Vse o logaritemskih neenakostih. Analiza primerov

Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se neenačbe s spremenljivo osnovo proučujejo posebej. Rešujejo se s posebno formulo, ki se iz nekega razloga redko poučuje v šoli:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Namesto potrditvenega polja “∨” lahko postavite poljuben znak neenakosti: več ali manj. Glavna stvar je, da so v obeh neenakostih znaki enaki.

Tako se znebimo logaritmov in zmanjšamo problem na racionalno neenakost. Slednje je veliko lažje rešiti, vendar se lahko pri zavrženju logaritmov pojavijo dodatni koreni. Da bi jih odrezali, je dovolj najti obseg sprejemljivih vrednosti. Če ste pozabili ODZ logaritma, toplo priporočam, da ga ponovite - glejte "Kaj je logaritem".

Vse, kar je povezano z območjem sprejemljivih vrednosti, je treba zapisati in rešiti posebej:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Te štiri neenakosti sestavljajo sistem in morajo biti izpolnjene hkrati. Ko je razpon sprejemljivih vrednosti najden, ostane le še, da ga presekamo z rešitvijo racionalne neenakosti - in odgovor je pripravljen.

Naloga. Reši neenačbo:

Najprej zapišimo ODZ logaritma:

Prvi dve neenakosti sta izpolnjeni samodejno, zadnjo pa bo treba izpisati. Ker je kvadrat števila nič, če in samo če je število samo nič, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Izkaže se, da so ODZ logaritma vsa števila razen nič: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Zdaj rešimo glavno neenakost:

Naredimo prehod iz logaritemske neenakosti v racionalno. Prvotna neenakost ima predznak "manj kot", kar pomeni, da mora imeti tudi nastala neenakost predznak "manj kot". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Ničle tega izraza so: x = 3; x = −3; x = 0. Poleg tega je x = 0 koren druge mnogokratnosti, kar pomeni, da se predznak funkcije pri prehodu skozi njega ne spremeni. Imamo:

Dobimo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ta niz je v celoti vsebovan v ODZ logaritma, kar pomeni, da je to odgovor.

Pretvarjanje logaritemskih neenakosti

Pogosto se prvotna neenakost razlikuje od zgornje. To je mogoče enostavno popraviti s standardnimi pravili za delo z logaritmi - glejte "Osnovne lastnosti logaritmov". namreč:

Vsako število je mogoče predstaviti kot logaritem z dano osnovo;
Vsoto in razliko logaritmov z enakimi osnovami lahko nadomestimo z enim logaritmom.

Ločeno bi vas rad spomnil na obseg sprejemljivih vrednosti. Ker je lahko v izvirni neenakosti več logaritmov, je treba najti VA vsakega izmed njih. Tako je splošna shema za reševanje logaritemskih neenakosti naslednja:

Poiščite VA vsakega logaritma, vključenega v neenačbo;
Zmanjšaj neenakost na standardno z uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov;
Nastalo neenačbo rešite po zgornji shemi.

Naloga. Reši neenačbo:

Poiščimo definicijsko domeno (DO) prvega logaritma:

Rešujemo z intervalno metodo. Iskanje ničel števca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Nato - ničle imenovalca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatni puščici označimo ničle in znake:

Dobimo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritem bo imel enak VA. Če ne verjamete, lahko preverite. Zdaj transformiramo drugi logaritem tako, da je osnova dve:

Kot lahko vidite, so bile trojke na dnu in pred logaritmom zmanjšane. Dobili smo dva logaritma z isto osnovo. Seštejmo jih:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardno logaritemsko neenakost. Logaritmov se znebimo s formulo. Ker izvirna neenakost vsebuje znak "manj kot", mora biti tudi dobljeni racionalni izraz manjši od nič. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Ostaja še presekati te nize - dobili bomo pravi odgovor:

Zanima nas presečišče množic, zato izberemo intervale, ki so zasenčeni na obeh puščicah. Dobimo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - vse točke so preluknjane.

Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se neenačbe s spremenljivo osnovo proučujejo posebej. Rešujejo se s posebno formulo, ki se iz nekega razloga redko poučuje v šoli. Predstavitev predstavlja rešitve nalog C3 Enotnega državnega izpita - 2014 iz matematike.

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google Račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Reševanje logaritemskih neenakosti, ki vsebujejo spremenljivko v osnovi logaritma: metode, tehnike, ekvivalentni prehodi, učitelj matematike, Srednja šola št. 143 Knyazkina T. V.

Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se neenačbe s spremenljivo osnovo proučujejo posebej. Rešujejo se s posebno formulo, ki se iz nekega razloga redko učijo v šoli: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Namesto potrditvenega polja “∨” lahko postavite poljuben znak neenakosti: več ali manj. Glavna stvar je, da so v obeh neenakostih znaki enaki. Tako se znebimo logaritmov in zmanjšamo problem na racionalno neenakost. Slednje je veliko lažje rešiti, vendar se lahko pri zavrženju logaritmov pojavijo dodatni koreni. Da bi jih odrezali, je dovolj najti obseg sprejemljivih vrednosti. Ne pozabite na ODZ logaritma! Vse, kar je povezano z območjem sprejemljivih vrednosti, je treba posebej zapisati in rešiti: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Te štiri neenakosti sestavljajo sistem in morajo biti izpolnjene hkrati. Ko je razpon sprejemljivih vrednosti najden, ostane le še, da ga presekamo z rešitvijo racionalne neenakosti - in odgovor je pripravljen.

Rešite neenačbo: Najprej zapišimo OD logaritma, ki sta izpolnjeni samodejno, zadnjo pa bo treba zapisati. Ker je kvadrat števila enak nič, če in samo če je število samo enako nič, velja: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Izkaže se, da so ODZ logaritma vsa števila razen nič: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Zdaj rešimo glavno neenačbo: Naredimo prehod iz logaritemske neenačbe v racionalno. Prvotna neenakost ima predznak "manj kot", kar pomeni, da mora imeti tudi nastala neenakost predznak "manj kot".

Imamo: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Preoblikovanje logaritemskih neenakosti Pogosto se izvirna neenakost razlikuje od zgornje. To je mogoče enostavno popraviti s standardnimi pravili za delo z logaritmi. Namreč: Vsako število je mogoče predstaviti kot logaritem z dano osnovo; Vsoto in razliko logaritmov z enakimi osnovami lahko nadomestimo z enim logaritmom. Ločeno bi vas rad spomnil na obseg sprejemljivih vrednosti. Ker je lahko v izvirni neenakosti več logaritmov, je treba najti VA vsakega izmed njih. Tako je splošna shema za reševanje logaritmičnih neenakosti naslednja: Poiščite VA vsakega logaritma, ki je vključen v neenačbo; Zmanjšaj neenakost na standardno z uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov; Nastalo neenačbo rešite po zgornji shemi.

Rešite neenačbo: Rešitev Poiščemo definicijsko področje (DO) prvega logaritma: Rešimo z metodo intervalov. Poišči ničle števca: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Nato - ničle imenovalca: x − 1 = 0; x = 1. Na koordinatni premici označite ničle in znake:

Dobimo x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Drugi logaritem bo imel enak VA. Če ne verjamete, lahko preverite. Zdaj transformirajmo drugi logaritem tako, da bo na osnovi dvojka: Kot lahko vidite, so bile trojke na osnovi in pred logaritmom preklicane. Dobili smo dva logaritma z isto osnovo. Seštejte jih: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Zanima nas presečišče množic, zato izberemo intervale, ki so zasenčeni na obeh puščicah. Dobimo: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - vse točke so preluknjane. Odgovor: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Reševanje nalog USE-2014 tipa C3

Rešite sistem neenačb. ODZ:  1) 2)

Rešite sistem neenačb 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (nadaljevanje)

Rešite sistem neenačb 4) Splošna rešitev: in -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (nadaljevanje)

Rešite neenačbo (nadaljevanje) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Reši neenačbo Rešitev. ODZ: 

Rešite neenačbo (nadaljevanje)

Reši neenačbo Rešitev. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Z njimi so notranji logaritmi.

Primeri:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Kako rešiti logaritemske neenakosti:

Vsako logaritemsko neenakost moramo zmanjšati na obliko $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (simbol $˅$ pomeni katerega koli od ). Ta vrsta vam omogoča, da se znebite logaritmov in njihovih baz, tako da preidete na neenakost izrazov pod logaritmi, to je na obliko $f(x) ˅ g(x)$.

Toda pri tem prehodu obstaja ena zelo pomembna subtilnost:
$-$ če je število in je večje od 1, znak neenakosti med prehodom ostane enak,
$-$ če je osnova število, večje od 0, vendar manjše od 1 (leži med nič in ena), se mora znak neenakosti spremeniti v nasprotno, tj.

Primeri:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

rešitev:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Odgovor: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\Levodesna puščica$ $x\in(2;\infty)$

rešitev:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Odgovor: $(2;5]$

Zelo pomembno! V kateri koli neenakosti je prehod iz oblike $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ na primerjavo izrazov pod logaritmi mogoč le, če:

Primer . Rešite neenačbo: $\log$$≤-1$

rešitev:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Izpišemo ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Odpremo oklepaje in prinesemo.
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Neenakost pomnožimo z $-1$, pri čemer ne pozabimo obrniti primerjalnega znaka.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Sestavimo številsko premico in na njej označimo točki $\frac(7)(3)$ in $\frac(3)(2)$. Upoštevajte, da je točka iz imenovalca odstranjena, kljub dejstvu, da neenakost ni stroga. Dejstvo je, da ta točka ne bo rešitev, saj nas bo pri zamenjavi v neenakost pripeljala do deljenja z nič.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Sedaj na isto numerično os narišemo ODZ in kot odgovor zapišemo interval, ki spada v ODZ.
	Zapišemo končni odgovor.

odgovor: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Primer . Rešite neenačbo: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

rešitev:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Izpišemo ODZ.
ODZ: $x>0$	Pojdimo k rešitvi.
Rešitev: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Tukaj imamo tipično kvadratno-logaritemsko neenakost. Naredimo to.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Levo stran neenakosti razširimo v .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Zdaj se moramo vrniti k prvotni spremenljivki - x. Če želite to narediti, pojdimo na , ki ima isto rešitev, in naredimo obratno zamenjavo.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformacija $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(zbrano) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Preidimo na primerjavo argumentov. Osnove logaritmov so večje od $1$, zato se predznak neenačb ne spremeni.
$\left[ \begin(zbrano) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Združimo rešitev neenačbe in ODZ v eno sliko.
	Zapišimo odgovor.

odgovor: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Reševanje najpreprostejših logaritemskih neenačb in neenačb, kjer je osnova logaritma določena, smo si ogledali v zadnji lekciji.

Kaj pa, če je na dnu logaritma spremenljivka?

Takrat nam bo priskočil na pomoč racionalizacijo neenakosti. Da bi razumeli, kako to deluje, razmislimo na primer o neenakosti:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Kot pričakovano, začnimo z ODZ.

ODZ

$$\levo[ \begin(matrika)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(matrika)\desno.$$

Rešitev neenakosti

Razmišljajmo, kot da bi reševali neenačbo s fiksno bazo. Če je osnova večja od ena, se znebimo logaritmov in se znak neenakosti ne spremeni, če je manjša od ena, se spremeni.

Zapišimo to kot sistem:

$$\left[ \begin(matrika)(l) \left\( \begin(matrika)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(matrika)\desno. \\ \levo\ ( \begin(matrika)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Za nadaljnje sklepanje premaknimo vse desne strani neenakosti v levo.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\desno. \ \ \levo\( \begin(matrika)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Kaj smo dobili? Izkazalo se je, da potrebujemo, da sta izraza `2x-1` in `x^2 - x` hkrati pozitivna ali negativna. Enak rezultat dobimo, če rešimo neenačbo:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Ta neenakost, tako kot prvotni sistem, velja, če sta oba faktorja pozitivna ali negativna. Izkazalo se je, da se lahko premaknete iz logaritmične neenakosti v racionalno (ob upoštevanju ODZ).

Oblikujmo metoda za racionalizacijo logaritemskih neenakosti$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Levodesna puščica (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ kjer je `\vee` poljuben znak neenakosti. (Za znak `>` smo pravkar preverili veljavnost formule. Za ostalo predlagam, da preverite sami - bolje si boste zapomnili).

Vrnimo se k reševanju naše neenakosti. Če ga razširimo v oklepaje (da bi lažje videli ničle funkcije), dobimo

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Intervalna metoda bo dala naslednjo sliko:

(Ker je neenakost stroga in nas konci intervalov ne zanimajo, ti niso osenčeni.) Kot je razvidno, nastali intervali zadoščajo ODZ. Prejeli smo odgovor: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Primer dva. Reševanje logaritemske neenačbe s spremenljivo osnovo

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\levo\(\begin(matrika)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(matrika)\desno.$$

$$\levo\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\konec(matrika)\desno.$$

Rešitev neenakosti

V skladu s pravilom, ki smo ga pravkar prejeli racionalizacija logaritemskih neenakosti, ugotovimo, da je ta neenakost enaka (ob upoštevanju ODZ) naslednji:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Če združimo to rešitev z ODZ, dobimo odgovor: `(1,2)`.

Tretji primer. Logaritem ulomka

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\levo\(\begin(matrika)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(matrika) \desno.$ $

Ker je sistem razmeroma zapleten, takoj narišite rešitev neenakosti na številski premici:

Tako ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\desno)`.

Rešitev neenakosti

Predstavimo "-1" kot logaritem z osnovo "x".

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Z uporabo racionalizacija logaritemske neenakosti dobimo racionalno neenakost:

$$(x-1)\levo(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\levo(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\levo(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\desno)\leqslant0.$$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Izpišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Odpremo oklepaje in prinesemo.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Neenakost pomnožimo z \(-1\), pri čemer ne pozabimo obrniti primerjalnega znaka.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Sestavimo številsko premico in na njej označimo točki \(\frac(7)(3)\) in \(\frac(3)(2)\). Upoštevajte, da je točka iz imenovalca odstranjena, kljub dejstvu, da neenakost ni stroga. Dejstvo je, da ta točka ne bo rešitev, saj nas bo pri zamenjavi v neenakost pripeljala do deljenja z nič.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sedaj na isto numerično os narišemo ODZ in kot odgovor zapišemo interval, ki spada v ODZ.
	Zapišemo končni odgovor.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Izpišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Pojdimo k rešitvi.
Rešitev: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Tukaj imamo tipično kvadratno-logaritemsko neenakost. Naredimo to.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Levo stran neenakosti razširimo v .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Zdaj se moramo vrniti k prvotni spremenljivki - x. Če želite to narediti, pojdimo na , ki ima isto rešitev, in naredimo obratno zamenjavo.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformacija \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(zbrano) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Preidimo na primerjavo argumentov. Osnove logaritmov so večje od \(1\), zato se predznak neenačb ne spremeni.
\(\left[ \begin(zbrano) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Združimo rešitev neenačbe in ODZ v eno sliko.
	Zapišimo odgovor.