Умножение матриц 3 на 3 пример. Умножение матриц
Определение 1Произведение матриц (С= АВ) - операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Пример 1
Даны матрицы:
- A = a (i j) размеров m × n ;
- B = b (i j) размеров p × n
Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m
Пример 2
Вычислим произведения АВ=ВА:
А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- (А В) С = А (В С) - ассоциативность умножения матриц;
- А (В + С) = А В + А С - дистрибутивность умножения;
- (А + В) С = А С + В С - дистрибутивность умножения;
- λ (А В) = (λ А) В
Проверяем свойство №1: (А В) С = А (В С) :
(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,
А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Пример 2
Проверяем свойство №2: А (В + С) = А В + А С:
А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,
А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
- найти А В и умножить на С: (А В) С;
- либо найти сначала В С, а затем умножить А (В С) .
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21
2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Используем формулу А В С = (А В) С:
1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3
Ответ: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Умножение матрицы на число
Определение 2Произведение матрицы А на число k - это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
b i , j = k × a i , j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1 × А = А
- 0 × А = нулевая матрица
- k (A + B) = k A + k B
- (k + n) A = k A + n A
- (k × n) × A = k (n × A)
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение матрицы на вектор
Определение 3Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Пример 5
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Пример 6
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А = 3 2 0 - 1 , В = - 1 1 0 2
А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Ответ: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Матрица определена как прямоугольная таблица , геометрически – это прямоугольник с размерами и . Две матрицы – два прямоугольника: с размерами и , с размерами и . При рассмотрении операции сложения матриц было обнаружено требование по согласованию размеров прямоугольников: =, =. Это требование обеспечивает взаимодействие матриц в системах векторов:
=
-
- …-
– цепочка строк,
=
-
- …-
– цепочка столбцов,
причём, если матрица представлена в схеме , то и матрица должна быть представлена в этой же схеме. Но, главное: матрицы взаимодействуют группами элементов – векторами!
Если определить операцию умножения матриц в виде: ·=, то возникает вопрос: сколько строк и столбцов имеет матрица ? Это определило всего две возможные схемы взаимодействия матриц при их перемножении:
1* : строка левой матрицы ↔ столбец правой матрицы,
2* : столбец левой матрицы ↔ строка правой матрицы.
Для схемы 1* : в матрице . Для схемы 2* : в матрице строк столько, сколько у матрицы , столбцов столько, сколько у матрицы .
В практике закрепилось использование схемы 1* , которую сокращённо называют правилом: строка – столбец .
Определение : |
Произведением
матриц
и
является матрица
,
элементы которой определяются
соотношением
:
|
Замечание : Из определения произведения матриц следует: элементравен скалярному произведению строки-матрицына столбец-матрицы.
Свойства операции умножения матрицы на матрицу :
1*
.
≠
– не переместительна
(не коммутативна);
2*
.
=
=
–
сочетательная
(ассоциативная).
3*
.
=
+
–
распределительное (дистрибутивное).
Замечание
: следует
иметь в виду: в свойстве1*
в общем случае может быть так, что матрица
существует, а матрица
не существует!
В связи
с введением операции произведения
матриц возникает вопрос: как нужно
выполнить произведение матриц
и
,
чтобы получилась матрица, транспонированная
по отношению к матрице
.
Если обозначить транспонированные
матрицы как:
,
и
,
то верна следующая теорема.
1)
Представим произведение матриц:
в виде схемы вычисления элемента
матрицы
:
C | |||||||||||||||||||
i |
|||||||||||||||||||
2).
Учитывая определение транспонирования
матрицы, изобразим также равенство
=
в виде аналогичной схемы:
C ′ | |||||||||||||||||||
i | |||||||||||||||||||
Видим: элемент
матрицы
равен элементуматрицы С.◄
Замечание : Определение транспонирования матрицы и доказанная теорема о транспонировании произведения матриц будут неоднократно использоваться при рассмотрении определителей и матриц линейных преобразований в векторных пространствах.
Пример 4
–05
:
Вычислить произведение матриц: C
=A
B
=
.
Решение :
A иB :
C B ;
C B ;
Использование
технологического шаблона в виде таблицы
позволит отработать алгоритм вычисления
произведения матриц и защитить от ошибок
в вычислениях. Проследим вычисление
столбца-1 матрицы C
:
=
,
=
.
Ответ: C
=
.
Пример 4
–06
:
Вычислить
произведение матриц: C
=A
B
=
.
Решение :
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :
▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;
▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;
C B ;
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
|||||||||
C :
=, =, =.
Ответ:=
.
Пример
4
–07
C
=A
B
=
.
Решение :
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :
▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;
▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;
▫ для вычисления столбца-3 матрицы C над матрицей размещаем столбец-3 матрицыB ;
▫ для вычисления столбца-4 матрицы C над матрицей размещаем столбец-4 матрицыB .
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
||||||||
(продолжение таблицы).
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
||||||||
Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C :
=, =,
=, =.
Ответ: C
=
.
Пример
4
–08
:Вычислить: C
=
,
еслиA
=
.
Решение :
1) Запишем цепочку строк-векторов матрицы A :
(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),
и умножим
её (скалярно) на столбец-
матрицы A
:
(0,0, 0, ... ,
,
...,0). Легко видеть, что в матрице C
=
=
столбец-
примет вид (0,0, 0, ... ,
,
...,0). Это значит, что цепочка строк-векторов
матрицы C
=
примет вид:
(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).
2) Если
теперь вычислить C
=
=
,
то цепочка строк-векторов матрицы C
=
примет вид:
(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).
3) Применяя
метод математической индукции, для
матрицы C
=
можем записать:
(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).
Ответ: C
=
.
Пример
4
–09
:
Доказать, что если матрицыA
иB
– квадратные,
причём
≠
,
то всегда справедливы утверждения: а);
Решение :
1) Учитывая
распределительное свойство умножения
матриц:
=
+
,
запишем:
.
2)
Учитывая распределительное свойство
умножения матриц:
=
+
,
запишем:
.
Ответ: доказано.
Пример 4 –10 : Найти все матрицы, перестановочные с матрицей:=.
Решение :
1) Пусть
имеем матрицу: ,
такую, что
=
.
Учитывая правило умножения матриц,
легко заметить, что умножение этих
матриц возможно только в случае, если
матрица -
квадратная, причём той же размерности,
что матрица .
2) Примем:
=
,
и запишем выражение
=
:
C =A B .
Столбец |
a |
d |
g |
Столбец |
Столбец |
b |
e |
h |
Столбец |
Столбец |
c |
f |
k |
Столбец |
3 a + d |
3 b + e |
3 c + f |
||||||||||||
3 d + g |
3 e + h |
3 f + k |
||||||||||||
3 g |
3 h |
3 k |
Из таблицы видим ответ.
3)
Запишем теперь выражение
=
:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D =B A .
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
Столбец |
|||||||||
a |
b |
c |
3 a |
a |
b |
c |
a + 3 b |
a |
b |
c |
b + 3 c |
|||
d |
e |
f |
3 d |
d |
e |
f |
d+ 3e |
d |
e |
f |
e+ 3f |
|||
g |
h |
k |
3 g |
g |
h |
k |
g+ 3h |
g |
h |
k |
h+ 3k |
Из таблицы видим ответ.
4)
Воспользуемся равенством:
→
получаем уравнения для вычисления
матрицы :
3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e = a+ 3b → e = a ; 3 e + h = d+ 3e → h =0;
3 h = g+ 3h → h = h ; 3 c + f = b+ 3c → f = b ; 3 f + k = e+ 3f → k = e ; 3 k = h+ 3k → h =0.
5)
Используя полученные уравнения, можем
записать: =
.
Ответ:
=
.
Пример
4
–11
:Доказать, что
матрица: =
удовлетворяет уравнению:–(a
+d
)
x
+ad
–
=0.
Решение :
Замечание
: рассматриваемый
пример интересен тем, что он демонстрирует
участие в матричном выражениискалярной
матрицы:
=
.
1)
Вычислим:
=
=
;
=
.
2) Подставим в уравнение матрицу : , или:
–
+
=
.
Ответ: доказано.
Пример 4 –12 :Вычислить произведение матриц: A = (4 0 -2 3 1) и B =: а)AB ; б) BA .
Замечание
: рассматриваемый
пример интересен тем, что он предельновыразительно демонстрирует
неравенство
:
.
Решение:
а)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – матрица
с одним элементом;
б)
=
=
.
Ответ: матрицы в тексте.
Это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.
Произведением матрицы A m × n на матрицу B n × k будет матрица C m × k такая, что элемент матрицы C , находящийся в i -ой строке и j -ом столбце, то есть элемент c ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы B .
Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
m = n , значит, умножать данные матрицы можно.
Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.
m ≠ n , таким образом, выполнять умножение нельзя:
Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы , умножение которых заведомо невозможно.
Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN , так и умножение NM.
Это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.
Начнем с самого простого примера:
Необходимо умножить на . Первым делом приведем формулу для данного случая:
- здесь хорошо прослеживается закономерность.
Умножить на .
Формула для этого случая: .
Умножение матриц и результат:
В результате получена т.н. нулевая матрица.
Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM . Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.
Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:
Умножить на .
Формула очень похожа на прошлые:
Решение матрицы: .
Это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.
Пример умножения матрицы на число:
Тут все понятно - для того, чтобы умножить матрицу на число , необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. В данном случае - на 3.
Еще один полезный пример:
- умножение матрицы на дробное число.
Первым делом покажем то, чего делать не надо:
При умножении матрицы на дробное число не нужно вносить дробь в матрицу, так как это в первую очередь только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем.
И, тем более, не нужно делить каждый элемент матрицы на -7:
.
Что стоит сделать в данном случае - это внести минус в матрицу:
.
Если бы у вас был пример, когда все элементы матрицы делились бы на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.
Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.
Размер матрицы определяется её порядками - количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы - элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов - порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.
Замечание 1
Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца - вторым, то есть запись $a_{ij}$ обозначает, что элемент стоит в $i$-ой строчке и в $j$-ом столбце.
Сложение и вычитание
Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера .
Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.
В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$
и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$
Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:
$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$
Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.
Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.
Пример 1
Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.
$A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix}$
Объяснение:
Действия выполняем для каждой пары элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно:
$A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}$
$A-B=\begin{pmatrix} 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix}$
Умножение матрицы на число
Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_{ij}=λ \cdot a_{ij}$.
Пример 2
Умножьте $A$ на $λ$, где $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$, а $λ=5$:
$A \cdot λ = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end{pmatrix}$.
Произведение матричных таблиц
Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.
Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.
Математически это можно записать так:
$A_{m \times n}\cdot B_{n \times p} = С_{m \times p}$
То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_{3 \times 2}$ и $B_{2 \times 3}$ - полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{22}b_{23}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}) & (a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23}) \\ \end{pmatrix}$
Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.
Пример 3
Решите пример:
$A \times B = ?$, если $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.
$A \times B = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end{pmatrix} $
$A \times B= \begin{pmatrix} (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end{pmatrix}$.
Нахождение определителя матрицы
Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $\det$.
Замечание 2
Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.
В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_{11}|= a_{11}$
Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:
Определение 1
Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:
$\begin{array}{|cc|} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} = a_{11} \cdot a_{22} – a_{12} \cdot a_{21}$
В случае если определитель матрицы задан размером $3 \times 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.
Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.
Обратные матрицы
По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^{-1}$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.
Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы - Жордана-Гаусса . Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.
Пример 4
Дана $A=\begin{pmatrix}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$
Получить обратную матрицу.
Решение:
Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:
$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}$
Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:
$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$
Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:
$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$
Делим вторую на $-2$:
$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$
Получили результат:
$A=\begin{pmatrix}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$
Транспонирование матричных таблиц
Транспонирование - это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.
Пример 5
Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}$
Решение:
Применим метод Саррюса для детерминанта:
$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.
Мы получили вырожденную матрицу.
Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:
$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end{pmatrix}$
Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:
$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.