Глава двенадцатая. линейная алгебра

М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 623 с.
Под редакцией Мерзлякова Ю. И.Содержание:
Числа и множества.
Множества.
Отображения. Мощности.
Натуральный ряд.
Конечные и счётные множества.
Разбиение на классы.
Группы.
Понятие группы.
Подгруппы.
Операции над комплексами. Смежные классы.
Изоморфизмы и автоморфизмы.
Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы.
Кольца, тела, поля.
Кольца.
Гомоморфизмы и изоморфизмы.
Построение частных.
Кольца многочленов.
Идеалы. Кольца классов вычетов.
Делимость. Простые идеалы.
Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.
Разложение на множители.
Векторные и тензорные пространства.
Векторные пространства.
Инвариантность размерности.
Двойственное векторное пространство.
Линейные уравнения над телом.
Линейные преобразования.
Тензоры.
Антисимметрические полилинейные формы и определители.
Тензорное произведение, свёртка и след.
Целые рациональные функции.
Дифференцирование.
Корни.
Интерполяционные формулы.
Разложение на множители.
Признаки неразложимости.
Разложение на множители в конечное число шагов.
Симметрические функции.
Результант двух многочленов.
Результант как симметрическая функция двух корней.
Разложение рациональных функций на простейшие дроби.
Теория полей.
Подтело. Простое тело.
Присоединение.
Простые расширения.
Конечные расширения тел.
Алгебраические расширения.
Корни из единицы.
Поля Галуа (конечные коммутативные тела).
Сепарабельные и несепарабельные расширения.
Совершенные и несовершенные поля.
Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе.
Нормы и следы.
Продолжение теории групп.
Группы с операторами.
Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы.
Две теоремы об изоморфизме.
Нормальные и композиционные ряды.
Группы порядка p^n.
Прямые произведения.
Групповые характеры.
Простота знакопеременной группы.
Транзитивность и примитивность.
Теория Галуа.
Группа Галуа.
Основная теорема теории Галуа.
Сопряжённые группы, поля и элементы поля.
Поля деления круга.
Циклические поля и двучленные уравнения.
Решение уравнений в радикалах.
Общее уравнение n-й степени.
Уравнения второй, третьей и четвёртой степеней.
Построения с помощью циркуля и линейки.
Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой.
Нормальные базисы.
Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Упорядоченные множества.
Аксиома выбора и лемма Цорна.
Теорема Цермело.
Трансфинитная индукция.
Бесконечные расширения полей.
Алгебраически замкнутые поля.
Простые трансцендентные расширения.
Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость.
Степень трансцендентности.
Дифференцирование алгебраических функций.
Вещественные поля.
Упорядоченные поля.
Определение вещественных чисел.
Корни вещественных функций.
Поле комплексных чисел.
Алгебраическая теория вещественных полей.
Теоремы существования для формально вещественных полей.
Суммы квадратов.
Линейная алгебра.
Модули над произвольным кольцом.
Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители.
Основная теорема об абелевых группах.
Представления и модули представлений.
Нормальные формы матрицы над полем.
Элементарные делители и характеристическая функция.
Квадратичные и эрмитовы формы.
Антисимметрические билинейные формы.
Алгебры.
Прямые суммы и пересечения.
Примеры алгебр.
Произведения и скрещенные произведения.
Алгебры как группы с операторами. Модули и представления.
Малый и большой радикалы.
Звёздное произведение.
Кольца с условием минимальности.
Двусторонние разложения и разложения центра.
Простые и примитивные кольца.
Кольцо эндоморфизмов прямой суммы.
Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах.
Поведение алгебр при расширении основного поля.
Теория представлений групп и алгебр.
Постановка задачи.
Представления алгебр.
Представления центра.
Следы и характеры.
Представления конечных групп.
Групповые характеры.
Представления симметричных групп.
Полугруппы линейных преобразований.
Двойные модули и произведения алгебр.
Поля разложения простых алгебр.
Группа Брауэра. Системы факторов.
Общая теория идеалов коммутативных колец.
Нётеровы кольца.
Произведения и частные идеалов.
Простые идеалы и примарные идеалы.
Общая теорема о разложении.
Теорема единственности.
Изолированные компоненты и символические степени.
Теория взаимно простых идеалов.
Однократные идеалы.
Кольца частных.
Пересечение всех степеней идеала.
Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах.
Теория идеалов в кольцах многочленов.
Алгебраические многообразия.
Универсальное поле.
Корни простого идеала.
Размерность.
Теорема Гильберта о корнях. Сестема результантов для однородных уравнений.
Примарные идеалы.
Основная теорема Нётера.
Сведение многомерных идеалов к нульмерным.
Целые алгебраические элементы.
Конечные R-модули.
Элементы, целые над кольцом.
Целые элементы в поле.
Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов.
Обращение и дополнение полученных результатов.
Дробные идеалы.
Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах.
Нормированные поля.
Нормировиня.
Пополнения.
Нормирования поля рациональных чисел.
Нормирования алгебраических расширений: случай полного поля.
Нормирования алгебраических расширений: общий случай.
Нормирования полей алгебраических чисел.
Нормирования поля рациональных функций.
Аппроксимационная теорема.
Алгебраические функции одной переменной.
Разложения в ряды по степеням униформизирующих.
Дивизоры и их кратные.
Род g.
Векторы и ковекторы.
Дифференциалы. Теорема об индексе специальности.
Теорема Римана - Роха.
Сепарабельная порождаемость функциональных полей.
Дифференциалы и интегралы в классическом случае.
Доказательство теоремы о вычетах.
Топологическая алгебра.
Понятие топологического пространства.
Базисы окрестностей.
Непрерывность. Пределы.
Аксиомы отделимости и счётности.
Топологические группы.
Окрестности единицы.
Подгруппы и факторгруппы.
Т-кольца и Т-тела.
Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей.
Фильтры.
Пополнение группы с помощью фильтров Коши.
Топологические векторные пространства.
Пополнение колец.
Пополнение тел.

Arch. Internat. Hist. Sci. 28 (103) (1978), 167-182.

Бартел Л. ван дер Варден - О движении планет по Гераклиду Понтийскому.

Перевод Д.Ю. Климушкина , 2007.

Бартел Л. ван дер Варден

О движении планет по Гераклиду Понтийскому

В главе 110 Комментария Халкидия к платоновскому Тимею есть следующий отрывок, касающийся астрономической теории Гераклида Понтийского:

110. Наконец, Гераклид Понтийский, описывая круг Люцифера, как и таковой Солнца, и давая двум кругам один центр и одну середину, показал, что Люцифер бывает иногда выше, иногда ниже Солнца. Он говорит, что положения Солнца, Луны, Люцифера и всех планет, где бы они не находились, определяется линией, проходящей через центры Земли и данного небесного тела. Будет одна прямая линия, проведённая от центра Земли, показывающая положение Солнца, и также будут две другие прямые линии справа и слева на расстоянии 50° от него, и на расстоянии 100° друг от друга, линия, ближайшая к востоку, показывающая положение Люцифера или Утренней Звезды когда он на наибольшем расстоянии от Солнца и вблизи восточных регионов, и линия, благодаря которой он затем получает имя Вечерней Звезды, поскольку он появляется к востоке вечером после захода Солнца.

1° Геоцентрическая интерпретация, предложенная в 1849 г. Т. Мартином , повторенная большинством позднейших авторов. Ясное изложение этой интерпретации, основывающееся на внимательном сравнении текста Халкидия со свидетельствами Теона из Смирны и других, дана В. Зальтцером . Согласно Зальтцеру, Гераклид предполагал центр Земли в состоянии покоя, и Солнце, Меркурий и Венеру движущимися по эпициклам вокруг общего центра, который движется вокруг Земли по кругу. Рис. 1 заимствован из статьи Зальтцера.

Рис.1. Рис. 2.

2° Моя собственная интерпретация (см. рис. 2), согласно которой Гераклид предположил, что Солнце, Земля и Венера движутся по кругам вокруг общего центра, была разъяснена в 1944 г. в статье и еще раз в 1959 г. в статье . Она была подвергнута критике Паннекуком , Зальтцером , и Нейгебауэром .

3° Согласно собственной интерпретации Нейгебауэра , слова “superior” и “inferior” в тексте Халкидия означают не “ближе и ”дальше”, а “спереди” и ”позади” (на эклиптике). Эта интерпретация была подвергнута критике Зальтцером .

В дальнейшем я оставлю в стороне вопрос о том, как должны переводиться слова “superior” и “inferior”. Я предпочитаю обычную интерпретацию, но это предпочтение не повлияет на мои аргументы.

Отрицание моей теории Нейгебауэром мотивируется следующим образом:

Следующий, и намного более серьёзный шаг, заключается в приукрашивании «системы» Гераклида. Например, Ван дер Варден сконструировал планетную модель, в которой Гераклид не только предположил осевое вращение Земли, но также и движение по круговой орбите вокруг пустого центра, при этом земная орбита является наиболее внешней из трёх концентрических кругов, по которым предполагаются движущимися Солнце, Венера и Земля. Внимательное, по пунктам, опровержение этих теорией Паннекуком не дало никакого результата.

Последнее утверждение является ошибкой, одной из немногих в великолепной работе Нейгебауэра. Паннекук никогда не опровергал мою интерпретацию. Он только аргументировал, что мои доводы не являются решающими, другими словами, другая интерпретация свидетельств также возможна.

Цель настоящей работы заключается в представлении аргументов в пользу моей теории заново. Я покажу, что к моей интерпретации гераклидовой теории Венеры можно придти с логической необходимостью сразу после того, как только приняты свидетельства Платона (Законы 822а) как таковые. Более того, я покажу, что моя теория находится в согласии со всеми свидетельствами.

В книге 7 Законов , 821 B - 822 C, Платон пишет:

Афинянин. Друзья мои, ныне, сказал бы я, все мы, эллины, заблуждаемся относительно великих богов - Солнца и Луны.

Клиний. В чем же состоит это заблуждение?

Афинянин. Мы говорим, что они никогда не движутся одним и тем же путем, так же как и некоторые другие звезды, и потому мы их называем блуждающими.

Клиний. Клянусь Зевсом, чужеземец, ты говоришь правильно. Однако я в своей жизни нередко наблюдал, как Утренняя звезда, Вечерняя и некоторые иные никогда не совершают бега по тому же пути, но блуждают повсюду и, конечно, Солнце и Луна проделывают то, что нам всем постоянно известно.

Афинянин. Поэтому-то, Мегилл и Клиний, я утверждаю сейчас, что наши граждане и молодые люди должны узнать все это о небесных богах хотя бы в таком объеме, чтобы не поносить их, но всегда при жертвоприношениях и в молитвах сохранять благочестие.

Клиний. Это верно, если только прежде всего возможно узнать то, о чем ты говоришь. Затем, раз мы кое в чем ошибаемся относительно этих богов, обучившись же, перестанем делать ошибки, то и я уступаю тебе в том, что подобную науку надо усвоить по крайней мере в таком объеме. А ты попытайся всячески растолковать нам, что дело действительно обстоит таким образом. Усвоив это, мы за тобой последуем.

Афинянин. Хотя и нелегко понять, о чем я говорю, однако и не так уж трудно. Да и времени это не требует особенно долгого. Вот вам доказательство: немолодым и не так давно узнал я об этом; однако я мог бы теперь объяснить это вам, и притом за короткое время. А ведь будь это трудно, я никогда не сумел бы объяснить это вам, учитывая мои и ваши преклонные годы.

Клиний. Это верно. Но о какой науке говоришь ты такие странные вещи? Ей должна обучаться молодёжь, между тем как нам она неизвестна? Попробуй хоть немного разъяснить это.

Афинянин. Надо попробовать. Друзья мои, это мнение о блуждании Луны, Солнца и остальных звезд неправильно. Дело обстоит как раз наоборот. Каждое из этих светил сохраняет один и тот же путь; оно совершает не много круговых движений, но лишь одно. Это только кажется, что оно движется во многих направлениях. Опять-таки неверно считать самое быстрое из этих светил самым медленным, а самое медленное - самым быстрым. Природа устроила это по-своему, а мы держимся иного мнения... Если бы в Олимпии, при конных ристаниях или при состязании людей в длинном пробеге, мы держались подобного образа мыслей и считали бы самого быстрого бегуна самым медленным, а самого медленного - самым быстрым, то мы стали бы воздавать побеждённому хвалу за победу. Я думаю, было бы неправильно и неприятно для бегунов, если бы мы стали так раздаривать наши хвалы, а ведь бегуны - только люди. Если же мы и по отношению к богам впадем в такую ошибку, то разве мы не сообразим, что то, что было смешно и неправильно в первом случае, окажется вовсе несмешным теперь, когда речь идет о богах. Богам неприятно, если мы поем им ложную славу (перевод Хиса , , курсив мой).

Общепринято, что «Афинянин» выражает собственное мнение Платона. Так что я в дальнейшем буду полагать, что Платон имеет в виду то, что «Афинянин» произносит в диалоге, и что он подразумевает это в прямом смысле, а именно, что каждая из планет, включая Солнце и Луну, всегда двигается по кругу и по одному и тому же пути.

Ранее, когда Платон писал Тимей , он подразумевал, что Солнце и Луна имеют по два движения: «Движение Тождественного», или суточное движение с востока на запад, и «Движение Иного» по зодиаку в противоположном направлении. Для Венеры и Меркурия предполагается ещё одно движение, поскольку Платон говорит в Тимее 38d о «противоположной тенденции», которая приводит к тому, что Солнце, Меркурий и Венера «поочередно и взаимно догоняют друг друга». В более ранней статье я дал возможную интерпретацию этой «противоположной тенденции». Для наших нынешних целей интерпретация «противоположной тенденции» не необходима: достаточно сказать, что согласно Тимею все планеты имеют по меньшей мере два движения, и Венера и Меркурий даже больше. Теперь в Законах Платон решительно отбрасывает эту теорию, поскольку он говорит, что каждая планета имеет только одно движение и только один круг.

В системе Евдокса все планеты имеют по 3 или 4 движения одновременно . Следовательно, если мы возьмём слова Платона в их буквальном смысле, мы обязаны заключить, что Платон в старости отбросил систему Евдокса, как и систему Тимея . В промежутке времени между Тимеем и Законами он принял, вопреки мнению «всех греков», теорию, в которой каждая планета движется по одному единственному кругу.

Это обращение Платона отражено в его собственных словах: В Законах «Афинянин» говорит (821 E), что он узнал об этой теории «немолодым и не так давно».

Теперь мы можем спросить: Каково было в этой теории движение Земли?

Если предположить, что Земля находится в состоянии покоя, необходимо по меньшей мере три движения для планеты Венера: одно суточное движение, одно годичное движение вместе с Солнцем, и одно дополнительное движение для объяснения того, почему Венера «поочередно и взаимно догоняет» Солнцем. Если предположить суточное вращение Земли, как сделали Гераклид Понтийский и Экфант Пифагореец, всё ещё необходимо два движения Венеры. Единственная теория, объясняющая явления Венеры предположением только одного кругового движения, заключается в придании Земле двух движений: одно - суточное вращение вокруг оси и другое - годичное движение по кругу в плоскости эклиптики, как в нашей гелиоцентрической системе. Так что наиболее разумным кажется предположить, что в этой теории Платон окончательно принял, что Земля имеет осевое вращение и круговое годичное движение.

Это заключение подтверждается отрывком из плутарховых Questiones Platonicae viii, 1 (1006c):

Теофраст также добавляет, что Платон в его старческом возрасте сожалел, что он предоставил Земле центральное место во вселенной, которое не подходило для неё.

Теофраст, преемник Аристотеля по перипатетической школе, является очень хорошим источником, так что, по-моему, мы должны принять его утверждение и заключить, что Платон в старости принял систему, в которой Земля не была расположена в центре вселенной.

Согласно Гемину, первыми, кто сконструировал теории равномерного кругового движения для объяснения наблюдаемых явлений, были пифагорейцы. В своём Введении в явления Гемин пишет:

Фундаментальным предположением всей астрономии является то, что Солнце, Луна и пять планет движутся по круговым орбитам с постоянной скоростью в направлении, противоположном движению вселенной. Поскольку пифагорейцы, кто первыми обратились к исследованиям этого типа, предположили, что движения Солнца, Луны и пяти планет являются круговыми и равномерными. По отношению к вещам божественным и вечным они не допускали никакой беспорядок, наподобие такого, какой заставлял их двигаться то быстрее, то медленнее, то останавливаться, как делают планеты в своих так называемых стационарных точках. Поскольку такая нерегулярность движения была бы странной даже по отношению к приличному и порядочному человеку в его странствиях. Что касается людей, то, конечно, жизненные нужды часто бывают причинами замедления и ускорения; но невозможно приводить причины замедления и ускорения вечным звёздам. Соответственно, они поставили задачу, как эти явления могут быть объяснены посредством круговых и равномерных движений.

Вместо слова αποδιδόναι, которое Хис перевёл как «объяснить», другие греческие авторы используют эквивалентное выражение σώζειν «сохранить» (явления). Смысл всегда один и тот же: проблема заключается в том, чтобы найти гипотетические равномерные движения в пространстве по окружностям, которые бы приводили к кажущимся неравномерным движениям, которые мы наблюдаем у планет.

Мотивация такой постановки задачи у пифагорейцев, по Гемину, весьма замечательна. Они говорят: звёзды являются вечными и божественными, и у них нет причины двигаться быстрее или медленнее, или даже останавливаться и, следовательно, их истинные движения должны быть равномерными. Очень оригинальная теологическая мотивация фундаментального положения греческой астрономии!

Isagoge Гемина содержит ценную информацию об истории греческой и халдейской астрономии. В любом случае, когда мы можем проверить его утверждения, они оказываются достоверными. Например, он описывает теорию движения Луны и приписывает её «халдеям», т.е. астрономам Вавилона . Эта теория идентична, во всех численных деталях, с теорией, использованной в текстах глиняных табличек . Другой пример: Гемин объясняет календарные циклы Эвктемона (432 г. до н.э.) и Каллиппа (330 г. до н.э.). В четырёх случаях его описание цикла Каллиппа может быть проверено посредством двойных дат наблюдений Тимохариса, содержащихся у Птолемея. Во всех четырёх случаях описание каллиппова цикла у Гемина оказывается корректным , так что мы может предположить, что его описание календаря Эвктемона также корректно. Таким образом, Гемин кажется хорошо информированным в астрономии пятого и четвёртого столетий до н.э. Я полагаю, мы можем также доверять его изложению идей пифагорейцев.

Однако есть и другое свидетельство, которое, на первый взгляд, кажется противоречащим изложению Гемина. Это свидетельство найдено в комментарии Симпликия к аристотелевскому De Caelo , стр. 488 редакции Гейберга. Оно гласит в переводе Хиса:

И, как Эвдем рассказывает во второй книге своей истории астрономии, и также Созиген, который заимствовал у Эвдема, Евдокс Книдский был первым из греков, обратившимся к гипотезам этого сорта, Платон поставивший, как говорит Созиген, всем серьёзным ученикам это как задачу отыскать каковы равномерные и упорядоченные движения, с помощью которых могут быть сохранены явления, относящиеся к движению планет.

В этом свидетельстве скомбинированы две информации, одна относительно Евдокса и другая относительно Платона. Что касается утверждения относительно Евдокса, два источника упомянуты: Эвдем и Созиген. В информации относительно Платона упомянут только Созиген.

Теперь возникает вопрос: что на самом деле сказал Эвдем во второй книге своей Истории астрономии? Возможно ли, как думали Хюлч и другие, что Эвдем упомянул только планетную теорию Евдокса, и история о Платоне является позднейшей вставкой? Или уже Эвдем записал эту историю о Платоне?

Если удалить эту историю, Эвдем сказал бы что-то в этом духе: «Первым из греков, обратившимся к проблеме объяснения аномалий движения планет с помощью равномерных круговых движений был Евдокс Книдский. Он попытался найти каковы равномерные и упорядоченные движения, с помощью которых могут быть сохранены планетарные явления».

Если принять эту интерпретацию, свидетельство об Эвдеме действительно будет противоречить утверждению Гемина, согласно которому первыми, кто исследовал ту же самую проблему, были пифагорейцы. Мы бы имели очевидное противоречие между двумя внушающими доверие и компетентными авторами.

Однако, есть и другая возможность. Можно предположить, как это сделали Фридлэндер и Хис , что свидетельство насчёт Платона было составной частью свидетельства Эвдема, цитированного Созигеном. В этом случае Эвдем тог сказать что-то в этом духе:

«Платон поставил астрономам задачу отыскать при каких предположениях относительно круговых и равномерных движениях могут быть сохранены планетные явления. Первым, кто обратился к этой задаче, был Евдокс Книдский».

Та интерпретация, конечно, возможна, и она не заставляет нас отбросить свидетельство Гемина. Комбинируя свидетельства Эвдема и Гемина, мы получаем согласованную картину того, что случилось в пятом и четвёртом столетиях. Как говорит Гемин, пифагорейцы были первыми, кто предложили проблему «спасения явлений». Их решение не было удовлетворительным, по причинам, объяснённым в моей статье . Поэтому Платон сформулировал задачу заново и попросил астрономов предложить другие решения. Первым, кто это сделал, был Евдокс, но, как хорошо известно, его решение также было неудовлетворительным .

Если иметь в виду эту последовательность событий, возникают некоторые вопросы. Не сказал ли Платон в Государстве (530 B-C), что мы должны «изучать астрономию так же, как геометрию, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы хотим действительно освоить астрономию»? Не означает ли это, что Платон вовсе не интересовался проблемой «сохранения явлений»?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим другой отрывок из Платона. В Государстве 509 D Платон различает два типа: зримый и умопостигаемый. В 510 B он называет те же самые типы доступный мнению и доступный знанию . В 511 D-E он различает четыре привязанности, возникающие в душе:

(1) Разум , имеющий дело с идеями;

(2) Рассудок , умственная привычка геометров и т.п., которая имеет дело с математическими объектами и стартует с гипотез;

(3) Вера , базирующаяся на чувственных данных;

(4) Уподобление , имеющее дело с образами.

Говоря о математиках, он говорит, что душа вынуждается принимать допущения (511 A), и также что они используют видимые формы (510 C). Это означает: их размышление и их объяснение начинается с чувственных данных (3) и далее следует к рассудку (2), и это является необходимой процедурой. Следующий шаг заключается в том, с целью освобождения себя от гипотез математиков, чтобы использовать их только как трамплин и подняться, посредством диалектики, к Началу, не имеющему предпосылки (510 B). Рассудок находится посередине между Верой и подлинным знанием (511 D), и является промежуточным по необходимости. Вся программа обучения, объяснённая в книге 7 Государства , базируется на идее, что математика, особенно арифметика и геометрия, предваряет истинное знание, то есть знание идей.

То, что Платон говорит о гармонии и астрономии, находится в полном согласии с этими принципами. «Как глаза наши устремлены к астрономии, так уши - к движению стройных созвучий» (530 D). То есть: астрономия с необходимостью начинается с видимых явлений. «Небесным узором надо пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия» (529 D). Точнее говоря, мы должны начинать с видимых явлений и устанавливать предположения для их объяснения, но впоследствии мы должны «отбрасывать предположения» и «подходить к первоначалу» (533 C). Платон знает о существующей астрономии, как её трактуют те, «кто возводит ее до степени философии» (я полагаю, он имеет в виду пифагорейцев), и определённо полагает её важной как промежуточная стадия по направлению к «истинному знанию» «подлинной быстроты и медленности».

Отсюда следует, что Платон действительно интересовался видимыми явлениями и гипотезами для их объяснения. Тем не менее, он не хотел выдавать эти гипотезы «за нечто изначальное», напротив, рассматривать их «только предположения, как таковые, то есть некие подступы и устремления к началу всего, которое уже не предположительно» и с этой стартовой точки приходить «затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями» (511 B-C). Другими словами, проведение наблюдений и их объяснение посредством предположений - это полезная деятельность, но за ней должна следовать «истинная астрономия», имеющая дело только с идеями.

В Тимее главное действующее лицо уже не Сократ, а пифагореец Тимей. Он начинает с краткого изложения теории идей, и говорит, что мир был создан «принимая во внимание идеи» (29 A). Начиная с этого места главным объектом внимания Тимея является видимый мир. То, что он предлагает, это не «истинная наука астрономии», как это определено в Республике, а «правдоподобный миф» (29 D). На протяжении диалога Тимей выдвигает много гипотез предназначенных объяснить некоторые явления. Например, говоря о движении Венеры и Меркурия, он говорит, что Демиург разместил их

на тот круг, который бежит равномерно с Солнцем, но в обратном направлении. Оттого-то Солнце, Гермесова звезда и Утренняя звезда поочередно и взаимно догоняют друг друга (Тимей 38 D).

Независимо то того, принимается ли моя интерпретация «противоположной тенденции», данная в , в любом случае ясно, что здесь Платон имеет в виду видимое явление, а именно то, что эти планеты «поочередно и взаимно догоняют друг друга», и что он хочет объяснить это явление с помощи гипотезы «противоположной тенденции». Как отметил Хис (, p.166),

ясно, что идея о том, что две планеты имеют «противоположные тенденции к Солнцу» выдвинута с целью объяснения явлений.

Я полагаю, теперь ясно, что Платон был действительно заинтересован в «сохранении явлений», и мы можем принять свидетельство Созигена согласно которому он поставил это как задачу всем своим наиболее серьёзным ученикам: найти равномерные и упорядоченные движения, с помощью которых могут быть сохранены явления, относящиеся к движению планет.

В разделе 2 мы пришли к заключению, что Платон, в процессе создания Законов , изменил свои взгляды на движение планет и согласился с теорией, в которой каждая планета движется по единственному кругу. Конечно, он не принял бы эту теорию, если бы она не объясняла наиболее очевидные планетные явления. В моей статье я установил, что возможна только одна теория, удовлетворяющая этим требованиям.

В этой теории Земля и Солнце движутся по окружностям вокруг незанятого центра, как показано на рис. 2, и Земля также вращается вокруг своей оси, как в нашей гелиоцентрической системе.

Есть только два известных автора, предположивших осевое вращение Земли, а именно Экфант из Сиракуз и Гераклид Понтийский. Взгляды Экфанта, как нам известно, были очень сходны со взглядами Гераклида; возможно он был только персонаж диалогов Гераклида . В любом случае, о планетной системе Экфанта ничего не известно. С другой стороны, Гераклид разработал геометрическую теорию движений Венеры и Солнца; мы это знаем из текста Халкидия, цитированного в начале статьи. Гераклид был членом школы Платона как раз на протяжении периода, о котором мы сейчас говорим. Следовательно, он безоговорочно является наиболее вероятным автором астрономической системы, принятой Платоном.

Теперь я покажу, что свидетельства, касающиеся Гераклида, согласуются с этим предположением. Я использую, с непринципиальными изменениями, перевод Хиса .

1. Аэций III, 13,3 (Diels, Doxographi Graeci , p. 378):

Гераклид Понтийский и Экфант Пифагореец двигают Землю, однако не в смысле перемещения, но в смысле вращения, как закреплённое на оси колесо, с запада на восток, вокруг своего центра.

2. Прокл Диадох в Platonis Timaeum Comm. 281 E (ed. Diels, III, p. 138):

Как можем мы, когда нам говорят, что Земля поворачивается вокруг, разумно заставлять её также вращаться и выдавать это за мнение Платона? Пусть Гераклид Понтийский, кто не был учеником Платона, принимает это мнение и движет Землю по кругу, но Платон оставлял её неподжвижной.

3. Scholia in Aristotelem, ed. Brandis, p. 505:

Гераклид Понтийский предположил, что Земля вращается вокруг своего центра, в то время как небеса остаются в покое, и полагал таким образом сохранить явления.

4. Аэций II, 1,5 (Diels, Doxographi Graeci , p. 328b 4):

Но Гераклид Понтийский предположил, что Земля находится в центре и движется по кругу, в то время как небеса остаются в покое, и полагал с помощью этого предположения сохранить явления.

Сходство между тремя последними свидетельствами показывает, что они исходят из общего источника: доксографического утверждения, которое говорит, что Гераклид предположил:

а) что Земля находится в центре;

б) что Земля движется по кругу;

в) в то время как небеса находятся в покое;

г) и что он полагал посредством этого предположения сохранить явления.

Кажется, тот же самый общий источник был также использован Симпликием:

5. Симпликий, комментарий к Аристотелю, О Небе , II, 13, 293b 30 (p. 519, Heiberg):

Но Гераклид Понтийский, предполагая, что Земля находится в центре и вращается, в то время как небеса остаются в покое, думал таким образом сохранить явления.

В другом месте того же самого комментария, вероятно из того же источника, Симпликий приводит больше подробностей о вращении Земли:

6. Симпликий, комментарий к Аристотелю, О Небе , II, 7, 289b 1 (p. 444-445 Heiberg):

Он (Аристотель) полагал правильным рассмотреть гипотезу, что и то и другое (т.е. звёзды и небо в целом) находятся в состоянии покоя - хотя казалось бы невозможным объяснить видимое изменение их положений с помощью предположения, что и то, и другое в покое - поскольку были некоторые, наподобие Гераклида Понтийского и Аристарха, которые предположили, что явления могут быть сохранены если небеса и звёзды находятся в покое, в то время как Земля движется вокруг полюсов равноденственного круга с запада (на восток), делая один оборот примерно за день; «примерно» добавлено из-за суточного движения Солнца величиной в один градус. Так что, конечно, если бы Земля вовсе не двигалась, что, как позднее показал Аристотель, имеет место на самом деле, хотя здесь он с целью обсуждения предполагает, что она движется, было бы невозможно сохранить явления с помощью предположения, что небеса и звёзды в покое.

Я полагаю, Симпликий прав в этом последнем пункте. Действительно, невозможно сохранить явления, предполагая небо и звёзды находящимися в состоянии покоя, в то время как Земля имеет только осевое вращение, поскольку, если это предположить, то после любого количества полных оборотов Земли Солнце, Луна и все планеты окажутся точно на тех же местах, что и раньше, в противоречии с нашим повседневным опытом.

У Симпликия была та же самая трудность:

7. Симпликий, комментарий к Аристотелю, О Небе , II, 14, 297а 1 (p. 541-542 Heiberg):

Это точно также происходило бы (т.е. звёзды были бы видны на разных расстояниях друг от друга в разные моменты времени вместо того, чтобы, как сейчас, всегда наблюдаться на том же расстоянии, независимо от того, восходят они, заходят или находятся в промежуточном положении, и Луна время затмения не была бы всегда диаметрально противоположна Солнцу, будучи иногда отделена от него дугой, меньшей полуокружности), если бы Земля имела бы поступательное движение; но если Земля вращается вокруг своего центра в то время как небесные тела неподвижны, как предположил Гераклид Понтийский, тогда (1) при гипотезе о вращении на запад, звёзды были бы видны восходящими с этой стороны, в то время как (2) при гипотезе вращения на восток (а) если вращение происходит вокруг полюсов равноденственного круга (по экватору), то Солнце и другие планеты не восходили бы в разных точках горизонта, и (б) если бы вращение происходило вокруг полюсов круга зодиака, то неподвижные звёзды не всегда восходили бы в тех же самых точках, как происходит фактически; та что, происходит ли вращение вокруг полюсов равноденственного круга или полюсов зодиака, как было бы сохранено движение планет в прямом направлении его знаков в предположении о неподвижности неба?

Я не могу не согласиться с Симпликием, что доксографическое утверждение, на котором базируются свидетельства от 2 до 7, не более чем бессмыслица с астрономической точки зрения. Никакой серьёзный астроном не стал бы претендовать на «сохранение явлений» только лишь с помощью предположений a , б и в .

Таким образом, возникает вопрос: как мы можем понять эти четыре части a , б , в , г , которые были скомбинированы нашими доксографами и произведя, взятые вместе, с такую бессмыслицу?

Начнём со свидетельства 1, которое мы скомбинируем с частью в: ‘в то время как небеса находятся в покое’. Я предполагаю, что Гераклид, в одном из своих драматических диалогов (из-за которых он был знаменит в античности), объяснил свою теорию осевого вращения Земли, сохраняя явления примерно таким образом: предположим на мгновение, что небо, звёзды и планеты, включая Солнце и Луну, находятся в покое, в то время как Земля вращается вокруг своего центра, как колесо на оси, с запада на восток. Тогда, если мы посмотрим на небо с вращающейся Земли, то мы получим точно такое же впечатление, как если бы Земля была в покое, в то время как небо и все звёзды вращались бы вокруг одной и той же оси с запада на восток. Таким образом, видимое суточное движение могло бы быть объяснено осевым вращением Земли.

Разумеется, этого недостаточно. Если мы полагаем, что Земля совершает только осевое вращение, то некоторые наиболее очевидные явления, связанные с Луной, Солнцем и планетами остаются необъяснёнными. Поэтом я полагаю, что Гераклид ввёл, в дополнение к суточному вращению, годичное движение Земли: он заставил Землю «двигаться по кругу». Я использую это выражение, которое встречается в свидетельствах 2 и 4 в его наиболее буквальном смысле. Осевое вращение описывается, в свидетельстве 1, весьма иным образом: «как закреплённое на оси колесо», «вокруг своего центра». Я буду подразумевать, что слова «двигаясь по кругу» означают только движение по кругу, и более ничего.

Стартуя с текста Платона, я уже пришёл к выводу, что Гераклид подразумевал осевое вращение и, в дополнение к нему, годичное движение Земли по кругу. Я теперь предполагаю, что он объяснил эти две части своей теории в различных частях своего диалога или диалогов. Сначала он объяснил суточное вращение неба с помощью предположения об осевом вращении Земли, пренебрегая всеми остальными движениями. Затем, в другом разделе, он объяснил явления Солнца и Венеры предположением, что Земля, Солнце и Венера движутся по кругам вокруг общего центра.

Таким образом, для объяснения свидетельств доксографов мы должны только предположить, что изначально, в наиболее ранних отрывках (скажем, во «Мнениях физиков» Теофраста) было два разных утверждения, например:

А) Гераклид Понтийский (и Экфант Пифагореец) предположили, что Земля вращается вокруг своего центра, наподобие колеса на оси, с запада на восток, в то время как небеса и звёзды неподвижны.

Б) Гераклид Понтийский предположил, что Земля движется по кругу, и полагал с помощью этого предположения сохранить явления.

Я полагаю, далее, что более поздние доксографы скомбинировали астрономически разумные утверждения А и Б в одно бессмысленное предложение, состоящее из четырёх частей а , б , в , г , из которых а и в были взяты из А, и б и г - из Б. Утверждения а и в были также приведены в своей правильной исходной форме у Аэция в свидетельстве 1. Эта интерпретация, конечно, возможна, и она разрешает все трудности.

В своём свидетельстве 7 Симпликий упоминает Гераклида и Аристарха вместе. Это легко понять, если принять мою интерпретацию системы Гераклида. Фактически, маленькое изменение этой системы произвело бы гелиоцентрическую систему Аристарха. В системе Гераклида радиус круга Солнца достаточно произвольный. Если его приравнять нулю, получается система Аристарха.

Есть ещё одно свидетельство, где гелиоцентрическая система Аристарха связывается с Гераклидом. Это свидетельство идёт от Гемина и приводится Симпликием в его комментарии к Физике Аристотеля (р. 291-292, Dieks). Я приведу перевод Хиса (, p. 275-276):

Александр обстоятельно цитирует некоторое объяснение Гемина, взятое из его аннотации Метеорологии Посидония. Комментарий Гемина, вдохновлённый Аристотелем, следующий:

«Делом исследований физиков является рассмотрение субстанции неба и звёзд, их сил и качеств, их происхождения и их разрушения, мало того, это путь даже для установления факты об их размере, форме и расположении. Астрономия, с другой стороны, не пытается говорить о чём-либо в этом роде, но устанавливает расположение небесных тел с помощью рассуждений, основанных на взгляде, что небеса - это реальный космос и, далее, она говорит нам о формах, размерах и расстояниях Земли, Солнца и Луны, о затмениях и соединениях звёзд, так же как о качестве и пределах их движений. Соответственно, поскольку это связано с исследованием количества, размера и качества формы или очертания, это естественно приводит к необходимости, таким образом, в арифметике и геометрии. Далее, предметы, о которых астрономия в состоянии дать представление, устанавливаются посредством арифметики и геометрии. Теперь, во многих случаях астроном и физик будут намереваться установить одни и те же вещи, например, что Солнце намного Превосходит Землю по размерам или что Земля имеет форму шара, но они не будут следовать одним и тем же путём. Физик будет доказывать каждый факт с помощью рассмотрения сути или субстанции, или силы, его сущности в большей степени тем, что вещи должны быть такими, какими они являются, или рассматривая их возникновение или изменение […of force, of its being better that things should be as they are, or of coming into being and change]; астроном будет устанавливать их с помощью свойств фигур или величин, или с помощью величины движения и времени, соответствующих вещам. Снова, физик во многих случаях постигнет причину с помощью рассмотрения творящей силы; но астроном, устанавливая факты из внешних условий, не имеет квалификации для того, чтобы судить относительно причины, когда он, к примеру, декларирует, что Земля или звёзды сферические; иногда он даже не желает устанавливать причину, как когда он рассуждает о затмениях; в других случаях он изобретает гипотезы и устанавливает некоторые предположения, с помощью которые будут сохранены явления. Например, почему кажется, что Солнце, Луна и планеты движутся неравномерно? Мы можем ответить что если мы предположим, что их орбиты являются эксцентрическими кругами или что звёзды описывают эпициклы, их кажущаяся неравномерность будет сохранена; и будет необходимо пойти дальше и изучить, с помощью какого количества различных способов возможно осуществлять эти явления, так что мы можем привести нашу планетную теорию в согласие с тем объяснением причин, которое следует приемлимому методу. В действительности, мы находим некоего Гераклида Понтийского, вышедшего и заявившего, что видимая нерегулярность относительно Солнца может быть сохранена даже в предположении, что Земля некоторым образом движется, а Солнце некоторым образом покоится. Поскольку не является делом астронома знать что по природе подходит к месту покоя, и тела какого вида подвержены движению, но он вводит гипотезы при которых некоторые тела остаются неподвижными, тогда как другие движутся, и далее рассматривает какой гипотезе соответствуют явления, действительно наблюдённые на небесах. Но он должен прийти к физику за его первопринципами, а именно, что движения звёзд простые, однородные и упорядоченные, и посредством этих принципов он устанавливает, что все ритмические движения являются кругами, некоторые оказываются параллельными кругами, другие наклонными кругами».Таково изложение, данное Гемином, или Посидонием у Гемина, о различии между физикой и астрономией, в отношении чего этот комментатор вдохновлён Аристотелем.

В своём комментарии к этому отрывку Хис сначала обсуждает смысл выражения «видимая нерегулярность относительно Солнца». Хис пишет:

Я согласен со взглядом Скиапарелли, что это должна быть то же самое, что Гиппарх и Птолемей в Синтаксисе обыкновенно описывают как «нерегулярность относительно Солнца» (ή πρός τόν ήλιον άνωμαλία или ή παρά τόν ήλιον άνωμαλία), то есть большое неравенство в видимом движении планет, которое является единственным, известным во времена Гераклида и которое главным образом проявляется в стационарных точках и попятных движениях. Верно, что в данном конкретном предложении планеты не упомянуты, но они упомянуты в предложении Гемина, которое непосредственно ему предшествует, и если наше предложение является цитатой слов, использованных самим Гераклидом, они без сомнения шли за аналогичным упоминанием планет Гераклидом.

Я полностью согласен с интерпретацией текста Скиапарелли и Хиса. Я также согласен с Таннери и Хисом, что слова «Гераклид Понтийский» вероятно являются интерполяцией в текст Гемина. Астрономическая система, упомянутая Гемином это, конечно, гелиоцентрическая система Аристарха Самосского, и её связь с Гераклидом, вероятно, произошла по вине интерполятора, кто увидел близкую связь между системами Аристарха и Гераклида. Кажется весьма возможным, что сам Гераклид, в одном из своих диалогов, обсудил возможность, что радиус круга Солнца может быть равным нулю.

В отрывке, процитированном в самом начале настоящей статьи, Халкидий сначала говорит, что Гераклид описал круги Люцифера (=Венеры) и Солнца и дал обоим кругам «один центр и одну середину».

В геоцентрической интерпретации Мартина эти два концентрических круга интерпретированы как эпициклы Венеры и Солнца. Большинство греческих авторов предполагали центры этих двух эпициклов лежащими на одной линии с Землёй. Халкидий в главе 112 приписывает это мнение Платону. Однако существуют также другие авторы, наподобие Теона из Смирны, кто предпочитал мнение, что центры эпициклов Венеры, Меркурия и Солнца совпадают. Согласно геоцентрической интерпретации текста Халкидия, система Гераклида была бы то же самой, что и система, описанная Теоном.

Текст Халкидия не говорит, что Земля неподвижна, и он не использует слово эпицикл, так что позволительно интерпретировать «круги» Венеры и Солнца как зафиксированные в пространстве концентрические круги. В этом случае для объяснения видимого годичного движения Солнца и Венеры необходимо предположить, что Земля движется по большему концентрическому кругу (см. рис. 2).

Я не утверждаю (как я делал в моей статье ), что это единственная правдоподобная интерпретация текста. Паннекук и Зальтцер убедили меня, что объяснение «кругов» как эпициклов также возможна. Я только утверждаю, что моё объяснение находится в согласии с текстов Халкидия, и что она более вероятна, чем геоцентрическая интерпретация.

Чтобы объяснить это, рассмотрим следующее предложение Халкидия:

Поскольку он (Гераклид) сказал, что положения Солнца, Луны, Люцифера и всех планет, где бы они не находились, определены линией, проходящей через центры Земли и данного конкретного небесного тела.

Гераклид здесь формулирует общий принцип, и он подчёркивает, что он справедлив для Солнца, Луны и всех остальных планет. Почему он объясняет этот принцип так многословно?

В изложении геоцентрической системы нет разумной причины для формулировки такого принципа. Для каждой планеты, нужно определить положение планеты на эпицикле (или эксцентре) и затем, само собой разумеется, провести линию от Земли до исследуемой планеты. Это было сделано Птолемеем и другими для каждой планеты по отдельности, без упоминания какого-либо общего принципа.

С другой стороны, если стартовать с системы в которой Земля движется по кругу, объяснение видимого движения планет происходит в три различных этапа: сначала нужно определить положение Земли, потом положение планеты, и потом провести линию от центра Земли до центра планеты . Это важный отдельный шаг в этой процедуре!

Следовательно, если Халкидий говорит, что Гераклид сформулировал построение такой линии как общий принцип, эти слова могут быть использованы как веский аргумент в пользу моего мнения, что Гераклид не объяснял теорию эпициклов.

Текст Гераклида продолжается:

111. Следовательно, пусть точка Земли и неба будет там, где находится буква X, и пусть круг зодиака будет тем кругом, где находятся точки АВГ. И пусть (угол) АВ содержит 50 градусов (“momenta”) и ВГ то же самое количество градусов, и на линии ХВ пусть точка Солнца будет около буквы К. Следовательно, линия ХКВ будет показывать Солнце там, где находится буква В. Эта линия движется также, как и Солнце движется в своём суточном движении, один градус.

Вплоть до этого места, текст довольно вразумительный и легкий для понимания. Его можно быть проиллюстрирован рис. 3, который может быть найден в некоторых манускриптах (см. мою статью , p. 71). Линии ХА и ХГ, касательные к кругу Венеры проведённые из «точки Земли» Х образуют углы в 50 градусов с линией ХКВ. Предполагается, что Солнце расположено в точке К на линии ХВ.

Рис. 3.

Similiter ceterae lineae XA dividantur in quinquaginta momenta (см. работу Зальтцера , р. 96, примечание 206).

Последнее предложение в тексте снова довольно вразумительное, и находящееся в согласии с рис. 3:

Пусть ХА будет линией на восточной стороне, и ХГ линией на западной стороне, и последняя, т.е. ХГ, будет садиться ранее и восходить ранее, чем Солнце, и другая ХА будут восходить позднее и садиться позднее. Следовательно, необходимо, чтобы эта линия ХА показывала Люцифер в точке А как Геспер (Вечерняя звезда) в тот момент времени, когла эта звезда наиболее удалена от Солнца, в то время как другая линия ХГ показывала ту же самую звезду как Люцифер как таковой утром в точке Г. Это становится достаточно ясно, если вокруг ХКВ провести круг касающийся двух удалённых линий ХА и ХГ, который демонстрирует насколько далеко от Солнца может быть Люцифер.

Известно, что работа Халкидия является плохим латинским переводом греческого источника . Многие части текста сходны с частями работы Теона из Смирны . Источником Теона для этих частей был комментарий Адраста Афродизийского к платоновскому Тимею. Адраст обладал хорошим пониманием математики и астрономии. Соответственно, те части работы Теона которые были списаны с Адраста, хорошо написаны и математически корректны, тогда как соответствующие части у Халкидия часто неполны и иногда непонятны. Так что мы не можем принимать каждое слово Халкидия всерьёз, но поскольку только что процитированный отрывок математически ясен и самосогласован, мы можем предположить, что он согласуется с оригинальным текстом Адраста.

Во всех манускриптах текст сопровождается чертежами. Иногда чертёж содержит только два круга, как наш рис. 3, и только буквы А,В,Г,К,Х, упомянутые в тексте. Однако, в большинстве манускриптов есть еще один круг, отмеченный “solis”, концентрический с кругом Венеры, и присутствуют буквы A,B,Г,Δ,E,Z,H,K,X. На рисунках 4 и 5 приведены два примера таких чертежей.

Рис. 4. Рис. 5.

Четыре буквы из содержащихся в этих чертежах, а именно Δ,E,Z,H, не упомянуты в латинском тексте. Кажется, что объяснение может заключаться в том, что оригинальная работа Адраста содержала чертёж, из которого были произведены рис. 4 и 5, и на котором содержались по меньшей мере три круга и присутствовали все буквы от A до H, K и X. Этот чертёж должен был быть описан в оригинальном греческом тексте, но Халкидий перевёл только его часть.

В моей статье я показал, что рисунки 4 и 5 из манускриптов могут быть поняты как искажённые копии астрономически корректного чертежа, при условии, что принимается моя теория Гераклида. С другой стороны, если принимается традиционное объяснение посредством эпициклов, я не могу найти какого-либо разумного объяснения этих чертежей в манускриптах.

] Русский перевод приводится по изданию: Платон. Сочинения в 3 томах. Т.3. Ч.2. - Философское наследие. М.: Мысль, 1971, с небольшими корректировками для соответствия с переводом Хиса.

• Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра . тт.1-2,М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.
• Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции . М.: Физматлит, 1959. (Репринт: М.: КомКнига, 2006).
• Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука II. Рождение астрономии . М.: Наука, 1991.
• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.Определения, теоремы, формулы . СПб.: Лань, 2004.
• Ван дер Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике . -М.: ЛКИ, 2007.
• Б. Л. ван дер Варден, О движении планет по Гераклиду Понтийскому, Arch. Internat. Hist. Sci. 28 (103) (1978), 167-182. На русском
• Б. Л. ван дер Варден, Гелиоцентрическая система в греческой, персидской и индийской астрономии, in «From deferent to equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E.S. Kennedy», Annals of the New York Academy of Sciences, Volume 500, June 1987, 525-545. На русском

Ссылки

• в проекте Математическая генеалогия
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Варден, Бартель Леендерт ван дер в архиве MacTutor
• Интервью с ван дер Варденом, опубликованное в 1997, после смерти

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Ван де Корпут, Мишель
• Ван де Керкхоф, Рене

Смотреть что такое "Ван дер Варден" в других словарях:

Ван-дер-Варден - прізвище * Жіночі прізвища цього типу як в однині, так і в множині не змінюються … Орфографічний словник української мови

Ван дер Варден Б. Л. - ВАН ДЕР ВÁРДЕН (van der Waerden) Бартел Лендерт (р. 1903), математик. По происхождению голландец. Проф. ун та в Цюрихе (с 1951). Тр. по алгебре, алгебр. геометрии, истории математики … Биографический словарь

Ван-дер-Варден - Бартел Лендерт, математик; см. Варден Б. Л. ван дер …

Ван-дер-Варден Бартел Лендерт - Ван дер Варден Бартел Лендерт, математик; см. Варден Б. Л. ван дер … Большая советская энциклопедия

Ван дер Варден, Бартель Леендерт - Бартель Леендерт ван дер Варден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) голландский математик. Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском … Википедия

Ван дер Варден (van der Waerden) Бартел Лендерт - (р. 1903), математик. По происхождению голландец. Профессор университета в Цюрихе (с 1951). Труды по алгебре, алгебраической геометрии, истории математики … Большой Энциклопедический словарь

Варден, Бартель Леендерт ван дер - Бартель Леендерт ван дер Варден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды – 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) голландский математик. Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете,… … Википедия

ВАН ДЕР ВАРДЕНА КРИТЕРИЯ - непараметрический критерий однородности двух выборок основанный на ранговой статистике где ранги (порядковые номера) случайных величин в общем вариационном ряду из и, функция определяется заранее выбранной подстановкой … Математическая энциклопедия

Варден - Варден, Бартель Леендерт ван дер Бартель Леендерт ван дер Варден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды – 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) голландский математик. Обучался в Амстердамском университете,… … Википедия

Варден Бартел Лендерт - Варден, Ван дер Варден (van der Waerden) Бартел Лендерт (р. 2.2.1903, Амстердам), математик. По национальности голландец. Профессор университетов в Гронингене (с 1928), Лейпциге (1931≈45), Амстердаме (с 1948) и Цюрихе (с 1951). Основные работы… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Алгебра , Ван дер Варден. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Книга Б. Л. ван дер Вардена (1903–1996) уже давно получила широкое признание читательской аудитории…

Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, - правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора.

Множества.
В качестве отправного пункта всех математических рассмотрений мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности, приводит к понятию множества или класса; элементы множества - это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись
а € М
означает: а - элемент множества М. Пользуясь образным геометрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.

Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых множеств (называемых иногда множествами второй ступени). Множества второй ступени снова могут служить элементами множеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить новые множества из объектов некоторой заранее очерченной категории (которой новые множества еще не принадлежат).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 9
Из предисловий автора 10
Схема зависимости глав 14
Введение 15
Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§1. Множества 17
§2. Отображения. Мощности 19
§3. Натуральный ряд 20
§4. Конечные и счетные множества 24
§5. Разбиение на классы 26
Глава вторая ГРУППЫ
§6. Понятие группы 28
§7. Подгруппы 35
§8. Операции над комплексами. Смежные классы 39
§9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42
§10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы 45
Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
§11. Кольца 49
§12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56
§13. Построение частных 57
§14. Кольца многочленов 60
§15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64
§16. Делимость. Простые идеалы 69
§17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71
§18. Разложение на множители 75
Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§19. Векторные пространства 80
§20. Инвариантность размерности 83
§21. Двойственное векторное пространство 86
§22. Линейные уравнения над телом 88
§23. Линейные преобразования 90
§24. Тензоры 95
§25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97
§26. Тензорное произведение, свертка и след 102
Глава пятая ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§27. Дифференцирование 105
§28. Корни 106
§29. Интерполяционные формулы 108
§30. Разложение на множители 113
§31. Признаки неразложимости 117
§32. Разложение на множители в конечное число шагов 119
§33. Симметрические функции 121
§34. Результант двух многочленов 124
§35. Результант как симметрическая функция корней 128
§36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131
Глава шестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§37. Подтело. Простое тело 134
§38. Присоединение 136
§39. Простые расширения 138
§40. Конечные расширения тел 143
§41. Алгебраические расширения 145
§42. Корни из единицы 150
§43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155
§44. Сепарабельные и несепарабельные расширения 159
§45. Совершенные и несовершенные поля 164
§46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе 165
§47. Нормы и следы 167
Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§48. Группы с операторами 171
§49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173
§51. Нормальные и композиционные ряды 176
§52. Группы порядка р" 180
§53. Прямые произведения 181
§54. Групповые характеры 184
§55. Простота знакопеременной группы 189
§56. Транзитивность и примитивность 191
Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА
§57. Группа Галуа 194
§58. Основная теорема теории Галуа 197
§59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200
§60. Поля деления круга 202
§61. Циклические поля и двучленные уравнения 209
§62. Решение уравнений в радикалах 211
§63. Общее уравнение n-й степени 215
§64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218
§65. Построения с помощью циркуля и линейки 224
§66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229
§67 Нормальные базисы 232
Глава девятая УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§68. Упорядоченные множества 237
§69. Аксиома выбора и лемма Цорна 238
§70. Теорема Цермело 241
§71. Трансфинитная индукция 242
Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§72. Алгебраически замкнутые поля 244
§73. Простые трансцендентные расширения 250
§74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254
§75. Степень трансцендентности 257
§76. Дифференцирование алгебраических функций 259
Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§77. Упорядоченные поля 266
§78. Определение вещественных чисел 269
§79. Корни вещественных функций 278
§80. Поле комплексных чисел 282
§81. Алгебраическая теория вещественных полей 285
§82. Теоремы существования для формально вещественных полей 290
§83 Суммы квадратов 294
Глава двенадцатая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§84. Модули над произвольным кольцом 297
§85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299
§86. Основная теорема об абелевых группах 303
§87. Представления и модули представлений 307
§88. Нормальные формы матрицы над полем 311
§89. Элементарные делители и характеристическая функция 314
§90. Квадратичные и эрмитовы формы 317
§91. Антисимметрические билинейные формы 326
Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ
§92. Прямые суммы и пересечения 331
§93. Примеры алгебр 334
§94. Произведения и скрещенные произведения 340
§95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347
§96. Малый и большой радикалы 351
§97. Звездное произведение 355
§98. Кольца с условием минимальности 357
§99. Двусторонние разложения и разложение центра 362
§100. Простые и примитивные кольца 365
§101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368
§102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371
§103. Поведение алгебр при расширении основного поля 372
Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§104. Постановка задачи 378
§105. Представления алгебр 379
§106. Представления центра 384
§107. Следы и характеры 386
§108. Представления конечных групп 388
§109. Групповые характеры 392
§110. Представления симметрических групп 398
§111. Полугруппы линейных преобразований 401
§112. Двойные модули и произведения алгебр 404
§113. Поля разложения простых алгебр 410
§114. Группа Брауэра. Системы факторов 413
Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§115. Нётеровы кольца 421
§116. Произведения и частные идеалов 425
§117. Простые идеалы и примарные идеалы 429
§118. Общая теорема о разложении 434
§119. Теорема единственности 438
§120. Изолированные компоненты и символические степени 441
§121. Теория взаимно простых идеалов 444
§122. Однократные идеалы 447
§123. Кольца частных 450
§124. Пересечение всех степеней идеала 452
§125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах 455
Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
§126. Алгебраические многообразия 459
§127. Универсальное поле 462
§128. Корни простого идеала 463
§129. Размерность 466
§130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений 468
§131. Примарные идеалы 471
§132. Основная теорема Нётера 474
§133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478
Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§134. Конечные R-модули 482
§135. Элементы, целые над кольцом 484
§136. Целые элементы в поле 487
§137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493
§138. Обращение и дополнение полученных результатов 496
§139. Дробные идеалы 499
§140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501
Глава восемнадцатая НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§141. Нормирования 509
§142. Пополнения 515
§143. Нормирования поля рациональных чисел 521
§144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 524
§145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай 531
§146. Нормирования полей алгебраических чисел 633
§147. Нормирования поля рациональных функций D(х) 539
§148. Аппроксимационная теорема 542
Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих 545
§150. Дивизоры и их кратные 550
§151. Род g 554
§152. Векторы и ковекторы 557
§153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560
§154. Теорема Римана-Роха 564
§155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568
§156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569
§157. Доказательство теоремы о вычетах 574
Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§158. Понятие топологического пространства 580
§159. Базисы окрестностей 581
§160. Непрерывность. Пределы 583
§161. Аксиомы отделимости и счетности 584
§162. Топологические группы 585
§163. Окрестности единицы 586
§164. Подгруппы и факторгруппы 588
§165. Т-кольца и Т-тела 589
§166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей 591
§167. Фильтры 595
§168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши 598
§169. Топологические векторные пространства 602
§170. Пополнение колец 604
§171. Пополнение тел 606
Предметный указатель 608.