, и f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Далее аналогично проверяем, делится ли f(x) на (х-2)4, т. е. делится ли s(x)=x 2+x-3 на х-2: Таблица 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Находим, что остаток при делении s(x) на х-2 равен 3, т. е. s(x) не делится на х-2. Значит, f(x) не делится на (х-2) 4. Таким образом, f(x) делится на (х-2)3, но не делится на (х-2)4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f(x).

Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид: Таблица 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т. д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3.

Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2? Так кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем: Таблица 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a а+4 а+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Рациональные корни многочлена Если несократимая дробь l/m (l, m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1. В самом деле, если f(x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, где an, an-1, . . . , a 1, a 0 - целые числа, то f(l/m) =0, т. е. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Умножим обе части этого равенства на mn. Получим anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Отсюда следует anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т. е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a 0=8, а m - делитель старшего коэффициента a 4=6. при этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби. Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. следующая теорема упрощает эту работу. Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km≠ 0.

Для доказательства этой теоремы разделим f(x) на x-k с остатком. Получим f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Так как f(x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s(x), а f(k) - целое число. Пусть s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тогда f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ …+b 1 x+b 0). Положим в этом равенстве 1 x=l/m. Учитывая, что f(l/m)=0, получаем f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+…+b 1(l/m)+b 0). Умножим обе части последнего равенства на mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Отсюда следует, что целое число mnf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mn и l-km тоже взаимно просты, а значит, f(k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков рациональных корней. Применим указанную теорему при k=1 и k=-1, т. е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f(x), то f(1)/(l-m), а f(-1)/(l+m). Легко находим, что в нашем случае f(1)=-5, а f(-1)= -15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ± 1. Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь lm=-(1/2)=(-1)/2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь -1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера: Таблица 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Видим, что 1/2 - корень многочлена f(x) и f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Ясно, что все другие корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, а значит, дальнейшую проверку "кандидатов" в корни можно проводить уже для этого многочлена. Находим: Таблица 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Получили, что остаток при делении g(x) на x-2/3 равен - 80/9, т. е. 2/3 не является корнем многочлена g(x), а значит, и f(x). Далее находим, что - 2/3 - корень многочлена g(x) и g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Тогда f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x 2+2 x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются. Итак, многочлен f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3. Этот метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±√ 5 (это корни многочлена х2+2 х-4). многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f(x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=± 1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f(1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f(1) =0, т. е. 1 - корень, а тогда f(1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f(x) на x-1, т. е. получить f(x)=(x-1)s(x), и проводить испытания для многочлена s(x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f(x)-x 1=1 - мы уже нашли. Если проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f(x)=(x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s(x), что сокращает вычисления.

Решение. Выполнив замену переменной y=2 x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4. Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля. То есть, y=-5 является корнем следовательно, является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена на двучлен

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен Следовательно,

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложени многочлена на множители Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители. К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля для коэффициентов бинома Ньютона. Пример. Разложить многочлен на множители.

Решение. Преобразуем выражение к виду: Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть Следовательно, Теперь применим формулу разности квадратов: Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов

Формулы Виета выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням. Формулировка Если -корни многочлена то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно

Иначе говоря ak равно сумме всех возможных произведений из k корней. Если старший коэффициент многочлена, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a 0. В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a 0 = 1 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем формулы Виета.

Решить уравнение x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Решение. Обозначим y = x 3, тогда исходное уравнение принимает вид y 2 – 5 y + 4 = 0, решив которое получаем Y 1 = 1; Y 2 = 4. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений: x 3 = 1 или x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 или X 2 = Ответ: 1;

Теорема Безу Определение 1. Элемент называется корнем многочлена, если f(c)=0. Теорема Безу. Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a. Доказательство. В силу алгоритма деления f(x)=(xc)q(x)+r(x), где или r(x)=0, или, и поэтому. Итак, f(x)=(x-c)q(x)+r, следовательно, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, и поэтому f(x)=(xc)q(x)+f(c).

Следствие 1: Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b равен значению этого полинома при x = -b/a, т. е. R=Pn (-b/a). Следствие 2: Если число a является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка. Следствие 3: Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 , … , an, то он делится на произведение (x-a 1) … (x-an) без остатка. Следствие 4: Многочлен степени n имеет не более n различных корней. Следствие 5: Для любого многочлена P(x) и числа a разность (P(x)-P(a)) делится без остатка на двучлен (x-a). Следствие 6: Число a является корнем многочлена P(x) степени не ниже первой тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x-a) без остатка.

Разложение рациональной дроби на простейшие Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Пусть дана правильная рациональная дробь (1).

Теорема 1. Пусть х=а есть корень знаменателя краткости k, т. е. , где f(a)≠ 0, тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: (2) , где А- постоянная не равная нулю, а F 1(x)- многочлен, степень которого ниже степени знаменателя