Определения модуля. Что такое модуль числа в математике

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.

Правило :

Пояснение :

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

Свойства модуля:

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение .

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х :
х 1 = –2, х 2 = 4.

Можем и вычислить.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

│х = 4
│ х = –2.

Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.

Пример 2 . Найти модуль выражения:

Решение .

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10 < 0.

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ .

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.

Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным . Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График модуля и пример решения уравнения

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

\[\left| x \right|=3\]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

\[\left| 3 \right|=3\]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left(x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left(x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\[\left\{ \begin{align}& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end{align} \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left(x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\[\begin{align}& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac{14}{5}=-2,8. \\\end{align}\]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\[\begin{align}& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac{6}{5}=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end{align}\]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Применительно к нашему уравнению получим:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

\[\begin{align}& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}; \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end{align}\]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x={4}/{3}\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И решается оно точно так же:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=\pm \left(x-{{x}^{3}} \right), \\& x-{{x}^{3}}\ge 0. \\\end{align} \right.\]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}\]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \\& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \\\end{align}\]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

\[{{x}^{2}}\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{2}}=0 \\& 2x-3=0 \\\end{align} \right.\]

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{3}{2}=1,5.\]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-\left(x-{{x}^{3}} \right); \\& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \\& -3{{x}^{2}}+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end{align}\]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

\[\left[ \begin{align}& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end{align} \right.\]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

\[\begin{align}& x=0\Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} \lt 0; \\& x=\frac{2}{3}\Rightarrow x-{{x}^{3}}=\frac{2}{3}-\frac{8}{27}=\frac{10}{27}\ge 0; \\\end{align}\]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{2}{3}.\]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или даже более простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

\[\begin{align}& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end{align}\]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\]

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

\[{{x}^{2}}-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\Rightarrow \left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \\& {{x}^{2}}-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \\\end{align}\]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

\[{{x}^{2}}-2x+1={{\left(x-1 \right)}^{2}}\]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

\[{{x}_{1}}=3;\quad {{x}_{2}}=1.\]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание . Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end{align}\]

Одно из свойств модуля: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end{align}\]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[\left[ \begin{align}& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end{align} \right.\]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

\[\begin{align}& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end{align}\]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \left| x-{{x}^{3}} \right|=0, \\& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0. \\\end{align} \right.\]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

\[{{x}^{2}}+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=1 \\\end{align} \right.\]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

\[\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end{align} \right.\]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Итого окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{5}{3} \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

1. Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
2. Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
3. Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим:

(Забыл, Повтори.)

Если, то какой знак имеет? Ну конечно, !

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

Разобрался? Тогда попробуй сам:

Ответы:

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел!!!

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?

Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

при условии, что (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

Почему так? Всё очень просто!

Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.

Рассмотрим на примере:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.

Что если перед нами такое выражение:

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит.

Число больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

А чему равно такое выражение:

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения, если.

2. У каких чисел модуль равен?

3. Найдите значение выражений:

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1 :

Итак, подставим значения и в выражение

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.

Решение 3:

а)
б)
в)
г)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное , то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число , то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

Получается, значение первого выражения под модулем.

Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго - положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «-». Вот так:

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

Упростим данное выражение целиком:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Например:

Пример:

Упростите выражение.

Решение:

Основные свойства модуля

Для всех:

Пример:

Докажите свойство №5 .

Доказательство:

Предположим, что существуют такие, что

Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны ):

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких не существует, а значит, при всех выполняется неравенство

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6 .

2) Упростите выражение.

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3 : , а поскольку, тогда

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа и и:

b. Теперь сравним и:

Складываем значения модулей:

Модуль числа. Коротко о главном.

Модуль (абсолютная величина) числа - это само число, если, и число, если:

Свойства модуля:

1. Модуль числа есть число неотрицательное: ;
2. Модули противоположных чисел равны: ;
3. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ;
4. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ;
5. Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел: ;
6. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: при;

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.
| a|= a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|- a|= a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
| a|=|- a|= a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №1:
Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Ответ: 9 и -9.

Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0