vrednosti ctg. Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD|
- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.

α je kot, izražen v radianih. Tangenta () tan α je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom, pravokotni trikotnik enako razmerju

dolžina nasprotne stranice |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .) Kotangens (

ctg α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

kje
.
;
;
.

n

- cela.

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
;
;
.

Kotangens

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:

Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:

Graf funkcije kotangens, y = ctg x Lastnosti tangensa in kotangensa Periodičnost Funkcije y = tg x

in y =

ctg x

so periodični s periodo π.

Pariteta na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Funkciji tangens in kotangens sta lihi.

Ekstremi

Ničle, y =

; ;
; ;
;

Presečišča z ordinatno osjo, x =

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

;
;

Ta tabela predstavlja vrednosti tangensov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

; .

.
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
.
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

Izvedeni finančni instrumenti

Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:

Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>> Integrali Razširitve serije Če želite dobiti razširitev tangente na potenco x, morate vzeti več členov razširitve v potenčne vrste za funkcije greh x

in

cos x
in te polinome razdelite drug z drugim, . To ustvari naslednje formule.- Bernoullijeva števila. Določajo se bodisi iz ponovitveno razmerje:
;
;
kje .
Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na tangento in kotangens sta arktangens oziroma arkotangens.

Arktangens, arctg

, Kje na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

Arkotangens, arcctg

, Kje na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ...razprave se nadaljujejo še danes, da bi dosegli skupno mnenje o bistvu paradoksov znanstvena skupnost do zdaj to ni bilo mogoče ... sodelovali smo pri študiju problematike matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. Z fizična točka Iz perspektive je videti, kot da se čas upočasnjuje, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Achilles teče z konstantna hitrost. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Za naslednji časovni interval, enako prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostora v eni točki časa, vendar je iz njih nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja (seveda so za izračune še vedno potrebni dodatni podatki, trigonometrija vam bo pomagala). Kaj želim poudariti posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Tako absurdna logika čuteča bitja nikoli ne razumem. To je raven govoreče papige in trenirane opice, ki nimajo nobene inteligence iz besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabno matematična teorija postavlja samim matematikom.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Matematiku razložimo, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enaki elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: na različnih kovancih obstaja različne količine blato, kristalna struktura in razporeditev atomov v vsakem kovancu je edinstvena ...

In zdaj imam največ zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione iz isto območje polja. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števil dano številko. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno dobljeno sliko razrežite na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Pretvarjanje posameznih grafičnih simbolov v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja« šamanov, ki jih uporabljajo matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, dobili bi popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Resničnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni neumno, ne poznavalec fizike. Ona ima preprosto stereotip dojemanja grafične podobe. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznavajo številko in črko kot en grafični simbol.

Tabela vrednosti trigonometrične funkcije

Opomba. Ta tabela vrednosti trigonometrične funkcije za označevanje uporablja znak √ kvadratni koren. Za označevanje ulomka uporabite simbol "/".

Glej tudi uporabni materiali:

Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele z vrstico "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - eno polovico. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin in črte 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov se najdejo na enak način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih

Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.

Število pi nedvoumno izraža odvisnost obsega od stopenjska mera kotiček. Tako so pi radiani enaki 180 stopinjam.

Vsako število, izraženo s pi (radiani), je mogoče enostavno pretvoriti v stopinje tako, da pi (π) zamenjate s 180.

Primeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
torej je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangenta pi enaka tangenti 180 stopinj in je enaka nič.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (običajne vrednosti)

Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije označen pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), to pomeni, da ko dano vrednost Stopinjska mera funkcije kota nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, kar pomeni, da še nismo vstopili želeno vrednost. Zanima nas, po kakšnih poizvedbah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu, da trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov povsem zadostujejo za rešitev večine težave.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")