§13. Теорема Штейнера о моменте инерции относительно произвольной оси
Тела m на квадрат расстояния d между осями :
J = J c + m d 2 , {\displaystyle J=J_{c}+md^{2},}где m - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
| Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | ||
| Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | m r 2 {\displaystyle mr^{2}} | |
| Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | 1 2 m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mr^{2}} | |
| Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | m r 2 2 + r 1 2 2 {\displaystyle m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}} | |
| Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}} | ||
| Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}} | |
| Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | 1 12 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ml^{2}} | |
| Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | 1 3 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}ml^{2}} | |
| Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | 2 3 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}} | |
| Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | 2 5 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{5}}mr^{2}} | |
| Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | 3 10 m r 2 {\displaystyle {\frac {3}{10}}mr^{2}} | |
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) {\displaystyle {\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})} | |
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | 1 12 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ma^{2}} | |
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс | 1 6 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}} | |
| Прямоугольник со сторонами a и b и массой m | Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс | 1 12 m (a 2 + b 2) {\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})} | |
| Правильный n-угольник радиуса r и массой m | Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{6}}\left} | |
| Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R , радиусом образующей окружности r и массой m | Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс | I = m (3 4 r 2 + R 2) {\displaystyle I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)} |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . {\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).}Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . {\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.}Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ . Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.}Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = {\displaystyle J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle =2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}Поскольку объём и масса кольца равны
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , {\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,}получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0 ), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
J = 1 2 m R 2 . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.}Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
r = R h H , {\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},}где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;}Интегрируя, получим
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}}Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
r = R 2 − h 2 . {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}Масса и момент инерции такого диска составят
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.}Момент инерции шара найдём интегрированием:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}}Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . {\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . {\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.}Интегрируя, получим
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.}Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l ⁄ 2 . По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}Безразмерные моменты инерции планет и спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции .
Геометрические моменты инерции
Геометрический момент инерции объёма
J V a = ∫ (V) r 2 d V , {\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}где, как и ранее r - расстояние от элемента dV до оси a .
Геометрический момент инерции площади относительно оси - геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой :
J S a = ∫ (S) r 2 d S , {\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}где интегрирование выполняется по поверхности S , а dS - элемент этой поверхности.
Размерность J Sa - длина в четвёртой степени ( d i m J S a = L 4 {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ - 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см 4 .
Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:
W = J S a r m a x . {\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}Здесь r max - максимальное расстояние от поверхности до оси.
| Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой h {\displaystyle h} и шириной b {\displaystyle b} : |
J
y
=
b
h
3
12
{\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}}
J z = h b 3 12 {\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}} |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H {\displaystyle H} и B {\displaystyle B} , а по внутренним h {\displaystyle h} и b {\displaystyle b} соответственно |
J
z
=
B
H
3
12
−
b
h
3
12
=
1
12
(B
H
3
−
b
h
3)
{\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})}
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) {\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})} |
| Круга диаметром d {\displaystyle d} | J y = J z = π d 4 64 {\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}} |
Момент инерции относительно плоскости
Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости .
Если через произвольную точку O {\displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {\displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {\displaystyle xOy} , y O z {\displaystyle yOz} и z O x {\displaystyle zOx} будут выражаться формулами:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , {\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , {\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . {\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .}В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции ) J O {\displaystyle J_{O}} - это величина, определяемая выражением :
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей :
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , {\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad } (1)где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
и состоит из компонент центробежных моментов:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора
J
^
{\displaystyle {\hat {J}}}
:
где
Q
^
{\displaystyle {\hat {Q}}}
- ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины
J
X
,
J
Y
,
J
Z
{\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}
- главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на
I
s
{\displaystyle I_{s}}
и произведя замены:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {\displaystyle \xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}},\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}},\zeta ={s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}},}получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {\displaystyle \xi \eta \zeta } :
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. {\displaystyle \xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.}Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.
Пусть
имеется твердое тело. Выберем некоторую
прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть
осью (прямая OO может быть и вне тела).
Разобьем тело на элементарные участки
(материальные точки) массами
,
находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.
Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:
. (6.1)
Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:
. (6.2)
Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.
В данном случае
.
Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как
, (6.3)
где
–
плотность вещества,
– объемi
- го участка, то
,
или, переходя к бесконечно малым элементам,
. (6.4)
Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает
,
где т - масса; R - радиус цилиндра.
Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:
. (6.5)
Момент силы относительно оси
Пусть
на тело действует сила F
.
Примем для простоты, что сила F
лежит в плоскости, перпендикулярной
некоторой прямой ОО (рис.6.2,а
),
которую назовем осью (например, это ось
вращения тела). На рис. 6.2,а
А
- точка приложения силы F
,
- точка пересечения оси с плоскостью, в
которой лежит сила;r
-
радиус-вектор, определяющий положение
точки А
относительно точки О
";
O
"B
= b
-
плечо
силы. Плечом силы относительно оси
называется наименьшее расстояние от
оси до прямой, на которой лежит вектор
силы F
(длина перпендикуляра, проведенного из
точки
к
этой прямой).
Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством
. (6.6)
Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.
Если
сила F
направлена произвольно, то ее можно
разложить на две составляющие;
и
(рис.6.2,б
),
т.е.
+
,
где
-
составляющая, направленная параллельно
оси ОО, а
лежит в плоскости, перпендикулярной
оси. В этом случае под моментом силыF
относительно оси OO понимают вектор
. (6.7)
В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).
Момент импульса тела относительно оси вращения
П
усть
тело вращается вокруг некоторой оси ОО
с угловой скоростью
.
Разобьем это тело мысленно на элементарные
участки с массами
,
которые находятся от оси соответственно
на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные
скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi
-участка.
Моментом импульса i
-участка
(материальной точки) относительно оси
вращения называется вектор (точнее
псевдовектор)
, (6.8)
где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.
Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор
(6.9)
модуль
которого
.
В
соответствии с выражениями (6.8) и (6.9)
векторы
и
направлены
по оси вращения (рис.6.3). Легко показать,
что момент импульса тела L
относительно оси вращения и момент
инерции I
этого тела относительно той же оси
связаны соотношением
. (6.10)
Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:
Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).
Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).
Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:
Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством
где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.
Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.
Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим
Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид
Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.
Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.
1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает
Заменяя здесь его значением, найдем окончательно
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).
Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает
Следовательно, для кольца
Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.
3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину
Как уже отмечалось выше, к числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.
1. Прямоугольник.
Рассмотрим сечение
прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от
центральной оси
.
Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси:
.
(4.10)
Момент
инерции прямоугольного сечения
относительно оси
найдем аналогично. Здесь вывод не
приводится.
.
(4.11)
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии, а, следовательно,
главными осями.
2. Равнобедренный треугольник.
Рассмотрим сечение треугольного профиля
размерами
(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя
бесконечно близко расположенными
сечениями на расстоянии
от центральной оси
.
Центр тяжести треугольника находится
на расстояни
от основания. Треугольник принимается
равнобедренным, так что ось
сечения является осью симметрии.
Вычислим
момент инерции сечения относительно
оси 
:
.
(4.12)
Величину
определим из подобия треугольников:
;
откуда
.
Подставляя
выражения для
в (4.12) и интегрируя, получим:
.
(4.13)
Момент
инерции для равнобедренного треугольника
относительно оси
находится аналогичным образом и равен:
(4.14)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как ось
является осью симметрии сечения.
3. Круг
. Рассмотрим сечение круглого
профиля диаметром
(Рис.4.8).
Выделим элемент сечения двумя бесконечно
близко расположенными концентрическими
окружностями, расположенными на
расстоянии
от центра тяжести круга
.
Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):
.
(4.15)
Используя условие инвариантности для
суммы осевых моментов инерции относительно
двух взаимно перпендикулярных осей
(4.6) и учитывая, что для круга в силу
симметрии
,
определяем величину осевых моментов
инерции:
.
(4.16)
.
(4.17)
Центробежный
момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии сечения.
4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
При вычислении моментов инерции для сложных фигур следует запомнить одно правило: значения для моментов инерции можно складывать, если они вычислены относительно одной и той же оси . Для сложных фигур чаще всего центры тяжести отдельных простых фигур и всей фигуры не совпадают. Не совпадают, соответственно, и центральные оси для отдельных простых фигур и всей фигуры. В связи с этим существуют приемы приведения моментов инерции к одной оси, например, центральной оси всей фигуры. Это может быть связано с параллельным переносом осей инерции и дополнительными вычислениями.
Рассмотрим определение моментов инерции относительно параллельных осей инерции, изображенных на рис.4.9.
Пусть
осевые и центробежный моменты инерции
изображенной на рис.4.9. фигуры относительно
произвольно выбранных осей
и
с началом координат в точке
известны. Требуется вычислить осевые
и центробежный моменты инерции фигуры
относительно произвольных параллельных
осей
и
с началом координат в точке
.
Оси
и
проведены на расстояниях
и
соответственно от осей
и
.
Воспользуемся
выражениями для осевых моментов инерции
(4.4) и для центробежного момента инерции
(4.7). Подставим в эти выражения вместо
текущих координат
и
элемента с бесконечно малой площадью
координаты
и
в новой системе координат. Получим:
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что при вычислении моментов инерции относительно параллельных осей к моментам инерции, вычисленных относительно исходных осей инерции, следует призводить добавки в виде дополнительных членов, которые могут оказаться намного больше значений для моментов инерции относительно исходных осей. Поэтому пренебрегать этими дополнительными членами ни в коем случае нельзя.
Рассмотренный случай представляет собой самый общий случай параллельного переноса осей, когда в качестве исходных были взяты произвольные оси инерции. В большинстве расчетов встречаются частные случаи определения моментов инерции.
Первый частный случай . Исходные оси являются центральными осями инерции фигуры. Тогда, используя основное свойство для статического момента площади, можно исключить из уравнений (4.18)(4.20) члены уравнений, в которые входит статический момент площади фигуры. В результате получим:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Здесь оси
и
центральные оси
инерции.
Второй частный случай . Исходные оси являются главными осями инерции. Тогда, учитывая, что относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю, получим:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Здесь оси
и
главные оси инерции.
Воспользуемся полученными выражениями и рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции для плоских фигур.
Пример 4.2.
Определить осевые моменты
инерции фигуры, приведенной на рис.
4.10, относительно центральных осей
и
.
В предыдущем примере 4.1 для изображенной
на рис.4.10 фигуры было определено положение
центра тяжести С. Координата центра
тяжести откладывалась от оси
и составила
.
Вычислим расстояния
и
между осями
и
и осями
и
.
Эти расстояния составили соответственно
и
.
Так как исходные оси
и
являются центральными осями для простых
фигур в виде прямоугольников, для
определения момента инерции фигуры
относительно оси
воспользуемся выводами для первого
частного случая, в частности, формулой
(4.21).
Момент инерции относительно оси
получим путем сложения моментов инерции
простых фигур относительно этой же оси,
так как ось
является общей центральной осью для
простых фигур и для всей фигуры.
см 4 .
Центробежный момент инерции относительно
осей
и
равен нулю, так как ось инерции
является главной осью (осью симметрии
фигуры).
Пример
4.3.
Чему равен
размер b
(в см)
фигуры,
изображенной на рис. 4.11, если момент
инерции фигуры относительно оси
равен 1000 см 4 ?
Выразим момент инерции относительно
оси
через неизвестный размер сечения
,
воспользовавшись формулой (4.21), учитывая,
что расстояние между осями
и
равно 7см:
см 4 .
(а)
Решая выражение (а) относительно размера
сечения
,
получим:
см.
Пример.4.4.
Какая из фигур, изображенных на рис.4.12
, имеет больший момент инерции относительно
оси
,
если обе фигуры имеют одинаковую площадь
см 2 ?
1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:
а) диаметр сечения для круглого сечения:
см 2 ; Откуда
см.
б) размер стороны квадрата:
;
Откуда
см.
2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:
см 4 .
3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:
см 4 .
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.
Пример 4.5.
Определить полярный момент
инерции (в см 4) сечения прямоугольной
формы относительно его центра тяжести,
если ширина сечения
см,
высота сечения
см.
1. Найдем моменты инерции сечения
относительно горизонтальной
и вертикальной
центральных осей инерции:
см 4 ;
см 4 .
2. Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции:
см 4 .
Пример
4.6.
Определить
момент инерции фигуры треугольной формы
изображенной на рис.4.13, относительно
центральной оси
,
если момент инерции фигуры относительно
оси
равен 2400 см 4 .
Момент инерции сечения треугольной
формы относительно главной оси инерции
будет меньше по сравнению с моментом
инерции относительно оси
на величину
.
Поэтому при
см
момент инерции сечения относительно
оси
найдем следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.
Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек () на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.
Для однородного тела выражение (2) можно представить как:
Момент инерции в международной системе единиц измеряется в:
Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.
В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.
Теорема Штейнера
Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:
где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m - масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:
Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела
При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:
где m - масса точки; r - расстояние от точки до оси вращения.
Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:
Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:
где R - радиус кольца.
Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:
Для однородного шара
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:
где - координаты бесконечно малого элемента тела.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m. |
| Решение | Найдем момент инерции одного шарика () относительно оси, находящейся от него на расстоянии :
Момент инерции второго шарика будет равен : Суммарный момент инерции системы равен сумме:
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы . Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный |
| Решение | Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (), вращающегося вокруг той же оси: |
