Три закона движения планет. Три закона движения планет кеплер

Законы Кеплера — это три закона движения планет относительно Солнца. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.

Первый закон Кеплера:

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форму эллипса степень его сходства с окружностью будет тогда характеризовать отношение: e=c/a, где с — расстояние от центра эллипса до его фокуса; а — большая полуось. Величина «е» называется эксцентриситетом эллипса. При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность.

Второй закон Кеплера:

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором планеты, изменяется пропорционально времени. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удаленная точка орбиты. Тогда можно утверждать, что планета движется вокруг Солнца неравномерно: имея линейную скорость в перигелие больше, чем в афелие.

Третий закон Кеплера:

Квадраты времен обращения планеты вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников.

Кеплеровские законы были уточнены и объяснены на основе закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном. Закон же всемирного тяготения гласит:
Сила F взаимного притяжения между материальными точками массами m1 и m2, находящиеся на расстоянии r друг от друга, равна: F=Gm1m2/r^2, где G — гравитационная постоянная. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера).

Таким образом в формулировке Ньютона законы Кеплера звучат так:

— первый закон: под дествием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. Надо сказать, что он справедлив для всех тел, между которыми действует взаимное притяжение.
— формулирование второго закона Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости.
— третий закон Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Таковы три закона Кеплера — три закона движения планет.

omcszuo.narod.ru

Законы движения Кеплера

Иоганн Кеплер и планеты Солнечной системы

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом.

Модель Солнечной системы Клавдия Птолемея

И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца - эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.

Первый закон Кеплера

Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Фокусы – это две заданные точки, такие, что сумма расстояний от этих двух точек до любой точки эллипса является постоянной.

Иоганн Кеплер отметил, что планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса, что и стало первым законом движения планет.

Первый закон Кеплера

Второй закон Кеплера

Проведем радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете. Тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом.

Второй закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.

Основные элементы эллипса

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:

Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.

Также иногда записывают другое отношение:

Одна из записей третьего закона

Дальнейшее развитие

И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность (не более 1%), все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения. Благодаря этому закону удалось описать подобное поведение планет. Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.

Gymnazium8.ru

Знайте ваши права!

Движения планет и законы кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле. Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения . С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге. Первый закон Кеплера (1609 г.): Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием , точка A, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогелием . Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера). Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.

В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом → 0, где, - массы планеты и Солнца соответственно. Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетомe и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2

R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. При E = E1 rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.

При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников. Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

17 в. И. Кеплером (1571-1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546-1601). Закон площадей.) 3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.

КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. Когда камень падает на Землю, он подчиняется закону всемирного тяготения. Эта сила прилагается к одному из взаимодействующих тел и направлена в сторону другого. К такому заключению, в частности, пришел И. Ньютон в своем мысленном бросании камней с высокой горы.Итак, Солнце искривляет движение планет, не давая им разлететься во все стороны.

Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты. Действие на Луну Земли и Солнца делают совершенно непригодными для расчетов ее орбиты законы Кеплера.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Таким образом можно утверждать, что, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади - константа. Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Круговая и эллиптическая орбиты.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. 3. Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Солнца, а и - массы планет. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удаленная точка орбиты.

Видимые петлеобразные движения планет Коперник объяснял сочетанием движения Земли с движением каждой планеты вокруг Солнца. Так как периоды обращения Земли и любой планеты неодинаковы, то бывает, что, например, Земля обгоняет планету, и тогда планета кажется смещающейся относительно звезд к западу. В другое же время движения их складываются так, что планета кажется перемещающейся к востоку.

Это поясняет рисунок 20, где стрелки показывают направление обращения Земли и планеты, которая дальше от Солнца, чем Земля, и движется медленнее. Прямые линии соединяют одновременные положения Земли и планеты и указывают направление, по которому планета видна с Земли при разных ее положениях на орбите. Стрелки у видимого пути планеты показывают, как при этом меняется направление ее видимого движения.

Рисунок 20 - Видимое петлеобразное движение планеты (происходит вследствие сочетания движения планеты и наблюдателя вместе с Землей).

Коперник определил периоды обращения планет и их расстояния от Солнца по сравнению с расстоянием Земли от Солнца.

Взаимное расположение Земли и планет все время меняется. Например, планета, более далекая от Солнца, чем Земля, по отношению к последней может быть за Солнцем (Рисунок 21), а планета, более близкая,- между Землей и Солнцем или тоже за ним. В этих положениях планеты нам не видны, так как скрываются в лучах Солнца. Планету, более далекую от Солнца, чем Земля, лучше всего наблюдать, когда она видна в стороне, противоположной Солнцу. Тогда она ближе к Земле и хорошо видна в телескоп. В эту пору она кульминирует в полночь и долго видна в течение дня. Положение планеты, противоположное Солнцу по отношению к Земле, называется противостоянием.

Рисунок 21 - Противостояния и наибольшие удаления планеты от Солнца.

Для планеты, более близкой к Солнцу, чем Земля, угол между направлениями с Земли на нее и на Солнце меняется, не превосходя 29°для Меркурия и 48° для Венеры. При наибольшем угловом расстоянии между Солнцем и такой планетой ее удобнее всего наблюдать - она позднее заходит вечером после Солнца или раньше восходит утром перед восходом Солнца, смотря по тому, с какой стороны от Солнца мы ее видим. Как показывает рисунок 22, вид Меркурия и Венеры меняется, как у Луны. Это зависит от того, как повернуто к нам освещенное Солнцем полушарие этих планет.

Рисунок 22 - Изменения фазы и видимого диаметра Меркурия и Венеры в зависимости от их положения относительно Земли и Солнца .

Коперник установил, что центром движения Земли и планет является Солнце, но точно установить истинную форму орбит планет он не мог. Как все ученые и философы древности, Коперник считал, что в небесах все движения равномерны и траектории этих движений - окружности. Поэтому подлинные движения планет теория Коперника отражала едва ли точнее, чем теория Птолемея.

Причину этого несоответствия выяснил в начале XVII в. австрийский ученый Иоганн Кеплер (1571 -1630). Кеплер установил три закона планетных движений, которые он вывел из наблюдаемых перемещений планет по небесной сфере.

Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая, обладающая тем свойством, что сумма расстояний каждой ее точки от двух точек, называемых фокусами, остается постоянной. На рисунке 23 O - центр эллипса, DA - большая ось, К и S - фокусы эллипса, так что KM+SM=DA равно большой оси эллипса. Чем больше расстояние между фокусами, тем более сжат эллипс при заданной величине его большой оси. Степень вытянутости эллипса характеризуется величиной его эксцентриситета. Эксцентриситетом е называется отношение расстояния OS центра эллипса от одного из фокусов к длине большой полуоси ОА, то есть е = OS: О А.

Эллиптические орбиты планет мало отличаются от окружности, и их эксцентриситеты немногим больше нуля.

Из первого закона Кеплера следует, что расстояние планет от Солнца меняется. Ближайшая точка орбиты называется перигелием, а наиболее далекая - афелием.

Орбита Земли тоже эллиптическая. В перигелии Земля бывает в начале января, в афелии - в начале июля. Хотя, таким образом, зима в северном полушарии Земли бывает в период кратчайшего расстояния ее от Солнца, однако различие в угле падения солнечных лучей на поверхность Земли и различие в продолжительности дня летом и зимой влияют сильнее, чем небольшие изменения в расстоянии Земли от Солнца.

Второй закон (закон площадей). Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.

Радиусом-вектором планеты называется отрезок прямой линии, соединяющей планету с Солнцем. Скорость планеты при ее движении меняется так, что площадь, описанная радиусом-вектором за равные промежутки времени, одна и та же, в какой бы части своей орбиты ни находилась планета. На рисунке 23 площади CSD, ESF и ASH равны, если дуги CD, EF, АН описаны планетой за равные промежутки времени. Таким образом, близ перигелия скорость планеты наибольшая, близ афелия - наименьшая.

Рисунок 23 - Закон площадей (второй закон Кеплера).

Третий закон. Квадраты периодов обращений планет относятся, как кубы больших полуосей их орбит.

Если период обращения и большую полуось орбиты одной планеты обозначить соответственно Т1 и а2, а другой планеты - через Т2 и а2, то третий закон Кеплера выразится формулой:

Зная из наблюдений периоды обращения планет, можно но этой формуле определить большие полуоси орбит планет по отношению

к большой полуоси орбиты Земли, принимая полуось орбиты Земли за единицу. Заметим, что длина большой полуоси орбиты планеты равна среднему расстоянию ее от Солнца, так как полусумма расстояний планеты от Солнца в афелии и перигелии равна большой полуоси орбиты планеты; на рисунке 23 DS+AS/2 = OD, где OD - большая полуось. Так как при помощи третьего закона Кеплера все расстояния планет от Солнца можно определить, зная расстояние Земли от Солнца, то длину большой полуоси земной орбиты считают в астрономии единицей расстояний и называют ее астрономической единицей; она равна 149 500 000 км.

2. Период обращения Плутона 250 лет. Чему равна большая полуось его орбиты?

«Он жил в эпоху, когда ещё не было уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы.

Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и не понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!

Сегодня, когда этот научный акт уже совершился, никто не может оценить полностью, сколько изобретательности, сколько тяжёлого труда и терпения понадобилось, чтобы открыть эти законы и столь точно их выразить» (Альберт Эйнштейн о Кеплере).

Иоганн Кеплер первым открыл закон движения планет Солнечной системы. Но сделал это он на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Поэтому поговорим сначала о нем.

Тихо Браге - датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения, на основании которых Кеплер вывел законы движения планет.

Астрономией увлекся еще в детстве, вел самостоятельные наблюдения, создал некоторые астрономические инструменты. Однажды (11 ноября 1572 года), возвращаясь домой из химической лаборатории, он заметил в созвездии Кассиопеи необычайно яркую звезду, которой раньше не было. Он сразу понял, что это не планета, и бросился измерять её координаты. Звезда сияла на небе ещё 17 месяцев; вначале она была видна даже днём, но постепенно её блеск тускнел. Это была первая за 500 лет вспышка сверхновой в нашей Галактике. Событие это взбудоражило всю Европу, было множество истолкований этого «небесного знамения» - предсказывали катастрофы, войны, эпидемии и даже конец света. Появились и учёные трактаты, содержащие ошибочные утверждения о том, что это комета или атмосферное явление. В 1573 г. вышла первая его книга «О новой звезде». В ней Браге сообщал, что никакого параллакса (изменения видимого положения объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения наблюдателя) у этого объекта не обнаружено, и это убедительно доказывает, что новое светило - звезда, и находится она не вблизи Земли, а по крайней мере на планетном расстоянии. С появлением этой книги Тихо Браге был признан первым астрономом Дании. В 1576 г. указом датско-норвежского короля Фредерика II Тихо Браге был пожалован в пожизненное пользование остров Вен (Hven ), расположенный в 20 км от Копенгагена, а также выделены значительные суммы на постройку обсерватории и её содержание. Это было первое в Европе здание, специально построенное для астрономических наблюдений. Тихо Браге назвал свою обсерваторию «Ураниборг» в честь музы астрономии Урании (это название иногда переводят как «Небесный замок»). Проект здания составил сам Тихо Браге. В 1584 г. рядом с Ураниборгом был построен ещё один замок-обсерватория: Стьернеборг (в переводе с датского «Звёздный замок»). В скором времени Ураниборг стал лучшим в мире астрономическим центром, сочетавшим наблюдения, обучение студентов и издание научных трудов. Но в дальнейшем, в связи со сменой короля. Тихо Браге лишился финансовой поддержки, а затем последовало запрещение заниматься на острове астрономией и алхимией. Астроном покинул Данию и остановился в Праге.

Вскоре Ураниборг и все связанные с ним постройки были полностью разрушены (в наше время они частично восстановлены).

В это напряжённое время Браге пришёл к выводу, что ему нужен молодой талантливый помощник-математик для обработки накопленных за 20 лет данных. Узнав о гонениях на Иоганна Кеплера, незаурядные математические способности которого он уже успел оценить из их переписки, Тихо пригласил его к себе. Перед учеными стояла задача: вывести из наблюдений новую систему мира, которая должна прийти на смену как птолемеевской, так и коперниковой. Он поручил Кеплеру ключевую планету: Марс, движение которого решительно не укладывалось не только в схему Птолемея, но и в собственные модели Браге (по его расчётам, орбиты Марса и Солнца пересекались).

В 1601 г. Тихо Браге и Кеплер начали работу над новыми, уточнёнными астрономическими таблицами, которые в честь императора получили название «Рудольфовых»; они были закончены в 1627 г. и служили астрономам и морякам вплоть до начала XIX века. Но Тихо Браге успел только дать таблицам название. В октябре он неожиданно заболел и умер от неизвестной болезни.

Тщательно изучив данные Тихо Браге, Кеплер открыл законы движения планет.

Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря незаурядным математическим способностям был приглашён в 1594 г. читать лекции по математике в университете города Граца (сейчас это Австрия). В Граце Кеплер провёл 6 лет. Здесь в 1596 г. вышла в свет его первая книга «Тайна мира». В ней Кеплер попытался найти тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники). Орбиту Сатурна он представил как круг (ещё не эллипс) на поверхности шара, описанного вокруг куба. В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту Марса и т. д. Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное значение (хотя бы потому, что орбиты планет оказались не круговыми); тем не менее, в наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621 г. переиздал «Тайну мира», внеся в нее многочисленные изменения и дополнения.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения. Особо ценной была систематичность измерений.

На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце - положение, известное сегодня как первый закон Кеплера .

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно, эллипс превращается в окружность.

Дальнейший анализ приводит ко второму закону. Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, в равное время описывает равные площади. Это означало, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

С этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

Где и - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит.

Ньютон позднее установил, что третий закон Кеплера не совсем точен - в него входит и масса планеты: , где - масса Солнца, а и - массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и точно объяснили видимую неравномерность этих движений. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую - эллипс. Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

Хотя исторически кеплеровская система мира основана на модели Коперника, фактически у них очень мало общего (только суточное вращение Земли). Исчезли круговые движения сфер, несущих на себе планеты, появилось понятие планетной орбиты. В системе Коперника Земля всё ещё занимала несколько особое положение, поскольку только у неё не было эпициклов. У Кеплера Земля - рядовая планета, движение которой подчинено общим трём законам. Все орбиты небесных тел - эллипсы, общим фокусом орбит является Солнце.

Кеплер вывел также «уравнение Кеплера», используемое в астрономии для определения положения небесных тел.

Законы, открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются следствиями закона тяготения.

Но в бесконечность Вселенной Кеплер не верил и в качестве аргумента предложил фотометрический парадокс (это название возникло позже): если число звёзд бесконечно, то в любом направлении взгляд наткнулся бы на звезду, и на небе не существовало бы тёмных участков. Кеплер, как и пифагорейцы, считал мир реализацией некоторой числовой гармонии, одновременно геометрической и музыкальной; раскрытие структуры этой гармонии дало бы ответы на самые глубокие вопросы.

В математике он нашёл способ определения объёмов разнообразных тел вращения, предложил первые элементы интегрального исчисления, подробно проанализировал симметрию снежинок, работы Кеплера в области симметрии нашли позже применение в кристаллографии и теории кодирования. Он составил одну из первых таблиц логарифмов, впервые ввёл важнейшее понятие бесконечно удалённой точки, ввёл понятие фокуса конического сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений, в том числе меняющие их тип.

В физике ввёл термин инерция как прирождённое свойство тел сопротивляться приложенной внешней силе, вплотную подошёл к открытию закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически, первый, почти на сто лет раньше Ньютона, выдвинул гипотезу о том, что причиной приливов является воздействие Луны на верхние слои океанов.

В оптике : с его трудов начинается оптика как наука. Он описывает преломление света, рефракцию и понятие оптического изображения, общую теорию линз и их систем. Кеплер выяснил роль хрусталика, верно описал причины близорукости и дальнозоркости.

К астрологии у Кеплера было отношение двойственное. Приводят по этому поводу два его высказывания. Первое: «Конечно, эта астрология - глупая дочка, но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать, наверное бы, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала ». И второе: «Люди ошибаются, думая, что от небесных светил зависят земные дела ». Но, тем не менее, Кеплер составлял гороскопы для себя и своих близких.

Удивительно много успел сделать в жизни Иоганн Кеплер , хотя по печальному жребию судьбы он с детства страдал различными болезнями и в том числе множественностью зрения, из-за чего во время наблюдений неба в его глазах возникала, например, не одна Луна, а несколько.

Какой силой духа и воли надо обладать, чтобы при этом продолжать напряженно работать. Огромный вклад внес Кеплер не только в астрономию, но и в оптику. Занимался он самыми разными научными проблемами, даже изучал устройство человеческого глаза…

После смерти Кеплера в 1630 году осталось одно изношенное платье, две рубашки, несколько медных монет и… 57 вычислительных таблиц, 27 напечатанных научных трудов, огромное рукописное наследие, собранное позже в 22 книгах, и три закона движения планет. Три замечательных закона, точное соответствие которых небесной механике подтвердили тщательные и многочисленные измерения, выполненные многими последующими поколениями ученых.

Восхищенный сторонник системы Коперника, Кеплер тем не менее усмотрел в ней серьезный недостаток: обращение планет вокруг Солнца Коперник считал состоящим из нескольких движений по кругу. Внимательно анализируя наблюдения Тихо Браге, Кеплер понял, что в действительности орбиты планет представляют собой эллипсы, а не окружности, причем Солнце обязательно находится в одном из фокусов эллипса. Так формулируется первый закон Кеплера . Просто и убедительно!

Великий труженик науки, разносторонний ученый Иоганн Кеплер.

Если Солнце и одну из планет соединить воображаемой прямой-радиусом, то площади эллипса, отчеркиваемые радиусом за одинаковые промежутки времени, будут равны между собой. Это второй закон Кеплера .

Третий закон может быть выражен следующими словами: время обращения каждой планеты вокруг Солнца, возведенное в квадрат, пропорционально размеру большой полуоси ее эллиптической орбиты, взятой в кубе.

Планеты и Солнце оказались связанными неразрывно. Законы Кеплера позволили точнее предсказывать движение небесных светил, но на вопрос, почему это движение происходит именно так, а не иначе, предстояло ответить Исааку Ньютону…

Кеплер, конечно, неустанно размышлял и над природой сил, объединяющих в единую величественную систему огромные массы вещества, заключенные в планетах и Солнце. Он ввел в физику, и в частности в механику, много определений, которыми мы пользуемся до сих пор. Сопротивление движению тел, находящихся в покое, Кеплер обозначил словом «инерция» , а силу притяжения между массивными телами - термином «гравитация» .

«Гравитацию я определяю как силу,- писал Кеплер,- подобную магнетизму - взаимному притяжению. Сила притяжения тем больше, чем тела ближе одно к другому…»

Еще до открытий Ньютона Кеплер объяснил причины океанских приливов и отливов тем, что «тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью некоторых сил, подобных магнетизму».

Разнообразны были таланты Кеплера. И проявлялись они часто в областях, далеких от физики и астрономии. В течение шести лет, например, ему приходилось быть… адвокатом собственной матери, которую обвиняли в колдовстве.

От времен созерцательной астрономии остались образные названия созвездий, напоминавших наблюдателям различных животных, изображенных на этой старинной карте XVII века из атласа Яна Гевелия.

В средневековой Европе полыхали костры инквизиции. На родине Кеплера, в маленьком немецком городе Вейле, в котором едва насчитывалось в те времена несколько сот жителей, в период с 1615 по 1629 год было сожжено 38 «колдуний»!

А против матери Кеплера было выставлено множество тяжелых, по тогдашним понятиям, обвинений. Одно из самых страшных ее преступлений - слова, сказанные соседке: «Нет ни рая, ни ада. От человека остается то же, что и от животных».

Но недаром судьи записали в одном из протоколов: «Арестованную, к сожалению, защищает ее сын господин Кеплер, математик». Кеплер сумел добиться оправдания своей несправедливо осужденной, измученной матери.

Ему лишь никогда не удавалось одно из дел, на которое уходило много сил - вовремя и полностью получать денежное содержание, положенное придворному астроному и астрологу. После смерти Кеплера его жене и четырем малолетним детям причиталось почти 13 тысяч гульденов так и не выплаченного жалования…

(1546–1601). Они используются в небесной механике и формулируются так:

2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)

3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)

Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо, выполненных без телескопа.

Закон 1.

Тихо поставил перед Кеплером задачу создания научной теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля .

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).

Закон 2.

Законы Кеплера полностью эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Закон 3.

Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a ) с ее орбитальным периодом (t ):

где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.

Пример : найти среднее расстояние от Солнца планеты Уран, имеющей период 84,015 лет. Из приведенной выше формулы, взяв период Земли за 1 год и ее расстояние от Солнца за 1 а.е.,

Ньютон (1643–1727) установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты:

где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.

Известный датский астроном Тихо Браге (1546-1601), ознакомившись с работой Кеплера "Тайны мира", оценил хорошее знание автором астрономии, его оригинальное мышление и значительный объём выполненных вычислений. Вскоре Тихо Браге встретился с Кеплером, которому тогда было только 24 года от роду, и предложил ему работу в Праге в качестве своего помощника в астрономических наблюдениях и вычислениях. Совместная работа Кеплера с Браге была кратковременной - всего около полутора лет. В 1601 году Тихо Браге умер. После смерти Браге Кеплер принял его должность придворного астронома и астролога у императора Рудольфа II . В Праге Кеплер работал в течение десяти лет. Это был самый плодотворный период в его научной деятельности. Тихо Браге оставил Кеплеру огромное количество материалов с результатами астрономических наблюдений, собранных за долгие годы. Судьба распорядилась так, что на основе этих материалов, проявив выдающиеся математические способности и удивительное трудолюбие, Кеплер открыл свои знаменитые законы. Без этих материалов, без их осмысления открытия Кеплера были бы невозможны.

Несколько слов о научных взглядах знаменитого астронома-наблюдателя Тихо Браге. Этот астроном не был сторонником учения Коперника. Он считал, что является центром Вселенной, а Солнце, Луна и обращаются вокруг Земли. Планеты Браге считал спутниками Солнца. Современный читатель, конечно, может улыбнуться "наивности" исследователя, который в течение четверти века внимательно наблюдал за небом. Но не надо торопиться с выводами. Ведь речь идёт о последней четверти 16-го (!) века, когда астрономам не был известен даже простейший телескоп, когда господствовали идеи геоцентризма, а католическая церковь запрещала даже мысли о гелиоцентрической картине мира. Зато Тихо Браге оставил богатейший наблюдательный материал, в частности, по планете Марс, а также подробные таблицы движения Солнца, по которым можно было найти положение светила на эклиптике в любой момент времени с точностью до одной угловой минуты.

Уже в 1600 году Кеплер начал изучать движения Марса с целью уточнить теорию Коперника. А необходимость уточнения была очевидной, т.к. таблицы движения планет, составленные на основе этой теории, предсказывали положения планет лишь с небольшой точностью, а для объяснения видимой неравномерности движения планет Коперник ввёл в свои модели движения сложные системы эпициклов.

Предпочтение Марсу в изучении движения планет Кеплер отдал потому, что именно в видимом обнаруживались наибольшие отклонения от равномерного движения по окружности.

Из расчётов орбиты Марса в 1605 году Кеплер вывел уравнение, определяющее положение небесных тел (в современной астрономии оно называется уравнением Кеплера). Это уравнение описывает движение небесного тела по эллипсу. Но сначала Кеплер не понимал этого. Он предпринимал попытки проверить свои формулы на кривой овала, затем на кривой яйцеобразного овала. Продолжая размышления и расчёты, он писал в 1604 году: "Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс". Но в это время Кеплер ещё не рассматривал даже вариант эллипса в качестве орбиты Марса. Наконец, в 1605 г. он проверил вариант эллипса, и всё сошлось в его расчетах: он понял, что Марс движется по орбите, представляющей эллипс, а Солнце находится в фокусе этого эллипса.

Напомним, что эллипсом называется кривая, для любой точки которой сумма расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна (равна большой оси эллипса).

В 1609 году в Праге вышла из печати книга Кеплера "Новая астрономия" ("Astronomia Nova"). В этой книге Кеплер излагает свои два эмпирических закона, открытых прежде всего на основе изучения движения Марса и Земли.

Закон 1. Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. При этом Солнце располагается не в центре эллипса, а в одном из фокусов эллипса. Следовательно, расстояние планеты от Солнца не всегда одинаковое.

Закон 2. Радиус-вектор планеты (т.е. отрезок, соединяющий Солнце и планету) описывает равные площади за равные промежутки времени. Этот закон указывает, что скорость движения планеты по её орбите непостоянна: при приближении к Солнцу планета движется быстрее, при удалении от него - медленнее. Второй закон движения планет обычно называют законом площадей.

Закон 3. (Сформулирован в книге "Гармония мира" ("Harmonice mundi"), опубликованной по частям в 1618-1621 гг.). Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся между собой как кубы их средних расстояний от Солнца.

Не все учёные - современники Кеплера восприняли его законы движения планет. Например, не признавал факт неравномерного движения планет. С течением времени правильность законов Кеплера подтвердилась полностью. Работы Кеплера подготовили почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. До настоящего времени законы Кеплера остаются основой небесной механики.

С высоты современных знаний о космосе не следует удивляться тому, что Кеплер имел своеобразные, иногда мистические представления , например, он считал, что Солнце подобно магниту притягивает планеты и, вращаясь вокруг своей оси, сообщает им энергию движения. Кеплер считал, что Солнце не перемещается в пространстве. Кеплер не верил в бесконечность Вселенной, а небесную сферу, на которой видны звёзды, он считал границей мира. В то же время Кеплер "убрал" из своей модели мира некоторые элементы, которые были в модели Коперника, в частности, вращающиеся круговые сферы, якобы несущие на себе планеты, а также отказался от эпициклов, заменив их орбитами в форме эллипсов.

Обнаруженные Галилеем при помощи телескопа в 1610 году четыре "медичейские планеты" (название дано Галилеем в честь герцога Медичи), обращающиеся вокруг Юпитера, Кеплер позднее назвал спутниками Юпитера. Термин "спутник" сохранился в астрономии с тех далёких времён и, как мы теперь знаем, применяется не только в отношении природных небесных тел, но и в отношении аппаратов, создаваемых человеком.

Последней крупной работой Кеплера в области астрономии были так называемые "Рудольфовы таблицы" движения планет, опубликованные в 1627 году. Таблицы были задуманы ещё Тихо Браге, и Кеплер работал над ними почти 22 года. Эти астрономические таблицы были значительно более точными, чем все предыдущие таблицы, в том числе и "Прусские таблицы", составленные в 1551 г. немецким математиком и астрономом Рейнгольдом на основе гелиоцентрической системы Коперника. "Рудольфовы таблицы" использовались астрономами, моряками и путешественниками на протяжении почти двух столетий.

Помимо исследований, связанных с движением планет, Кеплер занимался также изучением комет. Он первым высказал правильную догадку о том, что хвосты комет образуются под действием солнечных лучей, а потому всегда направлены в сторону от Солнца.

Кеплер работал не только в области астрономии. Как и многие , он не замыкался в одной узкой области деятельности. Например, Кеплер разработал теорию логарифмов на арифметической основе и составил весьма точные таблицы логарифмов, опубликованные в 1624 году и неоднократно переиздававшиеся.

Кеплер занимался также проблемами астрономической оптики. Оптика как часть физической науки обязана своим возникновением в значительной степени трудам Кеплера, в частности, его книге "Диоптрика". Интересно, что Кеплер занимался не только технической оптикой, что нашло своё выражение в разработке оптической схемы телескопа, но и подробно изучил и правильно изложил в своих работах действие физиологического механизма зрения и его такие дефекты как близорукость и дальнозоркость.

Методы, которые Кеплер разработал для вычисления объёмов различных тел вращения и площадей плоских фигур, образуемых кривыми второго порядка (овал, эллипс, сечения конуса и др.), были по своей сути начальными элементами дифференциального и интегрального исчисления.

Кеплер вслед за Галилеем дал определение понятия инерции тела, а также вплотную подошел к пониманию тяготения и его роли в движении планет.

Кеплер выдвинул гипотезу о том, что причиной океанских приливов на Земле является воздействие Луны на водную поверхность. Через сто лет эту гипотезу подтвердил .

Кеплер жил в сложный исторический период, когда в Европе почти непрерывно происходили войны между группировками стран, в том числе между многочисленными германскими государствами. В 1618 году в Германии началась , вскоре превратившаяся в общеевропейскую войну, которая продолжалась и после смерти Кеплера и привела к опустошению и обезлюдению Западной Европы.

Средневековый религиозный дурман, в котором продолжала находиться вся Европа, был причиной больших трудностей в научной работе Кеплера и принёс много горя в его личную жизнь.

Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 года в небольшом городке Вейле близ Штутгарта (ныне федеральная земля Баден-Вюртемберг). Когда Иоганну было 18 лет, он остался без отца, который служил наёмником в испанской армии и погиб на войне. Мать Иоганна, Катарина Кеплер, владела небольшим баром. Семья жила небогато, и поэтому Кеплеру нелегко было после окончания школы при монастыре поступить в 1589 году в Тюбингенский университет. Здесь он изучал математику, астрономию, а потом теологию. Но от первоначального плана стать священником он отказался. Поскольку Кеплер открыто поддерживал учение Коперника, университетские власти, по требованию местных богословов, ещё до окончания учёбы в университете посылают Кеплера в 1594 г. преподавать математику в протестанском училище города Граца (земля Штирия, Австрия).

В Граце Кеплер прожил 6 лет. Уже в 1596 году здесь выходит в свет его первая книга "Тайна мира", которую он переиздал в 1621 году, продолжая верить в наличие скрытой математической гармонии Вселенной.

В 1600-1601 гг. он работает в Праге с известным датским астрономом-наблюдателем Тихо Браге в качестве его помощника в астрономических наблюдениях и вычислениях. После смерти Браге (1601г.) Кеплер принимает должность Браге - придворного астронома и астролога у императора Рудольфа II . В Праге Кеплер продуктивно работает над законами движения планет. В 1609 г. в книге "Новая астрономия" Кеплер формулирует два первых своих закона.

В Пражский период жизни Кеплер наблюдает появление сверхновой и в 1604 году публикует результаты своих наблюдений за ней. В дальнейшем этой сверхновой было присвоено имя Кеплера.

В 1612 году Кеплер переезжает в Линц, где за ним сохраняется должность придворного математика и астронома. Несмотря на высокую должность, Кеплер постоянно нуждался, потому что жалование ему платили нерегулярно и неполностью: из-за бесконечных войн императорская казна была пуста. А Кеплер в этот период (в Линце он жил с 1612 по 1626 год) имел многодетную семью. Кстати, семейная жизнь его сложилась очень драматично. В 1597 году в Граце Кеплер женится на вдове Барбаре Мюллер. Здесь у них рождается двое детей, которые умирают в младенческом возрасте, а жена заболевает падучей болезнью, как раньше называли эпилепсию. Но, как говорит немецкая пословица, беда редко приходит одна. В Граце католическое большинство начинает гонение на протестантов. Мало того, что Кеплер лютеранин по вероисповеданию, что уже неприемлемо для католиков, он ещё занесён в списки "еретиков" за свои научные взгляды. Это уже по-настоящему опасно, и Кеплер покидает в 1600 г. Грац, приняв предложение Тихо Браге о переезде в Прагу (в те времена Чехия была владением Австрийской империи).

В Праге у Кеплера родились два сына и дочь, но в 1611 году умирает его старший сын, а вскоре умирает долго болевшая жена Кеплера Барбара.

В 1613 году Кеплер женится вторично. Его женой становится 24-летняя Сюзанна из рабочей семьи. В этом браке родилось семеро детей, из которых выжили четверо.

В 1615 году на Кеплера обрушивается новое несчастье: его мать Катарина обвиняется церковной инквизицией в колдовстве, а это значит, что ей грозит смертельная опасность. Гадание и траволечение, которыми мать Кеплера иногда подрабатывала, не прошли мимо внимания католических мракобесов. Чего только ни инкриминировалось ей: и связь с дьяволом, и богохульство, и порчу, и даже некромантию... Следствие тянулось пять лет. Защитником матери на суде выступал сам Кеплер. В 1621 году измученную женщину наконец освободили, но силы её были надломлены, и в следующем году она скончалась.

В 1626 году, в разгар Линц был осаждён и захвачен. Кеплер вынужден переехать в Ульм. В 1628 году Кеплер принимает приглашение полководца Валленштейна и переходит к нему на службу в качестве астронома и астролога. Кстати, астрологией Кеплер занимался долгие годы, но относился к этому занятию, конечно, не как к основному виду своей деятельности. Как и следовало ожидать, его гороскопы далеко не всегда предсказывали события, происходившие в действительности.

Умер Кеплер 15 ноября 1630 года в Регенсбурге, куда он прибыл, чтобы получить хотя бы часть денег, которые ему задолжала императорская казна. Но он не успел ничего добиться, т.к. по пути в Регенсбург простудился и вскоре умер.

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и Коперника – где Солнце является центральным телом.

И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца — эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.

Третий закон Кеплера

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:

Также иногда записывают другое отношение:

Дальнейшее развитие

Три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Это стало возможным благодаря многолетним наблюдениям датского астронома Тихо Браге.

Первый закон Кеплера . Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна.

Третий закон Кеплера . Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Скорость движения планеты в перигелии: где v c – средняя или круговая скорость планеты при r = a. Скорость движения в афелии: Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обоих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой M1 и M2 соответственно связаны следующим соотношением: r1/r2 = M2/M1. Перицентры и апоцентры своих орбит (если движение финитно) тела также будут проходить одновременно. Третий закон Кеплера можно использовать, чтобы определить массу двойных звезд.

Важнейшие точки и линии эллипса.

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е = ОF/OA. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца): a = (AF1 + F1A’)/2. Она связана с механической энергией тела следующим соотношением: Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором): Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением: 2K = –U. Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что K = –E. Т.о. при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю. Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы. Точка орбиты тела, ближайшая к притягивающему центру (фокусу), в общем случае называется перицентром, а наиболее удаленная от него (только у эллипса) – апоцентром. Если притягивающим центром является Земля, то эти точки называются соответственно перигеем и апогеем. Наиболее близкая точка к Солнцу называется перигелий, наиболее удаленная – афелий. Для Луны эти точки будут перилунием (периселением) и аполунием (апоселением), для произвольной звезды – периастром и апоастром. Прямая, соединяющая перицентр с фокусом (большая ось эллипса, ось параболы или действительная ось гиперболы), называется линией апсид. Расстояние от притягивающего центра до перицентра равно АF1 = a (1 – e), до апоцентра – F1A’ = a (1 + e). Среднее расстояние от притягивающего центра до тела, движущегося вокруг него по эллипсу, равно длине большой полуоси.

3.1.3. Законы Кеплера

Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.

Скорость движения планеты в перигелии

Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

В обобщенном виде этот закон обычно формулируется так: квадраты периодов T 1 и T 2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M 1 и M 2) и Солнца (M ) , относятся как кубы больших полуосей a 1 и a 2 их орбит:

При этом взаимодействие между телами M 1 и M 2 не учитывается. Если пренебречь массами этих тел в сравнении с массой Солнца (т.е. M 1

Три закона Кеплера (эллипсов, площадей, гармонический)

Предположение о равномерном круговом движении планет Солнечной системы не согласовывалось с гелиоцентрической системой мира Н. Коперника, поскольку расхождения между вычисленным и реальным положением планет в определённые промежутки времени было значительным. Это противоречие удалось разрешить выдающемуся немецкому астроному И. Кеплеру . На основании многолетних наблюдений за движением планет, изучения трудов своих предшественников Кеплер открыл три закона , названных впоследствии его именем.

Первый закон Кеплера, называемый также законом эллипсов , был сформулирован учёным в 1609 г.

Первый закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A , наиболее удалённая от Солнца, - афелием. Расстояние между афелием и перигелием составляет большую ось эллиптической орбиты. Половина длины большой оси, полуось a, - это среднее расстояние от планеты до Солнца.

Среднее расстояние от Земли до Солнца называется астрономической единицей (а. е.) и равно 150 млн км.

Форму эллипса, степень его отличия от окружности определяет соотношение c/ a , где c - расстояние от центра эллипса до фокуса, a - большая полуось эллипса.

Чем больше это отношение, тем более вытянута орбита движения планеты (рис. 37), фокусы находятся дальше друг от друга. Если это отношение равно нулю, то эллипс превращается в окружность, фокусы сливаются в одну точку - центр окружности.

Орбиты Земли и Венеры почти круговые, для Земли соотношение c/ a составляет 0,0167, для Венеры - 0,0068. Орбиты других планет более сплющенные. Наиболее вытянута орбита Плутона, для которого c/ a = 0,2488. По эллиптическим орбитам движутся не только планеты вокруг Солнца, но и спутники (естественные и искусственные) вокруг планет. Ближайшая к Земле точка движения спутника называется перигеем, самая удалённая - апогеем.

Второй закон Кеплера (закон площадей ): радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

На рисунке 38 проиллюстрирован второй закон Кеплера. Из рисунка понятно, что радиус-вектор - это отрезок, соединяющий фокус орбиты (по сути, центр Солнца) и центр планеты в любой точке её движения по орбите. В соответствии со вторым законом Кеплера площади выделенных цветом секторов равны между собой. Тогда получается, что за одинаковый промежуток времени планета проходит по орбите разное расстояние, т. е. скорость движения не постоянна: v 2 > v 1 . Чем ближе планета к перигелию, тем быстрее её движение, будто она стремится скорее уйти подальше от палящих солнечных лучей. Материал с сайта http://doklad-referat.ru

Третий закон Кеплера (гармонический ): квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся друг к другу, как кубы больших полуосей их орбит.

Помня, что длина большой полуоси орбиты считается средним расстоянием от планеты до Солнца, запишем математическое выражение третьего закона Кеплера:

где T 1 , T 2 - периоды обращения планет 1 и 2; a 1 > a 2 - среднее расстояние от планет 1 и 2 до Солнца.

Третий закон Кеплера выполняется как для планет, так и для спутников, с погрешностью не более 1 %.

На основании этого закона можно вычислить продолжительность года (время полного оборота вокруг Солнца) любой планеты, если известно её расстояние до Солнца. И наоборот - по этому же закону можно рассчитать орбиту, зная период обращения.

Три закона движения планет кеплер

В начале XVI века польским астрономом Н. Коперником (1473–1543) обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория наблюдения Коперника воспринималась как занимательная фантазия. В XVI в. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что Дж. Бруно, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре.

Кеплер Иоганн (1571–1630) – немецкий ученый, один из творцов небесной механики. Работы в области астрономии, механики, математики. Используя наблюдения Тихо Браге и свои собственные, открыл законы движения планет (три закона Кеплера). Известен как конструктор телескопа (так называемая зрительная труба Кеплера, состоящая из двух двояковыпуклых линз).

Первый закон Кеплера . Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 7.6).

1.24. Законы Кеплера

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A , наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δ t , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r:

Здесь – угловая скорость (см. §1.6).

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 % .

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R , а другая – эллиптическая с большой полуосью a . Третий закон утверждает, что если R = a , то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2

R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10) позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ Δ A i на малых перемещениях:

В пределе при Δ r i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ , его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E 1 r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ 1 = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ 1 , но меньших υ 2 = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА

Научно-технический энциклопедический словарь.

Смотреть что такое «ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА» в других словарях:

законы Кеплера - - Тематики нефтегазовая промышленность EN Kepler s laws … Справочник технического переводчика

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА - три закона движения планет, которые являются следствием ньютоновского закона всемирного тяготениями.). Первый закон: каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. Второй закон: планета движется по… … Большая политехническая энциклопедия

Законы Кеплера - Законы Кеплера три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики… … Википедия

Законы Кеплера - три экспериментально установленных закона движения планет Солнечной системы. Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Второй закон Кеплера. Радиус вектор, проведенный от… … Астрономический словарь

Законы Кеплера - см. Астрономия … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Кеплера законы - три закона движения планет относительно Солнца, установлены как обобщение наблюдательных данных И. Кеплером в начале XVII в. 1 й: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2 й закон Кеплера: каждая планета … Энциклопедический словарь

КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ - принципы движения планет, сформулированные в начале 17 в. И. Кеплером (1571 1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546 1601). Они используются в небесной механике и формулируются так: 1. Орбита любой планеты есть эллипс, в одном из… … Энциклопедия Кольера

Законы Ньютона - Классическая механика … Википедия

Кеплера законы движения планет - три закона движения планет, эмпирически открытые немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон: каждая планета движется в… … Начала современного естествознания

КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ - три закона движения планет, открытые нем. астрономом И. Кеплером (J. Kepler) в нач. 17 в. Ниже приведены их совр. формулировки. 1 й закон: при невозмущённом движении (в двух тел задаче) орбита движущейся матер. точки (планеты) есть кривая второго … Физическая энциклопедия

Законы движения Кеплера

Иоганн Кеплер и планеты Солнечной системы

Модель Солнечной системы Клавдия Птолемея

Первый закон Кеплера

Второй закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Основные элементы эллипса

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:

Также иногда записывают другое отношение:

Одна из записей третьего закона

Дальнейшее развитие

Закон Био - Савара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774-1862) и Ф. Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены […]
Логическая характеристика понятий: «хмурый день», «ответчик», «судимость», «Луна». Определение вида простого высказывания Страницы работы Фрагмент текста работы книга, причина, брат, акция, базис, подсудимый, левый, север, минерал, […]
Секреты английского языка Сайт для самостоятельного изучения английского языка онлайн The Language of Crime Posted on 2015-07-18 by admin in Разговорник // 0 Comments Предлагаем вам несколько слов на тему «преступление» (crime). Лицо, […]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Преобразование графика функции Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А 0, на | a| единиц влево, если a 1, и сжатие в 1/ k раз, если 0 1, и растяжение в […]
Задачи