Y 1 4x 2 график функции. Функции и их графики

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 74. Функции у = х n при п = -1 и п = -2

1. Функция у = х -1 . Областью определения функции у = х -1 , или у = 1 / x , является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Эта функция нечетна, так как 1 / - x =- 1 / x . Поэтому для построения ее графика достаточно составить таблицу значений только для положительных значений аргумента х :

Используя эту таблицу и свойство нечетности функции у = х -1 , построим ее график (рис. 97). Этот график, как видно из рисунка, состоит из двух кривых, одна из которых целиком находится в первом, а другая - в третьем координатном углу. Они симметричны друг другу относительно начала координат. Вместе эти кривые называются гиперболой , а каждая из кривых в отдельности - ветвью гиперболы .

Заметим, что при всех положительных значениях x : функция у = х -1 монотонно убывает. То же верно и для всех отрицательных значений х . Однако былo бы ошибочно утверждать, что эта функция является монотонно убывающей всюду. Например, значению аргумента x 1 = - 1 соответствует значение функции y 1 = -1, а значению аргумента x 2 = +1 - значение функции y 2 = + 1. Имеем: x 1 > x 2 и y 2 > y 1 . Для монотонно убывающей функции из x 1 > x 2 должно вытекать y 2 < y 1. Но здесь это условие не выполняется. Следовательно, говорить, что функция у = х -1 всюду монотонно убывает, нельзя. Однако можно сказать, что эта функция убывает на любом отрезке, на котором она определена (то есть на любом отрезке оси х , не содержащем нуля).

Функция у = х -1 принимает любые числовые значения, кроме нуля. Значит, областью ее изменения, так же как и областью определения, является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Следует обратить внимание на поведение функции у = х -1 вблизи точки х = 0. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции у неограниченно растут. Если же значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции у неограниченно убывают.

2. Функция у = х -2 . Областью определения функции у = х -2 , или , является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Так как

то функция у = х -2 четна. Поэтому для построения графика этой функции достаточно составить таблицу ее значений только для положительных значений х :

Значения этой функции при отрицательных х равны ее значениям при соответствующих положительных х .

Например.(- 1 / 4) -2 = (1 / 4) -2 =16. Используя составленную таблицу и свойство четности функции у = х -2 , построим ее график (рис. 98).

Он состоит из двух ветвей, одна из которых целиком расположена в первом, а другая- во втором координатном углу. Эти кривые симметричны друг другу относительно оси ординат. Необходимо подчеркнуть, что ни одну из них в отдельности нельзя считать графиком функции у = х -2 . Только взятые вместе, они образуют этот график.

Функция у = х -2 , или , принимает только положительные значения. Поэтому график ее расположен целиком свыше оси х .

Когда значения аргумента х неограниченно растут (или неограниченно убывают), соответствующие значения функции у неограниченно приближаются к нулю, оставаясь все время положительными. При неограниченном приближении значений аргумента х к нулю (как слева, так и справа) соответствующие значения функции у неограниченно растут. Областью изменения функции у = х -2 является совокупность всех положительных чисел.

Упражнение

538. Построить графики функций:

a) y = (x - l) -1 ; в) у = |x -1 |; д) у = x -2 -2;

б) у = (х + 2) -1 ; г) y = | x | -1 ; е)

Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х 0, то у >0; если х "> 0, то у >0; если х "> 0, то у >0; если х " title="Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х "> title="Областью определения функций является множество действительных чисел, кроме нуля. X Y y = x -1 Свойства функции у = х-1 и особенности ее графика. 1. Если х > 0, то у >0; если х ">

0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" class="link_thumb"> 4 3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (y +) X Y y = x -1 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра"> 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (y +) X Y y = x -1"> 0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра" title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра"> title="3.Если значения аргумента при x>0 неограниченно возрастают(x +),то соответствующие значения функции убывают, т.е. стремятся к нулю (y 0). Если значения аргумента при x>0 убывают, т.е. стремятся к нулю (x 0),то соответствующие значения функции неогра">

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.