Чему равно количество сторон в любом четырехугольнике. Н.Никитин Геометрия

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

Вписанный → →

Параллелограмм→ →

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
2. Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке -

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Вписанный

Вписанный

Но посмотри: .

Получаем, что если - вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

Получается, что должно бы быть так, что.

Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

И то же самое, естественно, касательно углов и.

Вот и получился прямоугольник - все углы по.

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Диаметр,

Диаметр

а значит, - центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

И так же.

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру - четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

• Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
• Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
• Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся

Невыпуклым

Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Квадрат
• Трапеция
• Дельтоид
• Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.