Алгоритм выделения компонент сильной связности. Метрические характеристики неориентированного графа

Пусть - связный неориентированный граф. Так как любые две вершины графа и связаны, то существуют простые цепи с концами и . Таких цепей может быть несколько. Их длины являются неотрицательными целыми числами. Следовательно, между вершинами и должны существовать простые цепи наименьшей длины . Длина цепи наименьшей длины, связывающей вершины и , обозначается символом и называется расстоянием между вершинами и . По определению .

Нетрудно убедиться, что введенное таким образом понятие расстояния, удовлетворяет аксиомам метрики:

2. тогда и только тогда, когда ;

3. ;

4. справедливо неравенство треугольника:

Для фиксированной вершины графа расстояние до наиболее удаленной от нее вершины: , называют эксцентриситетом (максимальным удалением ) вершины .

Диаметром графа называют число , равное расстоянию между наиболее удаленными друг от друга вершинами графа:

Простая цепь, длина которой равна , называется диаметральной цепью . Очевидно, что диаметр графа равен наибольшему среди всех эксцентриситетов вершин графа. Вершина называется периферийной , если .

Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа называют его радиусом и обозначают :

Так как диаметр графа равен наибольшему из эксцентриситетов вершин, а радиус - наименьшему, то радиус графа не может быть больше его диаметра. Вершина называется центральной , если . Множество всех центральных вершин графа называют его центром . Центром графа может быть одна вершина или несколько вершин. Есть графы, центр которых совпадает с множеством всех его вершин. Например, центр простой цепи состоит из двух вершин при четном числе ее вершин и из одной - при нечетном, а у любого цикла все вершины являются центральными.

Для иллюстрации обратимся к графу на рис. 4.29. Здесь

Поэтому

Вершина 2 является центром графа, а все остальные его вершины - периферийные. Цепь 1, 2, 3 - одна из диаметральных цепей.

Для связного орграфа расстояние между вершинами и определяется как расстояние между вершинами и в неориентированном дубликате этого графа.

Задача нахождения центральных вершин графа постоянно встречается в практической деятельности. Пусть, например, вершины графа соответствуют небольшим поселкам, а его ребра - дорогам между ними. Требуется оптимально разместить по этим населенным пунктам, скажем, магазины. В подобных ситуациях критерий оптимальности обычно заключается в оптимизации «наихудшего» случая, то есть в минимизации расстояния от магазина до наиболее удаленного поселка. Такой подход к оптимизации предполагает размещение магазинов в поселках, которые представляют центральные вершины графа.

Обходы графов

Уже отмечалось, что начало теории графов связывают с задачей о кенигсбергских мостах. Эта знаменитая в свое время задача состоит в следующем. Семь мостов города Кенигсберга (ныне Калининграда) были расположены на реке Прегель так, как изображено на рис. 4.30. Задача состоит в том, чтобы, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя только один раз по каждому мосту.

Так как в задаче существенны только переходы через мосты, план города можно свести к изображению графа (точнее, мультиграфа), в котором ребра соответствуют мостам, а вершины - различным разделенным частям города, которые обозначены буквами (рис. 4.30, справа). Эйлер показал, что нельзя пройти по одному разу по всем кенигсбергским мостам и вернуться назад. В своей работе, опубликованной в 1736 году, он сформулировал и решил следующую общую проблему теории графов: при каких условиях связный граф содержит цикл, проходящий через каждое его ребро.

Цикл в графе называется эйлеровым , если он содержит все ребра графа. Связный граф, в котором есть эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Такой граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.

Например, граф, изображенный на рис. 4.31, является эйлеровым, поскольку он содержит эйлеров цикл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 6, 1. В этом графе есть и другие эйлеровы циклы. Ясно, что любые два таких цикла отличаются друг от друга только порядком обхода ребер.

Теорема 4.7. (Л. Эйлер, 1736 г.) Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

Цепь называется эйлеровой , если она содержит все ребра графа.

Теорема 4.8 (Л. Эйлер, 1736 г.) Мультиграф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он связен и число вершин нечетной степени равно 0 или 2.

Несмотря на «похожесть» в определениях для эйлеровых и гамильтоновых циклов, соответствующие теории, устанавливающие критерии существования и алгоритмы поиска таких циклов, имеют мало общего. Терема Эйлера (теорема 4.7) позволяет легко установить, является ли граф эйлеровым. Разработаны алгоритмы, позволяющие достаточно просто найти эйлеровы циклы эйлерова графа. Что касается гамильтоновых графов, то здесь положение дел существенно иное. Ответить на вопрос, является ли некий граф гамильтоновым, как правило, очень трудно. Общего критерия, подобного критерию Эйлера, здесь нет. Но, как оказалось, среди множества всех графов эйлеровых графов ничтожно мало, а вот гамильтоновых графов достаточно много.

Граф – это совокупность двух множеств: вершини ребер, между которыми определено отношениеинцидентности .

Каждое ребро e из E инцидентно ровно двум вершинам и, которые оно соединяет. При этом вершинаи реброe называются инцидентными друг другу, а вершины иназываютсясмежными .

Принято обозначение n для числа вершин графа (мощность множества ):
иm для числа его ребер:
. Говорят, что графG есть (n , m ) граф, где n – порядок графа, m – размер графа.

Если все ребра
графа неориентированные, т.е. пары вершин, определяющие элементы множестваE , неупорядочены, то такой граф называется неориентированным графом, или неографом . На рис. 12.1 показан пример неографа. Этот граф имеет пять вершин и шесть ребер.

Маршрут – последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину. Граф связен , если любые две вершины соединены хотя бы одним маршрутом. Число ребер маршрута определяет его длину.

Ребра, инцидентные одной паре вершин, называются параллельными или кратными . Граф с кратными ребрами называется мультиграфом .

Ребро
называетсяпетлей (концевые вершины совпадают). Граф, содержащий петли и кратные ребра, называется псевдографом . На рис. 12.2 показан псевдограф.

Степень deg(v ) вершины – это число ребер, инцидентных v . В неографе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер (лемма о рукопожатиях):

. (12.1)

Петля дает вклад, равный 2, в степень вершины.

Степенная последовательность – последовательность степеней всех вершин графа, записанная в определенном порядке (по возрастанию или убыванию).

Пример 12.1. Степенная последовательность неографа, изображенного на рис. 12.1, записанная по возрастанию, выглядит так:

=1,
=2,
=3,
=3,
=3.

Сумма степеней всех вершин графа равна:

Этот результат не противоречит лемме о рукопожатиях, поскольку граф имеет шесть ребер (m = 6).

Матрица смежности графа – квадратная матрица A порядка n , где элемент равен числу ребер, соединяющих вершиныi и j .

Пример 12.2. Граф, показанный на рис. 12.1, имеет следующую матрицу смежности

Матрица инцидентности I – еще один способ описания графа. Число строк этой матрицы равно числу вершин, число столбцов – числу ребер; =1, если вершинаv инцидентна ребру e ; в противном случае =0. В каждом столбце матрицы инцидентности простого графа (без петель и без кратных ребер) содержится по две единицы. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины.

Пример 12.3. Граф, показанный на рис. 12.1, имеет следующую матрицу инцидентности

Граф
называетсяподграфом графа
, если
и
. Если
, то подграф называетсяостовным .

Компонента связности графа – максимальный по включению вершин и ребер связной подграф.

Ранг графа
, гдеk – число компонент связности.

Дерево – связной граф, содержащий n – 1 ребро.

Пример 12.4. На рис. 12.3 показано дерево, которое одновременно является остовным подграфом графа, показанного на рис. 12.1.

Радиус, диаметр и центр графа

Вычисление расстояний и определение маршрутов в графе являются одной из наиболее очевидных и практичных задач, которые возникают в теории графов. Введем некоторые необходимые определения.

Эксцентриситет вершины графа – расстояние до максимально удаленной от нее вершины. Для графа, для которого не определен вес его ребер, расстояние определяется в виде числа ребер.

Радиус графа – минимальный эксцентриситет вершин, а диаметр графа – максимальный эксцентриситет вершин.

Центр графа образуют вершины, у которых эксцентриситет равен радиусу. Центр графа может состоять из одной, нескольких или всех вершин графа.

Периферийные вершины имеют эксцентриситет, равный диаметру.

Простая цепь с длиной, равной диаметру графа, называется диаметральной .

Теорема 12.1. В связном графе диаметр не больше ранга его матрицы смежности.

Теорема 12.2. (Жордана) Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной или двух смежных вершин.

Теорема 12.3. Если диаметр дерева четный, то дерево имеет единственный центр, и все диаметральные цепи проходят через него, если диаметр нечетный, то центров два и все диаметральные цепи содержат ребро, их соединяющее.

Очевидно практическое значение центра графа. Если, например, речь идет о графе дорог с вершинами-городами, то в математическом центре целесообразно размещать административный центр, складские помещения и т.п. Этот же подход можно применять и для взвешенного графа, где расстояния – это веса ребер. В качестве веса можно брать евклидовое расстояние, время или стоимость передвижения между пунктами.

Пример 12.5. Найти радиус, диаметр и центр графа, изображенного на рис. 12.1.

Решение. В данной задаче удобно использовать матрицу расстояний S . Элемент этой квадратной симметричной матрицы равен расстоянию между вершинойi и вершиной j . Для графа, показанного на рис. 12.1, матрица расстояний имеет следующий вид:

. (12.2)

Вычислим эксцентриситет каждой вершины. Эту величину можно определить как максимальный элемент соответствующего столбца матрицы расстояний (или строки – поскольку матрицаS симметрична). Получаем

Радиус графа r – минимальный эксцентриситет вершин. В данном случае r = 2. Такой эксцентриситет имеют вершины № 2, № 4 и № 5. Эти вершины образуют центр графа. Диаметр графа d – максимальный эксцентриситет вершин. В данном случае d = 3. Такой эксцентриситет имеют вершины № 1 и № 3, это периферия графа. В исследованном графе вершины оказались либо центральными, либо периферийными. В графах большего порядка существуют и другие вершины.

Эксцентриситеты вершин небольшого графа легко вычислять непосредственным подсчетом по рисунку. Однако не всегда граф задан своим рисунком. Кроме того, граф может иметь большой размер. Поэтому необходим другой способ решения предыдущей задачи. Известна следующая теорема.

Теорема 12.4. Пусть
– матрица смежности графа G без петель и
, где
. Тогдаравно числу маршрутов длины k от вершины к вершине.

Решение задач теории графов с помощью различных преобразований матрицы смежности называют алгебраическим методом .

Пример 12.6. Найти матрицу расстояний графа, изображенного на рис. 12.1, алгебраическим методом.

Решение. Матрица смежности данного графа равна:

Будем заполнять матрицу расстояний, рассматривая степени матрицы смежности. Единицы матрицы смежности показывают пары вершин, расстояние между которыми равно единице (т.е. они соединены одним ребром).

Диагональные элементы матрицы расстояний – нули. Умножаем матрицу смежности на себя:

Согласно теореме между вершинами 2 и 3, 1 и 4 и т.д. имеется некоторое число маршрутов длиной 2 (поскольку степень матрицы равна двум). Число маршрутов здесь не используется, важен сам факт наличия маршрута и его длина, на что и указывает ненулевой элемент степени матрицы, не совпадающий с элементом, отмеченным при вычислении маршрута меньшей длины. Проставляем 2 в незаполненные элементы матрицы расстояний и получаем следующее приближение:

Осталось неизвестным расстояние между вершинами 1 и 3. Будем умножать матрицу смежности саму на себя до тех пор, пока в матрице
не появится ненулевой элемент
. Тогда соответствующий элемент матрицы расстояний равен степени матрицы смежности:
. На следующем шаге получаем

следовательно,
, и окончательно

Полученная матрица совпадает с матрицей расстояний S (12.2), найденной непосредственными вычислениями по рисунку.

Эйлерова цепь

Маршрут в неографе, в котором все ребра разные, называется цепью . Цепь в графе называется эйлеровой , если она содержит все ребра и все вершины графа.

Рис. 12.4. Схема Кенигсбергских мостов

Теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач. В их ряду – знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783). К созданию теории графов его подтолкнула задача о Кенигсберских мостах, которую он решил в 1736 году. По условию задачи требовалось пройти по всем семи мостам города Кенигсберга через реку Преголь по одному разу и вернуться к исходной точке. На рис. 12.4 показана схема этих мостов (один из них соединяет между собой два острова, а остальные – острова с берегами). Этой схеме соответствует приведенный на следующем рисунке мультиграф с четырьмя вершинами.

Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах в отрицательном смысле. Он доказал, что данная задача не имеет решения. Для этого ему пришлось доказать следующую теорему.

Теорема 12.5 (Эйлера). Мультиграф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он связен и число вершин нечетной степени равно 0 или 2.

Вершины нечетной степени в этой теореме, очевидно, являются началом и концом цепи. Если таких вершин нет, то эйлерова цепь становится эйлеровым циклом . Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым . Если граф имеет эйлерову цепь, но не обладает эйлеровым циклом (число вершин нечетной степени равно 2), то он называется полуэйлеровым графом.

Предположим, что граф имеет эйлеров цикл. Двигаясь по нему, будем подсчитывать степени вершин, полагая их до начала прохождения нулевыми. Прохождение каждой вершины вносит 2 в степень этой вершины. Поскольку эйлеров цикл содержит все ребра, то когда обход будет закончен, будут учтены все ребра, а степени вершин – четные.

Все четыре вершины мультиграфа, показанного на рис. 12.5, имеют нечетные степени. Поэтому этот граф не обладает эйлеровым циклом, а задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения.

Рассмотрим для сравнения граф, обладающий эйлеровой цепью. В графе на рис. 12.6 только две вершины имеют нечетную степень, следовательно, эйлерова цепь есть.

Цепей может быть несколько. Например, граф на рис. 12.6 имеет две эйлеровы цепи: 1-2-3-4-1-3 и 1-2-3-1-4-3.

Реберный граф

Рассмотрим два графа G и L (G ) . Граф G имеет произвольную форму, а вершины графа L (G ) расположены на ребрах графа G . В этом случае граф L (G ) называется реберным графом по отношению к графу G .

Английское название реберного графа – line graph , отсюда и обозначение графа – L (G ) . На рис. 12.7 показан реберный граф (он выделен жирными линиями), построенный для графа с рис. 12.1.

Рис. 12.7. Реберный граф

Теорема 12.6. Если
– степенная последовательность (n , m ) графа G , то L (G ) является (m , )-графом, где

. (12.3)

Для графа G , показанного на рис. 12.7 (и рис. 12.1), его степенная последовательность: 1-3-2-3-3. Поэтому

Раскраска графа, хроматический полином

Предположим, что перед нами стоит задача: раскрасить карту мира так, чтобы каждая страна имела свой собственный цвет. Поскольку на свете существует несколько сотен государств, то, естественно, потребуется достаточно много разных красок.

Упростим задачу. Будем использовать меньшее количество красок, но при этом не будем допускать, чтобы соседние страны, имеющие общие границы, были окрашены в один цвет. Возникает вопрос: какое минимальное количество красок требуется, чтобы удовлетворить этому условию?

Ответить на этот вопрос можно с помощью теории графов. Для этого нужно представить карту мира в виде графа, каждая вершина которого соответствует отдельной стране, а ребро между смежными вершинами соответствует наличию между странами общей границы.

Произвольная функция
на множестве вершин графа называется раскраской графа. Раскраска называется правильной, если
для любых смежных вершин и. Минимальное числоk , при котором граф G является k -раскрашиваемым называется хроматическим числом графа
.

Граф называется пустым , если в нем удалены все ребра и вершины изолированы друг от друга. Граф называется полным , если в нем нельзя добавить новое ребро, не добавив при этом одновременно новую вершину.

Теорема 12.7 (Брукса). Для любого графа G , не являющегося полным,
, если
–максимальная из степеней вершин графа .

Для определения количества способов раскраски графа в x цветов, необходимо составить хроматический полином P (G , x ). Значение полинома при некотором конкретном
равно числу правильных раскрасок графа вцветов.

Существует лемма, утверждающая, что хроматический полином графа имеет вид

, (12.4)

где – граф, полученный из G добавлением ребра (u , v ), а граф получается из G отождествлением вершин u и v .

Другой вариант леммы:

где – граф, полученный из G удалением ребра (u , v ), а граф получается из G отождествлением вершин u и v .

Операцию отождествления вершин u и v называют также стягиванием ребра (u , v ).

Оба варианта леммы составляют основу для хроматической редукции графа (reduction – «сокращение» на английском). Хроматическая редукция графа – представление графа в виде нескольких пустых или полных графов, сумма хроматических полиномов которых равна хроматическому полиному графа. Очевидно, что хроматический полином пустого графа равен(каждая вершина может быть раскрашена независимо от других), а для полного графа. Последнее выражение называютфакториальной степенью переменной x :
.

Разложения по пустым и полным графам связаны. Факториальную степень можно представить в виде полинома:

, (12.6)

где
– числа Стирлинга первого рода. И наоборот, степеньможно выразить через факториальные степени:

, (12.7)

где
– числа Стирлинга второго рода, обладающие следующими свойствами:

при
, (12.8)

при
,
при
.

При получении хроматического полинома могут быть полезны следующие теоремы.

Теорема 12.8. Коэффициенты хроматического полинома составляют знакопеременную последовательность .

Теорема 12.9. Абсолютная величина второго коэффициента хроматического полинома равна числу ребер графа.

Теорема 12.10. Наименьшее число i , для которого отличен от нуля коэффициент при в хроматическом полиноме графа G , равно числу компонент связности графа G .

Кроме вершинной раскраски, существует еще реберная раскраска и раскраска граней.

Пример 12.7. Найти хроматический полином графа, показанного на рис. 12.8.

Решение. В зависимости от числа ребер графа можно использовать разложение (12.4) или (12.5). Если граф почти полный, то, добавив несколько ребер по разложению (12.4), получим хроматический полином в виде суммы факториальных степеней. Если же ребер мало и для получения пустого графа требуется удалить только несколько ребер, то следует использовать разложение (12.5) с удалением ребер. Такие действия называются хроматической редукцией.

1. Хроматическая редукция по пустым графам . Воспользуемся вначале леммой (12.5). Удаляя ребра и отождествляя соответствующие вершины (стягивая ребра), сведем исходный граф к пустым графам. Сначала разложим граф на два, убрав, а затем стянув ребро 1-3. Выполненное действие запишем в виде условного равенства:

Здесь операция вычитания относится не к самому графу, а к его хроматическому полиному. Таким образом, последнее равенство означает, что . Для сокращения записи обозначениеP (…) будем опускать. Далее разложим каждый из графов и , пользуясь той же леммой.

Приведем подобные члены:

В итоге получим искомый хроматический полином:

Разложение (12.9) называется хроматической редукцией графа по пустым графам.

Очевидно, что результат соответствует утверждениям теорем 12.8-12.10. Коэффициенты в (12.10) образуют знакопеременную последовательность, а коэффициент при равен четырем – числу ребер. Наименьшая степеньx в полиноме равна 1, т.е. числу компонент связности графа.

2. Хроматическая редукция по полным графам . Добавив к изображенному на рис. 12.8 графу ребро 1–4, получим граф с большим числом ребер. Затем в исходном графе отождествим вершины 1 и 4. В результате получим два графа.

Отождествление вершин приводит к уменьшению порядка и иногда размера графа. Второй граф – это полный граф
, его преобразовывать больше не требуется. К первому графу добавим ребро 1–2 и отождествим вершины 1 и 2:

В итоге получим

(12.11)

Хроматический полином примет вид

Разложение (12.11) называется хроматической редукцией графа по полным графам.

Оба способа дали один результат, и из редукции по полным графам легко получить редукцию по пустым. Для этого достаточно раскрыть скобки и привести подобные члены, как в (12.12). Однако обратное действие не очевидно. Для того чтобы полином , полученный из пустых графов, выразить в виде суммы факториальных степеней, необходимы числа Стирлинга 2-го рода. Согласно рекуррентным формулам (12.8) имеем следующие числа:

Пользуясь (12.7) и найденными числами Стирлинга 2-го рода, получим

Произведем преобразование хроматического полинома:

Хроматическое число
графа лучше всего получить, разложив хроматический полином на множители:

Минимальное натуральное число x , при котором
не обращается в нуль, равно 3. Отсюда следует
. Так как максимальная степень вершин графа
, выполняется оценка
.

Ранг-полином графа

Ранг графа определяется как
, гдеn – число вершин, k – число компонент связности графа. Коранг графа, или цикломатический ранг, есть , гдеm – число ребер.

Ранг-полином графа G имеет вид

где
– ранг графаG , а
– корангостовного (т.е. включающего в себя все вершины графа) подграфа H , а – его ранг. Суммирование ведется по всем остовным подграфам графаG .

Ранг полином служит для анализа множества остовных подграфов. Так, например, коэффициент при
в
есть число подграфов размераk , а значение
равно числу подграфов (включая несобственный подграф), ранг которых равен рангу самого графа.

Пример 12.8. Найти ранг-полином графа, изображенного на рис. 12.8.

Решение. Найдем все 16 остовных подграфов графа G (рис. 12.9). Множество представим в виде четырех графов размера 1 (т.е. с одним ребром), шести графов размера 2, четырех графов размера 3 и двух несобственных графов (пустой граф и граф G ).

Учитывая, что ранг графа равен 3, получаем сумму:

Циклы

Маршрут, в котором начало и конец совпадают, – циклический . Циклический маршрут называется циклом , если он – цепь.

Остовом графа G называется граф, не содержащий циклов и состоящий из ребер графа G и всех его вершин. Остов графа определяется неоднозначно.

Ребра графа, не входящие в остов, называются хордами . Цикл, получающийся при добавлении к остову графа его хорды, называется фундаментальным относительно этой хорды.

Теорема 12.11. Число ребер неографа, которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно цикломатическому рангу графа.

Пример 12.8. По заданной матрице смежности:

определить число циклов длины 3 () и длины 4 (). Записатьматрицу фундаментальных циклов .

Решение. Матрица смежности данного графа симметричная, поэтому ей соответствует неориентированный граф. Сумма ненулевых элементов матрицы равна 12, следовательно, по лемме о рукопожатиях в графе 6 ребер. Построим этот граф (рис. 12.10). Очевидно, в нем два цикла (3–4–5 и 1–3–5) длиной 3 и один цикл (1–3–4–5) длиной 4. В данной задаче решение получено прямым подсчетом по изображению графа. Для более сложных случаев существует алгоритм решения задачи по матрице смежности.

Известно, что след (trace ) матрицы смежности, возведенный в k -ю степень, равен числу циклических маршрутов длины k (см. теорему 12.4). Это число включает в себя и искомое число циклов. Цикл отличается от циклического маршрута тем, что в нем не повторяются ребра. Кроме того, предполагается, что искомые циклы не помечены, а в след матрицы входят именно помеченные маршруты.

Непомеченных циклов длиной 3 в 6 раз меньше, чем помеченных, так как каждый помеченный цикл может отличаться началом (а их в данном случае три) и двумя направлениями обхода (по и против часовой стрелки). Возведем заданную матрицу смежности в третью степень:

и получим

Поскольку циклических маршрутов длиной 3, отличных от циклов длиной 3, не существует, найденное число и есть ответ в поставленной задаче.

С циклами длиной 4 немного сложнее. В след четвертой степени матрицы смежности графа

входят не только циклы, но и циклические маршруты с двойным и четырехкратным прохождением ребер. Обозначим количество таких маршрутов через исоответственно. Очевидно, число маршрутов с четырехкратным прохождением одного ребра для вершиныравно степени этой вершины:
. Число маршрутов с двукратным прохождением ребра складывается из числа
с висячей вершинойи числа
маршрутов с вершинойв центре.

Легко заметить, что
. Число
зависит от степеней вершин, соседних с:

где
– ребро, инцидентное вершинамi и k .

Для графа на рис. 12.10 получим

С учетом того, что непомеченных циклов длиной 4 в 8 раз меньше, получим

После преобразований формула примет вид

Для нахождения матрицы фундаментальных циклов пронумеруем ребра графа, начиная нумерацию с хорд, как показано на рис. 12.11 (а).

Двум хордам, 1 и 2, соответствуют два фундаментальных цикла: 1–4–5 и 2–4–6 (рис. 12.11 (б и в)). Матрица фундаментальных циклов имеет две строки (число циклов) и шесть столбцов (число ребер).

В первой строке матрицы единицами отмечены столбцы с номерами ребер, входящих в первый цикл, а во второй строке – номера ребер из второго цикла.

Эксцентриситет вершины графа – расстояние до максимально удаленной от нее вершины. Для графа, для которого не определен вес его ребер, расстояние определяется в виде числа ребер.

Радиус графа – минимальный эксцентриситет вершин, а диаметр графа – максимальный эксцентриситет вершин.

Периферийные вершины имеют эксцентриситет, равный диаметру.

Простая цепь с длиной, равной диаметру графа, называется диаметральной .

Теорема 12.1. В связном графе диаметр не больше ранга его матрицы смежности.

Теорема 12.2. (Жордана) Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной или двух смежных вершин.

Пример 12.5. Найти радиус, диаметр и центр графа, изображенного на рис. 12.1.

Решение. В данной задаче удобно использовать матрицу расстояний S . Элемент этой квадратной симметричной матрицы равен расстоянию между вершиной i и вершиной j . Для графа, показанного на рис. 12.1, матрица расстояний имеет следующий вид:

Теорема 12.4. Пусть – матрица смежности графа G без петель и , где . Тогда равно числу маршрутов длины k от вершины к вершине .

Решение задач теории графов с помощью различных преобразований матрицы смежности называют алгебраическим методом .

Пример 12.6. Найти матрицу расстояний графа, изображенного на рис. 12.1, алгебраическим методом.

Решение. Матрица смежности данного графа равна:

Диагональные элементы матрицы расстояний – нули. Умножаем матрицу смежности на себя:

Осталось неизвестным расстояние между вершинами 1 и 3. Будем умножать матрицу смежности саму на себя до тех пор, пока в матрице не появится ненулевой элемент . Тогда соответствующий элемент матрицы расстояний равен степени матрицы смежности: . На следующем шаге получаем

следовательно, , и окончательно

Периферийные вершины имеют эксцентриситет, равный диаметру.

Простая цепь с длиной, равной диаметру графа, называется диаметральной .

Теорема 12.1. В связном графе диаметр не больше ранга его матрицы смежности.

Теорема 12.2. (Жордана) Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной или двух смежных вершин.

Пример 12.5. Найти радиус, диаметр и центр графа, изображенного на рис. 12.1.

. (12.2)

№

Пример 12.6. Найти матрицу расстояний графа, изображенного на рис. 12.1, алгебраическим методом.

Решение. Матрица смежности данного графа равна:

Диагональные элементы матрицы расстояний – нули. Умножаем матрицу смежности на себя:

Осталось неизвестным расстояние между вершинами 1 и 3. Будем умножать матрицу смежности саму на себя до тех пор, пока в матрице не появится ненулевой элемент . Тогда соответствующий элемент матрицы расстояний равен степени матрицы смежности: . На следующем шаге получаем

Пусть G – конечный н-граф.

Маршрутом в G называется последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину:

Число ребер в маршруте называется его длиной.

Маршрут М называется маршрутом общего вида цепью простой цепью – если его вершины не повторяются,

Маршрут, в котором совпадают начальная и конечная вершины, т.е. , называется циклическим (замкнутым ).

Циклический маршрут М называется маршрутом общего вида , если вершины и ребра повторяются, циклом – если его ребра не повторяются, простым циклом – если его вершины не повторяются (кроме начала и конца).

Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим.

Вершины и называются связными , если существует маршрут с началом в и концом в .

Утверждение: Отношение связности вершин графа является отношением эквивалентности и определяет разбиение множества вершин графа на непересекающиеся подмножества .

Граф называется связным , если для любых двух различных вершин существует маршрут, соединяющий их.

Очевидно, что все подграфы G (V i ) этого графа связны и называются связными компонентами графа.

Расстоянием между вершинами a и b называется длина минимальной простой цепи, связывающей их. Расстояние обозначается d (a , b ) .

Аксиомы метрики:

1) d (a , b ) = d (b , a );

2) d (a , b ) ≥ 0, d (a , b ) = 0 ↔ a = b ;

3) d (a , b ) ≤ d (a , c ) + d (c , b )

Матрица расстояний, это симметричная квадратная матрица размерности , строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа, а на пересечении строк и столбцов записано расстояние между вершинами .

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

В последнем столбце матрицы указан эксцентриситет для каждой вершины: расстояние от данной вершины до наиболее удаленной вершины.

. (7.1)

Диаметр графа G – максимальное расстояние между вершинами графа. Диаметр находится по формуле:

Используя найденные эксцентриситеты вершин, диаметр можно найти по формуле:

. (7.2)

Радиус графа G – минимальное значение эксцентриситета. Радиус находится по формуле:

. (7.3)

Центр графа G – такая вершина, для которой .

Замечание. Центр в графе может быть не единственный.

Диаметральная цепь графа G диаметру, соединяющая наиболее удаленные вершины графа.

Радиальная цепь графа G – простая цепь, длина которой равна радиусу, соединяющая центр и наиболее удаленную от него вершину графа.

Пример 7.1.

Для н-графа, приведенного на рисунке 7.1, записать 1) маршрут общего вида, 2) не простую цепь, 3) простую цепь, 4) циклический маршрут общего вида,5) не простой цикл, 6) простой цикл.

Решение:

1) Маршрут общего вида – это маршрут, в котором начальная и конечная вершина различны, и некоторые ребра повторяются. М 1 = (1, 4 , 5, 1, 4 , 7, 3). Здесь повторяется ребро (1, 4).

2) Не простая цепь – это маршрут, в котором не повторяются ребра, но повторяются вершины. М 2 = (4, 3, 1 , 5, 6, 7 , 4, 1 ). Здесь повторяется вершина 1.

3) Простая цепь – это маршрут, в котором не повторяются вершины. М 3 = (4, 3, 7, 5, 6).

4) Циклический маршрут общего вида – это маршрут, в котором начальная и конечная вершины совпадают, и некоторые ребра повторяются. М 4 = (1, 5 , 1, 5 , 1 ). Здесь повторяется ребро (1, 5).

Рисунок 7.1. Построение маршрутов

в неориентированном графе

5) Непростой цикл – это циклический маршрут, в котором не повторяются ребра, но повторяются вершины. М 5 = (3, 4 , 5, 7, 4 , 1, 3). Здесь повторяется вершина 4.

Заметим, что непростой цикл бывает только в графах, в которых существует конфигурация типа «песочные часы».

6) Простой цикл – это циклический маршрут, в котором не повторяются вершины. М 6 = (5, 4, 3, 2, 1, 5).

Пример 7.2.

Для н-графа, приведенного на рисунке 7.1, построить матрицу расстояний. Определить диаметр и радиус графа. Указать центры графа. Записать диаметральные и радиальные цепи

Решение:

Для построения матрицы расстояний, сопоставим строки и столбцы вершинам. На пересечении строк и столбцов укажем расстояние между соответствующими вершинами.

d(a , b )	1	2	3	4	5	6	7
1	0	1	1	1	1	2	2	2
2	1	0	1	2	2	3	2	3
3	1	1	0	1	2	2	1	2
4	1	2	1	0	1	2	1	2
5	1	2	2	1	0	1	1	2
6	2	3	2	2	1	0	1	3
7	2	2	1	1	1	1	0	2

На месте (1, 1) стоит 0, так как кратчайший маршрут между вершиной 1 и вершиной 1 – это вырожденный маршрут (без ребер) длины 0.

На месте (1, 2) стоит 1, так как кратчайший маршрут между вершиной 1 и вершиной 2 – это единственное ребро, связывающее эти вершины.

На месте (1, 6) стоит 2, так как кратчайшая простая цепь, между вершиной 1 и вершиной 6 – это цепь из двух ребер (1, 5, 6). Значит, расстояние между этими вершинами равно 2.

В последнем столбце таблицы указано расстояние от данной вершины до наиболее удаленной от нее вершины – эксцентриситет. Их значения находим по формуле (7.1).

Максимум значений последнего столбца – диаметр графа. Откуда d (G ) = 3.

Минимум значений последнего столбца – радиус графа. Откуда r (G ) = 2.

Центрами являются вершины: 1, 3, 4, 5, 7. Их эксцентриситеты равны радиусу графа.

Для построения диаметральных цепей выясним с помощью матрицы расстояний, какие вершины наиболее удалены друг от друга. Так как максимальное расстояние между вершинами – это диаметр графа, значит, найдем вершины, находящиеся на расстоянии, равном диаметру. Это вершины 2 и 6. Следовательно, все диаметральные цепи в графе связывают эти вершины. Таких цепей две:

D 1 = (2, 1, 5, 6) и D 2 = (2, 3, 7, 6).

Для построения радиальных цепей выясним с помощью матрицы расстояний, какие вершины наиболее удалены от центров.

От центра 1 на расстоянии радиуса, равного 2, находятся вершины 6 и 7. Значит можно провести радиальные цепи:

R 1 = (1, 5, 6) и R 2 = (1, 4, 7).

От центра 3 на расстоянии радиуса находятся вершины 5 и 6. Значит можно провести радиальные цепи:

R 3 = (3, 4, 5) и R 4 = (3, 7, 6).