Обратная пропорциональность. Определение зависимостей между величинами

Типы зависимостей

Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.

Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается

Замечание 1

Такая зависимость называется прямой :

С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.

Рассмотрим другой пример.

Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.

Замечание 2

Такая зависимость называется обратной :

С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.

Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).

Определение зависимостей между величинами

Пример 1

Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.

Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.

Замечание 3

Такую зависимость называют пропорциональной :

Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.

Пример 2

За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?

Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.

В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .

Прямая пропорциональность

Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.

Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.

Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.

Как видно, эти отношения равны между собой:

$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.

Определение 1

Равенство двух отношений называется пропорцией .

При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.

Определение 2

Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.

Пример 3

Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.

Решение .

Время прямо пропорционально расстоянию:

$t=\frac{S}{v}$.

Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:

$\frac{2S}{v}=2t$;

$\frac{3S}{v}=3t$.

Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа

Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов

Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.

Составим пропорцию:

$\frac{180}{360}=\frac{2}{x}$;

$x=\frac{360 \cdot 2}{180}$;

Ответ : автомобилю потребуется $4$ часа.

Обратная пропорциональность

Определение 3

Решение .

Время обратно пропорционально скорости:

$t=\frac{S}{v}$.

Во сколько раз увеличивается скорость, при том же пути, во столько же раз уменьшается время:

$\frac{S}{2v}=\frac{t}{2}$;

$\frac{S}{3v}=\frac{t}{3}$.

Запишем условие задачи в виде таблицы:

Автомобиль проехал $60$ км - за время $6$ часов

Автомобиль проедет $120$ км – за время $x$ часов

Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами обратно пропорциональная.

Составим пропорцию.

Т.к. пропорциональность обратная, второе отношение в пропорции переворачиваем:

$\frac{60}{120}=\frac{x}{6}$;

$x=\frac{60 \cdot 6}{120}$;

Ответ : автомобилю потребуется $3$ часа.

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b , где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = -
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = - :
x

>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график

Прямая пропорциональность и её график

Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь , это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.

Например, путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это - прямая пропорциональность, причем k = 20.

Другой пример:

стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это - прямая пропорциональность, где k = 5.

Доказательство. Осуществим его в два этапа.
1. у = kx - частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у - kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.

Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.

Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображенную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорциональности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как у , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем: Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у = 2х.

Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, - тупой угол (рис. 49, б).

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Пример

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Второй закон Ньютона
• Кулоновский барьер

Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:

прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональность - Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональность - и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

Пример

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:

прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

И; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь