Умножение алгебраических дробей 8. Урок "Умножение и деление алгебраических дробей

Тема: Умножение и деление алгебраических дробей

Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто

Лауэ

Цели:

Образовательные:

закрепить ЗУН по теме

провести первичный текущий контроль знаний

работать над пробелами

Развивающие:

способствовать развитию коммуникативной компетенции, т.е. умению эффективно сотрудничать с другими людьми.

способствовать развитию кооперативной компетенции, т.е. умению работать в парах.

способствовать развитию проблемной компетенции, т.е. умению понимать неизбежности возникновения трудностей в ходе любой деятельности.

Воспитательные:

прививать умение адекватно оценивать работу, проделанную товарищем;

при работе в парах воспитывать качества взаимопомощи, поддержки.

Методические:

создание условий для проявления индивидуальности, познавательной активности учащихся;

показать методику проведения урока с проектированием результатов учебной деятельности и способам их исследования на основе компетентностного подхода.

Оборудование: доска, цветной мел. Таблица "Умножение и деление алгебраических дробей"; карточки для индивидуальной работы, карточки-"памятки". Задание в свободную минуту.

Ход урока

Организационный момент

План урока записан на доске:

Устная разминка.

Индивидуальная работа.

Решение заданий.

Парная работа.

Итог урока.

Домашнее задание.

Учитель: В старину на Руси считалось, что если человек был сведущ в математике, то это означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали насколько они мудры и насколько сведущие люди в алгебре 7 класса.

Итак, тема урока "Умножение и деление алгебраических дробей" На прошлом уроке вы начали изучать данную тему, и мы обсуждали, зачем ее изучаем. Давайте вспомним, где она нам пригодится уже через несколько уроков.

Учащиеся: Для совместных действий с алгебраическими дробями, для решения уравнений, а значит и задач.

Учитель: Еще в старину на Руси говорили, что умноженье - мученье, а с делением - беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно умножать и делить считался большим математиком.

Какие вы цели поставите перед собой?

Учащиеся: Продолжить изучать тему, научиться быстро и безошибочно умножать и делить.

Учитель: Чтобы достичь поставленных целей мы (открывает план, записанный на доске, проговаривает его)

1. Устная разминка: (в это время 3 - 4 человека решают тренажер по сокращению дробей в парах) разложите на множители, заполнив пропуски

1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…

сократите дробь

Дроби, дроби, дроби бей сокращай их не жалей.

найдите ошибку, допущенную при умножении и делении алгебраических дробей

Учитель: Где допущена ошибка? Почему ошибка допущена? Какого правила, ученик не знал? Какое знал? Как надо правильно сделать?

2. Работа в тетради, № из учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.

Учитель: А сейчас вам представится возможность показать свои знания при выполнении теста, а чтобы воодушевить вас на работу прочитаю стишок "Чтоб записал учитель "5" в твой дневник числитель на числитель сумей умножить вмиг, а чтоб преподаватель доволен был тобой, ты первый знаменатель умножишь на второй"

Самопроверка, взаимопроверка. По критериям (вывешены на доске) В-1 (321), В-2 (132) по правильным кодам оценивание в парах. Первоначальный результат. Оценки.

Работа над ошибками в парах "ученик-учитель"

Если в парах нет ошибок делают задание в свободную минуту.

Упростите выражение и найдите его значение при

5. Итог урока

В заключение урока, мне хотелось бы узнать у вас, какие виды работы вызвали у вас затруднения? Как вы думаете, почему? Что узнали нового? Кто из вас доволен своей работой на уроке? Как вы считаете, цели, поставленные в начале урока достигнуты?

Учитель: Закончить урок я хотела бы словами французского инженера-физика Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто"

Надеюсь, что этот материал вы не забудете, чтобы этого не случилось надо выполнить д/з №486,487,488 четные.

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Определение 1

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

Определение 2

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Пример 1

Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:

1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Пример 2

Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 - 1 .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x - 1)

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

Вот запись всего решения без пояснений:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2 .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Пример 3

Условие: разделите 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x - 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

2 1 7 · x - 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x - 1 = 14 x - 7

Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 - x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 - x , получим 12 · x 7 - x = - 12 · x x - 7 .

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = 14 x - 7: - 12 · x x - 7 = 14 x - 7 · x - 7 - 12 · x = 14 · x - 7 x - 7 · - 12 · x = = 14 - 12 · x = 2 · 7 - 2 · 2 · 3 · x = 7 - 6 · x = - 7 6 · x

Ответ: 2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = - 7 6 · x .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

Пример 4

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 .

Решение

x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x - 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x - 4 = = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y

Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Разделы: Математика

Цель: Научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей.

Форма урока: урок изучения нового материала.

Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.

Оборудование: Компьютер, проектор, раздаточный материал по уроку, таблица.

Ход урока

Урок проводится с использованием компьютерной презентации. (Приложение 1)

Ι. Организация урока.

1. Подготовка технической части.

2. Карточки для работы в парах и самостоятельной работы.

ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.

Устно:

(Ответы выводятся с помощью компьютера.)

1. Разложить на множители:

2. Сократить дробь:

3. Умножить дроби:

Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)

Найти число, обратное числу

Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)

Найти дробь обратную:

Разделить дроби:

Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. Плакат с правилами размещен на доске.

ΙΙΙ. Новая тема

Обращаясь к плакату, учитель говорит: a , b , c , d - в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)

Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.

Выполнить действия:

Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.

ΙV. Закрепление

1)Работа по задачнику: № 5.2 (б, в), № 5.11 (а, б). Стр.32

2) Работа в парах по карточкам:

(Решения и ответы отражены через проектор.)

V. Итог урока

Самостоятельная работа.

Выполнить умножение или деление:

Ученики сдают тетради с работами.

VI. Домашнее задание

№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса "Алгебра за 10 минут"

Предварительное разложение алгебраической дроби на множители

Например, дана дробь:

$\frac{8x+8y}{16}$.

$\frac{8x+8y}{16}=\frac{8(x+y)}{16}$.

$\frac{x^2-y^2}{x+1}$.

$\frac{x^2-y^2}{x+1}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+1}$.

$(b-a)^2=(a-b)^2$.

Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Пример 1.

Вычислите:

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}$.

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}=\frac{5(x+y)}{x-y}*\frac{(x-y)(x+y)}{10x}$.

$\frac{5(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)*10x}=\frac{(x+y)^2}{2x}$

Вычислите:

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6b^2-12ab+6a^2}{49a^4b^5}$.

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6(b^2-2ab+a^2)}{49a^4b^5}=\frac{7a^3b^5*6(b-a)^2}{3(a-b)*49a^4b^5}=\frac{2(b-a)^2}{7a(a-b)}$.

Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Пример 3.

Выполните действия:

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)*16y^2}{8y*(x^2+x+1)}=2y*(x-1)$.

Вычислите:

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}$.

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(ab+2b)-(3a+6)}:\frac{b-a}{a+2}=$

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{b(a+2)-3(a+2)}:\frac{b-a}{a+2}$.

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2)}{(a+2)(b-3)(b-a)}=\frac{-(a+b)(a^2+b^2)}{(b-3)}$.