Асимметрия и эксцесс распределения случайной величины. Вычисление асимметрии и эксцесса эмпирического распределения в Excel Коэффициент эксцесса нормального распределения

Коэффициент асимметрии показывает «скошенность» ряда распределения относительно центра:

где – центральный момент третьего порядка;

– куб среднего квадратического отклонения.

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия)

Кроме центрального момента расчет асимметрия можно провести, используя моду или медиану:

либо , (6.69)

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия) (рис. 4).

Рис. 4. Асимметричные распределения

Величина, показывающая «крутость» распределения, называется коэффициентом эксцесса :

Если , в распределении наблюдается островершинность – эксцесс положительный, если , в распределении наблюдается плосковершинность – эксцесс отрицательный (рис. 5).

Рис. 5. Эксцессы распределения

Пример 5. Имеются данные о количестве овец по хозяйствам района (табл. 9).

1. Среднее количество овец в расчете на одно хозяйство.

3. Медиану.

4. Показатели вариации

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· коэффициент вариации.

5. Показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

1. Так как значение варианты в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .

3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:

То есть, половина хозяйств в исследуемой совокупности имеют количество овец до 4,75тыс.голов. а половина свыше данной численности.

4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 10, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):

Таблица 10

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем стандартное отклонение:

Рассчитаем коэффициент вариации:

5. Для расчета показателей асимметрии и эксцесса построим таблицу 11, в которой рассчитаем , ,

Таблица 11

Асимметрия распределения равна:

То есть, наблюдается левосторонняя асимметрия, так как , что подтверждается и при расчете по формуле:

В этом случае , что для данной формулы так же указывает на левостороннюю асимметрию

Эксцесс распределения равен:

В нашем случае эксцесс отрицательный, то есть наблюдается плосковершинность.

Пример 6 . По хозяйству представлены данные о заработной плате работников (табл. 12)

Решение.

Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:

где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой

Минимальная граница модального интервала (3600);

Величина модального интервала (200);

Частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);

Частота следующего за модальным интервалом (29);

Частота модального интервала (68).

Таблица 12

Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:

где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.

Минимальная граница медианного интервала (3600);

Величина медианного интервала (200);

Сумма частот ряда (154);

Сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);

– частота медианного интервала (68).

Пример 7. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о фондоемкости продукции (количество затрат основных фондов на 1руб. произведенной продукции): I – 1,29 руб., II – 1,32 руб., III – 1,27руб. Необходимо рассчитать среднюю фондоемкость.

Решение . Так как фондоемкость обратный показатель оборота капитала используем формулу среднюю гармоническую простую.

Пример 8. По трем хозяйствам одного района имеются данные о валовом сборе зерновых и средней урожайности (табл. 13).

Решение . Расчет средней урожайности по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о количестве посевных площадей , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:

Пример 9. Имеются данные о средней урожайности картофеля на отдельных участках и количестве окучиваний (табл. 14)

Таблица 14

Проведем группировку данных (табл. 15):

Таблица 15

Группировка участков по признаку «число прополок»

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 16).

При анализе вариационных рядов смещение от центра и крутизну распределения характеризуют специальные показатели. Эмпирические распределения, как правило, смещены от центра распределения вправо или влево, асимметричны. Нормальное распределение строго симметрично относительно средней арифметической, что обусловлено четностью функции.

Асимметрия распределения возникает вследствие того, что какие-либо факторы действуют в одном направлении сильнее, чем в другом, или процесс развития явления таков, что доминирует какая-то причина. Кроме того, природа некоторых явлений такова, что имеет место асимметричное распределение.

Наиболее простой мерой асимметрии является разность между средней арифметической, модой и медианой:

Для определения направления и величины смещения (асимметрии) распределения рассчитывается коэффициент асимметрии , представляющий собой нормированный момент третьего порядка:

As= 3 / 3 , где  3 – центральный момент третьего порядка;  3 –среднее квадратическое отклонение в кубе. 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

При левосторонней асимметрии коэффициент асимметрии (As<0), при правосторонней (As>0) .

Если вершина распределения сдвинута влево и правая часть ветви оказывается длиннее левой, то такая асимметрия является правосторонней, в противоположном случае левосторонней .

Соотношение между модой, медианой и средней арифметической в симметричном и асимметричном рядах позволяет в качестве меры асимметрии использовать более простой показатель коэффициента асимметрии Пирсона :

К a = (–Мо)/. Если К a >0, то асимметрия правосторонняя, если К a <0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

Более точно асимметрию можно определить, используя центральный момент третьего порядка:

, где 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

Если > 0, то асимметрию можно считать значительной, если< 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального по ординате используется показатель островершинности, крутизны распределения, называемый эксцессом :

Ex = ( 4 / 4) – 3, где:  4 – центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения Ех = 0, т.е.  4 / 4 = 3.  4 = (m 4 – 4m 3 m 1 + 6m 2 m 2 1 – 3 m 4 1)* k 4 .

У высоковершинных кривых эксцесс положительный, у низковершинных отрицательный (рис. Г.2).

Показатели эксцесса и асимметрии необходимы в статистическом анализе для определения неоднородности совокупности, асимметричности распределения и близости эмпирического распределения к нормальному закону. При значительных отклонениях показателей асимметрии и эксцесса от нуля нельзя признать совокупность однородной, а распределение близким к нормальному. Сопоставление фактических кривых с теоретическими позволяет математически обосновать полученные статистические результаты, установить тип и характер распределения социально-экономических явлений, прогнозировать вероятность появления изучаемых событий.

4.7. Обоснование близости эмпирического (фактического) распределения к теоретическому нормальному распределению. Нормальное распределение (закон Гаусса-Лапласа) и его характеристики. «Правило трех сигм». Критерии согласия (на примере критерия Пирсона или Колгомогорова).

Можно заметить определенную связь в изменении частот и значений варьирующего признака. Частоты с ростом значения признака сначала увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины уменьшаются. Такие закономерные изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения .

Для выявления закономерности распределения необходимо, чтобы вариационный ряд содержал достаточно большое количество единиц, а сами ряды представляли собой качественно однородные совокупности.

Построенный по фактическим данным полигон распределения - это эмпирическая (фактическая) кривая распределения , отражающая не только объективные (общие), но и субъективные (случайные) условия распределения, не характерные для изучаемого явления.

В практической работе закон распределения находят путем сравнения эмпирического распределения с одним из теоретических и оценки степени различия или соответствия между ними. Теоретическая кривая распределения отражает в чистом виде, без учета влияния случайных факторов, общую закономерность распределения частот (плотности распределения) в зависимости от значений варьирующих признаков.

В статистике распространены различные виды теоретических распределений: нормальное, биномиальное, Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет свою специфику и область применения.

Закон нормального распределения характерен для распределения равновероятных событий, происходящих при взаимодействии множества случайных факторов. Закон нормального распределения лежит в основе статистических методов оценки параметров распределения, репрезентативности выборочных наблюдений, измерения взаимосвязи массовых явлений. Для проверки, насколько фактическое распределение соответствует нормальному, необходимо сравнить частоты фактического распределения с теоретическими частотами, характерными для нормального закона распределения. Эти частоты являются функцией нормированных отклонений. Поэтому по данным эмпирического ряда распределения вычисляют нормированные отклонения t. Затем определяют соответствующие им теоретические частоты. Таким образом, выравнивается эмпирическое распределение.

Нормальное распределение или закон Гаусса-Лапласа описывается уравнением
, где y t – ордината кривой нормального распределения, или частость (вероятность) величины х нормального распределения; – математическое ожидание (среднее значение) индивидуальных значений х. Если значения (х – ) измерить (выразить) в величинах среднего квадратического отклонения , т.е. в стандартизованных (нормированных) отклонениях t = (x – )/, то формула примет вид:
. Нормальное распределение социально-экономических явлений в чистом виде встречается редко, однако, если соблюдена однородность совокупности, часто фактические распределения близки к нормальному. Закономерность распределения изучаемых величин выявляют посредством проверки соответствия эмпирического распределения теоретически нормальному закону распределения. Для этого фактическое распределение выравнивается по кривой нормального и рассчитываются критерии согласия .

Нормальное распределение характеризуется двумя существенными параметрами, определяющими центр группирования индивидуальных значений и форму кривой: средней арифметической и средним квадратическим отклонением . Кривые нормального распределения различаются положением на оси абсцисс центра распределения и разбросом вариант около этого центра  (рис. 4.1 и 4.2). Особенностью кривой нормального распределения является ее симметричность относительно центра распределения – по обе стороны от ее середины образуются две равномерно убывающие ветви, асимптотически приближающиеся к оси абсцисс. Поэтому при нормальном распределении средняя, мода и медиана совпадают: = Мо = Ме.

x

Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба (переход от выпуклости к вогнутости) при t = 1, т.е. при отклонении вариантов от средней (х – ), равном среднему квадратическому отклонению . В пределах  при нормальном распределении заключается 68,3%, в пределах 2 – 95,4%, в пределах 3 – 99,7% количества наблюдений или частот ряда распределения. На практике почти не встречаются отклонения, превышающие 3поэтому приведенное соотношение называется «правилом трех сигм ».

Для расчета теоретических частот применяется формула:

.

Величина
есть функция от t или плотность нормального распределения, которая определяется по специальной таблице, выдержки из которой приведены в табл. 4.2.

Значения плотности нормального распределения Таблица 4.2

График на рис. 4.3 наглядно демонстрирует близость эмпирического (2) и нормального (1) распределений.

Рис. 4.3. Распределения филиалов почтовой связи по численности

работников: 1 – нормальное; 2 – эмпирическое

Для математического обоснования близости эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитываются критерии согласия .

Критерий Колмогорова - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному. А. Н. Колмогоров предложил для определения соответствия между эмпирическим и теоретическим нормальным распределениями использовать максимальную разность накопленных частот или частостей этих рядов. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитывают критерий согласия = D/
, где D – максимальная разность между кумулятивными (накопленными) эмпирическими и теоретическими частотами, n – численность единиц совокупности.По специальной таблице определяют Р() – вероятность достижения , которая означает, что если вариационный признак распределен по нормальному закону, то из-за случайных причин максимальное расхождение между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами будет не меньшим, чем фактически наблюденное. На основании значения Р() делают определенные выводы: если вероятность Р() достаточно велика, то гипотезу о соответствии фактического распределения нормальному закону можно считать подтвержденной; если вероятность Р() мала, то нулевая гипотеза отвергается, расхождения между фактическим и теоретическим распределениями признаются существенными.

Значения вероятностей для критерия согласия  Таблица 4.3

Критерии Пирсона  2 ("хи-квадрат") - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному:
,где f i , f" i – частоты эмпирического и теоретического распределений в определенном интервале. Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше критерий  2 . Чтобы отличить существенность различий частот эмпирического и теоретического распределений по критерию  2 от различий в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия  2 расч сравнивают с табличным  2 табл при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Уровень значимости выбирается так, что Р( 2 расч > 2 табл)=. Число степеней свободы равно h –l , где h – число групп; l – число условий, которые должны выполняться при вычислении теоретических частот. Для расчета теоретических частот кривой нормального распределения по формуле
необходимо знать три параметра , , f, поэтому число степеней свободы равно h–3. Если  2 расч > 2 табл, т.е.  2 попадает в критическую область, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В этом случае нулевая гипотеза отвергается. Если  2 расч  2 табл, т.е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможное расхождение частот, которое может возникнуть в силу случайности, то в данном случае гипотеза о соответствии распределений принимается. Критерий Пирсона эффективен при значительном числе наблюдений (n50), причем частоты всех интервалов должны насчитывать не менее пяти единиц (при меньшем количестве интервалы объединяют), а число интервалов (групп) должно быть большим (h>5), поскольку оценка  2 зависит от числа степеней свободы.

Критерий Романовского - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному.В.И. Романовский предложил близость эмпирического распределения к кривой нормального распределения оценивать по отношению:

, где h – число групп.

Если отношение больше 3, то расхождение частот эмпирического и нормального распределений нельзя признать случайным и гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть. Если отношение меньше или равно 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере распределения данных.

Для получения приблизительного представления о форме распределения случайной величины строят график её ряда распределения (полигон и гистограмму), функции или плотности распределения. В практике статистических исследований приходится встречаться с самими различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения случайной величины предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса. В симметричном распределении, в котором математическое ожидание равно медиане, т.е. , можно считать асимметрия отсутствует. Но чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение между характеристиками центра распределения – математическим ожиданием и медианой.

Простейшим коэффициентом асимметрии распределения случайной величины можно считать , где - это математическое ожидание, - медиана, а - стандартное отклонение случайной величины.

В случае правосторонней асимметрии , левосторонней – . Если , считается, что асимметрия низкая, если – средняя, а при – высокая. Геометрическая иллюстрация правосторонней и левосторонней асимметрии приведена на рисунке ниже. На нём изображены графики плотности распределений соответствующих типов непрерывных случайных величин.

Рисунок. Иллюстрация правосторонней и левосторонней асимметрии на графиках плотностей распределений непрерывных случайных величин.

Существует и другой коэффициент асимметрии распределения случайной величины. Можно доказать, что отличие от нуля центрального момента нечётного порядка свидетельствует об асимметрии распределения случайной величины. В предыдущем показателе мы использовали выражение , аналогичное моменту первого порядка . Но обычно в этом другом коэффициенте асимметрии используют центральный момент третьего порядка , а для того, чтобы этот коэффициент стал безразмерным его делят на куб стандартного отклонения. Получается такой коэффициент асимметрии: . Для этого коэффициента асимметрии, как и для первого в случае правосторонней асимметрии , левосторонней – .

Эксцесс случайной величины

Эксцесс распределения случайной величины характеризует степень сосредоточенности её значений около центра распределения: чем более высокая такая сосредоточенность, тем выше и уже будет график плотности её распределения. Показатель эксцесса (островершинности) рассчитывается по формуле: , где - это центральный момент 4 порядка, а – это стандартное отклонение, возведённое в 4 степень. Поскольку степени числителя и знаменателя одинаковы эксцесс является безразмерной величиной. При этом принято за эталон отсутствия эксцесса, нулевого эксцесса, брать нормальное распределение. Но можно доказать, что для нормального распределения . Поэтому в формуле для вычисления эксцесса из этой дроби число 3 вычитается.

Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю: . Если эксцесс больше нуля, т.е. , то распределение более островершинное, чем нормальное. Если эксцесс меньше нуля, т.е. , то распределение менее островершинное, чем нормальное. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение ; величина положительного эксцесса может быть бесконечно большой. Как выглядят графики островершинных и плосковершинных плотностей распределения случайных величин в сравнении с нормальным распределением, показано на рисунке.

Рисунок. Иллюстрация островершинных и плосковершинных плотностей распределения случайных величин в сравнении с нормальным распределением.

Асимметрия и эксцесс распределения случайной величины показывают, насколько она отклоняется от нормального закона. При больших асимметриях и эксцессах применять формулы вычислений для нормального распределения не следует. Каким является уровень допустимости асимметрии и эксцесса для использования формул нормального распределения в анализе данных конкретной случайной величины должен определять исследователь на основе своих знаний и опыта.

Определение. Модой М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным .

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным .

Определение. Медианой M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный центральный момент: .

Квантилем , отвечающий заданному уровню вероятности Р , называют такое значение, при котором функция распределения принимает значение, равное Р , т.е. где Р - заданный уровень вероятности.

Другими словами квантиль есть такое значение случайной величины, при котором

Вероятность Р , задаваемая в процентах, дает название соответствующему квантилю, например, называется 40%-ым квантилем.

20. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х ) =х 1 р 1 +х 2 р 2 + … +х п р п . (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то
, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногдавзвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины естьнеслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С ) =С. (7.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значениеС с вероятностьюр = 1, тоМ (С ) =С ·1 =С .

Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М (СХ ) =С М (Х ). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Тогда М (СХ ) =Сх 1 р 1 +Сх 2 р 2 + … +Сх п р п =С ( х 1 р 1 +х 2 р 2 + … +х п р п ) =СМ (Х ).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется

(7.13)

Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисления имеет вид:

(7.14)

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (7.12).

Замечание 2. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [a , b ], то интегралы в формулах (7.13) и (7.14) вычисляются в этих пределах.

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: .

Доказательство. Пусть – число появлений события в независимых испытаниях. Оно равно сумме появлений события в каждом испытании: . Так как испытания независимы, то и случайные величины – независимы, поэтому .

Как было показано выше, , а .

Тогда , а .

В этом случае, как уже упоминалось ранее, среднее квадратичное отклонение .

При анализе распределения численностей значительный интерес представляет оценка отклонения данного распределения от симметричного, или, иначе говоря, его скошенность. Степень скошенности (асимметрия) является одним из наиболее важных свойств распределения численностей. Существует целый ряд статистических показателей, предназначенных для вычисления асимметрии. Все они отвечают как минимум двум требованиям, предъявляемым к любому показателю скошенности: он должен быть безразмерным и равным нулю, если распределение симметрично.

На рис. 2 а, б приведены кривые двух асимметричных распределений численностей, одна из которых скошена влево, а другая -вправо. Качественно показано взаимное расположение моды, медианы и среднего. Видно, что один из возможных показателей скошенности может быть построен с учетом расстояния на котором находятся друг от друга средняя и мода. Но учитывая сложность определения моды по эмпирическим данным, а с другой стороны, известное соотношение (3) между модой, медианой и средним, была предложена следующая формула для вычисления показателя асимметрии:

Из этой формулы следует, что распределения скошенные влево, имеют положительную асимметрию, а скошенные вправо - отрицательную. Естественно, что для симметричных распределений, для которых среднее и медиана совпадают, асимметрия равна нулю.

Вычислим показатели асимметрии для данных, приведенных в табл. 1 и 2. Для распределения длительности сердечного цикла имеем:

Таким образом, это распределение имеет небольшую левостороннюю скошенность. Полученное значение для асимметрии является приближенным, а не точным, так как для ее расчета использовались значения и, рассчитанные упрощенным способом.

Для распределения сульфгидрильных групп сыворотки крови имеем:

Таким образом, это распределение имеет отрицательную асимметрию, т.е. скошено вправо.

Теоретически показано, что величина, определяемая по формуле 13, лежит в пределах 3. Но практически эта величина очень редко достигает своих предельных значений, и для умеренно асимметричных одновершинных распределений она по модулю обычно меньше единицы.

Показатель асимметрии может быть использован не только для формального описания распределения численностей, но и для содержательной интерпретации полученных данных.

В самом деле, если наблюдаемый нами признак формируется под воздействием большого числа независимых друг от друга причин, каждая из которых вносит относительно небольшой вклад в величину этого признака, то в соответствии с некоторыми теоретическими предпосылками, обсуждавшимися в разделе по теории вероятностей, мы вправе ожидать, что получаемое в результате эксперимента распределение численностей будет симметричным. Однако, если для экспериментальных данных получена значительная величина асимметрии (численное значение As по модулю в пределах нескольких десятых), то можно предположить, что условия, указанные выше, не соблюдаются.

В этом случае имеет смысл предположить либо существование какого-то одного или двух факторов, вклад которых в формирование наблюдаемой в эксперименте величины существенно больше, чем остальных, либо постулировать наличие специального механизма, отличного от механизма независимого влияния множества причин на величину наблюдаемого признака.

Так, например, если изменения интересующей нас величины, соответствующие действию некоторого фактора, пропорциональны самой этой величине и интенсивности действия причины, то получаемое при этом распределение будет всегда скошено влево, т.е. иметь положительную асимметрию. С таким механизмом сталкиваются, например, биологи, оценивая величины, связанные с ростом растений и животных.

Другой способ оценки асимметрии основан на методе моментов, который будет обсуждаться в главе 44. В соответствии с этим методом для расчета асимметрии используют сумму отклонений всех значений ряда данных относительно средней, возведенных в третью степень, т.е.:

Третья степень обеспечивает равенство нулю числителя этого выражения для симметричных распределений, так как в этом случае суммы отклонений в большую и меньшую сторону от средней в третьей степени будут равны и иметь противоположные знаки. Деление на обеспечивает безразмерность для показателя асимметрии.

Формула (14) может быть преобразована следующим образом. В предыдущем параграфе были введены стандартизованные величины:

Таким образом, мера скошенности представляет собой среднее значение стандартизованных данных, возведенных в куб.

Для тех же данных, для которых по формуле (13) была рассчитана асимметрия, найдем показатель по формуле (15). Имеем:

Естественно, что показатели асимметрии, вычисленные по разным формулам, отличаются друг от друга по величине, но одинаково указывают на характер скошенности. В пакетах прикладных программ для статистического анализа при расчете асимметрии используют формулу (15), как дающую более точные значения. Для предварительных же расчетов с использованием простейших калькуляторов можно пользоваться формулой (13).

Эксцесс. Итак, мы рассмотрели три из четырех групп показателей, с помощью которых описываются распределения численностей. Последней из них является группа показателей островершинности, или эксцесса (от греческого - горбатый). Для вычисления одного из возможных показателей эксцесса используется следующая формула:

Используя тот же подход, который был применен при преобразовании формулы асимметрии (14) легко показать, что:

Теоретически было показано, что величина эксцесса для нормальной (гауссовой) кривой распределения, играющей в статистике, также как и в теории вероятностей большую роль, численно равна 3. Исходя из целого ряда соображений заостренность этой кривой принимают за стандарт, и поэтому в качестве показателя эксцесса используют величину:

Найдем значение островершинности для данных, приведенных в табл. 1. Имеем:

Таким образом, кривая распределения длительности сердечных циклов уплощена по сравнению с нормальной кривой, для которой.

В табл. 3 приведено распределение числа краевых цветков у одного из видов хризантем. Для этого распределения

Эксцесс может принимать очень большие значения, как это видно из приведенного примера, но его нижняя граница не может быть меньше единицы. Оказывается, что если распределение двувершинно (бимодально), то значение эксцесса приближается к своей нижней границе, так что стремится к -2. Таким образом, если в результате расчетов оказывается, что значение меньше -1-1,4, можно быть уверенным, что имеющиеся в нашем распоряжении распределение численностей по крайней мере бимодально. Это особенно важно учитывать, когда экспериментальные данные, минуя стадию предварительной обработки, анализируются с помощью ЦВМ и перед глазами исследователя нет непосредственно графического изображения распределения численностей.

Двувершинность кривой распределения опытных данных может возникать по многим причина. В частности, такое распределение может появиться за счет объединения в единую совокупность двух наборов разнородных данных. Для иллюстрации этого мы искусственно объединили данные о ширине раковин двух видов ископаемых моллюсков в одну совокупность (табл. 4, рис. 3).

На рисунке явно видно наличие двух мод, так как смешаны два набора данных из разных совокупностей. Расчет дает для величины эксцесса 1,74, и, следовательно, =-1,26. Таким образом, расчетная величина показателя островершинности указывает, в соответствии с ранее высказанным положением, что распределение имеет две вершины.

Здесь нужно сделать одно предостережение. Действительно, во всех случаях, когда распределение численностей будет иметь два максимума, величина эксцесса будет близка к единице. Однако из этого факта нельзя автоматически делать вывод о том, что анализируемая совокупность данных представляет собой смесь двух разнородных выборок. Во-первых, такая смесь в зависимости от численности составляющих ее совокупностей может и не иметь двух вершин, и показатель эксцесса будет значительно больше единицы. Во-вторых, две моды может иметь и однородная выборка, если, например, нарушены требования к отбору экспериментальных данных. Таким образом, в этом, как, впрочем, и в других случаях вслед за формальным расчетом различных статистик должен осуществляться тщательный профессиональный анализ, который позволит дать полученным данным содержательную интерпретацию.