Уравнение и характеристики механических свободных (затухающих и незатухающих) колебаний. Kvant

Свободные колебания всегда затухают из-за потерь энергии (трение, сопротивление среды, сопротивление проводников электрического тока и т. п.). Между тем и в технике и в физических опытах крайне нужны незатухающие колебания, периодичность которых сохраняется все время, пока система вообще колеблется. Как получают такие колебания? Мы знаем, что вынужденные колебания, при которых потери энергии восполняются работой периодической внешней силы, являются незатухающими. Но откуда взять внешнюю периодическую силу? Ведь она в свою очередь требует источника каких-то незатухающих колебаний.

Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. Такие устройства называются автоколебательными системами.

На рис. 55 изображен пример электромеханического устройства такого рода. Груз висит на пружине, нижний конец которой погружается при колебаниях этого пружинного маятника в чашечку со ртутью. Один полюс батареи присоединен к пружине наверху, а другой - к чашечке со ртутью. При опускании груза электрическая цепь замыкается и по пружине проходит ток. Витки пружины благодаря магнитному полю тока начинают при этом притягиваться друг к другу, пружина сжимается, и груз получает толчок кверху. Тогда контакт разрывается, витки перестают стягиваться, груз опять опускается вниз, и весь процесс повторяется снова.

Таким образом, колебание пружинного маятника, которое само по себе затухало бы, поддерживается периодическими толчками, обусловленными самим колебанием маятника. При каждом толчке батарея отдает порцию энергии, часть которой идет на подъем груза. Система сама управляет действующей на нее силой и регулирует поступление энергии из источника - батареи. Колебания не затухают именно потому, что за каждый период от батареи отбирается как раз столько энергии, сколько расходуется за то же время на трение и другие потери. Что же касается периода этих незатухающих колебаний, то он практически совпадает с периодом собственных колебаний груза на пружине, т. е. определяется жесткостью пружины и массой груза.

Рис. 55. Автоколебания груза на пружине

Подобным же образом возникают незатухающие колебания молоточка в электрическом звонке, с той лишь разницей, что в нем периодические толчки создаются отдельным электромагнитом, притягивающим якорек, укрепленный на молоточке. Аналогичным путем можно получить автоколебания со звуковыми частотами, например возбудить незатухающие колебания камертона (рис. 56). Когда ножки камертона расходятся, замыкается контакт 1; через обмотку электромагнита 2 проходит ток, и электромагнит стягивает ножки камертона. Контакт при этом размыкается, и далее следует повторение всего цикла.

Рис. 56. Автоколебания камертона

Чрезвычайно существенна для возникновения колебаний разность фаз между колебанием и силой, которую оно регулирует. Перенесем контакт 1 с внешней стороны ножки камертона на внутреннюю. Замыкание происходит теперь не при расхождении, а при сближении ножек, т. е. момент включения электромагнита передвинут на полпериода по сравнению с предыдущим опытом. Легко видеть, что в этом случае камертон будет все время сжат непрерывно включенным электромагнитом, т. е. колебания вообще не возникнут.

Электромеханические автоколебательные системы применяются в технике очень широко, но не менее распространенными и важными являются и чисто механические автоколебательные устройства. Достаточно указать на любой часовой механизм. Незатухающие колебания маятника или балансира часов поддерживаются за счет потенциальной энергии поднятой гири или за счет упругой энергии заведенной пружины.

Рисунок 57 иллюстрирует принцип действия маятниковых часов Галилея - Гюйгенса (§ 11). На этом рисунке изображен так называемый анкерный ход. Колесо с косыми зубьями 1 (ходовое колесо) жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепь с гирей 2. К маятнику 3 приделана перекладина 4 (анкер), на концах которой укреплены палетты 5 - пластинки, изогнутые по окружности с центром на оси маятника 6. Анкер не позволяет ходовому колесу свободно вращаться, а дает ему возможность провернуться только на один зуб за каждые полпериода маятника. Но и ходовое колесо действует при этом на маятник, а именно, пока зуб ходового колеса соприкасается с изогнутой поверхностью левой или правой палетты, маятник не получает толчка и только слегка тормозится из-за трения. Но в те моменты, когда зуб ходового колеса «чиркает» по торцу палетты, маятник получает толчок в направлении своего движения. Таким образом, маятник совершает незатухающие колебания, потому что он сам в определенных своих положениях дает возможность ходовому колесу подтолкнуть себя в нужном направлении. Эти толчки и восполняют расход энергии на трение. Период колебаний и в этом случае почти совпадает с периодом собственных колебаний маятника, т. е. зависит от его длины.

Рис. 57. Схема часового механизма

Автоколебаниями являются также колебания струны под действием смычка (в отличие от свободных колебаний струны у рояля, арфы, гитары и других несмычковых струнных инструментов, возбуждаемых однократным толчком или рывком); автоколебаниями являются звучание духовых музыкальных инструментов, движение поршня паровой машины и многие другие периодические процессы.

Характерная черта автоколебаний состоит в том, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальным отклонением или толчком, как у свободных колебаний. Если, например, маятник часов отклонить слишком сильно, то потери на трение будут больше, чем поступление энергии от заводного механизма, и амплитуда будет уменьшаться. Наоборот, если уменьшить амплитуду, то избыток энергии, сообщаемой маятнику ходовым колесом, заставит амплитуду возрасти. Автоматически установится именно такая амплитуда, при которой расход и поступление энергии сбалансированы.

1. Колебания. Периодические колебания. Гармонические колебания.

2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний.

5. Автоколебания.

6. Колебания тела человека и их регистрация.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

1.1. Колебания. Периодические колебания.

Гармонические колебания

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.

Периодические колебания

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.

Гармонические колебания

Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.

Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

х - смещение тела в момент времени t;

А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;

ω - круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением

φ = (ωt +φ 0) - фаза колебаний (в момент времени t); φ 0 - начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. 1.1. Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0

1.2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении - потенциальная.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Свободные незатухающие колебания

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Колебания тела на пружине

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.

При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Величина ω 0 (1.6) оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.

Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила (1.4).

Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω 0 всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).

Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.

При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается) (рис. 1.3).

Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 1.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Рис. 1.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой

где J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).

Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.

Свободные затухающие колебания

Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.

Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:

График таких колебаний представлен на рис. 1.4.

В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ.

Рис. 1.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.

где i - порядковый номер колебания.

Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле

Сильное затухание. При

выполнении условия β ≥ ω 0 система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 1.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.

Рис. 1.5. Апериодическое движение

1.3. Вынужденные колебания, резонанс

Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

График вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:

Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:

Резонансом называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.

Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.

Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β 1 > β 2 > β 3) показана на рис. 1.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.

В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций.

Рис. 1.7. Резонансные кривые

1.4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний

В таблице 1.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов.

Таблица 1.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний

Энергия незатухающих гармонических колебаний

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает двумя видами энергии: кинетической энергией движения Е к = mv 2 /2 и потенциальной энергией Е п, связанной с действием упругой силы. Известно, что при действии упругой силы (1.4) потенциальная энергия тела определяется формулой Е п = кх 2 /2. Для незатухающих колебаний х = А cos(ωt), а скорость тела определяется по формуле v = - А ωsin(ωt). Отсюда получаются выражения для энергий тела, совершающего незатухающие колебания:

Полная энергия системы, в которой происходят незатухающие гармонические колебания, складывается из этих энергий и остается неизменной:

Здесь m - масса тела, ω и A - круговая частота и амплитуда колебаний, k - коэффициент упругости.

1.5. Автоколебания

Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.

Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой:

В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы.

Обратной связью называется воздействие результатов какоголибо процесса на его протекание.

Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.

В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.

Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы, как сердце, легкие.

1.6. Колебания тела человека и их регистрация

Aнализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской практике.

Колебательные движения тела человека при ходьбе

Ходьба - это сложный периодический локомоторный процесс, возникающий в результате координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Aнализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.

Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме на 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Вертикальное смещение ЦМ тела человека во время ходьбы

Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела.

У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания общего центра масс (ОЦМ) и центра давления (ЦД) стоп на плоскость опоры. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия - метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. Посредством удержания проекции ОЦМ в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью стабилометрического анализатора, основной частью которого является стабилоплатформа, на которой в вертикальной позе находится испытуемый. Колебания, совершаемые ЦД испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается статокинезиграмма - траектория перемещения ЦД испытуемого на горизонтальной плоскости в двумерной системе координат. По гармоническому спектру статокинезиграммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод позволяет анализировать показатели статокинетической устойчивости (СКУ) человека.

Механические колебания сердца

Существуют различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.

Баллистокардиография (БКГ) - метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется баллистокардиограммой (рис. 1.9), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.

Апекскардиография (AKГ) - метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскардиограммы производится, как правило, на многоканальном электрокарди-

Рис. 1.9. Запись баллистокардиограммы

ографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ - сравнивают амплитуды кривой при разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии - отрезок ЕО, принимаемый за 100%. На рисунке 1.10 представлена апекскардиограмма.

Рис. 1.10. Запись апекскардиограммы

Кинетокардиография (ККГ) - метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве, вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГ х), скорость перемещения (ККГ v) а также ускорение (ККГ а) для колебаний грудной клетки. На рисунке 1.11 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.

Рис. 1.11. Запись кинетокардиограмм перемещения (х), скорости (v), ускорения (а)

Динамокардиография (ДКГ) - метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30x30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая - масса грудной клетки; 2) переменная - механический эффект дыхательных движений; 3) переменная - механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.

Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуемым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 1.12.

Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.

Рис. 1.12. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм

Вибрация

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.

Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, руке рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.

Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.

Влияние, которое вибрации оказывают на организм, зависит от интенсивности, частоты, длительности вибраций, места их приложения и направления по отношению к телу, позе, а также от состояния человека и его индивидуальных особенностей.

Колебания с частотой 3-5 Гц вызывают реакции вестибулярного аппарата, сосудистые расстройства. При частотах 3-15 Гц наблюдаются расстройства, связанные с резонансными колебаниями отдельных органов (печень, желудок, голова) и тела в целом. Колебания с частотами 11-45 Гц вызывают ухудшение зрения, тошноту, рвоту. При частотах, превышающих 45 Гц, возникают повреждение сосудов головного мозга, нарушение циркуляции крови и т.д. На рисунке 1.13 приведены области частот вибрации, оказывающие вредное действие на человека и системы его органов.

Рис. 1.13. Области частот вредного воздействия вибрации на человека

В то же время в ряде случаев вибрации находят применение в медицине. Например, при помощи специального вибратора стоматолог готовит амальгаму. Использование высокочастотных вибрационных аппаратов позволяет высверлить в зубе отверстие сложной формы.

Вибрация используется и при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразделяются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.), и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.

Механотерапия

В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии - форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (от фр. balancer - качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.

1.7. Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

1.8. Задачи

1. Привести примеры колебательных систем у человека.

2. У взрослого человека сердце делает 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений; б) число сокращений за 50 лет

Ответ: а) 1,17 Гц; б) 1,84х10 9 .

3. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 1 секунде?

4. Тонкий прямой однородный стержень длиной 1 м подвешен за конец на оси. Определить: а) чему равен период его колебаний (малых)? б) какова длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний?

5. Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х = 0,42 cos(7,40t), где t - измеряется в секундах, а х - в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16 м.

6. Оценить скорость, с которой идет человек при длине шага l = 0,65 м. Длина ноги L = 0,8 м; центр тяжести находится на расстоянии H = 0,5 м от ступни. Для момента инерции ноги относительно тазобедренного сустава использовать формулу I = 0,2mL 2 .

7. Каким образом можно определить массу небольшого тела на борту космической станции, если в вашем распоряжении имеются часы, пружина и набор гирь?

8. Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент и коэффициент затухания.

Основные величины, формулы и определения

Свободные незатухающие колебания

1. Период Т, частота  и циклическая частота колебаний 

,
,

2. Фаза колебаний , начальная фаза  0

.

3. Уравнения свободных гармонических не затухающих колебаний

где, [x] = м  смещение колеблющегося объекта, [А] = м  амплитуда колебаний.

4. Скорость тела при гармонических колебаниях

.

5. Ускорение тела при гармонических колебаниях

6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.

7. Возвращающая сила, обуславливающая колебательный процесс

,

где m  масса колеблющегося тела.

8. Кинематические характеристики колебательного движения

9. Физический смысл начальной фазы колебаний  0

10. Возвращающая сила при упругих гармонических колебаниях

,

где k  жёсткость или коэффициент квазиупругой силы.

11. Взаимосвязь жёсткости с циклической частой, частотой и периодом колебаний

.

12. Кинетическая энергия колебаний K

,

.

13. Потенциальная энергия колебаний 

,

.

14. Закон сохранения энергии для консервативной квазиупругой силы

15. Процесс перехода энергии при колебаниях из одного вида в другой с частотой 2

16. Среднее значение кинетической и потенциальной <П> энергии

.

17. Дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника sin  

,

,

 момент инерции грузика маятника массой m с длиной нити подвеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости качания через точку подвеса,
 циклическая частота колебаний математического маятника.

18. Уравнение колебаний математического маятника

.

19. Период колебаний математического маятника

.

20. Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

,

где J  момент инерции маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости качания и проходящей через точку подвеса,  расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

21. Циклическая частота  малых колебаний физического маятника, когда sin  

.

22. Период малых колебаний физического маятника

,

где
 приведённая длина физического маятника.

24. Дифференциальное уравнение свободных линейных колебаний массы m, соединённой с пружиной жёсткости k

.

25. Период колебаний груза на пружине

.

26. Параметры крутильных колебаний

,

где С  жёсткость упругого элемента крутильного маятника, для однородного стержня

,

где G  модуль сдвига, d  диаметр стержня,  длина стержня.

Затухающие свободные колебания

27. Сила сопротивления, пропорциональная скорости перемещения

,

где r  коэффициент сопротивления.

28. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где
 коэффициент затухания,
 циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

29. Уравнение затухающих колебаний

где  0  частота собственных колебаний.

30. Графическое представление затухающих колебаний

31. Период затухающих колебаний

.

.

33. Логарифмический декремент 

.

34. Добротность колебательной системы Q

,

где N e  число полных колебаний за время  = 1/ в течение которого амплитуда A(t) уменьшается в e раз.

35. Энергия затухающих колебаний

.

36. Изменение энергии затухающих колебаний во времени

.

37. Изменение энергии затухающих колебаний при малых значениях коэффициента сопротивления

,

где Е 0  энергия затухающих колебаний в начальный момент времени.

38. Убыль энергии затухающих колебаний в течение одного периода

.

Вынужденные колебания

39. Внешняя периодическая сила, действующая на колебательную систему

,

где F 0  амплитудное значение силы.

40. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где
,
,
.

41. Уравнение вынужденных колебаний

,

где
 амплитуда вынужденных колебаний,

 начальная фаза вынужденных колебаний.

42. Уравнение вынужденных колебаний с учётом затухания

43. Резонансная циклическая частота вынужденных колебаний

.

44. Амплитуда резонансных колебаний

.

45. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

46. Добротность вынужденных колебаний при малом затухании

,

где
 смещение из положения равновесия при действии постоянной силы F 0 .

47. Процесс установления вынужденных колебаний при  <<  0

48. Процесс установления вынужденных колебаний при  >>  0

49. Установление вынужденных колебаний при  0  

50. Установление вынужденных колебаний при  0   для различных значений добротности колебательной системы

Сложение гармонических колебаний

51. Результат сложения двух (левый рисунок) и трёх колебаний

52. Результат сложения двух колебаний значительно отличающихся по частоте

53. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящие в одном направлении

,
,

54. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами и одинаковыми амплитудами А 1 = А 2

,
.

55. Сложение двух гармонических колебаний с разными частотами  1 и  2 , происходящими в одном направлении

,

,
,

,

56. Результирующий период при сложении двух колебаний незначительно отличающихся частотами (биения)

.

57. Наложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу) при отношении частот m: n для различной разности фаз 

Волны в упругой среде

58. Взаимосвязь между фазовой скоростью упругой с волны, её частотой , длиной волны  и периодом Т

.

59. Фазовая скорость упругой поперечной волны в твёрдых телах

,

где F  сила натяжения струны, стержня, проволоки и т.п.,   плотность материала из которого изготовлено тело, s  площадь поперечного сечения.

60. Фазовая скорость продольной волны в твёрдом теле

,

где Е Y  модуль Юнга.

61. Фазовая скорость упругой волны в жидкостях

,

где   сжимаемость жидкости,   плотность жидкости.

62. Фазовая скорость продольной волны в газе при давлении р

,

где   показатель адиабаты,   плотность газа, R  универсальная газовая постоянная, Т  абсолютная температура.

63. Плотность энергии упругой волны

,

где А  амплитуда колебаний частиц среды,   циклическая частота, dЕ  энергия волны в объёме dV.

64. Поток энергии Ф Е, т.е. количество энергии проходящей через площадку s за время 

.

65. Мощность упругой волны

.

66. Интенсивность упругой волны

.

67. Волновое уравнение

,

где   мгновенное поперечное смещение из равновесного положения х, с  фазовая скорость волны.

68. Стоячие волны образуются при распространении двух волн одинаковой амплитуды, длины и частоты, в частности, в упругой среде в противоположных направлениях

,

,

,

где   смещение, А, В  постоянные величины,   длина волны.

Акустические волны

69. Уравнение акустической волны

70. Максимальное значение колебательной скорости

.

71. Эффективное значение колебательной скорости

.

72. Мгновенное значение акустического давления

.

73. Амплитудное значение акустического давления

.

74. Интенсивность (сила звука) акустической волны

75. Уровень акустического давления

,

где J 0 = 10  12 Вт/м 2  стандартный порог слышимости.

76. Эффект Доплера

,

где   частота воспринимаемого звука,  0  частота излучаемого звука, с  скорость звука, u 1  скорость перемещения приёмника, u 2  скорость перемещения излучателя.

Электромагнитные колебания

1. Уравнение колебательного контура

,

где L  индуктивность контура, С  ёмкость контура, q  заряд на обкладках конденсатора, R  активное сопротивление контура,   электродвижущая сила источника тока.формулы ... случайные величины . Основная задача... аналогично уравнению свободных незатухающих колебаний (2) где...

Зильберман А. Р. Генератор незатухающих колебаний //Квант. - 1990. - № 9. - С. 44-47.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Такие генераторы применяются во многих устройствах - радиоприемниках, телевизорах, магнитофонах, компьютерах, электроорганах и т. п.- и бывают самыми разными. Так, частоты генераторов могут лежать в диапазоне от нескольких десятков герц (низкие ноты в электрооргане) до сотен мегагерц (телевидение) и даже до нескольких гигагерц (спутниковое телевидение, радиолокаторы, используемые сотрудниками ГАИ для определения скорости автомобиля). Мощность, которую может отдать генератор потребителю, составляет от нескольких микроватт (генератор в наручных часах) до десятков ватт (генератор телевизионной развертки), а в некоторых специальных случаях мощность может быть такой, что и писать нет смысла - все равно вы не поверите. Форма колебаний возможна как самая простая - синусоидальная (гетеродин радиоприемника) или прямоугольная (таймер компьютера), так и весьма сложная - «имитирующая» звучание музыкальных инструментов (музыкальные синтезаторы).

Конечно, мы не будем рассматривать все это разнообразие, а ограничимся совсем простым примером - маломощным генератором синусоидального напряжения умеренной частоты (сотни килогерц).

Как известно, в простейшем колебательном контуре, состоящем из идеального конденсатора и идеальной катушки, могут происходить незатухающие гармонические колебания. Уравнение процесса легко получить, приравняв (с учетом знаков) напряжения на конденсаторе и на катушке - ведь они включены параллельно (рис. 1):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Ток, протекающий через катушку, изменяет заряд конденсатора; эти величины связаны соотношением

\(~I = q"\) .

Теперь можно записать уравнение

\(~q"" + \frac{q}{LC} = 0\) .

Решение этого уравнения хорошо известно - это гармонические колебания. Их частота определяется параметрами колебательного контура\[~\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] , а амплитуда зависит только от энергии, которую вначале сообщили контуру (и которая для идеального контура остается постоянной).

Что изменится, если элементы контура не идеальные, как и бывает реально на практике (за много лет автор так и не увидел ни одной идеальной катушки, хотя очень интересовался этим вопросом)? Пусть, для определенности, вся неидеальность контура связана с тем, что у катушки, точнее - у провода, из которого она намотана, есть активное (омическое) сопротивление r (рис. 2). На самом деле, конечно, потери энергии есть и у конденсатора (хотя на не очень высоких частотах сделать очень хороший конденсатор можно без особого труда). Да и потребитель отнимает у контура энергию, что также способствует затуханию колебаний. Одним словом, будем считать, что r - это эквивалентная величина, отвечающая за все потери энергии в контуре. Тогда уравнение. процесса приобретает вид

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} = 0\) .

Ясно, что именно второе слагаемое не дает получить желанное уравнение незатухающих колебаний. Поэтому наша задача - это слагаемое скомпенсировать. Физически это означает, что в контур надо подкачать дополнительную энергию, т. е. ввести еще одну ЭДС. Как же это сделать, не разрывая цепь? Проще всего воспользоваться магнитным полем - создать дополнительный магнитный поток, пронизывающий витки катушки контура. Для этого неподалеку от этой катушки нужно разместить еще одну катушку (рис. 3) и пропускать через нее ток, величина которого должна изменяться по нужному закону, т. е. так, чтобы этот ток создал как раз такое магнитное поле, которое, пронизывая катушку контура, создаст в ней такой магнитный поток, который, изменяясь, наведет такую ЭДС индукции, которая в точности скомпенсирует неугодное нам слагаемое в уравнении процесса. Вся эта длинная фраза, напоминающая «дом, который построил Джек»,- просто пересказ известного вам закона Фарадея для явления электромагнитной индукции.

Разберемся теперь с током, который должен течь по дополнительной катушке. Понятно, что для него необходим источник энергии (для пополнения потерь энергии в контуре) и регулирующее устройство, обеспечивающее нужный закон изменения тока со временем. В качестве источника можно использовать обычную батарейку, а в качестве регулирующего устройства - электронную лампу или транзистор.

Транзисторы бывают различных типов - обычные (их называют биполярными) и полевые, которые дополнительно подразделяются на полевые с изолированным затвором (их обычно используют в цифровых устройствах) и с управляющим p -n -переходом. Любой полевой транзистор содержит «канал» с двумя выводами - их изобретательно называют истоком и стоком, а его проводимость регулируется подачей на третий вывод - затвор - управляющего напряжения (рис. 4). В полевом транзисторе с управляющим p -n -переходом - а мы дальше будем говорить именно о нем - затвор отделен от канала именно таким переходом, для чего область затвора делается противоположного по отношению к каналу типа проводимости. Например, если канал имеет примесную проводимость типа p , то затвор - типа n , и наоборот.

Когда на переход подают запирающее напряжение U z (рис. 5), сечение проводящего канала уменьшается, а при определенном напряжении - его называют напряжением отсечки - канал перекрывается полностью и ток прекращается.

Зависимость тока канала I k от напряжения на затворе U z показана на рисунке 6. Зависимость эта почти такая же, как и у электронной лампы (триода). Важно отметить, что управляющее напряжение - запирающее, а значит, ток в цепи управления чрезвычайно мал (обычно он составляет несколько наноампер), соответственно мала и мощность управления, что очень хорошо. При небольших значениях управляющего напряжения зависимость тока от напряжения можно считать линейной и записать в виде

\(~I_k = I_0 + SU_z\) ,

где S - постоянная величина. Для генератора существенны и отклонения от линейности, но об этом позже.

На рисунке 7 изображена принципиальная схема генератора незатухающих колебаний. Здесь управляющим для полевого транзистора напряжением является напряжение на конденсаторе колебательного контура:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

и ток через дополнительную катушку равен

\(~I_k = I_0 + \frac{Sq}{C}\) .

Дополнительный магнитный поток пропорционален этому току, а добавочная ЭДС контура равна производной этого потока, взятой с противоположным знаком:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac{MS}{C} q"\) ,

Знак «минус» тут довольно условен - катушку можно подключить к полевому транзистору либо одним концом, либо другим, при этом знак дополнительной ЭДС изменится на противоположный. Одним словом, дополнительная ЭДС должна быть такой, чтобы скомпенсировать потери энергии в контуре. Запишем еще раз уравнение процесса:

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} - \frac{MS}{C} q" = 0\) .

Если выбрать величину М такой, чтобы четвертое слагаемое компенсировало второе, то мы получим уравнение

\(~LI" + \frac{q}{C} = 0\) ,

которое соответствует гармоническим незатухающим колебаниям.

А как можно повлиять на величину М ? Оказывается, она увеличится, если намотать побольше витков в дополнительной катушке или если эту катушку расположить поближе к катушке контура. Нужно сказать, что достаточный для генерации коэффициент М на практике получить довольно просто. Лучше выбрать эту величину с некоторым запасом - при этом получится контур не только без потерь, но даже с подкачкой энергии от внешнего источника (с «отрицательными» потерями). При включении генератора амплитуда колебаний сначала будет возрастать, но через некоторое время установится - энергия, поступающая в контур за один период, станет равной потерям энергии за то же время. И действительно, при увеличении амплитуды напряжения на конденсаторе (управляющее напряжение полевого транзистора) транзистор начинает усиливать хуже, поскольку при большом отрицательном напряжении ток в цепи канала прекращается, а при положительных напряжениях переход начинает открываться, что тоже увеличивает потери в контуре. В результате колебания получаются не совсем синусоидальными, но, если потери в контуре невелики, искажения незначительны.

Для того чтобы использовать полученные колебания - а ведь именно для этого и делается генератор,- нужно либо подключиться непосредственно к контуру, либо намотать еще одну катушку. Но в обоих случаях необходимо учесть «уход» энергии из контура и скомпенсировать его в числе прочих потерь.

1. 
   Элементы биомеханики 5
2. 
   Механические колебания 14
3. 
   Биофизика слуха. Звук. Ультразвук 17
4. 
   Биофизика кровообращения 21
5. 
   Электрические свойства тканей и органов 28
6. 
   Электрокардиография. Реография 33
7. 
   Основы электротерапии 36
8. 
   Биофизика зрения. Оптические приборы 40

2.0 Рентгеновское излучение 49

2.1 Элементы радиационной физики. Основы дозиметрии 54

3. Диадинамик является одним из наиболее известных аппаратов электротерапии, использующих обезболивающее и спазмолитическое воздействие низкочастотных токов в лечебных целях, например для улучшения кровообращения в организме. Процедура назначается исключительно врачом, продолжительность 3-6 минут (при острых состояниях ежедневно, при хронических заболеваниях 3 раза в неделю 5-6 минут).

Показания: заболевания опорно-двигательного аппарата, в особенности боли в суставах и

Позвоночника

Электросон - метод электротерапии, при котором используются импульсные токи низкой или звуковой частоты (1-130 Гц), прямоугольной формы, малой силы (до2-3 мА) и напряжения (до 50 В), вызывающие при длительном применении сонливость, дремоту, а затем сон различной глубины и продолжительности.
Показания: заболевания внутренних органов (хроническая ишемическая болезнь сердца, гипертоническая болезнь, гипотоническая болезнь, ревматизм, язвенная болезнь желудка и двенадцатиперстной кишки, гипотиреоз, подагра), заболевания нервной системы (атеросклероз сосудов головного мозга в начальной стадии, травматическая церебропатия, гипоталамический синдром, мигрень, неврастения, астенический синдром, маниакально депрессивный психоз, шизофрения).

Амплипульстерапия - один из методов электротерапии, основанный на использовании с лечебно-профилактическими и реабилитационными целями синусоидальных модулированных токов.

Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

где ^ F – сила упругости;

х – смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона
, где а – ускорение, а =
.

(2).

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .
^ Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота; – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; 0 – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

– число колебаний, – время, за которое совершается N колебаний;

, ; или ;

или ;

– фаза незатухающих гармонических колебаний;

– полная энергия гармонических колебаний.

Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления;
– скорость.

.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Его решение , где

– амплитуда колебаний в начальный момент времени;

– циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

.

Рис. 11. График x = f (t )

Рис. 12. График A t = f (t )

1)
– период затухающих колебаний; 2) – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды):
.

^ Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы:
, где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения
.

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

,

где

(4)

– частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда
, амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

^ 1.3 Биофизика слуха. Звук. Ультразвук.

Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x ; t ).

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная , если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке "0" имеет вид
. Фронт волны дойдет до точки "х" с запаздыванием за время
.

Уравнение волны имеет вид
.

Характеристики волны :

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

– фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на
.

^ Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

,
.

Интенсивность:
, – площадь,
.

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

– плотность вещества.
Звуковые волны

Звук – это механическая волна, частота которой лежит в пределах ,
– инфразвук,
– ультразвук.

Различают музыкальные тоны (это монохроматическая волна с одной частотой или состоящая из простых волн с дискретным набором частот – сложный тон).

^ Шум – это механическая волна с непрерывным спектром и хаотически изменяющимися амплитудами и частотами.

Имеет
, при этом
.

. 1 Децибел (дБ) или 1 фон = 0,1 Б.

Зависимость громкости от частоты учитывают с помощью кривых равных громкостей, получаемых экспериментально, и используется для оценки дефектов слуха. Метод измерения остроты слуха называется аудиометрия . Прибор для измерения громкости называется шумомер . Норма громкости звука должна составлять 40 – 60 дБ.