Одна из биссектрис треугольника.

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ

Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D

Формулы длины биссектрисы:

Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника

Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

это 1 часть  OD = Ответ: OD =

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е. Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7. Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Пусть в треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, которые пересекаются в точке О. По условию, АО/А1О=4/3. Треугольники ABO и A1BO имеют одинаковую высоту, поэтому отношение их площадей равно 4/3. Кроме того, существует формула площади S=1/2ab*sin(a), из которой находим, что $$ \frac{1/2AB*BO*sin(ABO)}{1/2A_{1}B*BO*sin(A_{1}BO)}=\frac{4}{3}=\frac{AB}{BA_{1}} $$. Аналогично получаем, что AC/A1C=4/3. Сложим эти равенства, получим, что 4/3=(AB+AC)/BC, BC=9, AB+AC=12, p=21.

Похожие задачи:

1. Дан угол с вершиной внутри круга. Доказать, что этот угол тупой.

2. Из вершины А треугольника АВС проведена высота АD. Точки F и Е - середины сторон АВ и АС. Найти периметр DEF, если периметр АВС = 64 см.

3. Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне DA. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ВМ=6 см, а СМ=8 см.

4. В окружности радиуса √2 см проведена хорда, длина которой составляет одну треть диаметра. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

1. В произвольном треугольнике проведена средняя линия, отсекающая от него меньший треугольник. Найдите отношение площади меньшего треугольника к площади данного треугольника.

2. Вокруг трапеции описана окружность, центр которой находится на ее большем основании. Найдите углы трапеции, если ее меньшее основание в два раза меньше большего основания.

3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины большего угла треугольника, равен 12*. Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего угла.

4. О1 и О2 - центры двух касающихся внешним образом окружностей. Прямая О1О2 пересекает первую окружность (с центром в точке О1) в точке А. Найдите диаметр второй окружности, если радиус первой равен 5 см, а касательная, проведенная из точки А ко второй окружности, образует с прямой О1О2 угол в 30*.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Математика 9 класс

«Программа подготовки к ГИА по математике» - Методическое обеспечение. Уравнения. Назначение второй части работы ГИА. Примеры заданий на определение верности утверждений. Структура лекций. Элементы содержания раздела «Окружность и круг». Задания на готовых чертежах. Раздел содержания «Числа и вычисления». Модуль «Алгебра». Структура ГИА по математике в 2013 году (235 минут). Общее количество заданий (баллов). Примеры заданий повышенного уровня.

«Математика и авиация» - Расчеты. Анализ и принятие решений. Прикладная математика. Карл Фридрих Гаусс. Термин «авиация». Отрасли знаний. Флаттер. Математика в авиации. Зарождение аэродинамики. Возникновение авиации. Название "математика". Система автоматического проектирования. Математическая модель. Математика и авиация. Математика и пилот. Природный резонанс Флаттера. Ключ создания самолета.

«ГИА-9 по математике 2013» - По математике изменений нет. Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы. Модель экзаменационной работы по математике 2013 г. Время проведения экзамена. Планируемые изменения КИМ ГИА для выпускников 9 класса 2013 года. Шкала перерасчёта суммарного балла. Изменения в экзаменационной работе. Интерпретация результатов. Особенности выставления итоговой оценки. Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию.

«Математика и здоровье» - Проверка ответов. Формулы геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Отдых. Гигиена. Веселый тест. Игра «футбол». Солнце. Задача из сборника ГИА. Движение вперёд. ЗОЖ и геометрическая прогрессия. Бактерии. Пускай хорошее растёт в геометрической прогрессии. ЗОЖ. Дробный член.

«Женщины-математики» - Ковалевская. Русские женщины математики. Екатерина Алексеевна Нарышкина. Роль женщин в сфере математики. Великие математики. Латышева. Полубаринова. Мать родная. Исторические данные. Царица. Формулы. Галерея портретов женщин-математиков. Женщины. Этапы развития женского образования. Запольская. Математика. Софья Жермен. Маркиза дю Шатле. Давид Гильберт. Софья Ковалевская. Чибрикова. Эмми Нетер. Гипатия.

«Проектная деятельность по математике» - Найти высоту. Построить трапецию. Решение. Урок геометрии в 9 классе. Метод проектов. Проведи прямую. Долгосрочный проект. Теорема. Способ. Пояснительная записка. Реализация метода проектов. Использовать теорему о внешнем угле. Решение задач. Инициатива. Дополнительное построение. Развитие критического мышления. Пятиконечная звезда. Заключительное слово учителя. Карточка-подсказка. Проектная деятельность.