Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины.

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины

ТЗР-3. Интегральная функция распределœения вероятностей СВ

Это наиболее универсальный способ задания закона распределœения. Его можно применять и для дискретных и для непрерывных СВ. Часто, говоря об этом способе, слова ʼʼинтегральнаяʼʼ и ʼʼвероятностейʼʼ отбрасывают и используют термин ʼʼфункция распределœения СВʼʼ .

Интегральная функция распределœения вероятностей представляет собой вероятность того, что некоторая случайная величина Х принимает значение меньшее, чем текущее х:

F(х) = Р(Х < х) (20)

К примеру, в случае если для такой СВ, как ток в ЛЭП, функция распределœения F(90) = 0,3, то это означает, что вероятность принятия током в ЛЭП значения, меньше 90 А, равна 0,3.

В случае если для напряжения в сети функция распределœения F(215) = 0,4, то 0,4 –это вероятность того, что напряжение в сети меньше 215 В.

Функция распределœения вероятностей должна быть задана аналитически, таблично или графически.

Пример 27

По заданному ряду распределœения оценок студентов на экзамене (табл. 8, строки 1 и 2) записать интегральную функцию распределœения (табл. 8, строка 3) и построить её график.

Таблица 8. Ряд и интегральная функция распределœения оценок на экзамене

Стоит сказать, что для нахождения значений функции распределœения крайне важно воспользоваться её определœением (20):

· для Х = 2 F (2)= Р (Х < 2) = 0, так как оценок меньше 2 на экзамене не бывает;

· для Х = 3 F (3)= Р (Х < 3) = Р(Х = 2) = 0,1, т.к. меньше 3 есть только оценка 2;

· для Х = 4 F (4)= Р (Х < 4) = Р(Х = 2) + Р (Х = 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, т.к. меньше 4 есть две оценки – 2 или 3 (получение оценки меньше 4 равнозначно получению или оценки 2 или оценки 3 и для нахождения F (4) можно воспользоваться формулой сложения вероятностей несовместных событий);

· для Х = 5 F (5)= Р (Х < 5) = Р (Х < 4) + Р (Х = 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, то есть к F (4) добавляется вероятность того, что оценка равна 4.

Анализируя порядок нахождения значений F(х), видим, что к вероятности наименьшего значения СВ сначала добавляется вероятность второго значения, затем – третьего и т.д. То есть вероятности как бы накапливаются. По этой причине интегральную функцию распределœения иначе называют ʼʼфункцией накопленных вероятностейʼʼ.

В литературе по статистике функцию накопленных вероятностей достаточно часто называют кумулятой.

На базе данных табл. 8 должна быть построен график интегральной функции дискретной случайной величины (рис. 29). Эта функция является разрывной. Скачки соответствуют отдельным дискретным значениям Х, а высоты ʼʼступенекʼʼ - соответствующим вероятностям . В местах разрыва функция (рис. 29) принимает значения обозначенные точками, ᴛ.ᴇ. непрерывна слева . В общем виде для дискретной СВ можно записать: F(х) = Р(Х < х) = . (21)

Для того чтобы понять, как будет выглядеть график интегральной функции распределœения для непрерывной СВ, можно прибегнуть к следующим рассуждениям. В случае если представить, что количество значений дискретной СВ возрастает, то мест разрыва будет становиться больше, а высота ступенек будет уменьшаться. В пределœе, когда количество возможных значений станет бесконечным (а это и есть непрерывная СВ), ступенчатый график превратится в непрерывный (рис. 30).

Поскольку интегральная функция распределœения вероятностей СВ имеет первостепенное значение, рассмотрим подробнее ее свойства :

Свойство 1. Такой способ задания закона распределœения универсален , т. к. пригоден для задания закона распределœения как дискретных, так и непрерывных СВ.

Свойство 2 . Поскольку интегральная функция распределœения - ϶ᴛᴏ вероятность, то ее значения лежат на отрезке от 0 до 1.

Свойство 3 . Функция распределœения безразмерна , как и любая вероятность.

Свойство 4 . Функция распределœения есть неубывающая функция , т. е. большему значению аргумента соответствует то же или большее значение функции: при х 2 > х 1 F(х 2) ≥ F(х 1).

Это свойство вытекает из того (рис. 31), что вероятность попадания на больший отрезок (от -∞ до х 2) никак не должна быть меньше вероятности попадания на меньший отрезок (от -∞ до х 1).

В случае если на участке от х 2 до х 1 (рис. 32)нет возможных значений СВ (это возможно для дискретных СВ), то F(х 2) = F(х 1).

Для функции распределœения непрерывной СВ (рис.33) F(х 2) всœегда больше F(х 1).

Свойство 4 имеет два следствия.

Следствие 1

Вероятность того, что величина Х примет значение в интервале (х 1 ;х 2) равна разности значений интегральной функции на границах интервала:

Р(х 1 ≤ Х < х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Это следствие можно пояснить следующим образом (рис.31):

F(х 2) = Р(Х < х 2) –

вероятность того, что СВ принимает значения левее точки х 2 .

F(х 1) = Р(Х < х 1) – вероятность того, что СВ принимает значения левее точки х 1 .

Отсюда разность

Р(Х < х 2) - Р(Х < х 1) есть вероятность того, что значения СВ расположены на участке от х 1 до х 2 (рис.34).

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины" 2017, 2018.

В условиях локальной формулы Муавра – Лапласа вероятность того, что число успехов m будет заключено между m 1 и m 2 можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа

где x 1 =
, x 2 =
,
-функция Лапласа.

Значения данных функциях есть в приложениях учебников по теории вероятности.

Графическое задание закона распределения представлено на рис. 1

Рис. 1 Полигон распределения дискретной случайной величины.

Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.

1.5. Интегральная функция распределения

Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральная функция распределения (ИФР) – это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.

Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.

Для дискретной случайной величины Х , которая может принимать значения х 1 , х 2 , …,х n , функция распределения имеет вид где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значенийх i , величина которых меньше х . Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x ). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство x i <x ≤x i +1 . Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i . Поэтому неравенство Х <x выполняется, если величина Х примет значения х к , где k = 1, 2, …, i . Таким образом, событие Х <x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х 1 , Х =х 2 , Х =х 3 , …, Х =х i . Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем

Свойства интегральной функции распределения :

1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку

:
.

2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a, b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале

3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

, если

, если

График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 2

Рис. 2 График ИФР непрерывной случайной величины

График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 3

Рис. 3 График ИФР дискретной случайной величины

1.6. Дифференциальная функция распределения

Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.

Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.

Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 4).

Рис. 4 График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения.

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна, т. е.

2. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

При решении прикладных задач сталкиваются с различными законами распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного и нормального распределения .

Мы установили, что ряд распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для дискретных величин. Для непрерывной величины ряд распределения построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток. Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины, невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины все-таки существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Р (Х = х ), состоящего в том, что случайная величина примет определенное значение х , а вероятностью события Р (Х <х ), состоящего в том, что случайная величина примет значение меньшее х . Очевидно, что вероятность этого события зависит от х , т.е. является некоторой функцией от х .

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x ), выражающая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х :

Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения .

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Функция распределения допускает простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим случайную величину Х на оси Ох (рис. 4.2), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Пусть на оси выбрана точка, имеющая значение х . Тогда в результате опыта случайная величина Х может оказаться левее или правее точки х . Очевидно, вероятность того, что случайная величина Х окажется левее точки х , будет зависеть от положения точки х , т.е. являться функцией аргумента х .

Для дискретной случайной величины Х , которая может принимать значения х 1 , х 2 , …, х n , функция распределения имеет вид

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F (x ) = = P (X < x ).

1. Если х ≤ 0, то F (x ) = P (Х < х ) = 0.

2. Если 0 < х ≤ 1, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) = 0,08.

3. Если 1 < х ≤ 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. Если х > 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) + P (Х = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

Запишем функцию распределения.

Изобразим функцию распределения графически (рис. 4.3). Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение (про такую функцию говорят, что она непрерывна слева). Эти точки на графике выделены. ◄

Этот пример позволяет прийти к утверждению, что функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений .

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей :

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице , т.е.

Пример 4.3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале и имеющих нулевую вероятность.

Однако представления о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как ни одна точка отрезка отличной от нуля длиной не обладает. Отрезок состоит из таких точек, но его длина не равна сумме их длин.

Из этого свойства вытекает следующее следствие.

Следствие. Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания этой величины в интервал (х 1 , х 2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым :

P (x 1 < X < x 2) = P (x 1 ≤ X < x 2) = P (x 1 < X ≤ x 2) = P (x 1 ≤ X ≤ x 2).

Дифференциальный и интегральный законы распределения

Закон распределения случайной величины устанавливает связь между возможными значениями этой величины и соответствующими этим значениям вероятностям их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины - дифференциальная и интегральная . Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма - закон распределения плотности вероятностей случайной величины.
Дифференциальный закон распределения характеризуется плотностью распределения Плотность распределения случайной величины в данном случае вероятность P попадания случайной величины в интервал от x 1 до x 2 :

Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от x 1 до x 2 к общей площади, ограниченной всей кривой распределения.

В данном случае представлено распределение непрерывной случайной величины. Кроме них существуют и дискретные случайные величины, принимающие ряд определенных значений, которые можно пронумеровать.

Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой

Вероятность, что случайная величина будет меньше х1 дается значением функции F(х) при х = х 1 :

F(X) – функция неубывающая и при X → ∞ F(X)→1

При X → - ∞ F(X)→0

F(x) - функция непрерывная, т.к. результат наблюдений в определенном интервале может принять любое значение

Однако четвертое свойство обычно на практике не реализуется. Это обусловлено тем, что применяемые СИ имеют конечное разрешение: для стрелочного прибора - это цена деления шкалы (квант ФВ), для цифровых приборов - это цена наименьшего разряда кода. Поэтому реально функция распределения для погрешности имеет ступенчатый вид.

Тем не менее в метрологической практике интегральную функцию считают непрерывной, что упрощает обработку погрешностей.

Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.

Непрерывная случайная величина подчиняется равномерному закону распределения, если её возможные значения лежат в некотором определённом интервале, в пределах которого все значения равновероятны, то есть обладают одной и той же плотностью вероятности. Другими словами, распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение.

Случайные величины, имеющие равномерное распределение вероятностей, <<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Найдём дифференциальную функцию (плотность) равномерного распределения, считая, что все возможные значения случайной величины Х заключены в промежутке , на котором дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, то есть

f(x) = C

По условию Х не принимает значений вне промежутка , поэтому f(x) = 0 при всех x < a и x < b.

Найдём значение постоянной С . Так как все возможные значения случайной величины принадлежат промежутку , то справедливо:

Итак, закон равномерного распределения случайной величины на отрезке (здесь a < b ) аналитически можно записать так:

Найдём теперь интегральную функцию равномерного распределения непрерывной случайной величины. Для этого воспользуемся формулой

если x < a то f(x) = 0 и, следовательно, F(x) = 0

если a ≤ x ≤ b то и, следовательно

если x ˃ b то

Итак, искомая интегральная функция распределения аналитически может быть записана так:

F(x) = 0 при x < a

при a ≤ x ≤ b

F(x) = 1 при x ˃ b

Свойства равномерного непрерывного распределения:

1. Первый момент (математическое ожидание)

2. Медиана: M = M(X)

3. Мода – любое число на отрезке (мода – наиболее вероятное значение распределения);

Обозначим через вероятность того, что случайная величина х принимает значение меньше являющаяся функцией называется интегральной функцией распределения величины х. Поскольку любая вероятность должна лежать в интервале между и 1, то для всех значений имеем: Если таковы, что вероятность того, что будет больше или равна вероятности того, что т. е. Другими словами, функция не может уменьшаться с возрастанием

Типичная форма интегральной функции распределения показана на рис. 1, где по горизонтальной оси отложено а по вертикальной функция

Зная интегральную функцию распределения легко можем для любых заданных определить вероятность того, что Действительно, поскольку события несовместны, то вероятность осуществления какого-либо из этих событий будет равна сумме вероятностей осуществления каждого из событий, т. е.

(см. скан)

Поскольку вероятность осуществления какого-либо из этих двух событий или совпадает с вероятностью осуществления события то в соответствии с соотношением (1.1) имеем

Следовательно, искомая вероятность осуществления события будет равна

В случае, когда случайная величина х является результатом измерения какой-либо характеристики объекта, случайным образом выбранного из группы объектов, можно дать простое толкование интегральной функции распределения Как указывалось в п. 1.1.1, в этом случае вероятность того, что наблюденная величина х удовлетворяет некоторому равенству или неравенству (скажем, или равна относительной доле (в данной группе из объектов) таких объектов, для которых величина х удовлетворяет соответствующему равенству или неравенству. Таким образом, просто определяет относительную долю тех объектов, для которых При таком истолковании вероятностей соотношение (1.2) становится очевидным. Оно, собственно, утверждает, что относительное количество объектов, для которых равно относительному количеству объектов, для которых плюс относительное количество объектов, для которых Группа из объектов часто называется генеральной совокупностью. До сих пор мы рассматривали только генеральные совокупности, содержащие конечное число объектов. Такие генеральные совокупности называются конечными.

Истолкование вероятности события, для которого выполняется определенное соотношение (равенство или неравенство), как относительной доли в данной генеральной совокупности таких элементов, для которых величина х удовлетворяет этому соотношению, оказывается во многих случаях весьма полезным, и мы будем им часто пользоваться. Однако такая интерпретация вероятностей не всегда возможна, если мы не ограничиваемся конечными генеральными совокупностями. Действительно, интегральная функция распределения, связанная с конечной генеральной совокупностью, имеет свои особенности.

Предположим, что генеральная совокупность состоит из элементов. Тогда случайная величина х может принимать не более различных значений. Пусть различные значения, которые может принимать величина х, причем эти значения расположены в возрастающем порядке, Ясно, что Если величина х одинакова для нескольких элементов, то Интегральная функция распределения в этом случае будет иметь вид ступенчатой кривой, показанной на рис. 2.

Функция распределения будет иметь ровно скачков, причем величина каждого скачка будет равна либо либо целому числу, умноженному на Интегральная функция распределения, представленная непрерывной кривой рис. 1, очевидно, не относится к этому типу.

Таким образом, если интегральная функция распределения является непрерывной кривой, то истолкование вероятностей как относительной доли определенных элементов конечной генеральной совокупности оказывается невозможным. Однако любую непрерывную интегральную функцию распределения можно с любой заданной точностью аппроксимировать ступенчатой интегральной функцией распределения, связанной с конечной генеральной совокупностью, если только число элементов в последней достаточно велико. Таким образом, любую непрерывную интегральную функцию распределения можно считать предельной формой интегральной функции распределения, связанной с конечной генеральной совокупностью. Предел достигается при бесконечном возрастании числа элементов в этой генеральной

совокупности. Это означает, что если мы допускаем существование бесконечной генеральной совокупности (генеральной совокупности с бесконечно большим числом элементов), то любую вероятность, связанную с этой совокупностью, всегда можно истолковать как относительную долю соответствующих элементов совокупности. Конечно, понятие бесконечной генеральной совокупности является просто полезной абстракцией, вводимой лишь для упрощения теории.

В качестве примера бесконечной генеральной совокупности рассмотрим эксперимент, заключающийся в измерении длины некоторого стержня. Исход каждого измерения можно считать случайной величиной, характеризующейся интегральной функцией распределения Тогда бесконечной генеральной совокупностью будет бесконечная последовательность повторяющихся измерений длины стержня, так что каждое действительно произведенное измерение можно считать элементом этой совокупности. Иногда генеральная совокупность является конечной, но число элементов этой совокупности настолько велико, что оказывается удобнее рассматривать задачи, связанные с этой совокупностью, так, как если бы было бесконечным, т. е. как если бы генеральная совокупность была бесконечной. Предположим, например, что мы интересуемся распределением роста всех женщин в возрасте 20 лет и старше, проживающих в Соединенных Штатах. Очевидно, что количество таких индивидуумов настолько велико, что можно рассчитывать на значительные математические упрощения, если считать генеральную совокупность таких индивидуумов бесконечной.