Izpeljava izreka o razmerju ploščin podobnih trikotnikov. Učitelj: Kakšno je razmerje ploščin dveh trikotnikov z enakimi koti?

učitelj:.

Vrsta lekcije: pouk o uvajanju nove snovi.

Cilj lekcije: Dokaži lastnost površin podobni trikotniki in pokazati njegov praktični pomen pri reševanju problemov.

Cilji lekcije:

izobraževalni proces

Študent ima naslednja znanja:

1. Definicija podobnih trikotnikov;

2. Uporaba definicije podobnih trikotnikov pri reševanju nalog;

3. Izrek o razmerju ploščin trikotnikov, ki imajo vsak enak kot;

Enota vsebine dejavnosti, ki se jih morajo učenci naučiti:

Napredek lekcije.

1. Organizacijski trenutek.

2. Posodabljanje znanja.

3. Delo s problematično situacijo.

4. Povzetek lekcije in snemanje domača naloga, refleksija.

Učne metode: verbalno, vizualno, problemsko iskanje.

Oblike usposabljanja: frontalno delo, delo v mini skupinah, individualno in samostojno delo.

Tehnologije: usmerjen v naloge, informacijska tehnologija, kompetenčni pristop.

Oprema:

interaktivno tablo

Napredek lekcije

1. Organizacijski trenutek.

Pozdravljeni fantje! usedi se Danes imamo nenavadno lekcijo. Na naši lekciji imamo goste. Obrnite se in jih pozdravite s kimanjem. Hvala fantje. usedi se

Danes v lekciji ne bomo delali v zvezkih, ampak v referenčnih opombah, ki jih boste izpolnili za nadaljevanje celotne lekcije. Podpiši. Ocena pri učni uri bo sestavljena iz dveh delov: za pomožne opombe in za aktivno delo v razredu.

2. Posodabljanje znanja učencev. Priprava na aktivno izobraževalno in kognitivno dejavnost na glavni stopnji lekcije.

Še naprej preučujemo temo "podobnost trikotnikov". Zato se spomnimo, kaj smo se učili v prejšnji lekciji.

Teoretično ogrevanje. Test. V vaših referenčnih zapiskih je prva naloga testne narave. Na vprašanja odgovorite tako, da izberete enega od predlaganih odgovorov in po potrebi vnesete svoj odgovor.

1) Učiteljica:Kako se imenuje razmerje dveh segmentov?

Odgovor: Razmerje dveh odsekov dveh odsekov je razmerje med njunima dolžinama.

2) Učiteljica:V katerem primeru so segmentiAB inCDsorazmerno s segmentiA1 B1 inC1 D1

Odgovor: segmentiAB inCDsorazmerno s segmentiA1 B1 inC1 D1 , Če

Vaše možnosti. V redu. Ne pozabite popraviti vseh, ki se motijo.

3) Učiteljica: Določi podobne trikotnike? Glejte svojo referenčno opombo. Za odgovor na to vprašanje imate tri možnosti. Izberite pravega. Obkroži.

Prosim, katero možnost ste izbrali_______

Odgovor: Dva trikotnika imenujemo podobna, če sta njuna kota enaka in so stranice enega trikotnika sorazmerne s stranicami drugega trikotnika.

Bravo! Popravite vse, ki se motijo.

4) Učiteljica: Kakšno je razmerje ploščin dveh trikotnikov z enakima kotoma?

Odgovor: Če je kot enega trikotnika enak kotu drugega trikotnika, potem sta ploščini teh trikotnikov povezani kot zmnožek stranic, ki oklepata enake kote.

Reševanje problemov z uporabo že pripravljenih risb. Nato bo potekalo naše ogrevanje med reševanjem problemov z uporabo že pripravljenih risb. Te naloge si lahko ogledate tudi v svojih referenčnih opombah.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Odgovor: stranice Bermudskega trikotnika so 2000 km, 1840 km, 2220 km. Dolžina meje je 6060 km.

Odsev.

Možen odgovor: Podobni trikotniki imajo podobne stranice, ki so sorazmerne.

2. Situacija uspeha.

Z dimenzijami Bermudski trikotnik smo ugotovili. No, zdaj pa ugotovimo mere cvetlične postelje. Obračanje podporne opombe. Druga naloga. To težavo rešimo z delom v parih. Preverjamo na podoben način, le rezultat bo predstavil prvi par, ki nalogo opravi.

Odgovor: stranici trikotne gredice sta 10m in 11m 20 cm.

Torej, preverimo. Se vsi strinjajo? Kdo se je odločil drugače?

Odsev.

Kakšno metodo ukrepanja ste uporabili za rešitev tega problema? Zapišite v svojo referenčno opombo.

Možen odgovor:

· podobni trikotniki imajo enake ustrezne kote;

· Ploščine trikotnikov z enakimi koti so produkt stranic z enakimi koti.

3. Situacija okvare.

5. Študij novega gradiva.

Pri reševanju tretje naloge se učenci soočijo s problemom. Težave ne morejo rešiti, ker po njihovem mnenju to ni dovolj popolno stanje naloge ali prejmete nerazumen odgovor.

Učenci se s tovrstnim problemom še niso srečali, zato je prišlo do neuspeha pri reševanju problema.

Odsev.

Kakšno metodo ste poskušali rešiti?

Zakaj nisi mogel rešiti zadnje enačbe?

Učenci: Ne moremo najti ploščine trikotnika, če sta znana samo ploščina podobnega trikotnika in koeficient podobnosti.

torej namen naše lekcije Poiščite ploščino trikotnika, če sta znana le površina podobnega trikotnika in koeficient podobnosti.

Preformulirajmo problem v geometrijski jezik. Rešimo ga in se nato vrnimo k temu problemu.

Sklep: Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

No, zdaj pa se vrnimo k problemu št. 3 in ga rešimo na podlagi dokazanega dejstva.

7. Povzetek lekcije

Kaj novega ste se danes naučili početi?

Rešite naloge, pri katerih sta znana koeficient podobnosti in ploščina enega od podobnih trikotnikov.

Katera geometrijska lastnost Nam je pri tem pomagalo?

Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

domača naloga.

58 str. 000, 548

Ustvarjalna naloga.

Ugotovite, kakšno je razmerje obsegov dveh podobnih trikotnikov (št. 000)

Definicija in lastnosti podobnih trikotnikov

Števila a 1 , a 2 , a 3 , …, a n imenujemo sorazmerna s števili b 1 , b 2 , b 3 , …, b n, če velja enakost: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, kjer je k določeno število, ki se imenuje sorazmernostni koeficient.

Primer.Številke 6; 7,5 in 15 sta sorazmerna s števili -4; 5 in 10. Koeficient sorazmernosti je število -1,5, saj

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Sorazmernost števil velja, če so ta števila povezana z razmerjem.

Znano je, da je sorazmerje lahko sestavljeno iz najmanj štirih števil, zato pojem sorazmernosti velja za vsaj štiri števila (en par števil je sorazmeren z drugim parom ali ena trojka števil je sorazmerna z drugo trojko, itd.).

Poglejmo si riž. 1 dva trikotnik ABC in A 1 B 1 C 1 z enakima parnima kotoma: A = A 1, B = B 1, C = C 1.

Stranici, ki sta nasproti enakih parov kotov obeh trikotnikov, se imenujeta podobno. Da, na riž. 1 stranice AB in A 1 B 1, AC in A 1 C 1, BC in B 1 C 1, podobni, ker ležijo nasproti oziroma enakih kotov trikotnikov ABC in A 1 B 1 C 1.

Določimo podobne trikotnike:

Dva trikotnika se imenujeta podobno, če sta njuna kota po parih enaka in sta podobni stranici sorazmerni.

Razmerje podobnih strani podobnih trikotnikov se imenuje koeficient podobnosti.

Podobni trikotniki so označeni takole: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Tako naprej riž. 2 imamo: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

koti A = A 1, B = B 1, C = C 1 in AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, kjer je k koeficient podobnosti. Od riž. 2 jasno je, da imajo podobni trikotniki enaka razmerja, razlikujejo pa se le v merilu.

Opomba 1: enaki trikotniki so si podobni za faktor 1.

Opomba 2: Ko označujete podobne trikotnike, morate njihova oglišča razporediti tako, da so njihovi koti po parih enaki. Na primer, za trikotnike, prikazane na sliki 2, ni pravilno reči, da je Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Opazovanje pravilen vrstni red oglišč je primerno zapisati razmerje, ki povezuje podobne stranice trikotnikov, ne da bi se sklicevali na risbo: števec in imenovalec ustreznih razmerij morata vsebovati pare oglišč, ki zasedajo enake položaje v oznaki podobnih trikotnikov. Na primer, iz zapisa "Δ ABC ~ Δ KNL" sledi, da so koti A = K, B = N, C = L in AB/KN = BC/NL = AC/KL.

Opomba 3: Tiste zahteve, ki so navedene v definiciji podobnih trikotnikov, so odveč. Kriterije podobnosti za trikotnike, ki vsebujejo manj zahtev za podobne trikotnike, bomo dokazali nekoliko kasneje.

Oblikujmo lastnosti podobnih trikotnikov:

Razmerje ustreznih linearnih elementov podobnih trikotnikov je enako koeficientu njihove podobnosti. Takšni elementi podobnih trikotnikov vključujejo tiste, ki se merijo v dolžinskih enotah. To so na primer stranica trikotnika, obseg, mediana. Kot ali površina ne veljata za take elemente.
Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu njihovega koeficienta podobnosti.

Naj trikotniki ABC in A 1 B 1 C 1 sta podobna s koeficientom k (slika 2).

Dokažimo, da je S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Ker sta kota podobnih trikotnikov v parih enaka, to je A = A 1, in po izreku o razmerju ploščin enakih kotov velja:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .

Zaradi podobnosti trikotnikov AB/A 1 B 1 = k in AC/A 1 C 1 = k,

torej S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Opomba: Zgoraj formulirane lastnosti podobnih trikotnikov veljajo tudi za poljubne figure.

Znaki podobnosti trikotnikov

Zahteve, ki so enakim trikotnikom po definiciji naložene (to sta enakost kotov in sorazmernost stranic), so odveč. Podobnost trikotnikov je mogoče ugotoviti z uporabo manjšega števila elementov.

Tako se pri reševanju nalog najpogosteje uporablja prvi kriterij podobnosti trikotnikov, ki pravi, da je za podobna dva trikotnika dovolj enakost njunih kotov:

Prvi znak podobnosti trikotnikov (z dvema kotoma): Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si ta trikotnika podobna. (slika 3).

Naj so podani trikotniki Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, v katerih sta kota A = A 1, B = B 1. Dokazati je treba, da je Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Dokaz.

1) Po izreku o vsoti kotov trikotnika imamo:

kot C = 180° (kot A + kot B) = 180° (kot A 1 + kot B 1) = kot C 1.

2) Po izreku o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi koti,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 · B 1 C 1).

3) Iz enakosti (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) sledi AC/A 1 C 1 = BC /B 1 C 1.

4) Iz enakosti (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) sledi, da je AB/A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

Tako sta trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1 in AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1.

5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, to pomeni, da sta podobni stranici sorazmerni. To pomeni, da je Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 po definiciji.

Izrek o proporcionalni segmenti. Delitev segmenta v danem razmerju

Izrek o proporcionalnem segmentu je posplošitev Thalesovega izreka.

Za uporabo Thalesovega izreka je potrebno, da vzporedne premice, ki sekajo dve dani premici, sekajo na eni od njiju enake segmente. Posplošen Thalesov izrek pravi, da če vzporedni premici sekata dve dani premici, so odseki, ki jih odsekajo na eni premici, sorazmerni z odseki, odrezanimi na drugi premici.

Izrek o sorazmernih odsekih dokazujemo podobno kot Thalesov izrek (le da je tukaj namesto enakosti trikotnikov uporabljena njihova podobnost).

Izrek o proporcionalnih odsekih (posplošen Thalesov izrek): Vzporedne premice, ki sekajo dve dani premici, režejo na njih sorazmerne odseke.

Lastnost median trikotnika

Prvi kriterij za podobnost trikotnikov nam omogoča, da dokažemo lastnost median trikotnika:

Lastnost median trikotnika: Srednjici trikotnika se sekata v eni točki in ju ta točka deli v razmerju 2:1, šteto od vrha (slika 4).

Točka presečišča median se imenuje središče trikotnik.

Naj bo podan Δ ABC, za katerega so AA 1, BB 1, CC 1 mediane, poleg tega pa AA 1 ∩CC 1 = O. Treba je dokazati, da je BB 1 ∩ CC 1 = O in AO/OA 1 = VO /OB 1 = CO/OS 1 = 2.

Dokaz.

1) Narišite srednjo črto A 1 C 1. Po izreku o srednja črta trikotnik A 1 C 1 || AC in A 1 C 1 = AC/2.

2) Trikotnika AOC in A 1 OC 1 sta si podobna v dveh kotih (kot AOC = kot A 1 OC 1 kot navpičnica, kot OAC = kot OA 1 C 1 kot notranji navzkrižno ležeč z A 1 C 1 || AC in sekanto AA 1 ) , torej po definiciji podobnih trikotnikov AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.

3) Naj bo BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Podobno kot pri točkah 1 in 2 lahko dokažemo, da je VO/O 1 B 1 = CO 1 /O 1 C = 2. Ker pa je na odseku CC 1 ena sama točka O, ki ga deli v razmerju CO: OS 1 = 2: 1, potem točki O in O 1 sovpadata. To pomeni, da se vse mediane trikotnika sekajo v eni točki in vsako od njih delijo v razmerju 2:1, šteto od vrha.

V tečaju geometrije je v temi "območje poligonov" dokazano dejstvo, da mediana deli poljuben trikotnik na dva enaka dela. Poleg tega, ko se sekajo tri mediane trikotnika, nastane šest enakih trikotnikov.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti probleme, kot so trikotniki?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

1.3. Razmerje ploščin podobnih trikotnikov. Izrek. Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti. Dokaz. Naj sta si trikotnika ABC in A1B1C1 podobna in koeficient podobnosti enak k. Ploščini teh trikotnikov označimo s črkama S in S1. Ker je A = A1, potem.

Diapozitiv 11 iz predstavitve "Podobni trikotniki" 8. razred.

Velikost arhiva s predstavitvijo je 1756 KB.

Geometrija 8. razred povzetek

druge predstavitve

"Pravokotniki" - diagonala. Slike. Stranice pravokotnika. Obseg pravokotnika. Človek. Območje pravokotnika. Pravokotnik v življenju. Opredelitev. Stranica pravokotnika. Diagonale. Pravljica o pravokotniku. Pravokotnik. Nasprotne strani. “Pikasti produkt v koordinatah” - vektor. Napoleonov izrek. Posledica. Lastnosti skalarnega produkta vektorjev. Izmenjava kartic. Rešimo problem. Geometrija. Pikasti izdelek v koordinatah in njegovih lastnostih. Test matematike. Nov material

"Iskanje območja paralelograma" - območje paralelograma. Ustne vaje. Višina. Določanje višine paralelograma. Višine paralelograma. Poiščite površino paralelograma. Območje trikotnika. Površina kvadrata. Lastnosti območij. Poiščite območje trikotnika. Poiščite obseg kvadrata. Osnova. Poiščite površino pravokotnika. Poiščite površino kvadrata. Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov.

"Vektorji 8. razred" - Poimenujte enake in nasprotne vektorje. Vektorji pri pouku fizike. Absolutna vrednost vektor. Absolutna velikost vektorja. Pravokotnik z enakimi stranicami. Vektorski koncept. Določite koordinate vektorja. Poiščite in poimenujte enake vektorje na tej sliki. Enaki vektorji. Samostojno delo v parih. Vektorske koordinate. Moto lekcije. Skalar fizikalne količine, kot so sila trenja, hitrost.

"Različne vrste simetrije" - Zahteva. Drsna simetrija. Enakokraki trikotnik z zrcalna simetrija. Teorija skupin. Simetrija v biologiji. Rotacijska simetrija. Biradialna simetrija. Kaj je simetrija. Supersimetrija. Simetrija v geometriji. Simetrija v fiziki. Vrh zvonca. Pojav dvostranske simetrije. Dvostranska simetrija. Noetherjev izrek. Pomanjkanje simetrije. Simetrija fizike. Centralna simetrija.

"Kvadrat v življenju" - Kvadrati nas najdejo povsod. Indija. Čarobni kvadrat Albrecht Durer. Zgodba. Kvadrati. Čarobni kvadrat Lo Shu. Črn kvadrat. Uganka "Kvadrat". Zanimiva dejstva o kvadratu. Geometrijski lik kvadrat. Malevičev trg. Čarobni kvadrat. Pravokotnik. kvadrat. Osnovni koncept. Zanimiva dejstva. Kitajska.

POGLAVJE VIII.

SORAZMERNOST VELIKOSTI. PODOBNOST FIGUR.

§ 92. RAZMERJE PLOŠČINE PODOBNIH FIGUR.

1. Razmerje ploščin kvadratov.

Razmislite o razmerju med površinama dveh kvadratov. Če stranico enega kvadrata označimo z T, in druga stran - skozi n, potem bosta površini enaki
T 2 in n 2 (risba 379).

Če območje prvega kvadrata označimo s S, območje drugega pa s S", dobimo: S / S" = m 2 / n 2, tj. površine kvadratov so povezane kot kvadrati njihovih stranic.

Nastalo formulo je mogoče preoblikovati na naslednji način: S / S" = ( m / n) 2 .

To pomeni, da lahko rečemo, da je razmerje ploščin dveh kvadratov enako kvadratu razmerja njunih stranic.

Na risbi 379 je razmerje stranic kvadratov 3, razmerje njunih ploščin
3 2 = 9.

2. Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov.

Naj /\ ABC /\ A"B"C" (slika 380). Iz podobnosti trikotnikov sledi, da
/ A= / A" / B= / B" in / C = / C". Poleg tega je AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C".

V te trikotnike iz oglišč B in B" narišemo nadmorske višine in jih označimo z h in h". Območje prvega trikotnika bo enako AC h/ 2, in območje drugega trikotnika je A"C" h" / 2 .

Če območje prvega trikotnika označimo s S, območje drugega pa s S", dobimo: S / S" = AC h/A"C" h" ali S/S" = AC/A"C" h / h"

Iz podobnosti trikotnikov ABO in A"B"O" (podobna sta si, ker sta pravokotna, poleg tega pa imata enake oster kot, namreč / A= / A") sledi:
h / h"= AB / A"B". Toda AB / A"B" = AC / A"C". torej h / h"= AC / A"C". Zamenjava v formuli S / S" = AC / A"C" h / h" odnos h / h" enako z razmerjem AC / A"C", dobimo:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" ali .

Torej, Ploščine podobnih trikotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic .

Nastalo formulo je mogoče preoblikovati na naslednji način: S / S" = (AC / A"C") 2.

To pomeni, da lahko rečemo, da je razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov enako kvadratu razmerja njunih podobnih stranic.

3. Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov.

Naj sta ABCDE in A"B"C"D"E" podobna mnogokotnika (slika 381).

Znano je, da /\ ABC /\ A"B"C"; /\ ACD /\ A "C" D in /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
Poleg tega

;

Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej

Z uporabo lastnosti niza enakih razmerij dobimo:

kjer sta S in S" ploščini teh podobnih mnogokotnikov.

torej Ploščine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.

Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S" = (AB / A"B") 2

vaje.

1. Stran prvega kvadrata več strani drugi kvadrat za 2-krat (5-krat). Kolikokrat je površina prvega kvadrata več območja drugi kvadrat?

2. Stranica prvega kvadrata je 1/3 (0,1) stranice drugega kvadrata. Kolikšen del ploščine prvega kvadrata je ploščina drugega kvadrata?

3. Koeficient podobnosti v podobnih poligonih je 4 (1/5; 0,4; 2,5). Kakšno je razmerje med njihovimi površinami?

4. Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov je 36 (100; 0,09). Kakšno je razmerje podobnih stranic teh mnogokotnikov?

Proporcionalni segmenti

Da bi predstavili koncept podobnosti, se moramo najprej spomniti koncepta proporcionalni segmenti. Spomnimo se tudi na definicijo razmerja dveh segmentov.

Definicija 1

Razmerje dveh segmentov je razmerje med njunima dolžinama.

Koncept sorazmernosti segmentov velja tudi za več segmenti. Naj bo na primer $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, potem

To pomeni, da so odseki $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ sorazmerni z odseki $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Podobni trikotniki

Najprej se spomnimo, kaj na splošno predstavlja koncept podobnosti.

Definicija 3

Številke se imenujejo podobne, če so enako obliko, vendar različnih velikosti.

Razumejmo zdaj koncept podobnih trikotnikov. Razmislite o sliki 1.

Slika 1. Dva trikotnika

Naj imajo ti trikotniki $\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1$. Predstavimo naslednjo definicijo:

Definicija 4

Stranici dveh trikotnikov se imenujeta podobni, če ležita nasproti enakih kotov teh trikotnikov.

Na sliki 1 so stranice $AB$ in $A_1B_1$, $BC$ in $B_1C_1$, $AC$ in $A_1C_1$ podobne. Uvedimo zdaj definicijo podobnih trikotnikov.

Definicija 5

Dva trikotnika imenujemo podobna, če so koti vseh kotov enega trikotnika enaki kotom drugega in trikotnika in so vse podobne stranice teh trikotnikov sorazmerne, tj.

\[\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Slika 1 prikazuje podobne trikotnike.

Oznaka: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Za koncept podobnosti obstaja tudi koncept koeficienta podobnosti.

Opredelitev 6

Število $k$, enako razmerju podobnosti podobne številke se imenuje koeficient podobnosti teh figur.

Območja podobnih trikotnikov

Oglejmo si zdaj izrek o razmerju ploščin podobnih trikotnikov.

1. izrek

Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti, tj.

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dokaz.

Oglejmo si dva podobna trikotnika in njuni ploščini označimo z $S$ oziroma $S_1$ (slika 2).

Slika 2.

Da bi dokazali ta izrek, se spomnite naslednjega izreka:

2. izrek

Če je kot enega trikotnika enak kotu drugega trikotnika, potem sta njuni površini povezani kot zmnožek stranic, ki mejijo na ta kot.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, potem je po definiciji $\kot A=\kot A_1$. Nato z izrekom 2 dobimo to

Ker je $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, dobimo

Izrek je dokazan.

Problemi, povezani s konceptom podobnosti trikotnika

Primer 1

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranice prvega trikotnika so $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Koeficient podobnosti teh trikotnikov je $k=2$. Poiščite stranice drugega trikotnika.

rešitev.

Ta problem ima dve možni rešitvi.

Naj bo $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Potem $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Zato je $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Naj bo $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Potem $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Zato je $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Primer 2

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranica prvega trikotnika je $AB=2$, ustrezna stranica drugega trikotnika je $A_1B_1=6$. Višina prvega trikotnika je $CH=4$. Poiščite območje drugega trikotnika.

rešitev.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, potem $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Poiščimo površino prvega trikotnika.

Po izreku 1 imamo:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \