Научная работа "применение векторов к решению задач". Список использованных источников

1. Какие величины называются векторными? Приведите примеры векторных величин, известных Вам из курса физики.
2. Какие точки называют граничными точками отрезка? началом и концом отрезка?
3. Дайте определение вектора.
4. Как на рисунках изображается вектор?
5. Как обозначаются векторы?
6. Объясните, какой вектор называется нулевым.
7. Как изображается нулевой вектор?
8. Как обозначаются нулевые векторы?
9. Что называется длиной (модулем) ненулевого вектора?
10. Как обозначается длина вектора?
11. Чему равна длина нулевого вектора?
12. Какие векторы называются коллинеарными?
13. Какие векторы называют сонаправленными? противоположно направленными?
14. Как обозначаются коллинеарные векторы?
15. Какое направление имеет нулевой вектор?
16. Изобразите на рисунке сонаправленные векторы a и b и противоположно направленные векторы c и d .
17. Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы?
18. Дайте определение равных векторов.
19. Объясните смысл выражения: «Вектор a отложен от точки A».
20. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
21. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?
22. Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a + 0 = a .
23. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.
24. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?
25. В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?
26. Зависит ли сумма векторов от того, в каком порядке они складываются?
27. Постройте сумму векторов a , b и c по правилу многоугольника.
28. Чему равна сумма нескольких векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора?
29. Какой вектор называется разностью двух векторов?
30. Как построить разность двух данных векторов.
31. Какой вектор называется противоположным данному, как он обозначается?
32. Какой вектор будет противоположным нулевому вектору?
33. Чему равна сумма противоположных векторов?
34. Сформулируйте теорему о разности векторов.
35. Как построить разность двух данных векторов, используя теорему о разности двух векторов.
36. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
37. Как обозначается произведение вектора a на число k ?
38. Чему равно произведение k a , если: 1) a =0 ; 2) k = 0?
39. Начертите вектор a и постройте векторы: а)2 a ; б) -1,5 a .
40. Могут ли векторы a и k a быть неколлинеарными?
41. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
42. Начертите два неколлинеарных вектора a и b и постройте векторы: а) 2 a +1,5 b , б) 3 a -0,5 b .
43. Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.
44. Какой отрезок называется средней линией трапеции?
45. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

На-пом-ним, что су-ще-ству-ют такие фи-зи-че-ские ве-ли-чи-ны, для ко-то-рых важна не толь-ко ве-ли-чи-на, но и на-прав-ле-ние. Такие ве-ли-чи-ны на-зы-ва-ют-ся век-тор-ны-ми, или век-то-ра-ми, и обо-зна-ча-ют-ся они на-прав-лен-ным от-рез-ком, то есть таким от-рез-ком, у ко-то-ро-го от-ме-че-ны на-ча-ло и конец. Вве-де-но было по-ня-тие кол-ли-не-ар-ных век-то-ров, то есть таких, ко-то-рые лежат либо на одной пря-мой, либо на па-рал-лель-ных пря-мых.

Мы рас-смат-ри-ва-ем век-тор, ко-то-рый можно от-ло-жить от любой точки, за-дан-ный век-тор от про-из-воль-но вы-бран-ной точки можно от-ло-жить един-ствен-ным об-ра-зом.

Было вве-де-но по-ня-тие рав-ных век-то-ров - это такие со-на-прав-лен-ные век-то-ры, длины ко-то-рых равны. Со-на-прав-лен-ны-ми на-зы-ва-ют-ся кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, на-прав-лен-ные в одну сто-ро-ну.

Были вве-де-ны пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма - пра-ви-ла сло-же-ния век-то-ров.

За-да-ны два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров . Для этого от-ло-жим из неко-то-рой точки А век-тор . - на-прав-лен-ный от-ре-зок, точка А - его на-ча-ло, а точка В - конец. Из точки В от-ло-жим век-тор . Тогда век-тор на-зы-ва-ют сум-мой за-дан-ных век-то-ров: - пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 1).

За-да-но два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров по пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма.

От-кла-ды-ва-ем из точки А век-тор и век-тор (см. Рис. 2). На от-ло-жен-ных век-то-рах можно по-стро-ить па-рал-ле-ло-грамм. Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор , век-то-ры и равны, сто-ро-ны ВС и

АВ1 па-рал-лель-ны. Ана-ло-гич-но па-рал-лель-ны и сто-ро-ны АВ и В1С, таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли па-рал-ле-ло-грамм. АС - диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма.

2. Правила сложения векторов

Для сло-же-ния несколь-ких век-то-ров при-ме-ня-ют пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка (см. Рис. 3). Нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из его конца от-ло-жить вто-рой век-тор, из конца вто-ро-го век-то-ра от-ло-жить тре-тий и так далее, когда все век-то-ры от-ло-же-ны - со-еди-нить на-чаль-ную точку с кон-цом по-след-не-го век-то-ра, в итоге по-лу-чит-ся сумма несколь-ких век-то-ров.

Кроме того, мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие об-рат-но-го век-то-ра - век-то-ра, име-ю-ще-го такую же длину, как за-дан-ный, но ему про-ти-во-на-прав-лен-но-го.

3. Решение примеров

При-мер 1 - за-да-ча 747: вы-пи-ши-те пары кол-ли-не-ар-ных со-на-прав-лен-ных век-то-ров, ко-то-рые опре-де-ля-ют-ся сто-ро-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма; ука-жи-те про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры;

Задан па-рал-ле-ло-грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы-пи-шем пары кол-ли-не-ар-ных век-то-ров. В первую оче-редь это век-то-ры и . Они не толь-ко кол-ли-не-ар-ные, но и рав-ные, т.к. они со-на-прав-ле-ны, и длины их равны по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма (в па-рал-ле-ло-грам-ме про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны). Сле-ду-ю-щая пара . Ана-ло-гич-но

вы-пи-шем кол-ли-не-ар-ные век-то-ры вто-рой пары сто-рон: ; .

Про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры: , , , .

При-мер 2 - за-да-ча 756: на-чер-ти-те по-пар-но некол-ли-не-ар-ные век-то-ры , и . По-строй-те век-то-ры ;; ;.

Для вы-пол-не-ния дан-но-го за-да-ния можем поль-зо-вать-ся пра-ви-лом тре-уголь-ни-ка или па-рал-ле-ло-грам-ма.

Спо-соб 1 - с по-мо-щью пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 5):

Спо-соб 2 - с по-мо-щью пра-ви-ла па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 6):

Ком-мен-та-рий: мы при-ме-ня-ли в пер-вом спо-со-бе пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка - от-кла-ды-ва-ли из про-из-воль-но вы-бран-ной точки А пер-вый век-тор, из его конца - век-тор, про-ти-во-по-лож-ный вто-ро-му, со-еди-ня-ли на-ча-ло пер-во-го с кон-цом вто-ро-го, и таким об-ра-зом по-лу-ча-ли ре-зуль-тат вы-чи-та-ния век-то-ров. Во вто-ром спо-со-бе мы при-ме-ни-ли пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма - по-стро-и-ли на нуж-ных век-то-рах па-рал-ле-ло-грамм и его диа-го-наль - ис-ко-мую раз-ность, помня тот факт, что одна из диа-го-на-лей - это сумма век-то-ров, а вто-рая - раз-ность.

При-мер 3 - за-да-ча 750: до-ка-жи-те, что если век-то-ры и равны, то се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют. До-ка-жи-те об-рат-ное утвер-жде-ние: если се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют, то век-то-ры и равны (см. Рис. 7).

Из ра-вен-ства век-то-ров и сле-ду-ет, что пря-мые АВ и CD па-рал-лель-ны, и что от-рез-ки АВ и CD равны. Вспом-ним при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма: если у че-ты-рех-уголь-ни-ка пара про-ти-во-по-лож-ных сто-рон лежит на па-рал-лель-ных пря-мых, и их длины равны, то дан-ный че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм.

Таким об-ра-зом, че-ты-рех-уголь-ник ABCD, по-стро-ен-ный на за-дан-ных век-то-рах, - па-рал-ле-ло-грамм. От-рез-ки AD и BC яв-ля-ют-ся диа-го-на-ля-ми па-рал-ле-ло-грам-ма, одно из свойств ко-то-ро-го: диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма пе-ре-се-ка-ют-ся и в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. Таким об-ра-зом, до-ка-за-но, что се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют.

До-ка-жем об-рат-ное утвер-жде-ние. Для этого вос-поль-зу-ем-ся дру-гим при-зна-ком па-рал-ле-ло-грам-ма: если в неко-то-ром че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-на-ли пе-ре-се-ка-ют-ся и точ-кой пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. От-сю-да че-ты-рех-уголь-ник ABCD - па-рал-ле-ло-грамм, и его про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны и равны, таким об-ра-зом, век-то-ры и кол-ли-не-ар-ны, оче-вид-но, что они со-на-прав-ле-ны, и мо-ду-ли их равны, от-сю-да век-то-ры и равны, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-мер 4 - за-да-ча 760: до-ка-жи-те, что для любых некол-ли-не-ар-ных век-то-ров и спра-вед-ли-во нера-вен-ство (см. Рис. 8)

От-ло-жим из про-из-воль-ной точки А век-тор , по-лу-чим точку В, из нее от-ло-жим некол-ли-не-ар-ный ему век-тор . По пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма или тре-уголь-ни-ка по-лу-чим сумму век-то-ров - век-тор . Имеем тре-уголь-ник .

Длина суммы век-то-ров со-от-вет-ству-ет длине сто-ро-ны АС тре-уголь-ни-ка. По нера-вен-ству тре-уголь-ни-ка длина сто-ро-ны АС мень-ше, чем сумма длин двух дру-гих сто-рон АВ и ВС, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-ме-не-ние век-то-ров к ре-ше-нию задач

4. Выражение вектора через два неколлинеарных

На-пом-ним, что мы уже изу-чи-ли неко-то-рые факты о век-то-рах, и те-перь умеем опре-де-лять рав-ные век-то-ры, кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, со-на-прав-лен-ные и про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные. Также мы умеем скла-ды-вать век-то-ры по пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма, скла-ды-вать несколь-ко век-то-ров по пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка, умеем умно-жать век-тор на число. Ре-ше-ние задач с век-то-ра-ми ис-поль-зу-ет все эти зна-ния. Пе-рей-дем к ре-ше-нию неко-то-рых при-ме-ров.

При-мер 1 - за-да-ча 769: от-ре-зок ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка . Вы-ра-зи-те через век-то-ры и век-то-ры , , и .

От-ме-тим, что век-то-ры и некол-ли-не-ар-ны, то есть пря-мые АВ и АС не па-рал-лель-ны.

В даль-ней-шем мы узна-ем, что любой век-тор может быть вы-ра-жен через два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра.

Вы-ра-зим пер-вый век-тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло-вию ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка, зна-чит, век-то-ры и имеют рав-ные мо-ду-ли, кроме того, оче-вид-но, что они кол-ли-не-ар-ны и при этом со-на-прав-ле-ны, зна-чит, дан-ные век-то-ра равны.

Для вы-ра-же-ния сле-ду-ю-ще-го век-то-ра вос-поль-зу-ем-ся пра-ви-лом па-рал-ле-ло-грам-ма для вы-чи-та-ния. Мы пом-ним, что одна из диа-го-на-лей па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет сумме этих век-то-ров, а вто-рая - их раз-но-сти. Диа-го-наль, со-от-вет-ству-ю-щая раз-но-сти век-то-ров, сле-ду-ет от конца к на-ча-лу, таким об-ра-зом, если по-стро-ить на за-дан-ных век-то-рах и па-рал-ле-ло-грамм, то его диа-го-наль будет со-от-вет-ство-вать раз-но-сти .

Век-тор яв-ля-ет-ся про-ти-во-по-лож-ным к за-дан-но-му век-то-ру , от-сю-да .

Век-тор ана-ло-гич-но век-то-ру можно пред-ста-вить в виде раз-но-сти век-то-ров . При вы-ра-же-нии сле-ду-ет учесть тот факт, что точка В1 яв-ля-ет-ся се-ре-ди-ной от-рез-ка АС, зна-чит, век-то-ры и равны, зна-чит, век-тор можно пред-ста-вить как удво-ен-ное про-из-ве-де-ние век-то-ра .

Перед ре-ше-ни-ем за-да-чи мы ска-за-ли, что через за-дан-ные два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра можно вы-ра-зить любой век-тор. Вы-ра-зим, на-при-мер, ме-ди-а-ну АА1 (см. Рис. 2).

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний, вы-пол-ним их сло-же-ние:

Век-то-ры в сумме со-став-ля-ют ну-ле-вой век-тор, так как они кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны, а мо-ду-ли их равны, таким об-ра-зом по-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два, по-лу-чим:

Из дан-ной за-да-чи можно сде-лать вывод, что если за-да-ны два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра, то любой тре-тий век-тор на плос-ко-сти можно од-но-знач-но вы-ра-зить через эти два век-то-ра. Для этого необ-хо-ди-мо при-ме-нить пра-ви-ло сло-же-ния век-то-ров, либо ме-то-дом тре-уголь-ни-ка, либо па-рал-ле-ло-грам-ма, и пра-ви-ло умно-же-ния век-то-ра на число.

5. Свойство средней линии треугольника

При-мер 2: до-ка-зать с по-мо-щью век-то-ров свой-ство сред-ней линии тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 3).

Задан про-из-воль-ный тре-уголь-ник , точки M и N - се-ре-ди-ны сто-рон АВ и АС со-от-вет-ствен-но, MN - сред-няя линия тре-уголь-ни-ка. Свой-ство сред-ней линии: сред-няя линия па-рал-лель-на ос-но-ва-нию тре-уголь-ни-ка и равна его по-ло-вине.

До-ка-за-тель-ство дан-но-го свой-ства ана-ло-гич-но для тре-уголь-ни-ка и тра-пе-ции.

Вы-ра-зим век-тор двумя спо-со-ба-ми:

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний:

Вы-пол-ним сло-же-ние урав-не-ний си-сте-мы:

Сумма век-то-ров - это ну-ле-вой век-тор, длины этих век-то-ров равны по усло-вию, кроме того, они оче-вид-но кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны. Ана-ло-гич-но сум-мой век-то-ров будет ну-ле-вой век-тор. По-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два:

Таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли, что сред-няя линия тре-уголь-ни-ка равна по-ло-вине его ос-но-ва-ния. Кроме того, из ра-вен-ства век-то-ра по-ло-вине век-то-ра сле-ду-ет, что эти век-то-ры кол-ли-не-ар-ны и со-на-прав-ле-ны, а зна-чит, пря-мые MN и ВС па-рал-лель-ны.

Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ

для вычисления площади

некоторых геометрических фигур

Исследовательская работа по математике

Ученика 10 Б класса

МОУ СОШ №73

Перевозникова Михаила

Руководители:

Учитель математики МОУ СОШ№73 Драгунова Светлана Николаевна

Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич

Саратов, 2015

Введение.

1. Теоретический обзор.

1.1. Векторы и вычисления с векторами.

1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.

1.5. Координаты векторного произведения векторов.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.

2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы

2.3. Проверка на примерах правильности формулы.

2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.

Заключение

Введение

Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.

В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.

В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;

2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;

3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;

4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

1. Теоретический обзор.

1. Векторы и вычисления с векторами

Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка А , концом отрезка – точка В . Сам вектор обозначен через
или . Чтобы найти координаты вектора
, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

= { B x - A x ; B y - A y }

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

С векторами можно совершать различные действия.

Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

Сумму векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

+ = {a x + b x ; a y + b y }

Рис. 1. Действия с векторами

Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.

Разность векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти по формуле:

- = { a x - b x ; a y - b y }

Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.

Произведение вектора = {a x ; a y } и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a x ; k · a y }

А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!

Первый вариант – скалярное произведение.

Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

Для нахождения произведения векторов можно использовать угол  между данными векторами, показанный на рисунке 3.

Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.

В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты
, то их скалярное произведение равно:

В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.

В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение - и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).

Рис. 7. Правило правой руки

1.3. Свойства векторного произведения векторов.

Длина результирующего вектора определяется по формуле

.

При этом
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен
, а его направление определяется по правилу правой руки.

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.

Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле

Длина результирующего вектора находится по формуле:

.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.

Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .

Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).

Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

с использованием параллелограмма

2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.

Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).

Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

Решение.

Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.

По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).

Тогда .

Рис. 12. Доказательство теоремы

Доказательство.

Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!

Итак, следовательно,

2.3. Проверка правильности формулы на примерах

Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b=

I(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =

| a × b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Заключение

2.4. Приложения векторной алгебры

и скалярного и векторного произведения векторов.

Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.

В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.

В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.

Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.

В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.

Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.

Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.

Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

Список использованных источников

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

Аналитическая геометрия.

Математика. Клевер.

Изучение математики онлайн.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Сайт В. Глазнева.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Википедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:

1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.

3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.

4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.

5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.

6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.

7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.

I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC: CB = m: n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .

в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .

г) . Равенство. = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)