Применение векторов в повседневной жизни. При-ме-не-ние век-то-ров к ре-ше-нию задач

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Шарандова Валентина

В работе представлены исторические аспекты векторного исчисления. Приведено решение задач с помощью понятия и свойств вектора.

Скачать:

Предварительный просмотр:

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 138

Научная работа по геометрии

Тема: Применение векторов к решению задач

Работу выполнила: Шарандова Валентина Александровна

ученица 9а класса

МБОУ СОШ №138

Научный руководитель: Седова Ирина Георгиевна

учитель математики

2013

Введение 3

Глава 1. Понятие вектора. 5

1.1.Исторические аспекты векторного исчисления 5

1. 2.Понятие вектора 7

Глава 2. Операции над векторами 11

2.1. Сумма двух векторов 11

2.2. Основные свойства сложения векторов 12

2.3. Сложение нескольких векторов 13

2.4. Вычитание векторов 14

2.5. Модули сумм и разностей векторов 16

2.6. Произведение вектора на число 16

Глава 3. Координаты вектора 20

3.1. Разложение вектора по координатным векторам 20

3.2. Координаты вектора 21

Глава 4. Примирение векторов к решению задач. 23

Заключение 27

Список литературы 28

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорости, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виде целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скоростью (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие векторы появилось в работах немецкого математика 19 в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея – Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математике.

В современной математике и теперь не мало внимания уделяется векторам. С помощью векторного метода решаются сложные задачи. Увидеть использование векторов мы можем в физике, астрономии, биологии и других современных науках. Познакомившись с этой темой на уроках геометрии, мне захотелось рассмотреть её подробнее. Поэтому для себя определяю следующее:

Цель моей работы

1. Рассмотреть более подробно темы школьного курса геометрии за 8-9 классы, в которых рассказывается о векторах;
2. Привести примеры задач в решении которых применяются вектора.

Задачи :

1. Рассмотреть исторический материал по данной теме.
2. Выделить основные теоремы, свойства и правила.
3. Научиться решать задачи рассмотренным методом.

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

1.1. ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г.

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в.в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а , автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики.

1.2. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Многие геометрические и физические величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном, принятым за единицу измерения. Такие величины в математике называются скалярными величинами или просто скалярами.

Однако иногда встречаются величины более сложной природы, которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым значением. К подобным величинам относятся сила, скорость, ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами или векторами.

Для графического изображения векторов пользуются направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек А и В вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и В А задают один и тот же отрезок, но различные векторные величины.

В геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается первой, какая - второй. Первая точка направленного отрезка называется началом вектора, а вторая точка - концом.

Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой, обращенной острием к концу вектора.

В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке 1,а изображены векторы , , , , причем А, С, Е, G - соответственно начала, а В, D, F, Н - концы данных

векторов. В некоторых случаях вектор обозначается также - одной строчной буквой, например, , , (рис. 1,б)

1.2.1. НУЛЬ-ВЕКТОР

При определении вектора мы предполагали, что начало вектора не совпадает с его концом. Однако в целях общности будем рассматривать и такие «векторы», у которых начало совпадает с концом. Они называются нулевыми векторами или нуль-векторами и обозначаются символом 0. На чертеже нуль-вектор изображается одной точкой. Если эта точка обозначена, например, буквой К, то нуль-вектор может быть обозначен также через .

1.2.2. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

На рисунке 1,а векторы , , , попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы и коллинеарны, а и не коллинеарны.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или противоположные направления. В первом случае их называют сонаправленными, во втором случае - противоположно направленными.

На рисунке 1,а векторы и сонаправлены, а и или и противоположно направлены. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись || (или || и коллинеарны; запись (или ) будет означать, что векторы и сонаправлены, а запись - что они имеют противоположные направления. Например, для векторов, изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: , , , || , .

1.2.3. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора обозначается символом | |, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина вектора обозначается так: | | Очевидно, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда - нулевой вектор. Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.

1.2.4. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия: а) модули векторов и равны; б) если векторы и ненулевые, то они сонаправлены.

Из этого определения следует, что два нулевых вектора всегда равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они не равны.

Равенство векторов и обозначается так: = .

Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам равенства чисел.

Теорема Равенство векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) каждый вектор равен самому себе (условие рефлексивности);

б) если вектор равен вектору , то вектор равен вектору (условие симметричности);

в) если вектор равен вектору , а равен вектору , то равен (условие транзитивности).

1.2.5. ПЕРЕНОС ВЕКТОРА В ДАННУЮ ТОЧКУ

Пусть дан некоторый вектор = и произвольная точка А. Построим вектор равный вектору , так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для этого достаточно провести через точку А прямую , параллельную прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок AВ, равный отрезку EF. При этом точку В на прямой следует выбрать так, чтобы векторы и были сонаправлены. Очевидно, есть искомый вектор .

ГЛАВА 2.ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

2.1. СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ

Суммой двух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , от его конца А откладывается вектор . Получившийся в результате этого построения вектор есть вектор (рис. 3).

На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных, в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору).

Легко видеть, что сумма двух векторов не зависит от выбора исходной точки О. В самом деле, если за исходную точку построения взять точку О", то, как видно из рисунка 3, построение по указанному выше правилу дает вектор , равный вектору .

Очевидно также, что если

Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С, имеет место соотношение: + = .

Если слагаемые векторы не коллинеарны, то

для получения их суммы можно пользоваться другим способом - правилом параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов и

по этому правилу.

2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Теорема Понятие суммы векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) для любых трех векторов , и имеет место соотношение:

(+ ) + + ( + ) (ассоциативный закон);

б) для любых двух векторов и имеет место соотношение: + = + , т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых (коммутативный закон);

в) для любого вектора , имеем: =

г) для каждого вектора существует противоположный вектор , т. е. вектор, удовлетворяющий условию: + = . Все векторы, противоположные данному, равны между собой.

Доказательство.

а) Пусть О - начало, а A -конец вектора

Перенесем вектор в точку A и от его конца В отложим вектор , конец которого обозначим через С (рис.6). Из нашего построения следует,

что (1).

Из правила треугольника имеем: = + и = + , поэтому =( + )+ . Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем:

= (+ ) +

С другой стороны, = + и = + , поэтому = + ( + ). Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: = + ( + ).

Из этого следует, что векторы (+ ) + + ( + ) равны одному и тому же вектору , поэтому они равны между собой.

г) Пусть = - данный вектор. Из правила треугольника следует, что + = = 0. Отсюда вытекает, что есть вектор, противоположный вектору . Все векторы, противоположные вектору = , равны вектору , так как если каждый из них перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в силу того, что + = . Теорема доказана.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Из Теоремы следует, что если 0, то и . Также очевидно, что для любого вектора имеем: -(- )= .

Пример 1

В треугольнике ABCD AB=3,BC=4,B=90 0 .

Найти: а); б).

Решение.

а) Имеем:, и, значит,=7.

б) Так как, то.

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим

Т. е.

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

2.3. СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Суммой трех векторов , и будем считать вектор = (+ ) + . На основании ассоциативного закона (теорема) сложения векторов + ( + ), поэтому при записи суммы трех векторов мы можем опустить скобки и записать ее в виде + + . Больше того, из теоремы следует, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Пользуясь доказательством теоремы , можно указать следующий способ построения суммы трех векторов , и . Пусть О - начало вектора . Перенесем вектор в конечную точку вектора , а вектор - в конечную точку вектора . Если С - конечная точка вектора , то + + = ОС (рис. 8).

Обобщая правило, данное для построения суммы трех векторов, можно указать следующее общее правило сложения нескольких векторов. Чтобы построить сумму векторов ,… , достаточно вектор , затем вектор перенести в конечную точку вектора и т. д. Суммой данных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом .

Сумма векторов ,… обозначается: …+ . На рисунке 9 дано построение суммы векторов , :

= .

Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

2.4. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Вычитание вводится как операция, обратная сложению. Разностью векторов и называется такой вектор , что + = .

Разность векторов и обозначается так: - .

Таким образом, выражение = - означает, что + = .

Вектор называется уменьшаемым, а вектор - вычитаемым.

Теорема Каковы бы ни были векторы и , всегда существует и единственным образом определяется разность - .

Доказательство. Возьмем произвольную точку О и перенесем векторы и , в эту точку. Если = и = , то вектор есть искомая разность, так как + = , или + = . Данное построение выполнимо при любых векторах и , поэтому разность - всегда существует.

Теперь докажем, что разность определяется единственным образом. Пусть + = и + = . К обеим частям этих равенств прибавим вектор

+ +()= +(),

+ +()= +().

Пользуясь теоремой , после элементарных преобразований получаем: = +(), = +(), поэтому = . Теорема доказана.

Следствия. 1°.Для построения разности двух векторов нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, есть искомый вектор.

2°. Для любых двух векторов и имеем: - = +(- т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

Пример 2

Сторона равнобедренного треугольника ABC равна. Найти : a),

Решение. a) Так как, а, то.

b) Так как, а, то.

2.5. МОДУЛИ СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВЕКТОРОВ

Для произвольных векторов и имеют место следующие соотношения:

б) .

В соотношении а) знак равенства имеет место только в случае, если и нулевой.

В соотношении б) знак равенства имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

2.6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.

Произведением вектора (обозначается или) на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору, имеющий длину, равную, и то же направление, что и вектор, если 0, и направления, противоположное направлению вектора, если. Так, например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор, а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 10)

В случае, когда или, произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на = -1 (рис. 10): . Очевидно, что.

Пример 3

Доказать, что если O, A, B, и C, - произвольные точки, то.

Решение. Сумма векторов, вектор - противоположный вектору. Поэтому.

Пусть дан вектор. Рассмотрим единичный вектор 0 , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что 0, т. е каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если, где - ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности вектор и следует, что.

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство.

Умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.= (сочетательный закон).

2.(первый распределительный закон).

3. (второй распределительный закон).

Рисунок 11 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда R=2, = 3.

Рисунок 12 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда

R=3, =2.

Примечание.

Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих сумму, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение можно преобразить так: .

Пример 4 .Коллинеарны ли векторы и?

Решение. Имеем. Значит, данные векторы коллинеарны.

Пример 5. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы и следующие векторы: а); б); в).

Решение.

а) Векторы и - противоположные, поэтому, или.

b) По правилу треугольника. Но, поэтому.

в).

Определение : Произведения нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем вектор и сонаправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так:.

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что:

1. произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2. для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующим основными свойствами:

Для любых чисел, и любых векторов, справедливы равенства:

1 0 (сочетательный закон).

2 0 (первый распределительный закон).

3 0 (второй распределительный закон ).

ГЛАВА 3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.

3.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ.

Лемма.

Если векторы и коллинеарны и, то существует число R, что .

Пусть и - два данных вектора. Если вектор представлен в виде, где и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и. Числа и называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема.

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффиценты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Пусть и - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и. Возможны два случая.

1. Вектор коллинеарен одному из векторов и, например вектору. В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде, где - некоторое число, и, следовательно, т.е. вектор разложен по векторам и.
2. Вектор не коллинеарен ни вектору, ни вектору. Отметим какую-нибудь точку и отложим от нее векторы, (рис.11). Через точку P проведем прямую, параллельную прямой, и обозначим через A 1 точку пересечения этой прямой с прямой OA. По правилу треугольника 11 . Но векторы 1 и 1 коллинеарны соответственно векторам и, поэтому существуют числа и? Такие, что 1= ,A 1 . Следовательно, т.е. вектор разложен по векторам и.

Докажем теперь,

Что

Коэффициенты

И разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеем место другое разложение х 1 у 1 . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем 1 ) 1 ). Это равенство можно выполнять только в том случае, когда коэффиценты 1 и 1 равны нулю. В самом деле, если предложить, например, что х-х 1 0, то из полученного равенства найдем, а значит, векторы и коллинеарны. Но это противоречие условию теоремы. Следовательно, х-х 1 =0 и у-у 1 =0, откуда х=х 1 и у=у 1 . Это и означает, что коэффиценты разложения вектора определяются единственным образом.

3.2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) и так, чтобы направления вектора совпало с направление вектора - с направлением оси Oу. Векторы и назовем координатными векторами.

Координатные вектора не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде, причем коэффициенты разложения (числа и у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатам вектора называются координатами вектора в данной системе координат.

Обозначается: .

Правило.

1 0 . Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разность соответствующих координат этих векторов.

3 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующей координаты вектора на это число.

Пример 6

Разложите векторы, по единичным векторам и и найдите их координаты (рис.14)

Решение:

; ;;

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Задача 1.

Даны точки : A(2;-1), B(5;-3), C(-2;11), D(-5;13). Докажите, что они являются вершинами параллелограмма

Доказательство : Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В силу этого признака достаточно показать, что: a); b) точки A, B и D не лежат на одной прямой.

1. Так как A(2;-1), B(5;-3), то; так как C(-2;11), D(-5;13),

то. Итак, .

1. Точки A, B и D лежат на одной прямой, если координаты векторов и пропорциональны. Так как и, то координаты векторов и не пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны и, следовательно, точки A,B и D не лежат на одной прямой. Итак, четырехугольник ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Дано: В трапеции ABCD (рис.15), AD║ BC, ABC =120 0

AD=6 см, AB=3см ,

Найти :.

Решение : По правилу треугольника: , следовательно, . Длина вектора - это длина отрезка BD .

Так как AD║ BC,то 0 - 0 .

Проведем высоту BH трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем: (см).

(см).

Из треугольника BHD по теореме Пифагора получаем: BD 2= BH 2 + (AD+AH) 2 =(см) 2 , откуда BD=3см.

Ответ : 3см.

Задача 3.

Пусть M – середина отрезка AB, O – произвольная точка.

Докажите, что.

Решение: Сложив почленно равенства.

Получим: 2

Следовательно,

Задача 4.

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Решение:

Пусть a =, b = , c = и d = . Достаточно проверить, что AC┴BD тогда и только тогда, когда a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .

Ясно, что d 2 = |a+b+c| 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)].

Поэтому условие AC ┴ BD, т. е. 0 = (a+b, b+c) = b 2 + (b,c) + (a,c) + (a,b), эквивалентно тому, что d 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2b 2 .

Задача 5.

Пусть M – точка пересечения треугольника ABC. На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC,AC и AB, взяты точки A 1 , B 1 и С 1 соответственно,

причем A 1 B 1 ┴ MC и A 1 C 1 ┴MB.

Докажите, что точка M является точкой пересечением медиан и в треугольнике A 1 B 1 C 1 .

Решение:

Обозначим 1 =,=, 1 =. Пусть A 2 ,B 2 ,C 2 середины сторон BC,AC и AB соответственно. Тогда 2,

B 11 =,

2 =,C 11 =.

По условию задачи, следующие скалярные произведения равны 0:

B 11 B 11,

1111,

1111→

→.

Поскольку и то, 0=.

Аналогично, 0=.

Докажем, что (отсюда будет следовать, что точка пересечения медиан треугольника A 1 B 1 C 1 ).

Действительно, а т.к. векторы и неколлинеарны, то,

а т.к. и неколлинеарны, то

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо знакомым правилам. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и обедняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условия геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а за тем полученное векторное решение снова «переводиться на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. - М. : Издательство «Просвещение», 2010.- 384 с. : ил.
2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 18-е изд. - М. : Издательство «Просвещение», 2009. - 255 с. : ил.
3. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей/Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др.. - 7-е изд. -М., Издательство «Просвещение», 2009,. -255 с.
4. Атанасян Л.С. Геометрия, ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак-тов пед. ин-тов. -М.: Издательство «Просвещение», 1973 - 480 с.: ил
5. Геометрия. 7-9 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А.Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2010.- 126 с.
6. Геометрия. 10-11 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А. Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2009. - 96 с.
7. Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].-Демонстрационные таблицы(258 Мб).-Волгоград: Издательство «Учитель», 2011-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
8. Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].- Поурочные планы по учебникам Л.С. Атанасяна (135 Мб). - Волгоград: Издательство «Учитель», 2010-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
9. Кушнир А.И. Векторные методы решения задач/ А.И.Кушнир. - Киев: Издательство «Обериг», 1994 – 207с.
10. Потоскуев Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач / Е.В.Потоскуев// Математика.-2009.-№6.-с.8-13
11. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие / Е.В.Потоскуев. – М.: Издательство «Дрофа»,2008.- 173с.
12. Рабочие программы по геометрии: 7-11 классы/ Сост. Н.Ф. Гаврилова.-М.: Издательство «ВАКО», 2011.-192 с.
13. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов.- 4-е изд.,дораб.- М.: Издательство «Просвещение», 2010.- 248 с.

1. Какие величины называются векторными? Приведите примеры векторных величин, известных Вам из курса физики.
2. Какие точки называют граничными точками отрезка? началом и концом отрезка?
3. Дайте определение вектора.
4. Как на рисунках изображается вектор?
5. Как обозначаются векторы?
6. Объясните, какой вектор называется нулевым.
7. Как изображается нулевой вектор?
8. Как обозначаются нулевые векторы?
9. Что называется длиной (модулем) ненулевого вектора?
10. Как обозначается длина вектора?
11. Чему равна длина нулевого вектора?
12. Какие векторы называются коллинеарными?
13. Какие векторы называют сонаправленными? противоположно направленными?
14. Как обозначаются коллинеарные векторы?
15. Какое направление имеет нулевой вектор?
16. Изобразите на рисунке сонаправленные векторы a и b и противоположно направленные векторы c и d .
17. Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы?
18. Дайте определение равных векторов.
19. Объясните смысл выражения: «Вектор a отложен от точки A».
20. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
21. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?
22. Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a + 0 = a .
23. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.
24. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
25. В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?
26. Зависит ли сумма векторов от того, в каком порядке они складываются?
27. Постройте сумму векторов a , b и c по правилу многоугольника.
28. Чему равна сумма нескольких векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора?
29. Какой вектор называется разностью двух векторов?
30. Как построить разность двух данных векторов.
31. Какой вектор называется противоположным данному, как он обозначается?
32. Какой вектор будет противоположным нулевому вектору?
33. Чему равна сумма противоположных векторов?
34. Сформулируйте теорему о разности векторов.
35. Как построить разность двух данных векторов, используя теорему о разности двух векторов.
36. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
37. Как обозначается произведение вектора a на число k ?
38. Чему равно произведение k a , если: 1) a =0 ; 2) k = 0?
39. Начертите вектор a и постройте векторы: а)2 a ; б) -1,5 a .
40. Могут ли векторы a и k a быть неколлинеарными?
41. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
42. Начертите два неколлинеарных вектора a и b и постройте векторы: а) 2 a +1,5 b , б) 3 a -0,5 b .
43. Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.
44. Какой отрезок называется средней линией трапеции?
45. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:

1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.

3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.

4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.

5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.

6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.

7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.

I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC: CB = m: n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .

в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .

г) . Равенство. = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)