Как называется график модуля. Свойства функции y =

(1325-1340 или 1341) наследовал власть после своего старшего брата Юрия Даниловича , который погиб в Орде от руки князя тверского Дмитрия Грозные Очи. Вслед за убийством Юрия мстивший за гибель своего отца Дмитрий был казнён татарами, однако ярлык на великое княжение хан оставил за Тверью. Там сел брат казнённого Дмитрия, Александр Михайлович, и чаша весов в московско-тверском соперничестве опять качнулась в сторону Твери – но ненадолго.

В 1327 году к князю Александру в Тверь приехал с большой свитой ордынский посол Чолхан (по-русски – Щелкан), двоюродный брат ордынского хана Узбека. Татары вели себя в городе нагло, задирая и обижая русское население. Чаша терпения жителей вскоре переполнилась, и одна стычка с иноплеменниками, задумавшими отнять кобылу у дьякона Дудко, закончилась общим нападением тверичей на свиту Чолхана. Часть татар была перебита. Остальные заперлись на княжьем дворе и были сожжены там разъярённой массой вместе с самим Щелканом.

Татарские баскаки. Картина С. Иванова, 1909

Хан Узбек тут же двинул на Русь 50-тысячное войско. К нему присоединил свои дружины и соперник Твери, Иван Калита московский. Против таких сил тверичи не могли устоять. Вся их область была жестоко опустошена (1328). Князь Александр Михайлович бежал во Псков. Хан отнял у Твери ярлык на великое княжение и передал его Москве.

Эти события стали переломным моментом московско-тверского соперничества за главенство над русским Северо-Востоком. После погрома 1328 года Тверь никогда больше вполне не оправилась. На тверской стол сел брат Александра Михайловича, Константин. По приказу хана Иван Калита и другие русские князья потребовали во Пскове выдать беглого Александра татарам. Когда псковичи отказали в этом, дружественный Калите митрополит Феогност отлучил их от церкви. Александру пришлось на время бежать в Литву к князю Гедимину , но вскоре он вернулся во Псков и стал править им как удельный подручник литовцев.

В 1337 году Александр Михайлович сумел вымолить прощение у хана и вернулся княжить в родную Тверь. Иван Калита, стараясь предотвратить новое возвышение этой старой московской соперницы, завёл в Орде интриги с целью очернить Александра. Они увенчались успехом. В 1339 Александр тверской был вызван в Орду. В октябре ему и его сыну Федору отрубили там головы . Твери вновь пришлось склониться перед московским могуществом. На тверской престол вместо деятельного Александра опять сел смирный, осторожный и неопасный для Калиты Константин Михайлович.

Изо всего этого, однако, нельзя делать вывод, что Иван Калита предавал Русь татарам. Вслед за разорением Твери в 1328 и утверждением на русском Северо-Востоке прочной московской гегемонии зависимость Руси от Орды стала не крепче, а слабее. Татарские вторжения, шедшие на рубеже XIII-XIV веков непрерывной чередой, после 1328 прекратились примерно на 40 лет. По словам летописи, «седе на великое княжение Иван Данилович [Калита] – и бысть тишина христианам на многа лета, и престаша татарове воевати Русскую землю». Степень самостоятельности Руси в отношениях с Ордой явно поднялась. Татарская дань («выход»), которую ранее взимали в русских землях приезжавшие от хана мусульманские и иудейские откупщики, стала теперь собираться и отвозиться в Орду самим князем московским. Это сильно облегчило жителей, избавив их от насилий иноплеменных сборщиков.

Объединение Северо-Восточной Руси Москвой 1300-1462

Взяв верх в соперничестве с Тверью, Иван Калита сильнее подчинил Москве и другие соседние княжества . Он расширил московские земли скупкой многих деревень и городов у обедневших владетелей. По некоторым сведениям, им были приобретены Углич, Галич Мерский и Белозерск. Московские бояре свободно распоряжались в Ростовской земле, чей князь женился на дочери Ивана Калиты. Иван Данилович притеснял и богатый Новгород. В 1332 Калита потребовал с новгородцев увеличенной дани и в ответ на отказ захватил новгородские пригороды Торжок и Бежецкий Верх. Начавшаяся война прекратилась лишь от угрозы вмешательства в неё сильного Гедимина литовского. Но в самом конце правления Калита вновь поссорился с новгородцами и опять готовился воевать с ними. Одновременно он во главе коалиции большинства прочих соседних князей собирался выступить против вступившего в союз с Литвой Смоленска.

Бережливый и крутой нравом Иван Данилович строго преследовал воров и разбойников, установил прочный порядок и скопил немалые сокровища. От своего денежного богатства он, видимо, и получил прозвище Калита, что означает «денежный мешок», «кошель».

Важнейшим для возвышения Москвы обстоятельством был переезд в неё из Владимира русского митрополита. сразу после прибытия в Северо-Восточную Русь (1309) поссорился с тверскими князьями, которые хотели возвести на митрополию своего же тверского епископа, литвина Андрея. Вражда с Тверью сблизила Петра и Москву. Имея официальную резиденцию во Владимире, митрополит часто и подолгу жил у москвичей. В Москве Пётр и умер (1326). Его преемник, грек Феогност, приехавший на Русь в 1328, в момент торжества Ивана Калиты над Тверью, окончательно перенёс в Москву митрополичью кафедру .

Митрополит Пётр. Икона XV века

«Свойства квадратного корня» - Ответы. Подведение итогов. Решение упражнений. План урока. Устная работа. Свойства квадратных корней. Литература. Самостоятельно. Вычислите. Вариант.

«Арифметический квадратный корень и его свойства» - Ученик. Теорема. Преобразование. Решай снова. Ошибкам тебя точно не догнать. Пример. Крошка Ро. Свойства арифметических квадратных корней. Применение. Свойства. Я огорчён твоими знаниями. Пройди тест. Твой путь был нелёгок. Тест.

«Функция и свойства квадратного корня» - Функция. Самостоятельная работа. Подготовка к решению тестовых заданий. Найдите значение выражения. Привитие интереса к предмету. Рациональное число. Вариант. Значение выражения. Новые математические модели функции. Информация для учителя. Сократите дробь. Новые обозначения. Вычислите. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом. Разложите на множители. Найдите значение.

«Задачи на неравенства» - Соедините отрезками числовые промежутки. Промежутки, являющиеся решением. Реши неравенства. Заполнить пропуски в таблице. Проверка домашнего задания. Самостоятельная работа. Неравенства. Пропуски в таблице. Решите неравенство. Верные ответы. Алгебра. Систематизация и совершенствование знаний. Что лишнее. Подчеркнуть верные ответы. Найди ошибку. Контрольный тест. Выписать промежутки. Решений нет.

«Примеры неравенств» - Три случая. Задача. Правила действий с неравенствами. Виды неравенств. Неотрицательное число. Дайте определение неравенства. Решите двойное неравенство. Сложение. Определения понятий. Неравенства, входящие в систему. Свойства числовых неравенств. Запись. Неравенство содержит только числа. Неравенства. Дидактический материал. Ax+b>0. Решение системы линейных неравенств.

«Сокращённое умножение» - Игра ""Смотри не ошибись."". Урок математики. Задания на карточках. Проверочная работа. Таблица. Формулы сокращенного умножения. Игра Счастливый случай. Задания на отработку понимания математической речи на слух. Выбери правильный ответ. Проверка.

Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Эрднигоряева Марина

Данная работа является результатом изучения темы на факультативе в 8 классе. Здесь показываются геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Вводится понятие модуля и его свойства. Показано как строить графики с модулями различными способами: с помощью преобразований и на основе понятия модуля.Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах,изучается в классах с улгубленным изучением математики. Тем не меннн такие задания даются во второй части ГИА, в ЕГЭ. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных, но и других функций(квадратичных, обратно- пропорциональных и др.) Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Графики линейной функции с модулями Работа Эрднигоряевой Марины, ученицы 8 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики МКОУ « Камышовская ООШ» с. Камышово, 2013г.

Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики линейных функций с модулями. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Изучить понятие модуля и его свойства. Научиться строить графики с модулями различными способами.

Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx , где x –независимая переменная, k -не равное нулю число.

Построим график функции y = x x 0 2 y 0 2

Геометрическое преобразование графиков Правило №1 График функции y = f (x)+ k – линейная функция - получается параллельным переносом графика функции y = f (x) на + k единиц вверх по оси О y при k> 0 или на |- k| единиц вниз по оси О y при k

Построим графики y=x+3 y=x-2

Правило № 2 График функции y=kf(x) получается растягиванием графика функции y = f (x) вдоль оси О y в a раз при a>1 и сжатием вдоль оси О y в a раз при 0Слайд 9

Построим график y=x y= 2 x

Правило № 3 График функции y =- f (x) получается симметричным отображением графика y = f (x) относительно оси О x

Правило № 4 График функции y=f(- x) получается симметричным отображением графика функции y = f (x) относительно оси О y

Правило № 5 График функции y=f(x+c) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси О x вправо, если c 0 .

Построим графики y=f(x) y=f(x+2)

Определение модуля Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а; модуль отрицательного числа а равен противоположному ему положительному числу -а. Или, |а|=а, если а ≥0 |а|=-а, если а

Графики линейных функций с модулями строятся: с использованием геометрических преобразований с помощью раскрытия определения модуля.

Правило № 6 График функции y=|f(x)| получается следующим образом: часть графика y=f(x) , лежащая над осью О x , сохраняется; часть, лежащая под осью О x , отображается симметрично, относительно оси О x .

Построить график функции y=-2| x-3|+4 Строим y ₁=| x | Строим y₂= |x - 3 | → параллельный перенос на +3 единицы вдоль оси Ох (сдвиг вправо) Строим y ₃ =+2|x-3| → растягиваем вдоль оси О y в 2 раза = 2 y₂ Строим у ₄ =-2|x-3| → симметрия относительно оси абсцисс = - y₃ Строим y₅ =-2|x-3|+4 → параллельный перенос на +4 единицы вдоль оси О y (сдвиг вверх) = y ₄ +4

График функции y =-2|x-3|+4

График функции у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → растяжение в 3 раза y₃=3|x| +2= y₄+2 → сдвиг вверх на 2 единицы

Правило № 7 График функции y=f(| x |) получается из графика функции y=f(x) следующим образом: При x > 0 график функции сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси О y

Построить график функции y = || x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм построения графика функции y=│f(│x│)│ построить график функции y=f(│x│) . далее оставить без изменений все части построенного графика, которые лежат выше оси x . части, расположенные ниже оси x , отобразить симметрично относительно этой оси.

У=|2|х|-3| Построение: а) у= 2х-3 для х >0, б) у=-2х-3 для х Слайд 26

Правило № 8 График зависимости | y|=f(x) получается из графика функции y=f(x) если все точки, для которых f(x) > 0 сохраняются и они же симметрично переносятся относительно оси абсцисс.

Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| строим два графика 1) у=||х-1|-1| и 2) у =-|| х-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → сдвиг по оси Ох вправо на 1 единицу y₃ = | x -1 |- 1= → сдвиг на 1 единицу вниз y ₄ = || x-1|- 1| → симметрия точек графика для которых y₃ 0 относительно О x

График уравнения |y|=||x-1|-1| получаем следующим образом: 1)строим график функции y=f(x) и о с тавляем без изменений ту его часть, где y≥0 2) с помощью симметрии относительно оси Оx построим другую часть графика, соответствующую y

Построить график функции y =|x | − | 2 − x | . Решение. Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно снимать. 1) Найдём корни подмодульных выражений: х=0, 2-х=0, х=2 2) Установим знаки на интервалах:

График функции

Вывод Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах, изучается в классах по углубленному изучению курса математики. Тем не менее такие задания даются во второй части ГИА. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных функций, но и других функций(квадратичных, обратно пропорциональных и др.). Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ и позволит получить высокие баллы по математике.

Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математика”. Учебник 6 класс Москва. Издательство “ Мнемозина”, 2010г Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. Пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – Москва. Просвещение, 2009 г Гайдуков И.И. “Абсолютная величина”. Москва. Просвещение, 1968. Гурский И.П. “Функции и построение графиков”. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Приёмы построения графиков, содержащих модули. Ж/л «Математика в школе»,№3,1994г Детская энциклопедия. Москва. «Педагогика», 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987 . Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с. Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля /Математика. - №33. – 2004. – с.19-21 .. Кострикина Н.П “ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов ”... Москва.: Просвещение, 2008г.