Обобщенные координаты и обобщенные силы. Обобщенные координаты и обобщенные силы Как выглядит работа сил в обобщенных координатах

Аналитическая механика. Классификация связей. Примеры. Возможные перемещения.

Связь – это соотношение связывающихся между собой координаты и скорости точек системы представляющихся в виде равенств или неравенств.

Классификация :

Геометрические – накладывает ограничения только на координаты точек системы (скорости не входят)

Кинематические – скорости входят в уравнения. Если от скоростей можно избавиться, то связь интегрируемая.

Голономные связи – геометрические и интегрируемые дифференциальные связи.

Связь называется удерживающие (налагаемые или ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие , которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может “освобождаться”

Возможное перемещение

Любое мысленное

Бесконечно малое

Перемещение точек системы, допускаемых

В данный момент времени

Наложенными на систему связями.

Действительное перемещение – зависит от сил, времени, связей, начальных условий.

Возможное перемещение – зависит только от связей.

Для стационарных связей действительное перемещение это одно из возможных.

Идеальные связи. Принцип возможных перемещений.

Идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ всех их реакций на любом возможном перемещении равна 0.

Принцип возможных перемещений.

Для равновесия механической системы с идеальными стационарными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении равнялась 0. При этом для достаточности начальная скорость должна равняться нулю. Необходимое равновесие =>Достаточное =>равновесие.

Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы. Обобщенные силы, способы их вычисления. Условия равновесия системы с голономными связями, выраженные в терминах обобщенных сил.

Обобщенные координаты – независимый параметр, который полностью определяет положение системы и через который могут быть выражены все декартовые координаты точек системы.

Число степеней свободы определяется количеством обобщенных координат

Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы.

Обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве.

Q i = δA j /δq j или δA j = Q i ⋅ δq j .

Обобщенная сила – это такая сила, которая совершает на возможном перемещении по своей обобщенной координате такую же работу, как и все силы, приложенные к системе, на соответствующем перемещении точек их приложения.

Для нахождения обобщенной силы даем возможное перемещение по своей обобщенной координате, оставляя остальные координаты неизменными. Затем находим работу всех сил, приложенных к системе и делим на возможное перемещение.

Принцип возможных перемещений в терминах обобщенных сил.

Поскольку при равновесии сумма элементарных работы на любом возможном перемещении (бА= б q j , которые не зависит друг от друга, то для этого должно выполняться: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0

Определение обобщенных сил

Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q , называют величину, определяемую формулой

где dq – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.

Напомним, что возможное перемещение системы определяется как перемещение системы в бесконечно близкое положение, допускаемое связями в данный момент времени (подробнее см. прил. 1).

Известно, что сумма работ сил реакций идеальных связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Поэтому для системы с идеальными связями в выражении следует учитывать только работу активных сил системы. Если же связи не идеальны, то силы реакций их, например, силы трения, условно считаются активными силами (см. ниже указания к схеме на рис. 1.5). В включается элементарная работа активных сил и элементарная работа моментов активных пар сил. Запишем формулы для определения этих работ. Допустим, сила (F kx ,F ky ,F kz ) приложена в точке К , радиус-вектор которой есть (x k ,y k ,z k ), а возможное перемещение – (dx k , dy k , dz k ). Элементарная работа силы на возможном перемещении равна скалярному произведению , которому в аналитической форме соответствует выражение

dА( ) = F к dr к cos (), (1.3а)

а в координатной форме – выражение

dА( ) = F kx dx k + F ky dy k + F kz dz k . (1.3б)

Если пара сил с моментом М приложена к вращающемуся телу, угловая координата которого есть j, а возможное перемещение dj, то элементарная работа момента М на возможном перемещении dj определяется по формуле

dА(М) = ± M dj . (1.3в)

Здесь знак (+) соответствует случаю, когда момент М и возможное перемещение dj совпадают по направлению; знак (–), когда они противоположны по направлению.

Чтобы можно было по формуле (1.3) определить обобщенную силу, надо возможные перемещения тел и точек в выразить через малое приращение обобщенной координаты dq , используя зависимости (1)…(7) прил. 1.

Определение обобщенной силы Q , соответствующей выбранной обобщенной координате q , рекомендуется производить в следующем порядке.

· Изобразить на расчетной схеме все активные силы системы.

· Дать малое приращение обобщенной координате dq > 0; показать на расчетной схеме соответствующие возможные перемещения всех точек, в которых приложены силы, и возможные угловые перемещения всех тел, к которым приложены моменты пар сил.

· Составить выражение элементарной работы всех активных сил системы на этих перемещениях, возможные перемещения в выразить через dq .

· Определить обобщенную силу по формуле (1.3).

Пример 1.4 (см. условие к рис. 1.1).

Определим обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате s (рис. 1.4).

На систему действуют активные силы: P – вес груза; G – вес барабана и вращающий момент M .

Шероховатая наклонная плоскость является для груза А неидеальной связью. Сила трения скольжения F тр , действующая на груз A со стороны этой связи, равна F тр = f N .

Для определения силы N нормального давления груза на плоскость при движении воспользуемся принципом Даламбера: если к каждой точке системы помимо действующих активных сил и сил реакций связей приложить условную силу инерции, то образованная совокупность сил будет уравновешенной и уравнениям динамики можно придать форму уравнений равновесия статики . Следуя известной методике применения этого принципа , изобразим все силы, действующие на груз A (рис. 1.5), – и , где – сила натяжения троса.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Добавим силу инерции , где – ускорение груза. Уравнение принципа Даламбера в проекции на ось y имеет вид N – P cos a = 0.

Отсюда N = P cos a. Силу трения скольжения теперь можно определить по формуле F тр = f P cos a.

Дадим обобщенной координате s малое приращение ds > 0. При этом груз (рис. 1.4) переместится вверх по наклонной плоскости на расстояние ds , а барабан повернется против часовой стрелки на угол dj.

Составим по формулам типа (1.3а) и (1.3в) выражение суммы элементарных работ момента M , сил P и F тр :

выразим в этом уравнении dj через ds : , тогда

определим обобщенную силу по формуле (1.3)

учтем записанную ранее формулу для F тр и получим окончательно

Если в этом же примере за обобщенную координату взять угол j, то обобщенная сила Q j выразится формулой

1.4.2. Определение обобщенных сил системы
с двумя степенями свободы

Если система имеет n степеней свободы, ее положение определяют n обобщенных координат. Каждой координате q i (i = 1,2,…,n ) соответствует своя обобщенная сила Q i , которая определяется по формуле

где – сумма элементарных работ активных сил на i -м возможном перемещении системы, когда dq i > 0, а остальные обобщенные координаты неизменны.

При определении надо учитывать указания к определению обобщенных сил по формуле (1.3).

Обобщенные силы системы с двумя степенями свободы рекомендуется определять в следующем порядке.

· Показать на расчетной схеме все активные силы системы.

· Определить первую обобщенную силу Q 1 . Для этого дать системе первое возможное перемещение, когда dq 1 > 0, а dq 2 = q 1 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на первом возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 1 ; найти Q 1 по формуле (1.4), принимая i = 1.

· Определить вторую обобщенную силу Q 2 . Для этого дать системе второе возможное перемещение, когда dq 2 > 0, а dq 1 = 0; показать на расчетной схеме соответствующие dq 2 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на втором возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 2 ; найти Q 2 по формуле (1.4), принимая i = 2.

Пример 1.5 (см. условие к рис. 1.2)

Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам x D и x A (рис. 1.6,а ).

На систему действуют три активные силы: P A = 2P , P B = P D =P .

Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dx D > 0, dx A = 0 (рис. 1.6,а ). При этом груз D x D , блок B повернется против часовой стрелки на угол dj B , ось цилиндра A останется неподвижной, цилиндр A повернется вокруг оси A на угол dj A по часовой стрелке. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

Определим Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dx D = 0, dx A > 0 (рис. 1.6,б ). При этом ось цилиндра A переместится по вертикали вниз на расстояние dx A , цилиндр A повернется вокруг оси A по часовой стрелке на угол dj A , блок B и груз D останутся неподвижными. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

Пример 1.6 (см. условие к рис. 1.3)

Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам j, s (рис. 1.7,а ). На систему действуют четыре активные силы: вес стержня P , вес шарика , силы упругости пружины и .

Учтем, что . Модуль сил упругости определяется по формуле (а).

Отметим, что точка приложения силы F 2 неподвижна, поэтому работа этой силы на любом возможном перемещении системы равна нулю, в выражение обобщенных сил сила F 2 не войдет.

Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dj > 0, ds = 0 (рис. 1.7,а ). При этом стержень AB повернется вокруг оси z против часовой стрелки на угол dj, возможные перемещения шарика D и центра E стержня направлены перпендикулярно отрезку AD , длина пружины не изменится. Составим в координатной форме [см. формулу (1.3б)]:

(Обратим внимание на то, что , поэтому работа этой силы на первом возможном перемещении равна нулю).

Выразим перемещения dx E и dx D через dj. Для этого вначале запишем

Затем в соответствии с формулой (7) прил. 1 найдем

Подставляя найденные величины в , получим

По формуле (1.4), учитывая, что , определим

Определение Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dj = 0, ds > 0 (рис. 1.7,б ). При этом стержень AB останется неподвижным, а шарик M сместится вдоль стержня на расстояние ds . Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

подставив значение силы F 1 из формулы (а), получим

1.5. Выражение кинетической энергии системы
в обобщенных координатах

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий ее тел и точек (прил. 2). Чтобы получить для T выражение (1.2), следует скорости всех тел и точек системы выразить через обобщенные скорости, используя методы кинематики . При этом система считается находящейся в произвольном положении, все ее обобщенные скорости считаются положительными, т. е. направленными в сторону возрастания обобщенных координат.

Пример 1.7 (см. условие к рис. 1.1)

Определим кинетическую энергию системы (рис. 1.8), взяв в качестве обобщенной координаты расстояние s,

T = T A + T B .

По формулам (2) и (3) прил. 2 имеем: .

Подставляя эти данные в T и учитывая, что , получим

Пример 1.8 (см. условие к рис. 1.2)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.9, взяв в качестве обобщенных координат величины x D и x A ,

T = T A + T B + T D .

По формулам (2), (3), (4) прил. 2 запишем

Выразим V A , V D , w B и w A через :

При определении w A учтено, что точка O (рис. 1.9) – мгновенный центр скоростей цилиндра A и V k = V D (см. соответствующие пояснения к примеру 2 прил. 2).

Подставляя полученные результаты в T и учитывая, что

определим

Пример 1.9 (см. условие к рис. 1.3)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.10, взяв в качестве обобщенных координат j и s ,

T = T AB + T D .

По формулам (1) и (3) прил. 2 имеем

Выразим w AB и V D через и :

где – переносная скорость шарика D , ее модуль определяется формулой

Направлена перпендикулярно отрезку AD в сторону возрастания угла j; – относительная скорость шарика, ее модуль определяется по формуле , направлена в сторону возрастания координаты s . Заметим, что перпендикулярна , поэтому

Подставляя эти результаты в T и учитывая, что

1.6. Составление дифференциальных уравнений
движения механических систем

Чтобы получить искомые уравнения, нужно в уравнения Лагранжа (1.1) подставить найденное ранее выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах и обобщенные силы Q 1 , Q 2 , … , Q n .

При нахождении частных производных T по обобщенным координатам и по обобщенным скоростям следует учитывать, что переменные q 1 , q 2 , … , q n ; считаются независимыми между собой. Это значит, что определяя частную производную T по одной из этих переменных, все остальные переменные в выражении для Т следует рассматривать как постоянные величины.

При выполнении операции следует дифференцировать по времени все входящие в переменные величины.

Подчеркнем, что уравнения Лагранжа записываются для каждой обобщенной координаты q i (i = 1, 2,…n ) системы.

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе . Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s)

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

Скалярную величину = (2.26)

называют обобщенной силой , соответствующей i -й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от

¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T j от N j , (T j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,

¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то:

¾в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9 Q s = mg sina, а

¾во втором случае ¾ Q j = mg r cosa.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q s ¾ будет[ньютон ] ,

Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q j ¾ будет [ньютон ´ метр ].

Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяетсяобобщенными координатами
.

Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и, получим

. (226")

где скалярная величина

называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде

–проекции силы на оси координат;
– координаты точки приложения силы.

Размерность обобщенной силы в соответствии с (226") следующим образом зависит от размерности , совпадающей с размерностью:

, (228)

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.

Вычисление обобщенной силы

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (226"), т. е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если
, а остальные
, то из (179") имеем

.

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата. Если варьируемой координатой является, то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

. (228")

3.6.7. Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к-ой точке системы;– сила реакции связей;
– сила инерции точки;– возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

,

,

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где
– координаты-ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

,

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей
. Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где
– возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е.
.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси
. Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол
вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному векторуи главному моменту
. Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения
. Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

,

если угол
сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол
вокруг оси
, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту
(если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции
на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси
, проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось
, т.е.
. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем

если поворот на элементарный угол
направить по дуговой стрелке для.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s , где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА 1 и ОА 2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Чему равно число степеней свободы механической системы?

В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

Что называют возможными перемещениями механической системы?

Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Какие связи механической системы называют идеальными?

Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

Как формулируется принцип возможных перемещений?

Какие виды может иметь уравнение работ?

Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Как формулируется золотое правило механики?

Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

Какие связи называются голономными?

Что называется числом степеней свободы механической системы?

Что называется обобщенными координатами системы?

Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

Что называется обобщенной силой?

Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

Как определяется размерность обобщенной силы?

Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

Что такое обобщенная сила инерции?

Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

Какие связи называются геометрическими?

Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

Что называется кинетическим потенциалом системы?

Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.