Potenciranje, pravila, primeri. Stopnja in njene lastnosti

Čas je za malo matematike. Se še spomnite, koliko je, če dva pomnožite z dva?

Če je kdo pozabil, bodo štiri. Zdi se, da se vsi spomnijo in poznajo tabelo množenja, vendar sem odkril ogromno število zahtev Yandexu, kot je "tabela množenja" ali celo "prenesi tabelo množenja" (!). Za to kategorijo uporabnikov, pa tudi za tiste bolj napredne, ki jih kvadrati in potence že zanimajo, objavljam vse te tabele. Lahko celo prenesete za svoje zdravje! Torej:

Tabela množenja

(cela števila od 1 do 20)

Tabela kvadratov

(cela števila od 1 do 100)

Tabela stopinj

(cela števila od 1 do 10)

1 na potenco:

2 na potenco:

3 na potenco:

4 na potenco:

5 na potenco:

6 na potenco:

7 na potenco:

7 10 = 282475249

8 na potenco:

8 10 = 1073741824

9 na potenco:

9 10 = 3486784401

10 na potenco:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Vnesite številko in stopnjo, nato pritisnite =.

Tabela stopinj

Lastnosti stopnje - 2 dela

Tabela glavnih stopenj v algebri v kompaktni obliki (slika, primerna za tisk), na vrhu številke, na strani stopnje.

Če nadaljujemo pogovor o moči števila, je logično ugotoviti, kako najti vrednost moči. Ta proces se imenuje potenciranje. V tem članku bomo preučili, kako poteka potenciranje, pri tem pa se bomo dotaknili vseh možnih eksponentov – naravnih, celih, racionalnih in iracionalnih. In po tradiciji bomo podrobno preučili rešitve primerov dvigovanja števil na različne moči.

Navigacija po strani.

Kaj pomeni "potenciranje"?

Začnimo z razlago, kaj se imenuje potenciranje. Tukaj je ustrezna definicija.

Opredelitev.

Potenciranje- to je iskanje vrednosti potence števila.

Tako je iskanje vrednosti potence števila a z eksponentom r in dvig števila a na potenco r ista stvar. Na primer, če je naloga "izračunaj vrednost potence (0,5) 5", jo je mogoče preoblikovati na naslednji način: "Povišaj število 0,5 na potenco 5."

Zdaj lahko greste neposredno na pravila, po katerih se izvaja potenciranje.

Dvig števila na naravno potenco

V praksi se enakost, ki temelji na, običajno uporablja v obliki . To pomeni, da se pri povišanju števila a na ulomek m/n najprej vzame n-ti koren števila a, nato pa se dobljeni rezultat dvigne na celo potenco m.

Oglejmo si rešitve primerov dviga na ulomek.

Primer.

Izračunajte vrednost stopnje.

rešitev.

Pokazali bomo dve rešitvi.

Prvi način. Po definiciji stopnje z delnim eksponentom. Izračunamo vrednost stopnje pod znakom korena in nato izvlečemo kubični koren: .

Drugi način. Po definiciji stopnje z delnim eksponentom in na podlagi lastnosti korenin veljajo naslednje enakosti: . Zdaj izvlečemo korenino , končno ga dvignemo na celo potenco .

Očitno dobljeni rezultati dviga na ulomek sovpadajo.

odgovor:

Upoštevajte, da lahko ulomek eksponent zapišemo kot decimalni ulomek ali mešano število; v teh primerih ga je treba nadomestiti z ustreznim navadnim ulomkom in nato povišati na potenco.

Primer.

Izračunaj (44,89) 2,5.

rešitev.

Zapišimo eksponent v obliki navadnega ulomka (če je potrebno, glej članek): . Zdaj izvedemo dvig na delno moč:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Prav tako je treba povedati, da je dvig števil na racionalne potence precej delovno intenziven postopek (še posebej, če števec in imenovalec delnega eksponenta vsebujeta dovolj velika števila), ki se običajno izvaja z računalniško tehnologijo.

Za zaključek te točke se posvetimo povišanju števila nič na ulomek. Ulomku ničelne potence obrazca smo dali naslednji pomen: ko imamo , pri nič pa moč m/n ni definirana. Torej je pozitivna moč od nič do delčka enaka nič, na primer, . In ničla v delni negativni potenci nima smisla, na primer izrazi 0 -4,3 nimajo smisla.

Dvig na iracionalno moč

Včasih je treba ugotoviti vrednost moči števila z iracionalnim eksponentom. V tem primeru je za praktične namene običajno dovolj, da dobimo vrednost stopnje natančno na določen predznak. Naj takoj opozorimo, da se v praksi ta vrednost izračuna z uporabo elektronskih računalnikov, saj ročno dviganje na iracionalno moč zahteva veliko število okornih izračunov. Vendar bomo še vedno na splošno opisali bistvo dejanj.

Za pridobitev približne vrednosti potence števila a z iracionalnim eksponentom vzamemo nek decimalni približek eksponenta in izračunamo vrednost potence. Ta vrednost je približna vrednost potence števila a z iracionalnim eksponentom. Čim bolj natančen je decimalni približek števila na začetku, tem natančnejša bo vrednost stopnje na koncu.

Za primer izračunajmo približno vrednost potence 2 1,174367... . Vzemimo naslednji decimalni približek iracionalnega eksponenta: . Zdaj dvignemo 2 na racionalno potenco 1,17 (bistvo tega procesa smo opisali v prejšnjem odstavku), dobimo 2 1,17 ≈2,250116. torej 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Če na primer vzamemo natančnejši decimalni približek iracionalnega eksponenta, potem dobimo natančnejšo vrednost prvotnega eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Učbenik za matematiko za 5. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 7. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 9. razred. izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Zakaj so potrebne diplome?

Kje jih boste potrebovali?

Zakaj bi si morali vzeti čas in jih preučiti?

Če želite izvedeti VSE O DIPLOMAMA, preberite ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešnemu opravljanju enotnega državnega izpita.

In do vpisa na univerzo svojih sanj!

Gremo ... (Gremo!)

PRVA STOPNJA

Potenciranje je matematična operacija tako kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku z zelo preprostimi primeri. Bodi previden. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodatkom.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsaka oseba ima dve steklenici kole. Koliko cole je tam? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo drugače: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa ugotovijo, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

Katere druge pametne trike za štetje so si izmislili leni matematiki? Prav - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti petkrat samo s seboj, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco ... In takšne težave rešujejo v svojih glavah – hitreje, lažje in brez napak.

Vse kar morate storiti je spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, to vam bo zelo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja? kvadratštevilke, tretji pa - kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadraten bazen, ki meri en meter x en meter. Bazen je na vaši dachi. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen nima dna! Dno bazena morate pokriti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

S prstom lahko preprosto izračunate, da je dno bazena sestavljeno iz meter za meter kock. Če imate ploščice meter krat meter, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje ste pa že videli take ploščice? Ploščica bo najverjetneje cm za cm In potem vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Pomnožite z in dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo za določitev površine dna bazena isto število pomnožili samo s seboj? Kaj to pomeni? Ker množimo isto število, lahko uporabimo tehniko "potenciranja". (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih Za enotni državni izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset na drugo potenco bo (). Lahko pa rečemo, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas: preštejte, koliko polj je na šahovnici s kvadratom števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite izračunati njihovo število, morate pomnožiti osem z osem ali ... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, potem lahko kvadrat osem. Dobili boste celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrih. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno je veliko meter in globoko meter, in poskusite izračunati, koliko kock, ki merijo meter krat meter, bo prilega vašemu bazenu.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri...dvaindvajset, triindvajset...Koliko si jih dobil? Ni izgubljen? Je težko šteti s prstom? Torej to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enaka kockam... Lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če so tudi to poenostavili. Vse smo skrčili na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj... Kaj to pomeni? To pomeni, da lahko izkoristite diplomo. Torej, kar ste nekoč šteli s prstom, storijo v enem dejanju: tri kubične je enako. Zapisano je takole:.

Vse kar ostane je zapomnite si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko še naprej štejete s prstom.

No, da vas dokončno prepričamo, da so si diplome izmislili odnehači in pretkani ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave in ne, da bi vam delali težave, je tukaj še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še en milijon. To pomeni, da se vsak milijon, ki ga imate, podvoji na začetku vsakega leta. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in »štejete s prstom«, potem ste zelo pridna oseba in ... neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dva pomnoženo z dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da je število pomnoženo s samim seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate tekmovanje in tisti, ki zna najhitreje šteti, bo dobil te milijone ... Vredno se je spomniti na moč števil, se vam ne zdi?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še dva. Super, kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnoži s, nato rezultat z drugim ... To je že dolgočasno, saj si že vse razumel: tri se pomnoži s samim seboj. Torej je na četrto potenco enako milijonu. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Kaj misliš, kaj je eksponent? Zelo preprosto – število je tisto, ki je »na vrhu« potence števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno diplomsko podlago? Še preprosteje - to je številka, ki se nahaja spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za dobro mero.

No, na splošno, da posplošimo in si bolje zapomnimo ... Stopnja z osnovo “ ” in eksponentom “ ” se bere kot “do stopnje” in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Ja, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista števila, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju predmetov: ena, dva, tri ... Ko štejemo predmete, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo: »ena tretjina« ali »nič pika pet«. To niso naravna števila. Kaj mislite, katere številke so to?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Cela števila na splošno vključujejo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in števila. Ničlo je lahko razumeti - je, ko ni ničesar. Kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila... Zanimivo, kajne?

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, to je neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, dobite iracionalno število.

Povzetek:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

1. Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
2. Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
3. Kockati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev. Povečanje števila na naravno potenco pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopinj

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo: kaj je in ?

A-priory:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali množitelje in rezultat so množitelji.

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je: , kar je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno razlogi morajo biti isti!
Zato združujemo moči z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

samo za produkt moči!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

2. to je to potenco števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno bazo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V pristojnosti naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, deluje.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov za vajo

Analiza rešitve 6 primerov

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom " ") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se vprašajmo: zakaj je tako?

Vzemimo neko stopnjo z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili smo isto stvar, kot je bila - . S katerim številom morate pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od številnih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enaka kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožite s samo seboj, boste še vedno dobili nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število na ničelno potenco. Torej, koliko od tega je res? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvigniti na ničelno moč.

Gremo naprej. Cela števila vključujejo poleg naravnih števil in števil tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna potenca, naredimo kot zadnjič: pomnožimo neko običajno število z istim številom na negativno potenco:

Od tu je enostavno izraziti, kaj iščete:

Zdaj pa razširimo nastalo pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število z negativno potenco je recipročna vrednost istega števila s pozitivno potenco. Toda hkrati Osnova ne more biti ničelna:(ker ne morete deliti z).

Naj povzamemo:

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisne rešitve:

Analiza problemov za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, toda na Enotnem državnem izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihove rešitve, če jih nisi mogel rešiti, in naučil se boš z njimi zlahka obvladati na izpitu!

Nadaljujmo s širjenjem obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj pa razmislimo racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila in.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja", upoštevajte ulomek:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnimo pravila o "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, ko je dvignjeno na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th potence inverzna operacija dviga na potenco: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodamo števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti z uporabo pravila moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Konec koncev, korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Spomnimo se pravila: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti celo korenine iz negativnih števil!

To pomeni, da takih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izraz?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo v obliki drugih, zmanjšljivih ulomkov, na primer oz.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, vendar sta to le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Če pa kazalnik zapišemo drugače, se bomo spet znašli v težavah: (se pravi, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, upoštevamo le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

• - naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Racionalni eksponenti so zelo uporabni za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov za vajo

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj pa pride najtežji del. Zdaj bomo ugotovili stopnja z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo

Navsezadnje so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...število na ničelno potenco- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer številka;

...negativna cela stopnja- kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo s pravilom za dvig potence na potenco, ki je pri nas že običajno:

NAPREDNI NIVO

Določitev stopnje

Diploma je izraz v obliki: , kjer je:

• — diplomska osnova;
• - eksponent.

Stopnja z naravnim kazalnikom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Stopnja s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

Gradnja do nič stopinje:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent negativno celo številoštevilka:

(ker ne morete deliti z).

Še enkrat o ničlah: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Potenca z racionalnim eksponentom

• - naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Lastnosti stopinj

Da bi olajšali reševanje težav, poskusimo razumeti: od kod prihajajo te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

A-priory:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti isti razlogi. Zato moči združujemo z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkt potenc!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Preuredimo to delo takole:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti: !

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo samo razpravljali o tem, kakšna naj bi bila kazalo stopnje. Toda kaj bi morala biti osnova? V pristojnosti naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo - .

In tako naprej ad infinitum: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko se oblikujejo naslednja preprosta pravila:

1. celo stopnja, - št pozitivno.
2. Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
3. Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
4. Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da, kar pomeni, da je osnova manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo med seboj, razdelimo v pare in dobimo:

Preden pogledamo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte izraze:

Rešitve :

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo koncept diplome in ga poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk je skupaj? krat z množitelji - na kaj vas to spominja? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: Tam so bili samo množitelji. To pomeni, da je to po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg podatkov o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim eksponentom. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih števil).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število na ničelno potenco je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se število samo še ni pojavilo - zato je rezultat le določen „prazna številka“, in sicer številka; stopnja s celim negativnim eksponentom - kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). To je povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

odgovori:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNE FORMULE

stopnja imenovan izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnja, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Potenca z racionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopinj

Značilnosti diplom.

• Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
• Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
• Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
• Nič je enaka kateri koli potenci.
• Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? Spodaj v komentarje zapišite, ali vam je bilo všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z uporabo lastnosti diplom.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno na izpitih!

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjerkoli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 899 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Tabela potenc vsebuje vrednosti pozitivnih naravnih števil od 1 do 10.

Vnos 3 5 se glasi "tri na peto potenco." V tem zapisu se število 3 imenuje osnova potence, število 5 je eksponent, izraz 3 5 pa potenca.

Za prenos tabele stopinj kliknite na sličico.

Kalkulator diplom

Vabimo vas, da preizkusite naš kalkulator potenc, ki vam bo pomagal povečati poljubno število na potenco na spletu.

Uporaba kalkulatorja je zelo preprosta - vnesite število, ki ga želite povzdigniti na potenco, nato število - potenco in kliknite na gumb "Izračunaj".

Omeniti velja, da lahko naš spletni kalkulator diplom poveča tako pozitivne kot negativne moči. In za pridobivanje korenin je na spletnem mestu še en kalkulator.

Kako dvigniti število na potenco.

Oglejmo si postopek potenciranja na primeru. Recimo, da moramo število 5 dvigniti na 3. potenco. V matematičnem jeziku je 5 osnova, 3 pa eksponent (ali preprosto potenca). In to lahko na kratko zapišemo takole:

Potenciranje

In da bi našli vrednost, bomo morali število 5 pomnožiti s samim seboj 3-krat, tj.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

V skladu s tem, če želimo najti vrednost števila 7 na 5. potenco, moramo število 7 pomnožiti s samim seboj 5-krat, tj. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Druga stvar je, ko morate povečati število na negativno moč.

Kako dvigniti na negativno potenco.

Pri povišanju na negativno moč morate uporabiti preprosto pravilo:

kako dvigniti na negativno potenco

Vse je zelo preprosto - ko ga dvignemo na negativno potenco, moramo eno deliti z osnovo na potenco brez znaka minus - torej na pozitivno potenco. Torej, da bi našli vrednost

Tabela potenc naravnih števil od 1 do 25 v algebri

Pri reševanju različnih matematičnih vaj je pogosto treba število dvigniti na potenco, predvsem od 1 do 10. In da te vrednosti hitro najdemo, smo izdelali tabelo potenc v algebri, ki jo bom objavil na tej strani.

Najprej si poglejmo številke od 1 do 6. Rezultati tukaj niso zelo veliki; vse jih lahko preverite na navadnem kalkulatorju.

• 1 in 2 na potenco od 1 do 10

Tabela stopinj

Potenčna tabela je nepogrešljiv pripomoček, ko morate naravno število znotraj 10 povečati na potenco, večjo od dve. Dovolj je, da odprete tabelo in poiščete številko nasproti želene osnove stopnje in v stolpcu z zahtevano stopnjo - to bo odgovor na primer. Poleg priročne tabele so na dnu strani primeri dvigovanja naravnih števil na potenco do 10. Z izbiro želenega stolpca s potencami želenega števila enostavno in preprosto poiščete rešitev, saj so vse potence razvrščene v naraščajočem vrstnem redu.

Pomemben odtenek! Tabele ne prikazujejo dvigovanja na ničelno potenco, saj je vsako število, dvignjeno na ničelno potenco, enako ena: a 0 =1

Tabele množenja, kvadrati in potence

Čas je za malo matematike. Se še spomnite, koliko je, če dva pomnožite z dva?

Če je kdo pozabil, bodo štiri. Zdi se, da se vsi spomnijo in poznajo tabelo množenja, vendar sem odkril ogromno število zahtev Yandexu, kot je "tabela množenja" ali celo "prenesi tabelo množenja" (!). Za to kategorijo uporabnikov, pa tudi za tiste bolj napredne, ki jih kvadrati in potence že zanimajo, objavljam vse te tabele. Lahko celo prenesete za svoje zdravje! Torej:

10 do 2. stopnje + 11 do 2. stopnje + 12 do 2. stopnje + 13 do 2. stopnje + 14 do druge stopnje/365

Ostala vprašanja iz kategorije

Prosim, pomagajte mi pri odločitvi)

Preberite tudi

rešitve: 3x(na 2. potenco)-48= 3(X na 2. potenco)(x na drugo potenco)-16)=(X-4)(X+4)

5) tri točke pet. 6) devet šiva dvesto sedem tisočink. 2) zapišite število v obliki navadnega ulomka: 1)0,3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0,609. 7)0,91,8)0,5,9)0,171,10)0,815,11)0,27,12)0,081,13)0,803

Koliko je 2 na potenco minus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10?

Koliko je 2 na potenco minus 1?

Koliko je 2 na potenco minus 2?

Koliko je 2 na minus 3 potenco?

Koliko je 2 na minus 4. potenco?

Koliko je 2 na potenco minus 5?

Koliko je 2 na minus 6. potenco?

Koliko je 2 na minus 7. potenco?

Koliko je 2 na potenco minus 8?

Koliko je 2 na minus 9. potenco?

Koliko je 2 na potenco minus 10?

Negativno potenco n ^(-a) lahko izrazimo v naslednji obliki 1/n^a.

2 na potenco -1 = 1/2, če je predstavljeno kot decimalni ulomek, potem 0,5.

2 na potenco - 2 = 1/4 ali 0,25.

2 na potenco -3= 1/8 ali 0,125.

2 na potenco -4 = 1/16 ali 0,0625.

2 na potenco -5 = 1/32 ali 0,03125.

2 na potenco - 6 = 1/64 ali 0,015625.

2 na potenco - 7 = 1/128 ali 0.

2 na potenco -8 = 1/256 ali 0.

2 na potenco -9 = 1/512 ali 0.

2 na potenco - 10 = 1/1024 ali 0.

Podobne izračune za druga števila najdete tukaj: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Negativna potenca števila je na prvi pogled težka tema v algebri.

Pravzaprav je vse zelo preprosto - izvajamo matematične izračune s številko "2" z algebraično formulo (glej zgoraj), kjer namesto "a" nadomestimo številko "2" in namesto "n" nadomestimo moč števila. Kalkulator bo pomagal znatno skrajšati čas pri izračunih.

Na žalost urejevalnik besedil spletnega mesta ne dovoljuje uporabe matematičnih simbolov za ulomke in negativne potence. Omejimo se na velike alfanumerične informacije.

To so preprosti numerični koraki, ki smo jih dobili.

Negativna potenca števila pomeni, da to število pomnožimo s samim seboj tolikokrat, kot je zapisano v potenci, nato pa ena delimo z dobljenim številom. Za dva:

• (-1) stopnja je 1/2=0,5;
• (-2) stopnja je 1/(2 2)=0,25;
• (-3) stopnja je 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) stopnja je 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) stopnja je 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) stopnja je 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) stopnja je 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) stopnja je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) stopnja je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) moč je 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

V bistvu vsako prejšnjo vrednost preprosto delimo z 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Druga stopnja pomeni, da se številka, dobljena med izračuni, pomnoži sama s seboj.

ruski jezik: 15 stavkov na temo pomladi

Zgodnja pomlad, pozna pomlad, spomladansko listje, pomladno sonce, pomladni dan, pomlad je prišla, pomladne ptice, hladna pomlad, pomladna trava, pomladni vetrič, pomladni dež, pomladna oblačila, pomladni škornji, pomlad je rdeča, pomladno potovanje.

Vprašanje: 5*4 na drugo potenco -(33 na drugo potenco: 11) na 2. potenco: 81 IZGOVORITE ODGOVOR Z DEJANJEM

5*4 na drugo potenco -(33 na drugo potenco: 11) na 2. potenco: 81 IZGOVORITE ODGOVOR Z DEJANJEM

odgovori:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Druga potenca pomeni, da število, ki pridobljeno med izračuni, se pomnoži s samim seboj.

Koliko je 10 na potenco -2.

1. 10 na potenco -2 je enako kot 1/10 na potenco 2, kvadrirate 10 in dobite 1/100, kar je enako 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Temno praviš? ..heh (iz "Belo sonce puščave")