Случайная величина x задана плотностью распределения вероятностей. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

.

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

.

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

1 . Закон распределения может быть задан таблицей:

где λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) с помощью функции распределения F(x) , определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

Свойства функции F(x)

3 . Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).

Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины :

• Mатематическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины M(X)=Σ x i p i .
  Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ
• Дисперсия дискретной случайной величины D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
  Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ
• Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X) .

Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»

Задача 1.

Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х 1 =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х 2 =1 (отказал один элемент), х 3 =2 (отказало два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли . Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
P 3 (0) = С 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = С 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = С 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = С 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

По оси абсцисс откладываем возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие им вероятности р i . Построим точки М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), М 3 (2; 0,027), М 4 (3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х

График функции F(x)

4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.

4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.

3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.

Пример 2 . Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$

Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$

Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$