Теорема о пропорциональных линиях в круге следствия. Окружность

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теоремы о пропорциональных линиях

Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки

Теорема 111 . 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.

2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.

Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).

Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.

Доказательство . Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

На основании теоремы 100 имеет место пропорция:

на основании теоремы 101 пропорция:

AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)

Следствие . Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.

Доказательство . Из пропорции (1) следуют равенства:

AC 2 = AB · AD, CB 2 = AB · BD

откуда по разделении находим:

AC 2 /CB 2 = AD/DB.

Теорема 112 . Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.

Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).

Требуется доказать, что

т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой .

Доказательство . Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.

Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:

BE/DE = CE/AE (a)

Из пропорции (a) вытекает равенство:

BE · AE = DE · CE

показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема 113 . Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.

Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).

Требуется доказать, что

т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.

Доказательство . Соединим точки D с C, а B с E.

Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.

Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:

AC/AB = AD/AE (ЧТД).

Из этой же пропорции вытекает равенство

AC · AE = AB · AD

показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).

Теорема 114 . Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.

Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).

Требуется доказать, что

Доказательство . Соединим точку A с точками C и D.

Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.

BC/AB = AB/BD (ЧТД).

Из этой пропорции вытекает равенство:

AB 2 = BC · BD

показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть .

Свойство сторон вписанного четырехугольника

Теорема 115 . Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.

Доказательство . Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

BC/BD = EC/AD (a)

Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,

∠BEA = ∠BCD.

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

AB/BD = AE/CD (b)

Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

BC · AD = BD · EC
AB · CD = BD · AE

Сложив эти равенства, имеем:

BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)

Так как EC + AE = AC, то

BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).

Теорема 116 . Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)

Доказательство . а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.

Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:

AE · BD = AD · BE + AB · DE.

Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.

Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:

AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)

b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:

AC · DF = AF · CD + AD · CF

В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)

Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:

AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)

В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо

◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF

Разделяя равенства (a) и (b), находим:

BC/AD = (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

• Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
• Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
• Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение: