УМФ. Классификация уравнений в частных производных второго порядка

Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .

Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.

Обозначение: .

Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.

Обозначение: .

Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции .

Решение.Считая y постоянной переменной, получим:

Считая x постоянной, получим: .

Соответственно: , , .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным . Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных .

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения . Например:

1. – обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;

4. – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;

5. – уравнение в частных производных 1-го порядка;

6. – уравнение в частных производных 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1.1.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка.

Например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:

− уравнение распространения волн в стержне;

− уравнение распространения волн в плоской пластине;

− уравнение распространения волн в пространстве,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

− уравнение распространения тепла в стержне;

− уравнение распространения тепла в плоской пластине;

− уравнение распространения тепла в пространстве,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

.

При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа

.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики . Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

1.1.2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка: . Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.

Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Пусть дано уравнение , где .

Решение. Найдем его общий интеграл, т.е. функцию ,удовлетворяющую данному уравнению. Сначала запишем это уравнение в виде: .Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у : . Поэтому

Интегрируя произвольную функцию ,получили функцию плюс произвольная функция . Таким образом, общий интеграл уравнения 2-го порядка содержит две произвольные функции.

Пример 2. Решить уравнение , где .

х :

,

где – произвольная функция.

Пример 3. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения по у :

,

где – произвольная функция.

Интегрируем повторно по у полученное равенство:

где – произвольные функции.

Пример 4. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения сначала по х , а затем по у :

,

где – произвольные функции.

Замечание. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.

Ранее рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят лишь от одной переменной: ,
и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называютсяуравнениями с частными производными .

К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др., аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t , то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются.

Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

Таким образом, математические модели физических и иных процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Аргументами функций этих уравнений являются пространственные координаты
и время.

Уравнения первого порядка. Уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т. п.

Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция зависит от времении одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

.

Здесь ‑ скорость переноса.

Уравнения второго порядка. Линейным уравнением в частных производных второго порядка называется соотношение между функцией
или
и ее частными производными вида.

(1)

Если переменная функция зависит оти, то уравнение может быть записано следующим образом:

(2)

В случае если
, то уравнения 1-2 называются однородными, иначе ‑ неоднородными.

Если
, то уравнение (2) относится к классу эллиптических уравнений;

если
, то ‑ это гиперболическое уравнение;

если
‑ параболическое уравнение.

Когда
не имеет постоянного знака, получается уравнение смешанного типа.

К классическим эллиптическим уравнениям относятся:

Уравнение Лапласа
, которое используется для описания магнитных и стационарных тепловых полей;

Уравнение Пуассона
, которое применяется в электростатике, теории упругости и других науках;

Уравнение Гельмголъца
, описывающее установившиеся колебательные процессы.

Оператор Лапласа:

в одномерном случае
;

в двумерном случае
;

в трехмерном случае
.

Среди гиперболических уравнений можно выделить:

Волновые уравнения:

одномерное
, которое описывает вынужденные колебания струны;

двумерное
, которое описывает колебания мембраны.

Телеграфное уравнение , которое описывает изменение потенциалав линиях электропередачи. Здесь
- коэффициент самоиндукции, емкость, сопротивление, характеристика потерь на единицу длины линии.

К классическим параболическим уравнениям относится уравнение теплопроводности
.

Для нахождения единственного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо задать начальные и граничные условия. Начальными условиями принято называть условия, заданные в начальный момент времени . Граничные условия задаются при различных значениях пространственных переменных. Для эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые можно разделить на три класса:

Условие Дирихле
- в этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция. В одномерном случае это условие принимает вид:
и
где
- интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;

Условие Неймана
- в этом случае на границе области Г задана производная по направлениювнешней нормали;

Смешанное условие
.

Для параболических уравнений, кроме граничных условий, необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.

В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть следующими
и
.

Решение ряда дифференциальных уравнений в частных производных может быть получено аналитически. Одним из наиболее часто используемых методов является метод разделения переменных (метод Фурье). Рассмотрим этот метод подробнее.

О методах решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами , рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.

Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считаются равными значениям искомых функций.

Приведенные уравнения называются уравнениями математической физики . К их решению сводятся многие прикладные задачи. Прежде чем переходить к обсуждению численных методов решения указанных уравнений, рассмотрим основные вопросы построения разностных схем.

2. Введение в сеточные методы, понятия сетка, шаблон, слой.

О построении разностных схем. Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(x, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис 1,а . Стороны прямоугольника
,
делятся на элементарные отрезки точками
,
и
,
. Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых
,
образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (
), определяется координатами (
).

а б

Рис. 1. Прямоугольная сетка (а ), элемент трехмерной сетки (б )

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G , называются граничными узлами. Все остальные узлы ‑ внутренними.

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей. На рис. 1,б показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Шаблон – комбинация используемых узлов

Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G , изображенную на рис. 2, можно привести к единичному квадратуG" путем введения новых переменных £, ц вместо #, у с помощью соотношений

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия. В области G" можно ввести прямоугольную сетку, при этом в областиG ей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками,

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (
). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической н др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (
), то в ней сетка вводится с шагами
и
соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций).

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону (см. гл. 3, § 1). При этом точные значения искомой функции U заменяются значениями сеточной функции и в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

,(6)

где
‑ начальное распределение температурыU (приt = 0);
‑ распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времениt . Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.,.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
,
и
,
,и‑ соответственно шаги сетки по направлениямх иt . Значения функции в узлах сетки обозначим
. Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функциикоторые удовлетворяют разностной схеме.

Заменяя в исходном уравнении (6) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

(7)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2, а .

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2, б , то вместо (7) получим разностную схему

(8)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении, называетсяслоем . Схема (7) позволяет последовательно находить значения
,
на
-м слое через соответствующие значенияна-м слое. Такие схемы называютсяявными .

Для начала счета при j = 1 необходимо решение на начальном слое. Оно определяется начальным условием

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (8) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными . При этом разностная схема (8) состоит из линейных трехточечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонкb, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы , когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев ‑ нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

С помощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Уравнение Лапласа. Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравненияПуассона вида

1

Если
, то это уравнение называется уравнениемЛапласа . Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

2

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области G изменения независимых переменныхх, у . Границей областиG является замкнутая линияL . Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границеL . Примем его в виде

3

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле .

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи, является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях t близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называетсяметодом установления .

Поскольку решение U (х, у) нашего уравнения (2) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член. Тогда уравнение (2) примет вид

4

Это ‑ известное нам уравнение теплопроводности, для которого уже строились разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим

5

Граничное условие (3) при этом остается стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Процесс численного решения уравнения (4) с условиями (3), (5) состоит в переходе при
от произвольного значения (5) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом, если искомые значения на двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи, причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи.

Для решения задачи Дирихле можно также построить разностную схему путем аппроксимации уравнения (2). Введем в прямоугольной области G сетку с помощью координатных прямых х = const и у = const. Примем для простоты значения шагов по переменнымх иу равнымиh (предполагается, что стороны области G соизмеримы). Значения функцииU в узлах
заменим значениями сеточной функции. Тогда, аппроксимируя в уравнении (2) вторые производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен на рис.):

(6)

Данное уравнение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. Эту систему можно записать в виде

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (3):

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Каждое уравнение системы (7) (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения в центральном узле (см. рис.):

Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций. Если его величина достигнет некоторого заданного малого числа , итерации прекращаются.

Решение уравнения Лапласа в Mathcad. Для решения уравнений Лапласа и Пуассона вMathcadпредусмотрены встроенные функцииrelax иmultigrid .

3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей.

4. Решение эллиптических, параболических и гиперболических уравнений.

5. Нестационарные задачи.

6. Построение явной и неявной разностных схем для одномерного уравнения теплопроводности.

7. Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.

8. Метод прогонки.

9. Аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод прямых).

10. Стационарные задачи, разностные схемы, счет на установление.

11. Вариационно-разностные методы.

12. Метод конечных элементов.

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n - заданные функции переменных x 1 , x 2 , ..., x n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1 ,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 2 ,
..................
φ n-1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C n-1 ,
где C k - постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F - произвольная функция от n - 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n+1 - заданные функции от переменных x 1 , x 2 , ..., x n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1 ,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2 ,
..................
φ n (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F - произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ 1 = F(φ 2 , φ 3 , ..., φ n ) ,
φ 2 = F(φ 1 , φ 3 , ..., φ n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Условие задачи

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Решение

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Или:

интегрирующего множителя . Умножим на x -1 и преобразуем:



Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C 1 = x y 2 :

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ 1 , φ 2) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = -1 :


Отсюда


На границе
.

F(φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2 .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Ответ

Общее решение:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ 1 , φ 2 ) .

Частное решение:

Неоднородное уравнение

Условие задачи

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C 1 y

Подставим во второе уравнение:


Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя . Разделим на y 2 и преобразуем:


Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F(φ 1 , φ 2) = 0
Но, поскольку F - произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ 1 = F(φ 2) ,
где F - произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = -(x + y) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + (x + y) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ 1 = F(φ 2)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ 1 и φ 2 :


.
Умножим на a 2 y 2 .

Теоретический минимум

В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются
на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго
порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям.

Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида:
,
где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.
(это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших
коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.
В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет
собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю
нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных
коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих
трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.
При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно,
положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат
к одному типу классификации.
Перечислим основные классы уравнений:
- гиперболическое
- параболическое
- эллиптическое
- ультрагиперболическое
- эллиптико-параболическое
Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются.

Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы
равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.
Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.

Примеры уравнений различных типов

Пример 1. Уравнение теплопроводности .

Уравнение параболического типа.

Пример 2. Волновое уравнение .

Уравнение гиперболического типа.

Пример 3. Уравнение Пуассона .

В частности, если справа стоит нуль, то получается уравнение Лапласа.

Пример 4. Уравнение Гельмгольца .

Уравнение эллиптического типа.

Пример 5. Уравнение Трикоми .

Если , то уравнение эллиптическое; если , то уравнение параболическое; если , то уравнение гиперболическое.

Подробнее рассмотрим случай, когда неизвестная функция имеет всего два аргумента:
.
Коэффициенты являются функциями переменных и (в принципе, возможна зависимость и от неизвестной функции (в этом случае уравнение
будет квазилинейным; мы ограничиваемся линейными уравнениями). Уравнение общего вида может быть упрощено путём замены независимых переменных -
приведено к каноническому виду. Этот канонический вид, как и вид замены определяется характеристическим уравнением
.
Характеристическое уравнение, будучи квадратным уравнением относительно производной сразу распадается на два.

Знак подкоренного выражения и определяет тип уравнения.

Гиперболические уравнения
Это случай, когда . Общие интегралы характеристического уравнения .
Выполняется замена .

Параболические уравнения
.
Выполняется замена , где - произвольная дважды дифференцируемая функция, для которой выполняется
условие .

Эллиптические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения . Выполняется замена
.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых требуется привести уравнение к каноническому виду. Центральную роль в этих примерах играет техника
замены переменных, потому что саму замену указать обычно довольно просто. Совсем просто выполняется линейная замена переменных (случай уравнения с
постоянными коэффициентами).
Замечание . Разумеется при замене переменных есть некоторая свобода. Например, в любом случае замена определяется с точностью до знака, не играющего существенной роли в
преобразовании производных. Также неоднозначность вносит в случае параболического уравнения свобода выбора второй функции для замены переменных, ограниченная весьма
слабыми условиями.

Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду

Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа .

.
Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция зависит от переменных ,
которые в свою очередь зависят от старых переменных :




.

.

Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Пример 3. Случай линейной замены переменных в уравнении параболического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к параболическому типу. Находим общий интеграл найденного уравнения:
.
Отсюда понятно, какой может быть выбрана одна переменная: . Вторую переменную следует выбрать самостоятельно.
Обычно её выбирают наиболее простой, чтобы не усложнять вычисления. Рассмотрим два варианта, чтобы посмотреть, как влияет выбор второй
переменной на окончательный вид уравнения. Сначала положим . Снова преобразуем производные аналогично примеру 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим

Определение: Уравнение, содержащее несколько независимых переменных, функцию от этих переменных и ее частные производные по этим переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. линейный дифференциальный порядок переменный

Например, уравнение

является уравнением в частных производных, в котором x, y, z являются независимыми переменными, а ц(x,y,z) - искомая функция. При математическом описании различных процессов природы чаще приходится сталкиваться именно с дифференциальными уравнениями в частных производных, так как в природе обычно встречается зависимость переменных величин от нескольких независимых переменных. Например, изучая распространение тепла в каком-либо теле, мы должны считать температуру тела в любой точке функцией от трех координат этой точки в пространстве, а если температура еще меняется с течением времени, то она является функцией четырех переменных: x, y, z и t . Изучая колебания какой-либо упругой пластинки, мы имеем дело с функцией трех переменных, так как величина смещения точек пластинки зависит и от координат x и y точек пластинки и от времени.

Для уравнений в частных производных вводится также понятие порядка уравнения, определяемого наивысшим порядком входящих в уравнение частных производных. Так, например, уравнение

является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольную функцию (общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержало только произвольные постоянные). Начальные данные задачи, с помощью которых можно выделять одно частное решение из общего решения уравнения в частных производных обычно распадаются на так называемые начальные условия, т. е. условия, которым удовлетворяет искомая функция в начале исследуемого процесса, и граничные условия, определяющие обычно некоторые значения искомой функции в зависимости от объекта, в котором происходит изучаемый процесс, и от положения этого объекта в пространстве или на плоскости.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка.

Задача о малых свободных поперечных колебаниях натянутой струны.

Пусть по оси Ox натянута тонкая однородная нить (струна), которая может изгибаться. Натяжение, при котором струна находится в состоянии равновесия и натянута по оси Ox , обозначим T 0 . Если вывести струну из положения равновесия, то она начнет колебаться. Изучим характер этих колебаний. Будем считать, что движение происходит в одной плоскости и что точки струны смещаются перпендикулярно оси Ox (такие колебания называются поперечными). Обозначим через U(x,t) смещение точки струны с абсциссой x в момент времени t . На рисунке 1 смещение U=NM .

Будем исследовать малые колебания струны, т. е. такие при которых U и (угловой коэффициент касательной к кривой в точке М) малы. Рассмотрим малый участок струны ММ".

В силу предположения о том, что мала, т. е. что форма струны мало отличается от прямолинейной, можно будет приближенно заменять длину дуги ММ" длиной отрезка NN " на оси Ox . Рассмотрим силы, действующие на участке MM ".

Внутренние силы, возникающие при указанной деформации струны, сводятся к натяжению, так как при деформации струна на некоторых участках растягивается, а на некоторых сжимается.

Ввиду сделанного предположения о малости деформаций, считаем, что величина натяжения во всех точках струны одинакова и равна T 0 . Натяжение T 0 в точке М направлено по касательной к кривой в М влево, а натяжение T 0 в точке M " направлено по касательной к кривой в M " вправо. Так как мы предположили, что смещение точек струны происходит только перпендикулярно оси Ox , то нас интересует только действие вертикальных составляющих натяжения. Составим сумму вертикальных составляющих натяжения в M и M ":

Можно sinб заменить через tgб , так как при малых б можно отбросить как бесконечно малую высшего порядка малости по сравнению с tgб :

Тогда сумма вертикальных составляющих натяжения принимает вид:

В квадратных скобках стоит разность значений величины в точках M " и M ; ее можно считать приращением величины на участке MM ", а приращение

можно с точностью до бесконечно малых высшего порядка заменить дифференциалом этой величины:

Таким образом, получаем окончательное выражение для силы, действующей на участке MM ":

Ускорение движения в любой точке равно второй производной от пройденного пути по времени, т. е. равно. Обозначим линейную плотность струны через с (она постоянна по условию задачи), и тогда масса участка струны MM " равна

Теперь составим уравнение движения по закону Ньютона:

откуда, обозначив

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, из которого надо найти функцию двух переменных U(x,t) .

Рассмотрим тот способ решения этого уравнения, который был дан в XVIII веке французским математиком Даламбером. Будем считать, что струна бесконечно простирается в обе стороны по оси Ox . В этом случае граничные условия в задаче отсутствуют, а начальные условия задачи состоят в том, что в начальный момент времени известно смещение в каждой точке струны и скорость:

Введем новые независимые переменные о и з , связанные со старыми x и t следующими формулами:

Тогда функцию U(x,t) можно рассматривать, как сложную функцию; зависимость от x и t осуществляется через посредство переменных о и з . Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции частные производные функции U можно записать в виде:

Аналогично находим частные производные второго порядка:

Подставляем эти выражения для производных в уравнение (*):

т. е. производная зависит только от о :

Отсюда находим:

(вместо произвольной постоянной прибавляем произвольную функцию от з , что можно делать ввиду равенства (2)). Таким образом, из (3) получаем:

где и 1 и и 2 - произвольные функции. Это и есть общее решение уравнения (*).

Используем начальные условия (1) для того, чтобы определить вид функций и 1 и и 2 в данной задаче; для этого подставим эти начальные данные в общее решение (4) и в, полученную из (4) дифференцированием по t :

и, интегрируя, получаем:

При. Будем считать, что С=0 (это допускается, так как если бы постоянная С была отлична от 0 , то можно было бы вместо функций и 1 (x) и и 2 (x) рассматривать функции

Для которых разность значений при x=0 была бы равна нулю). Тогда из (6) имеем

Присоединяем к этому уравнению первое из уравнений (5) и из них находим:

Подставляя полученные функции в общее решение (4), получаем:

В этом частном решении все функции, входящие в правую часть, заданы в начальных условиях задачи.

Если начальные условия таковы, что ц 1 (x)=0 , то решение принимает более простой вид:

Подробное исследование полученного решения позволяет выяснить физический смысл формулы и характер распространения волн по струне.

Пример 1. Найти форму струны, определяемой уравнением

в момент, если

Решение. Здесь a=a , ц(x)=sinx ц 1 (x)=1 - начальная скорость колебания струны. Имеем

т.е. струна параллельна оси абсцисс. ¦

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Здесь a=2 , ц(x)=0 - начальное положение струны, ц 1 (x)=x - начальная скорость колебания струны. Отсюда

Приведем еще примеры дифференциальных уравнений в частных производных. Если рассматривать задачу о малых свободных колебаниях мембраны, т. е. тонкой пластинки, которая в состоянии равновесия под действием натяжения T 0 лежит в плоскости XOY , а будучи выведена из положения равновесия, колеблется так, что смещение U(x,y,t) точки (x,y) пластинки происходит перпендикулярно плоскости XOY , то смещение удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению (*)

При рассмотрении электромагнитных колебаний приходим к уравнению вида

Уравнение (8) и его частные случаи (7) и (4) называются "волновым уравнением". Исследование и решение волнового уравнения при разнообразных начальных и граничных условиях, отвечающих различным задачам, решение которых привело к волновому уравнению, весьма сложно. Доказано существование и единственность решения волнового уравнения при заданных начальных данных.

Дифференциальные уравнения в частных производных вида

встречаются при изучении целого ряда явлений. Этому дифференциальному уравнению должны удовлетворять: потенциал сил тяготения во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс; потенциал сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне зарядов, создающих поле; температура в однородном теле, если она не зависит от времени, т. е. если теплообмен стационарный и т. д. Это уравнение носит название уравнения Лапласа. Решения этого уравнения (имеющие непрерывные производные второго порядка) называются "гармоническими функциями". Они очень часто встречаются в различных физических вопросах. Свойства гармонических функций хорошо изучены. При решении уравнения Лапласа начальные условия естественно отсутствуют (так как функция U от времени не зависит), а граничные условия меняются в зависимости от конкретных условий задачи.

Изучение распространения тепла в однородной среде приводит к уравнению в частных производных

где U(x,y,z,t) температура (теплообмен не стационарный). Уравнение вида (9) называется уравнением теплопроводности. Оно решается при начальных и граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразными. В случае распространения тепла в теле линейных размеров уравнение (9) принимает вид

Такое уравнение надо решать, например, при изучении распространения тепла в стержне.

Приведенный выше очень неполный перечень основных наиболее часто встречающихся в вопросах математической физики типов дифференциальных уравнений в частных производных показывает, насколько широк и разнообразен круг вопросов, требующих для своего изучения знания теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения - это тот раздел математического анализа, который непосредственно связан с математическим исследованием физических явлений и без знания которого невозможны постановка и решение задач математической физики.