Многогранным углом называется фигура составленная. Многогранные углы многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.

На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями а и (3.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и (3 по полупрямым (рис. 142); линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов (рис. 143). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов (рис. 144). Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

МАОУ «Лицей инновационных технологий»

Многогранные углы. Выпуклые многогранники

Подготовил ученик 10Б класса: Бурыкин Алексей

Проверил: Дубинская И.А.

Хабаровск

Многогранный угол

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполняются условия:

1)никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны;

2) у каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только одним другим таким углом;

3) от каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общую сторону;

4) никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

• Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Теорема1.

В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Следствие

• / ASC - / ASB / CSB; / ASC - / CSB / ASB.

В трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .

Теорема2.

• Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360° .

Доказательство

Обозначим,

тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство принимает вид

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

откуда и следует, что

α + β + γ

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

• 1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или 2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .

Выпуклый многогранный угол

• Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной.

Многогранник.

Многогранник , в трехмерном пространстве- совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого, называемого смежным с первым.

Выпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым , если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы.

Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части – внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранна, то соответствующий многогранник –выпуклый.

Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основание которых образует поверхность многогранника.

Многогранные углы Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника на плоскости. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной этой плоскости и ограниченной ею внутренней областью.

Определение многогранного угла Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Виды многогранных углов В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Упражнение 1 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные и четырехгранные углы; б) трехгранные и пятигранные углы; в) четырехгранные и пятигранные углы. Ответ: а) четырехугольная пирамида, треугольная бипирамида; б) пятиугольная пирамида; в) пятиугольная бипирамида.

Неравенство треугольника Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема (Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Точка пересечения биссектрис Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Биссектральная плоскость SAD двугранного угла SA является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SAC. Аналогично, биссектральная плоскость SBE двугранного угла SB является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SBC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла. Следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC.

Точка пересечения серединных перпендикуляров Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Плоскость, проходящая через биссектрису SD угла BSC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SB и SC трехгранного угла SABC. Аналогично, плоскость, проходящая через биссектрису SE угла ASC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SA и SC трехгранного угла SABC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех ребер трехгранного угла. Следовательно, ее будет содержать плоскость, проходящая через биссектрису угла ASB и перпендикулярная его плоскости.

Точка пересечения медиан Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. На его ребрах отложим равные отрезки SA = SB = CS. Биссектрисы SD, SE, SF плоских углов трехгранного угла являются медианами треугольников соответственно SBC, SAB. Следовательно, AD, BE, CF – медианы треугольника ABC. Пусть O – точка пересечения медиан. Тогда прямая SO будет линией пересечения рассматриваемых плоскостей.

Точка пересечения высот Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и перпендикулярные плоскостям противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол Sabc. Пусть d, e, f – линии пересечения плоскостей граней трехгранного угла с плоскостями, проходящими через ребра a, b, c этого угла и перпендикулярные соответствующим плоскостям граней. Выберем какую-нибудь точку C на ребре с. Опустим из нее перпендикуляры CD и CE на прямые d и e соответственно. Обозначим A и B точки пересечения прямых CD и CE с прямыми SB и SA соответственно. Прямая d является ортогональной проекцией прямой AD на плоскость BSC. Так как BC перпендикулярна прямой d, то она перпендикулярна и прямой AD. Аналогично, прямая AC перпендикулярна прямой BE. Пусть O – точка пересечения прямых AD и BE. Прямая BC перпендикулярна плоскости SAD, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Аналогично, Прямая AC перпендикулярна плоскости SBE, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Таким образом, прямая SO перпендикулярна прямым BC и AC, следовательно, перпендикулярна плоскости ABC, значит, перпендикулярна и прямой AB. С другой стороны, прямая CO перпендикулярна прямой AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна плоскости SOC. Плоскость SAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SOC, следовательно, сама перпендикулярна этой плоскости. Значит, все три рассматриваемые плоскости пересекаются по прямой SO.

Сумма плоских углов Теорема. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу неравенства треугольника, имеет место неравенство BAС

Выпуклые многогранные углы Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
Упражнение 5 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10 о

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90 о.

Упражнение 7 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60 о.

Упражнение 8 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90 о.

Упражнение 9 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трех­гранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов мож­но считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рас­сматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферически­ми треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгран­ный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сто­ронамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгран­ного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соот­ветствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содер­жат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при реб­рах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элемен­ты плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трех­гранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуля­ры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трех­гранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соот­ветственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов ана­логичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , кото­рое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойст­венное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он состав­лен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изуче­нии многогранников - в теории многогранников. Строение много­гранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются много­гранные углы.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.

Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.

2.4. Многогранные углы

В соответствии с тематическим планированием, на данный параграф отводится один час учебного времени (один урок).

1. Проверка домашнего задания (5 мин.)

2. Выполняем этап работы с информацией (20 –25 мин.)

Технологически этап ориентирован на преимущественное формирование познавательных универсальных учебных действий (умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст).

В этом параграфе находит дальнейшее развитие понятие трёхгранного угла. Появляется многогранный угол, и в связи с этим появляется возможность уточнить понятие многоугольника.

В связи с многогранными углами ещё раз обсуждается проблема выпуклости фигур. На примере многогранных углов мы дополнительно уточняем представления учащихся о выпуклых и невыпуклых фигурах (многоугольники, многогранные углы, произвольные фигуры).

Для многогранных углов полезно сформулировать свойства их плоских углов , аналогичные соответственным свойствам плоских углов трёхгранного угла (без доказательства):

1. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов.

2. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360º.

3. Выполняем этап развития умений (15 –20 мин.)

Этап ориентирован на выработку

познавательных УУД – формирование умений:

– по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

– по использованию доказательной математической речи;

– по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;

Регулятивных УУД – формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;

коммуникативных УУД – формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также тренинга. Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что недостаточно хорошо понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.

Здесь можно поработать с заданиями 34, 35 на стр. 29–30.

Предлагаем также несколько дополнительных задач.

1) Многогранный угол имеет n граней. Сколько у него рёбер?

Ответ: n рёбер.

2) Можно ли изготовить модель четырёхгранного угла с плоскими углами: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Если модель получилась, то какого угла: выпуклого или невыпуклого?

Ответ: 1) можно; 2) можно как выпуклого, так и невыпуклого; 3) можно, только выпуклого.

3) Опираясь на известное вам свойство плоских углов трёхгранного угла, докажите, что каждый плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных его плоских углов.

Указание: Через два противолежащих ребра нужно провести плоскость и рассмотреть получившиеся трёхгранные углы. Доказательство справедливо только для выпуклых углов.

4) В четырёхгранном угле все плоские углы равны. Докажите, что они острые.

Решение: 1. Пусть α – градусная мера плоского угла.

2. Тогда 4α < 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).

3. Следовательно, α < 90°, т. е. α – острый угол.

5) В выпуклом многогранном угле каждый из плоских углов равен а) 30°; б) 45°; в) 80°; г) 150°. Сколько граней может иметь такой многогранный угол?

Ответ: а) 3 ≤ n < 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n – число целое.

6) В выпуклом многогранном угле все плоские углы равны между собой. Многогранный угол имеет а) 6; б) 8; в) 10 граней. Чему могут быть равны плоские углы данного многогранного угла?

Рассуждаем так же, как и при решении задачи 5, n α < 360°, где n – количество граней многогранного угла, α– градусная мера плоского угла; 0 ≤ α < 360°/ n .

Ответ: а) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.

По истечении времени, отведённого для выполнения заданий, результаты работы выносятся педагогом на доску и обсуждаются учащимися. Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается и того, что не ясно и не получается.

4. Формулируем домашнее задание по различным уровням сложности – в зависимости от результатов работы на предыдущем этапе.