Градусная сеть и ее элементы. Градусная сеть и ее элементы Чему равна величина дуги 1 меридианы

Шарообразная форма Земли и суточное вращение определяют существование на земной поверхности двух неподвижных точек – полюсов . Через полюсы проходит воображаемая земная ось, вокруг которой вращается Земля.

На картах и глобусах проводят самую большую окружность – экватор, плоскость которого перпендикулярна земной оси. Экватор делит Землю на северное и южное полушария. Длина дуги 1° экватора 40075,7 км: 360° = 111,3км.

Параллельно плоскости экватора можно условно расположить множество плоскостей. При пересечении их с поверхностью земного шара образуются малые окружности – параллели . Они проводятся на глобусе или карте на определенном расстоянии от экватора и ориентированы с запада на восток. Длина окружностей параллелей равномерно уменьшается от экватора к полюсам. Напомним, что наибольшая она на экваторе, а на полюсах равна нулю.

Земной шар можно также пересечь воображаемыми плоскостями, проходящими через ось Земли перпендикулярно к плоскости экватора. При пересечении этих плоскостей с поверхностью Земли образуются большие окружности – меридианы . Меридианы можно провести через любые точки земного шара. Все они пересекаются в точках полюсов и ориентированы с севера на юг. Средняя длина дуги 1º меридиана 40008,5 км: 360° = 111 км. Направление местного меридиана в любом пункте можно определить в полдень по направлению тени от гномона или другого предмета. В северном полушарии конец тени от предмета показывает направление на север, в южном – на юг.

Для расчета расстояний на карте или глобусе можно использовать следующие величины: длина дуги 1º меридиана и 1º экватора, равная примерно 111 км.

Чтобы определить расстояние в километрах на карте или глобусе между двумя пунктами, расположенными на одном меридиане, число градусов между пунктами умножают на 111 км. Для определения расстояния в километрах между пунктами, лежащими на одной параллели, число градусов умножают на длину дуги 1° параллели, обозначенную на карте или определенную по таблицам.

Длина дуг параллелей и меридианов на эллипсоиде Красовского

Например, расстояние между Киевом и Санкт-Петербургом, расположенными примерно на меридиане 30°, составляет 111 км *9,5° = 1054 км; расстояние между Киевом и Харьковом (примерно параллель 50°) – 71 км*6° = 426 км.

Параллели и меридианы образуют градусную сеть . Наиболее точное представление о градусной сети можно получить по глобусу. На географических картах расположение параллелей и меридианов зависит от картографической проекции. Чтобы убедиться в этом, можно сравнить различные карты, например карты полушарий, материков, России, российских регионов и др.

Положение любой точки на земном шаре определяют при помощи географических координат: широты и долготы.

Географическая широта – расстояние вдоль меридиана в градусах от экватора до какой-либо точки земного шара. За начало отсчета широты принят экватор – нулевая параллель. Широта изменяется от 0° на экваторе до 90° на полюсе. К северу от экватора отсчитывают северную широту (с. ш.), к югу от экватора – южную (ю. ш.). На картах параллели надписывают на боковых рамках, а на глобусе – на 0° и 180° меридианах. Например, Харьков расположен на 50° параллели к северу от экватора – его географическая широта 50° с. ш.; острова Кермадек – в Тихом океане на 30° параллели к югу от экватора, их широта примерно 30° ю. ш.

Если на карте или глобусе пункт расположен между двумя обозначенными параллелями, то его географическую широту определяют дополнительно по расстоянию между этими параллелями. Например, чтобы вычислить широту Иркутска, расположенного на карте России между 50° и 60° с. ш., через пункт проводят прямую линию, соединяющую обе параллели. Затем ее условно делят на 10 равных частей – градусов, так как расстояние между параллелями 10°. Иркутск находится ближе к 50° параллели.

На практике географическую широту определяют по высоте Полярной звезды при помощи прибора секстанта, в школе для этой цели используют вертикальный угломер, пли эклиметр.

Географическая долгота – расстояние вдоль параллели в градусах от начального меридиана до какой-либо точки земного шара. За начало отсчета долготы принят гринвичский меридиан – нулевой, который проходит недалеко от Лондона (там, где расположена Гринвичская обсерватория). К востоку от нулевого меридиана до 180° отсчитывают восточную долготу (в. д.), к западу – западную (з. д.). На картах меридианы надписывают на экваторе или верхней и нижней рамках карты, а на глобусе – на экваторе. Меридианы, как и параллели, проводят через одинаковое число градусов. Например, Санкт-Петербург расположен на 30 меридиане к востоку от нулевого меридиана, его географическая долгота 30° в. д.; Мехико – на 100 меридиане к западу от нулевого меридиана, его долгота 100° з. д.

Если пункт расположен между двумя меридианами, то его долготу уточняют по расстоянию между ними. Например, Иркутск расположен между 100° и 110° в. д., но ближе к 100°. Через пункт проводят линию, соединяющую оба меридиана, ее условно делят на 10° и отсчитывают число градусов от 100° меридиана до Иркутска. Следовательно, географическая долгота Иркутска примерно 104°.

Географическую долготу на практике определяют по разнице во времени между данным пунктом и нулевым меридианом или другим известным меридианом. Географические координаты записывают в целых градусах и минутах с указанием широты и долготы. При этом 1º = 60 мин (60"), а0,1° = 6", 0,2°=12" и т. д.

Литература.

1. География / Под ред. П.П. Ващенко, Е.И. Шиповича. - 2-е изд., перераб и доп. - К. : Вища шк. Головное изд-во, 1986. - 503 с.

Длина дуги меридиана и параллели. Размеры рамок трапеций топографических карт

Херсон-2005

Длина дуги меридиана S M между точками с широтами B 1 и B 2 определяется из решения эллиптического интеграла вида:

(1.1)

который, как известно, не берется в элементарных функциях. Для решения этого интеграла применяют численное интегрирование. По формуле Симпсона имеем:

(1.2)

(1.3)

где B 1 и B 2 – широты концов дуги меридиана; М 1 , М 2 , Мср – значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами B 1 и B 2 и Bcp=(B 1 +B 2)/2 ; a – большая полуось эллипсоида, e 2 – первый эксцентриситет.

Длина дуги параллели S П есть длина части окружности, поэтому она получается непосредственно как произведение радиуса данной параллели r=NcosB на разность долгот l крайних точек искомой дуги, т.е.

где l=L 2 –L 1

Значение радиуса кривизны первого вертикала N вычисляется по формуле

(1.5)

Съемочная трапеция представляет собой часть поверхности эллипсоида, ограниченная меридианами и параллелями. Поэтому стороны трапеции равны длинам дуг меридианов и параллелей. Причем северная и южная рамки являются дугами параллелей a 1 и а 2 , а восточная и западная – дугами меридианов с , равными между собой. Диагональ трапеции d . Для получения конкретных размеров трапеции, необходимо упомянутые дуги разделить на знаменатель масштаба m и, для получения размеров в сантиметрах, умножить на 100. Таким образом, рабочие формулы имеют вид:

(1.6)

где m – знаменатель масштаба съемки; N 1 , N 2 , – радиусы кривизны первого вертикала в точках с широтами B 1 и B 2 ; M m – радиус кривизны меридиана в точке с широтой B m =(B 1 +B 2)/2; ΔB=(B 2 –B 1).

Задание и исходные данные

1) Вычислить длину дуги меридиана между двумя точками с широтами B 1 =30°00"00.000"" и B 2 = 35°00"12.345""+1"№ , где № – номер варианта.

2) Вычислить длину дуги параллели между точками, лежащими на этой параллели, с долготами L 1 = 0°00"00.000"" иL 2 = 0°45"00.123"" + 1""№ , где № – номер варианта. Широта параллели B=52°00"00.000""

3) Вычислить размеры рамок трапеции масштаба 1:100 000 для листа карты N-35-№, где № - номер трапеции, выдаваемый преподавателем.

Схема решения

Шарообразная форма Земли и суточное вращение определяют существование на земной поверхности двух неподвижных точек – полюсов . Через полюсы проходит воображаемая земная ось, вокруг которой вращается Земля.

На картах и глобусах проводят самую большую окружность – экватор, плоскость которого перпендикулярна земной оси. Экватор делит Землю на северное и южное полушария. Длина дуги 1° экватора 40075,7 км: 360° = 111,3км.

Параллельно плоскости экватора можно условно расположить множество плоскостей. При пересечении их с поверхностью земного шара образуются малые окружности – параллели . Они проводятся на глобусе или карте на определенном расстоянии от экватора и ориентированы с запада на восток. Длина окружностей параллелей равномерно уменьшается от экватора к полюсам. Напомним, что наибольшая она на экваторе, а на полюсах равна нулю.

Земной шар можно также пересечь воображаемыми плоскостями, проходящими через ось Земли перпендикулярно к плоскости экватора. При пересечении этих плоскостей с поверхностью Земли образуются большие окружности – меридианы . Меридианы можно провести через любые точки земного шара. Все они пересекаются в точках полюсов и ориентированы с севера на юг. Средняя длина дуги 1º меридиана 40008,5 км: 360° = 111 км. Направление местного меридиана в любом пункте можно определить в полдень по направлению тени от гномона или другого предмета. В северном полушарии конец тени от предмета показывает направление на север, в южном – на юг.

Для расчета расстояний на карте или глобусе можно использовать следующие величины: длина дуги 1º меридиана и 1º экватора, равная примерно 111 км.

Чтобы определить расстояние в километрах на карте или глобусе между двумя пунктами, расположенными на одном меридиане, число градусов между пунктами умножают на 111 км. Для определения расстояния в километрах между пунктами, лежащими на одной параллели, число градусов умножают на длину дуги 1° параллели, обозначенную на карте или определенную по таблицам.

Длина дуг параллелей и меридианов на эллипсоиде Красовского

Например, расстояние между Киевом и Санкт-Петербургом, расположенными примерно на меридиане 30°, составляет 111 км *9,5° = 1054 км; расстояние между Киевом и Харьковом (примерно параллель 50°) – 71 км*6° = 426 км.

Параллели и меридианы образуют градусную сеть . Наиболее точное представление о градусной сети можно получить по глобусу. На географических картах расположение параллелей и меридианов зависит от картографической проекции. Чтобы убедиться в этом, можно сравнить различные карты, например карты полушарий, материков, России, российских регионов и др.

Положение любой точки на земном шаре определяют при помощи географических координат: широты и долготы.

Географическая широта – расстояние вдоль меридиана в градусах от экватора до какой-либо точки земного шара. За начало отсчета широты принят экватор – нулевая параллель. Широта изменяется от 0° на экваторе до 90° на полюсе. К северу от экватора отсчитывают северную широту (с. ш.), к югу от экватора – южную (ю. ш.). На картах параллели надписывают на боковых рамках, а на глобусе – на 0° и 180° меридианах. Например, Харьков расположен на 50° параллели к северу от экватора – его географическая широта 50° с. ш.; острова Кермадек – в Тихом океане на 30° параллели к югу от экватора, их широта примерно 30° ю. ш.

Если на карте или глобусе пункт расположен между двумя обозначенными параллелями, то его географическую широту определяют дополнительно по расстоянию между этими параллелями. Например, чтобы вычислить широту Иркутска, расположенного на карте России между 50° и 60° с. ш., через пункт проводят прямую линию, соединяющую обе параллели. Затем ее условно делят на 10 равных частей – градусов, так как расстояние между параллелями 10°. Иркутск находится ближе к 50° параллели.

На практике географическую широту определяют по высоте Полярной звезды при помощи прибора секстанта, в школе для этой цели используют вертикальный угломер, пли эклиметр.

Географическая долгота – расстояние вдоль параллели в градусах от начального меридиана до какой-либо точки земного шара. За начало отсчета долготы принят гринвичский меридиан – нулевой, который проходит недалеко от Лондона (там, где расположена Гринвичская обсерватория). К востоку от нулевого меридиана до 180° отсчитывают восточную долготу (в. д.), к западу – западную (з. д.). На картах меридианы надписывают на экваторе или верхней и нижней рамках карты, а на глобусе – на экваторе. Меридианы, как и параллели, проводят через одинаковое число градусов. Например, Санкт-Петербург расположен на 30 меридиане к востоку от нулевого меридиана, его географическая долгота 30° в. д.; Мехико – на 100 меридиане к западу от нулевого меридиана, его долгота 100° з. д.

Если пункт расположен между двумя меридианами, то его долготу уточняют по расстоянию между ними. Например, Иркутск расположен между 100° и 110° в. д., но ближе к 100°. Через пункт проводят линию, соединяющую оба меридиана, ее условно делят на 10° и отсчитывают число градусов от 100° меридиана до Иркутска. Следовательно, географическая долгота Иркутска примерно 104°.

Географическую долготу на практике определяют по разнице во времени между данным пунктом и нулевым меридианом или другим известным меридианом. Географические координаты записывают в целых градусах и минутах с указанием широты и долготы. При этом 1º = 60 мин (60"), а0,1° = 6", 0,2°=12" и т. д.

Литература.

1. География / Под ред. П.П. Ващенко, Е.И. Шиповича. - 2-е изд., перераб и доп. - К. : Вища шк. Головное изд-во, 1986. - 503 с.

Меридиан земного эллипсоида представляет собой эллипс, радиус кривизны которого определяется величиной М , зависящей от широты. Длина дуги любой кривой переменного радиуса может быть вычислена по известной формуле дифференциальной геометрии, которая применительно к меридиану имеет выражение

Здесь В 1 и В 2 широты, для которых определяется длина меридиана. Интеграл не берется в замкнутом виде в элементарных функциях. Для его вычисления возможны лишь приближенные методы интегрирования. При выборе метода приближенного интегрирования обратим внимание на то, что значение эксцентриситета меридианного эллипса величина малая, поэтому здесь возможно применить метод, основанный на разложении в ряд по степеням малой величины (e /2 cos 2 B < 7*10 -3) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.

В геодезической практике могут возникать различные случаи, чаще приходится производить вычисления для малых длин (до 60 км), но для специальных целей может возникнуть потребность вычислений дуг меридианов большой длины: от экватора до текущей точки (до 10 000 км), между полюсами (до 20 000 км). Необходимая точность вычислений может достигать величины в 0. 001 м. Поэтому мы рассмотрим вначале общий случай, когда разность широт может достигать 180 0 , а длина дуги 20 000 км.

Для разложения в ряд биномиального выражения применяем известную из математики формулу.

Погрешность вычисления с удержанием m членов разложения здесь достаточно определить с помощью остаточного члена в форме Лагранжа, который не меньше по абсолютной величине суммы всех отброшенных членов разложения и вычисляется по формуле

, (4. 27)

как первый из отброшенных членов разложения, вычисленный при максимально возможном значении величины x .

В нашем случае имеем

Подставляя полученное выражение в уравнение (4. 25), получим

, (4. 28)

которое допускает почленное интегрирование с удержанием необходимого числа членов разложений. Предположим, что длина дуги меридиана может достигать величины 10 000 км (от экватора до полюса), что соответствует разности широт DВ = p / 2 , при этом требуется ее вычислить с точностью до 0. 001 м, что будет соответствовать относительной величине 10 –10 . Значение cosB в любом случае не превзойдет единицы. Если при вычислениях будем удерживать третьи степени разложения, то остаточный член в форме Лагранжа имеет выражение

Как видим, для достижения необходимой точности такого числа членов разложения недостаточно, необходимо удерживать четыре члена разложения и остаточный член в форме Лагранжа будет иметь выражение

Следовательно, при интегрировании необходимо удерживать в данном случае четыре степени разложения.

Почленное интегрирование (4 . 28) не вызывает труда, если преобразовать четные степени в кратные дуги (cos 2 n B в Cos(2nB) ), используя известную формулу косинуса двойного аргумента

; cos 2 B = (1 + cos2B)/2,

последовательно применяя которую, получаем

Действуя таким образом до cos 8 B , получим после несложных преобразований и интегрирования

Здесь разность широт берется в радианной мере и приняты следующие обозначения коэффициентов, имеющих постоянные значения для эллипсоида с данными параметрами.

;

.

Полезно запомнить, что длина дуги меридиана с разностью широт в один градус примерно равна 111 км, в одну минуту – 1. 8 км, в одну секунду – 0. 031 км.

В геодезической практике очень часто возникает необходимость вычисления дуги меридиана малой длины (порядка длины стороны треугольника триангуляции), в условиях Беларуси это значение не превзойдет величины в 30 км. В этом случае нет необходимости применять громоздкую формулу (4. 29), а можно получить более простую, но обеспечивающую такую же точность вычислений (до 0. 001 м).

Пусть широты конечных точек на меридиане будут B 1 и B 2 соответственно. Для расстояний до 30 км это будет соответствовать разности широт в радианной мере, не более 0. 27. Вычисляя среднюю широту B m дуги меридиана по формуле B m = (B 1 + B 2) / 2 , принимаем дугу меридиана за дугу окружности радиусом

(4. 30)

и ее длину вычисляем по формуле длины дуги окружности

, (4. 31)

где разность широт берется в радианной мере.

Длина дуги параллелей и меридианов на эллипсоиде Красовского,
с учетом искажений от полярного сжатия Земли

Для определения расстояния по туристической карте , в километрах между пунктами, число градусов умножают на длину дуги 1° параллели и меридиана (по долготе и широте, в системе географических координат), точные расчётные значения которых берутся из таблиц . Приблизительно, с определённой погрешностью, их можно посчитать по формуле, на калькуляторе.

Пример перевода числовых значений географических координат из десятых долей в градусы и минуты.

Приближенная долгота города Свердловска - 60.8° (шестьдесят целых и восемь десятых градуса) восточной долготы.
8 / 10 = X / 60
X = (8 * 60) / 10 = 48 (из пропорции находим числитель правой дроби).
Итог: 60.8° = 60° 48" (шестьдесят градусов и сорок восемь минут).

Чтобы добавить символ градуса (°) - нажмите Альт+248 (цифрами в правой цифровой панели клавиатуры; в ноутбуке - с нажатой спец.кнопкой Fn или включив NumLk). Так делается в операционных системах Windows и Linux, а в ОС Mac - с помощью клавиш Shift+Option+8

Координаты широты всегда указываются перед координатами долготы (и печатая на компьютере, и записывая на бумаге).

В сервисе maps.google.ru, поддерживаемые форматы определяются правилами

Примеры, как будет правильно:

Полная форма записи угла (градусы, минуты, секунды с долями):
41° 24" 12.1674", 2° 10" 26.508"

Сокращённые формы записи угла:
Градусы и минуты с десятичными долями - 41 24.2028, 2 10.4418
Десятичные градусы (DDD) - 41.40338, 2.17403

Сервис Гугл-мап имеет онлайн-конвертер для преобразований координат и перевода их в нужный формат.

В качестве десятичного разделителя числовых величин, на сайтах в Интернет и в компьютерных программах - рекомендуется использовать точку.

Таблицы

Длина дуги параллели в 1°, 1" и 1" по долготе, метров

Упрощённая формула расчёта дуг параллелей (без учета искажений от полярного сжатия):

L пар = l экв * cos(Широта).

Длина дуги меридиана в 1°, 1" и 1" по широте, метров

Рисунок. 1-секундные дуги меридианов и параллелей (упрощённая формула).

Практический пример использования таблиц. Например, если на карте не указан численный масштаб и нет масштабной линейки, но есть линии градусной картографической сетки - можно графически определить расстояния, из расчёта, что один градус дуги соответствует числовой величине, полученной из таблицы. В направлениях "север-юг" (между горизонтальными линиями географической сетки на карте) - значения длин дуг меняются, от экватора до полюсов Земли, незначительно и составляют, приблизительно, 111 километров.

Андреев Н.В. Топография и картография: Факультативный курс. М., Просвещение, 1985

Учебник по математике.

Http://ru.wikipedia.org/wiki/Географические_координаты