Izračun limita funkcije s podrobno rešitvijo. Omejitev zaporedja in funkcije

Reševanje nalog pri iskanju mej Pri reševanju nalog pri iskanju mej si zapomnite nekatere meje, da jih ne boste vsakič znova izračunali. Če združimo te znane meje, bomo našli nove meje z uporabo lastnosti, navedenih v § 4. Za udobje predstavljamo najpogosteje uporabljene meje: Meje 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), če je f (x) zvezna x a Če vemo, da je funkcija zvezna, potem namesto iskanja limite izračunamo vrednost funkcije. Primer 1. Poiščite lim (x*-6l:+ 8). Ker je veččlenska funkcija X->2 člen zvezna, potem je lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Primer 2. Poišči lim -G. . Najprej poiščemo mejo imenovalca: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; ni enako X-Y1 nič, kar pomeni, da lahko uporabimo lastnost 4 § 4, potem x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Meja imenovalec X X je enak nič, zato lastnosti 4 iz § 4 ni mogoče uporabiti, ker je števec konstantno število in je imenovalec [x2x) -> -0 za x - - 1, potem celoten ulomek narašča neomejeno. v absolutni vrednosti, tj. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Primer 4. Poiščite lim \-ll*"!"" "Meja imenovalca je nič: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, tako da lastnost X 4 § 4 ni uporabna. Toda tudi meja števca je enaka nič: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Torej sta meji števca in imenovalca hkrati enaki nič. Vendar pa je število 2 koren števca in imenovalca, tako da je mogoče ulomek zmanjšati za razliko x-2 (v skladu z Bezoutovim izrekom). Dejansko je x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" torej xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Primer 5. Poiščite lim xn (n celo število, pozitivno). X z Imamo xn = X* X . . X, n-krat Ker vsak faktor neomejeno raste, raste tudi produkt neomejeno, to je lim xn=oo. x oo Primer 6. Poišči lim xn(n celo število, pozitivno). X -> - CO Imamo xn = x x... x. Ker vsak faktor raste v absolutni vrednosti, medtem ko ostaja negativen, bo v primeru sode stopnje produkt neomejeno rasel, medtem ko ostaja pozitiven, tj. lim *n = + oo (za sodo n). *-* -о V primeru lihe stopnje se absolutna vrednost produkta poveča, vendar ostane negativna, tj. lim xn = - oo (za n liho). p -- 00 Primer 7. Poiščite lim . x x-*- co * Če je m>pu potem lahko zapišemo: m = n + kt kjer je k>0. Zato je xm b lim -=- = lim -=-= lim x. GOR Yn x - x> A x yu Prišli smo do primera 6. Če ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Tukaj števec ostaja konstanten, imenovalec pa raste v absolutni vrednosti, tako da je lim -ь = 0. X - *oo X* Priporočljivo je, da si zapomnite rezultat tega primera v naslednji obliki: Funkcija moči raste čim hitreje, čim večji je eksponent. $хв_Зхг + 7 Primer 8. Poiščite lim g L -г-= V tem primeru x-*® «J* "Г bХ -ох-о in števec in imenovalec neomejeno naraščata. Razdelimo tako števec kot imenovalec z največjo potenco x, tj. na xb, potem 3 7_ Primer 9. Poiščite lira S transformacijami dobimo lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Ker je lim -5 = 0, lim -, = 0. , potem je meja imenovalca enaka 1. Celoten ulomek torej narašča brez meje, t.j. + cosy =2. Potem x->- S lim (l-fsin*) Primer 15. Poišči lim *<*-e>2 in lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO pritisnite (l: - a)2 = z; ker (l;-a)2 vedno raste nenegativno in neomejeno z x, potem za x - ±oo nova spremenljivka z-*oc. Zato dobimo qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (glej opombo k §5). g -*■ co Podobno lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, ker x ± oo g m - (x- a)z neomejeno pada kot x ->±oo (glej opombo k §

Omejitve povzročajo vsem študentom matematike veliko težav. Če želite rešiti limit, morate včasih uporabiti veliko trikov in med različnimi metodami rešitve izbrati točno tisto, ki je primerna za določen primer.

V tem članku vam ne bomo pomagali razumeti meja vaših zmožnosti ali razumeti meje nadzora, ampak bomo poskušali odgovoriti na vprašanje: kako razumeti meje v višji matematiki? Razumevanje pride z izkušnjami, zato bomo hkrati podali več podrobnih primerov reševanja limitov z razlago.

Koncept limita v matematiki

Prvo vprašanje je: kaj je ta meja in meja česa? Lahko govorimo o mejah številskih zaporedij in funkcij. Zanima nas pojem limita funkcije, saj se učenci s tem najpogosteje srečujejo. Najprej pa najsplošnejša definicija omejitve:

Recimo, da obstaja neka spremenljiva vrednost. Če se ta vrednost v procesu spreminjanja neomejeno približuje določenemu številu a , To a – meja te vrednosti.

Za funkcijo, definirano v določenem intervalu f(x)=y takšno število imenujemo meja A , h kateremu funkcija teži, ko X , ki teži do določene točke A . Pika A pripada intervalu, na katerem je funkcija definirana.

Sliši se okorno, a je napisano zelo preprosto:

Lim- iz angleščine omejitev- omejitev.

Obstaja tudi geometrijska razlaga za določitev meje, vendar se tukaj ne bomo spuščali v teorijo, saj nas bolj kot teoretična zanima praktična plat vprašanja. Ko to rečemo X teži k neki vrednosti, to pomeni, da spremenljivka ne prevzame vrednosti števila, ampak se ji približuje neskončno blizu.

Navedimo konkreten primer. Naloga je najti mejo.

Za rešitev tega primera zamenjamo vrednost x=3 v funkcijo. Dobimo:

Mimogrede, če vas zanima, preberite ločen članek o tej temi.

V primerih X se lahko nagiba k kateri koli vrednosti. Lahko je poljubno število ali neskončnost. Tukaj je primer, ko X teži v neskončnost:

Intuitivno velja, da večje kot je število v imenovalcu, manjšo vrednost bo imela funkcija. Torej, z neomejeno rastjo X pomen 1/x se bo zmanjšala in približala ničli.

Kot lahko vidite, morate za rešitev meje vrednost, ki jo želite doseči, samo nadomestiti s funkcijo X . Vendar je to najpreprostejši primer. Pogosto iskanje meje ni tako očitno. Znotraj meja obstajajo negotovosti tipa 0/0 oz neskončnost/neskončnost . Kaj storiti v takih primerih? Uporabite trike!

Negotovosti znotraj

Negotovost oblike neskončnost/neskončnost

Naj bo meja:

Če poskušamo v funkcijo nadomestiti neskončnost, dobimo neskončnost tako v števcu kot v imenovalcu. Na splošno je vredno povedati, da obstaja določen element umetnosti pri reševanju takih negotovosti: opaziti morate, kako lahko funkcijo preoblikujete tako, da negotovost izgine. V našem primeru delimo števec in imenovalec z X v višji stopnji. Kaj se bo zgodilo?

Iz primera, o katerem smo že govorili zgoraj, vemo, da bodo členi, ki vsebujejo x v imenovalcu, težili k ničli. Potem je rešitev meje:

Za razrešitev tipskih negotovosti neskončnost/neskončnost delite števec in imenovalec z X do najvišje stopnje.

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust na

Druga vrsta negotovosti: 0/0

Kot vedno, zamenjava vrednosti v funkciji x=-1 daje 0 v števcu in imenovalcu. Poglejte malo bolj natančno in opazili boste, da imamo v števcu kvadratno enačbo. Poiščimo korenine in zapišimo:

Zmanjšajmo in dobimo:

Torej, če se soočate z vrsto negotovosti 0/0 – razčlenimo števec in imenovalec.

Za lažje reševanje primerov predstavljamo tabelo z omejitvami nekaterih funkcij:

L'Hopitalovo pravilo znotraj

Še en učinkovit način za odpravo obeh vrst negotovosti. Kaj je bistvo metode?

Če obstaja negotovost v meji, jemljite odvod števca in imenovalca, dokler negotovost ne izgine.

L'Hopitalovo pravilo izgleda takole:

Pomembna točka : meja, v kateri morajo biti izpeljanke števca in imenovalca namesto števca in imenovalca.

In zdaj - pravi primer:

Obstaja tipična negotovost 0/0 . Vzemimo izpeljanke števca in imenovalca:

Voila, negotovost se reši hitro in elegantno.

Upamo, da boste te informacije lahko koristno uporabili v praksi in našli odgovor na vprašanje "kako rešiti limite v višji matematiki." Če morate izračunati limit zaporedja ali limit funkcije v točki, pa za to delo nikakor ni časa, se za hitro in natančno rešitev obrnite na strokovni študentski servis.

V tej temi bomo obravnavali vse tri zgoraj navedene skupine limitov z neracionalnostjo. Začnimo z mejami, ki vsebujejo negotovost v obliki $\frac(0)(0)$.

Razkritje negotovosti $\frac(0)(0)$.

Rešitev standardnih primerov te vrste je običajno sestavljena iz dveh korakov:

Neracionalnosti, ki je povzročala negotovost, se znebimo z množenjem s tako imenovanim »konjugiranim« izrazom;
Če je potrebno, faktorizirajte izraz v števcu ali imenovalcu (ali oboje);
Zmanjšamo dejavnike, ki povzročajo negotovost, in izračunamo želeno vrednost limita.

Izraz "konjugirani izraz", uporabljen zgoraj, bo podrobno razložen v primerih. Zaenkrat ni razloga, da bi se o njem podrobneje ukvarjali. Na splošno lahko greste v drugo smer, brez uporabe konjugiranega izraza. Včasih lahko dobro izbrana zamenjava odpravi neracionalnost. Takšni primeri so v standardnih testih redki, zato bomo za uporabo zamenjave upoštevali le en primer št. 6 (glej drugi del te teme).

Potrebovali bomo več formul, ki jih bom zapisal spodaj:

\begin(enačba) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(enačba) \begin(enačba) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(enačba) \begin(enačba) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(enačba) \begin (enačba) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(enačba)

Poleg tega predpostavljamo, da bralec pozna formule za reševanje kvadratnih enačb. Če sta $x_1$ in $x_2$ korena kvadratnega trinoma $ax^2+bx+c$, potem ga je mogoče faktorizirati z naslednjo formulo:

\begin(enačba) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(enačba)

Formule (1)-(5) povsem zadostujejo za reševanje standardnih problemov, na katere bomo zdaj prešli.

Primer št. 1

Poiščite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Ker je $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ in $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, potem imamo v dani meji negotovost oblike $\frac(0)(0)$. Razlika $\sqrt(7-x)-2$ nam preprečuje, da bi razkrili to negotovost. Da bi se znebili takšnih neracionalnosti, se uporablja množenje s tako imenovanim "konjugiranim izrazom". Zdaj si bomo ogledali, kako deluje takšno množenje. Pomnožite $\sqrt(7-x)-2$ z $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Če želite odpreti oklepaje, uporabite , tako da nadomestite $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ na desni strani omenjene formule:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kot lahko vidite, če števec pomnožite z $\sqrt(7-x)+2$, bo koren (tj. iracionalnost) v števcu izginil. Ta izraz $\sqrt(7-x)+2$ bo konjugat na izraz $\sqrt(7-x)-2$. Vendar števca ne moremo preprosto pomnožiti z $\sqrt(7-x)+2$, ker bo to spremenilo ulomek $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ pod mejo . Hkrati morate pomnožiti števec in imenovalec:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \levo|\frac(0)(0)\desno|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Zdaj si zapomnite, da je $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ in odprite oklepaje. In po odprtju oklepajev in majhni transformaciji $3-x=-(x-3)$ zmanjšamo ulomek za $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\do 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\do 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Negotovost $\frac(0)(0)$ je izginila. Zdaj lahko enostavno dobite odgovor na ta primer:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Opažam, da lahko konjugirani izraz spremeni svojo strukturo, odvisno od vrste iracionalnosti, ki jo mora odstraniti. V primerih št. 4 in št. 5 (glejte drugi del te teme) bo uporabljena druga vrsta konjugiranega izraza.

Odgovori: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Primer št. 2

Poiščite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Ker je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ in $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, potem smo se ukvarjajo z negotovostjo oblike $\frac(0)(0)$. Znebimo se neracionalnosti v imenovalcu tega ulomka. Da bi to naredili, dodamo števec in imenovalec ulomka $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ izraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, konjugiran na imenovalec:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\levo|\frac(0 )(0)\desno|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ponovno, kot v primeru št. 1, morate za razširitev uporabiti oklepaje. Če nadomestimo $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ v desno stran omenjene formule, dobimo naslednji izraz za imenovalec:

$$ \levo(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\desno)\levo(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ desno)=\\ =\levo(\sqrt(x^2+5)\desno)^2-\levo(\sqrt(7x^2-19)\desno)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vrnimo se k naši omejitvi:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\do 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

V primeru št. 1 se je skoraj takoj po množenju s konjugiranim izrazom ulomek zmanjšal. Tu boste morali pred redukcijo faktorizirati izraza $3x^2-5x-2$ in $x^2-4$ in šele nato nadaljevati z redukcijo. Če želite faktorizirati izraz $3x^2-5x-2$, morate uporabiti . Najprej rešimo kvadratno enačbo $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(poravnano) $$

Če nadomestimo $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ v , bomo imeli:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\levo(x-\levo(-\frac(1)(3)\desno)\desno)(x-2)=3\cdot\levo(x+\ frac(1)(3)\desno)(x-2)=\levo(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\desno)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Zdaj je čas, da faktoriziramo izraz $x^2-4$. Uporabimo in vanj nadomestimo $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Uporabimo dobljene rezultate. Ker $x^2-4=(x-2)(x+2)$ in $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, potem:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Če zmanjšamo za oklepaj $x-2$ dobimo:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Vse! Negotovost je izginila. Še korak in pridemo do odgovora:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

V naslednjem primeru razmislite o primeru, ko bodo neracionalnosti prisotne tako v števcu kot v imenovalcu ulomka.

Primer št. 3

Poišči $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Ker je $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ in $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, potem imamo negotovost oblike $ \frac (0)(0)$. Ker so v tem primeru koreni prisotni tako v imenovalcu kot v števcu, boste morali, da se znebite negotovosti, pomnožiti z dvema oklepajema hkrati. Najprej na izraz $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$, konjugiran na števec. In drugič, na izraz $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$, konjugiran na imenovalec.

$$ \lim_(x\do 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\levo|\frac(0)(0)\desno|=\\ =\lim_(x\do 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(poravnano) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(poravnano) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Za izraz $x^2-8x+15$ dobimo:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(poravnano)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Zamenjava dobljenih razširitev $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ in $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ v mejo v obravnavi bo imela:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\do 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\do 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odgovori: $\lim_(x\do 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

V naslednjem (drugem) delu bomo obravnavali še nekaj primerov, v katerih bo konjugirani izraz imel drugačno obliko kot v prejšnjih nalogah. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da je namen uporabe konjugiranega izraza znebiti se iracionalnosti, ki povzroča negotovost.

Elementarne funkcije in njihovi grafi.

Glavne elementarne funkcije so: potenčna funkcija, eksponentna funkcija, logaritemska funkcija, trigonometrične funkcije in inverzne trigonometrične funkcije ter polinom in racionalna funkcija, ki je razmerje dveh polinomov.

Med elementarne funkcije štejemo tudi tiste funkcije, ki jih dobimo iz elementarnih z uporabo osnovnih štirih aritmetičnih operacij in tvorimo kompleksno funkcijo.

Grafi elementarnih funkcij

	Ravna črta- graf linearne funkcije y = ax + b. Funkcija y monotono narašča pri a > 0 in pada pri a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- graf kvadratne trinomske funkcije y = ax 2 + bx + c. Ima navpično simetrično os. Če je a > 0, ima minimum, če je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hiperbola- funkcijski graf. Pri a > O se nahaja v I in III četrtini, pri a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ali y - - x(a< 0).
	Eksponentna funkcija. Razstavljavec(eksponentna funkcija na osnovo e) y = e x. (Drugo črkovanje y = exp(x)). Asimptota je abscisna os.
	Logaritemska funkcija y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sinusni val- periodična funkcija s periodo T = 2π

Omejitev delovanja.

Funkcija y=f(x) ima kot mejo število A, ko x teži k a, če za poljubno število ε › 0 obstaja število δ › 0 tako, da | y – A | ‹ ε, če |x - a| ‹ δ,

ali lim y = A

Kontinuiteta delovanja.

Funkcija y=f(x) je zvezna v točki x = a, če je lim f(x) = f(a), tj.

limita funkcije v točki x = a je enaka vrednosti funkcije v dani točki.

Iskanje meja funkcij.

Osnovni izreki o limitih funkcij.

1. Meja konstantne vrednosti je enaka tej konstantni vrednosti:

2. Limita algebraične vsote je enaka algebraični vsoti limitov teh funkcij:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Meja produkta več funkcij je enaka produktu meja teh funkcij:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Limita kvocienta dveh funkcij je enaka kvocientu limitov teh funkcij, če limita imenovalca ni enaka 0:

lim------- = ----------

Prva izjemna meja: lim --------- = 1

Druga izjemna meja: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Primeri iskanja limitov funkcij.

5.1. primer:

Vsaka omejitev je sestavljena iz treh delov:

1) Znana ikona meje.

2) Vnosi pod ikono omejitve. Vnos se glasi "X teži k ena." Najpogosteje je to x, čeprav je namesto "x" lahko katera koli druga spremenljivka. Namesto ena je lahko popolnoma poljubno število, pa tudi neskončno 0 ali .

3) Funkcije pod znakom meje, v tem primeru .

Sam posnetek se glasi takole: "meja funkcije, ko x teži k enoti."

Zelo pomembno vprašanje - kaj pomeni izraz "x"? si prizadeva enemu"? Izraz "x" si prizadeva na eno« razumeti takole: »x« dosledno prevzema vrednosti ki se enotnosti približujejo neskončno blizu in praktično sovpadajo z njo.

Kako rešiti zgornji primer? Na podlagi zgoraj navedenega morate eno samo zamenjati v funkciji pod mejnim znakom:

Torej prvo pravilo : Ko dobite omejitev, najprej preprosto vstavite številko v funkcijo.

5.2. Primer z neskončnostjo:

Ugotovimo, kaj je to? To je v primeru, ko neomejeno narašča.

Torej če , nato funkcijo teži k minus neskončnosti:

Po našem prvem pravilu namesto "X" zamenjamo funkcijo neskončnost in dobimo odgovor.

5.3. Še en primer z neskončnostjo:

Spet začnemo povečevati v neskončnost in pogledamo obnašanje funkcije.
Zaključek: funkcija se neomejeno povečuje

5.4. Vrsta primerov:

Poskusite sami v mislih analizirati naslednje primere in rešiti najpreprostejše vrste limitov:

, , , , , , , , ,

Kaj si morate zapomniti in razumeti od zgoraj navedenega?

Ko dobite kakršno koli omejitev, najprej preprosto vstavite številko v funkcijo. Hkrati morate razumeti in takoj rešiti najpreprostejše omejitve, kot je npr , , itd.

6. Meje z negotovostjo tipa in način njihovega reševanja.

Zdaj bomo obravnavali skupino limitov, ko je , funkcija pa je ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta polinome.

6.1. primer:

Izračunaj mejo

Po našem pravilu poskušamo v funkcijo nadomestiti neskončnost. Kaj dobimo na vrhu? Neskončnost. In kaj se zgodi spodaj? Tudi neskončnost. Tako imamo tako imenovano negotovost vrste. Lahko bi mislili, da je = 1 in je odgovor pripravljen, vendar v splošnem primeru to sploh ni tako in morate uporabiti nekaj tehnik reševanja, ki jih bomo zdaj obravnavali.

Kako rešiti te meje?

Najprej pogledamo števec in poiščemo največjo moč:

Vodilna potencija v števcu je dvojka.

Zdaj pogledamo imenovalec in ga prav tako poiščemo na največjo potenco:

Najvišja stopnja imenovalca je dve.

Nato izberemo največjo potenco števca in imenovalca: v tem primeru sta enaka in enaka dvema.

Torej, metoda rešitve je naslednja: razkriti negotovost števec in imenovalec morate deliti z v višji stopnji.

Torej odgovor ni 1.

Primer

Poišči mejo

Spet v števcu in imenovalcu najdemo v najvišji stopnji:

Najvišja stopnja v števcu: 3

Najvišja stopnja v imenovalcu: 4

Izberite največji vrednost, v tem primeru štiri.
V skladu z našim algoritmom, da razkrijemo negotovost, delimo števec in imenovalec z .

Primer

Poišči mejo

Najvišja stopnja "X" v števcu: 2

Najvišja stopnja "X" v imenovalcu: 1 (lahko se zapiše kot)
Da bi razkrili negotovost, je treba števec in imenovalec deliti z . Končna rešitev bi lahko izgledala takole:

Števec in imenovalec delite z

rešitev omejitve spletne funkcije. Poiščite mejno vrednost funkcije ali funkcijskega zaporedja v točki, izračunajte končni vrednost funkcije v neskončnosti. določanje konvergence številskih nizov in še veliko več je mogoče narediti zahvaljujoč naši spletni storitvi -. Omogočamo vam, da na spletu hitro in natančno najdete omejitve funkcij. Sami vnesete spremenljivko funkcije in mejo, h kateri stremi, naš servis pa za vas opravi vse izračune ter poda natančen in enostaven odgovor. In za iskanje meje na spletu vnesete lahko tako numerične serije kot analitične funkcije, ki vsebujejo konstante v literalnem izrazu. V tem primeru bo najdena meja funkcije vsebovala te konstante kot stalne argumente v izrazu. Naša storitev rešuje vse zapletene težave iskanja omejitve na spletu, je dovolj, da navedete funkcijo in točko, na kateri je treba izračunati mejna vrednost funkcije. Računanje spletne omejitve, lahko uporabite različne metode in pravila za njihovo reševanje, medtem ko dobljeni rezultat preverjate z reševanje omejitev na spletu na spletnem mestu www.site, kar bo pripeljalo do uspešnega zaključka naloge - izognili se boste lastnim napakam in pisarskim napakam. Lahko pa nam popolnoma zaupate in uporabite naš rezultat pri svojem delu, ne da bi porabili dodaten trud in čas za samostojno izračunavanje limita funkcije. Omogočamo vnos mejnih vrednosti, kot je neskončnost. Vnesti je treba skupnega člana številskega zaporedja in www.site bo izračunal vrednost omejitev na spletu do plus ali minus neskončnosti.

Eden od osnovnih konceptov matematične analize je meja delovanja in omejitev zaporedja v točki in v neskončnosti je pomembno, da znamo pravilno rešiti omejitve. Z našo storitvijo to ne bo težko. Sprejema se odločitev omejitve na spletu v nekaj sekundah je odgovor točen in popoln. Študij matematične analize se začne z prehod na mejo, omejitve se uporabljajo na skoraj vseh področjih višje matematike, zato je koristno imeti pri roki strežnik za spletne rešitve omejitev, ki je spletno mesto.