Poenostavite trigonometrične izraze na spletu. Identične transformacije trigonometričnih izrazov

IN transformacije identitete trigonometrične izraze uporabimo lahko naslednje algebraične tehnike: seštevanje in odštevanje enakih členov; dajanje skupnega faktorja iz oklepaja; množenje in deljenje z isto količino; uporaba formul za skrajšano množenje; izbira celotnega kvadrata; faktoring kvadratnega trinoma; uvedba novih spremenljivk za poenostavitev transformacij.

Pri pretvarjanju trigonometričnih izrazov, ki vsebujejo ulomke, lahko uporabite lastnosti razmerja, zmanjševanja ulomkov ali zmanjševanja ulomkov na skupni imenovalec. Poleg tega lahko uporabite izbor celotnega dela ulomka, tako da števec in imenovalec ulomka pomnožite z enakim zneskom in, če je mogoče, upoštevate tudi homogenost števca ali imenovalca. Po potrebi lahko ulomek predstavite kot vsoto ali razliko več enostavnejših ulomkov.

Poleg tega je treba pri uporabi vseh potrebnih metod za pretvorbo trigonometričnih izrazov nenehno upoštevati obseg dovoljenih vrednosti izrazov, ki se pretvarjajo.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1.

Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

rešitev.

Iz formul za zmanjšanje sledi:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Od koder na podlagi formul za dodajanje argumentov in glavne trigonometrične identitete dobimo

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primer 2.

Izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ pretvorite v produkt.

rešitev.

Iz formul za dodajanje argumentov in formul za pretvorbo vsote trigonometričnih funkcij v zmnožek po ustreznem grupiranju imamo

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Primer 3.

Pokažite, da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) vzame ena za vse x iz R in enak pomen. Poiščite to vrednost.

rešitev.

Tukaj sta dva načina za rešitev tega problema. Z uporabo prve metode z izolacijo celotnega kvadrata in uporabo ustreznih osnovnih trigonometričnih formul dobimo

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Pri reševanju problema na drugi način upoštevajte A kot funkcijo x iz R in izračunajte njen odvod. Po transformacijah dobimo

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Zato zaradi kriterija konstantnosti funkcije, ki jo je mogoče diferencirati na intervalu, sklepamo, da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne tehnike za dokazovanje trigonometričnih identitet so:

A) zmanjševanje leve strani identitete na desno z ustreznimi transformacijami;
b) zmanjševanje desne strani identitete na levo;
V) zreduciranje desne in leve strani identitete na isto obliko;
G) zmanjšanje na nič razlike med levo in desno stranjo dokazovane identitete.

Primer 4.

Preverite, ali je cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

rešitev.

Če transformiramo desno stran te identitete z uporabo ustreznih trigonometričnih formul, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Desna stran identitete je zmanjšana na levo.

Primer 5.

Dokaži, da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, če so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika.

rešitev.

Če upoštevamo, da so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika, dobimo, da

α + β + γ = π in torej γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Izvirna enakost je dokazana.

Primer 6.

Dokaži, da je za to, da je eden od kotov α, β, γ trikotnika enak 60°, nujno in zadostno, da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

rešitev.

Pogoj tega problema vključuje dokazovanje nujnosti in zadostnosti.

Najprej dokažimo nujnost.

Lahko se pokaže, da

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Torej, ob upoštevanju, da cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobimo, da če je eden od kotov α, β ali γ enak 60°, potem

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 in zato je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo zdaj ustreznost določeno stanje.

Če je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, potem je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, in torej

ali cos (3α/2) = 0 ali cos (3β/2) = 0 ali cos (3γ/2) = 0.

torej

ali 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

ali 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ali 3γ/2 = π/2 + πk,

tiste. γ = π/3 + 2πk/3, kjer je k ϵ Z.

Iz dejstva, da so α, β, γ koti trikotnika, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zato je za α = π/3 + 2πk/3 ali β = π/3 + 2πk/3 oz.

γ = π/3 + 2πk/3 od vseh kϵZ je primeren le k = 0.

Iz tega sledi bodisi α = π/3 = 60° ali β = π/3 = 60° ali γ = π/3 = 60°.

Trditev je dokazana.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako poenostaviti trigonometrične izraze?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Oddelki: Matematika

Razred: 11

Lekcija 1

Zadeva: 11. razred (priprava na enotni državni izpit)

Poenostavitev trigonometričnih izrazov.

Reševanje preprostih trigonometričnih enačb. (2 uri)

Cilji:

• Sistematizirati, posplošiti, razširiti znanje in spretnosti učencev v zvezi z uporabo trigonometričnih formul in reševanjem preprostih trigonometričnih enačb.

Oprema za lekcijo:

Struktura lekcije:

1. Organizacijski trenutek
2. Testiranje na prenosnikih. Razprava o rezultatih.
3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov
4. Reševanje preprostih trigonometričnih enačb
5. Samostojno delo.
6. Povzetek lekcije. Obrazložitev domače naloge.

1. Organizacijski trenutek. (2 minuti.)

Učitelj navzoče pozdravi, napove temo učne ure, jih opomni, da so predhodno dobili nalogo ponoviti trigonometrične formule in pripravi učence na preverjanje znanja.

2. Testiranje. (15 min + 3 min razprave)

Cilj je preveriti poznavanje trigonometričnih formul in sposobnost njihove uporabe. Vsak študent ima na svoji mizi prenosni računalnik z različico testa.

Možnosti je lahko poljubno, dal bom primer ene od njih:

I možnost.

Poenostavite izraze:

a) osnovne trigonometrične identitete

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adicijske formule

3. sin5x - sin3x;

c) pretvarjanje zmnožka v vsoto

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvojnega kota

7. 2sin5x cos5x;

e) formule za polovične kote

f) formule trojnega kota

g) univerzalna zamenjava

h) znižanje stopnje

16. cos 2 (3x/7);

Učenci vidijo svoje odgovore na prenosniku poleg vsake formule.

Delo takoj preveri računalnik. Rezultati so prikazani na velikem zaslonu, ki ga lahko vidijo vsi.

Prav tako se po končanem delu na prenosnih računalnikih učencev prikažejo pravilni odgovori. Vsak učenec vidi, kje je bila storjena napaka in katere formule mora ponoviti.

3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov. (25 min.)

Cilj je ponovitev, vadba in utrjevanje uporabe osnovnih trigonometričnih formul. Reševanje nalog B7 iz Enotnega državnega izpita.

Na tej stopnji je priporočljivo razred razdeliti na skupine močnih učencev (delo samostojno z naknadnim testiranjem) in šibkih učencev, ki delajo z učiteljem.

Naloga za močnejše študente (vnaprej pripravljena v tiskani obliki). Glavni poudarek je na formulah zmanjšanja in dvojnega kota v skladu z enotnim državnim izpitom 2011.

Poenostavite izraze (za močne študente):

Hkrati učitelj dela s šibkimi učenci, razpravlja in rešuje naloge na ekranu po nareku učencev.

Izračunajte:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Poenostavite:

Čas je bil za razpravo o rezultatih dela močne skupine.

Odgovori se prikažejo na ekranu, prav tako pa je s pomočjo video kamere prikazano delo 5 različnih učencev (za vsakega ena naloga).

Šibka skupina vidi stanje in način rešitve. Razprave in analize potekajo. Z uporabo tehničnih sredstev se to zgodi hitro.

4. Reševanje preprostih trigonometričnih enačb. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati in posplošiti reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb ter zapisati njihove korene. Rešitev problema B3.

Vsaka trigonometrična enačba, ne glede na to, kako jo rešimo, vodi do najpreprostejše.

Pri reševanju naloge naj bodo učenci pozorni na pisanje korenov enačb posebnih primerov in splošne oblike ter na izbiro korenov v zadnji enačbi.

Reši enačbe:

Kot odgovor zapišite najmanjši pozitivni koren.

5. Samostojno delo (10 min.)

Cilj je preizkus osvojenih veščin, prepoznavanje težav, napak in načinov njihove odprave.

Večstopenjsko delo je na voljo študentu po izbiri.

Možnost "3"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Poenostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Reši enačbo

Možnost za "4"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Reši enačbo V svoj odgovor zapišite najmanjši pozitivni koren.

Možnost za "5"

1) Poiščite tanα, če

2) Poiščite koren enačbe Kot odgovor zapišite najmanjši pozitivni koren.

6. Povzetek lekcije (5 min.)

Učiteljica povzame, da so pri pouku ponavljali in utrjevali trigonometrične formule in reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Domače naloge se dodelijo (v tiskani obliki vnaprej pripravijo) z naključnim preverjanjem pri naslednji učni uri.

Reši enačbe:

9)

10) V odgovoru navedite najmanjši pozitivni koren.

Lekcija 2

Zadeva: 11. razred (priprava na enotni državni izpit)

Metode reševanja trigonometričnih enačb. Izbira korenin. (2 uri)

Cilji:

• Posplošite in sistematizirajte znanje o reševanju trigonometričnih enačb različnih vrst.
• Spodbujati razvoj matematičnega mišljenja učencev, sposobnosti opazovanja, primerjanja, posploševanja in razvrščanja.
• Spodbujajte študente k premagovanju težav v procesu duševne dejavnosti, k samokontroli in introspekciji svojih dejavnosti.

Oprema za lekcijo: KRMu, prenosniki za vsakega študenta.

Struktura lekcije:

1. Organizacijski trenutek
2. Razprava o d/z in sebi. delo iz prejšnje lekcije
3. Pregled metod reševanja trigonometričnih enačb.
4. Reševanje trigonometričnih enačb
5. Izbira korenin v trigonometričnih enačbah.
6. Samostojno delo.
7. Povzetek lekcije. Domača naloga.

1. Organizacijski trenutek (2 min.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije in delovni načrt.

2. a) Analiza domače naloge (5 min.)

Cilj je preveriti izvedbo. Eno delo je prikazano na zaslonu z video kamero, ostalo se selektivno zbira za preverjanje učiteljev.

b) Analiza samostojnega dela (3 min.)

Cilj je analizirati napake in nakazati načine za njihovo odpravo.

Odgovori in rešitve so na zaslonu, učenci imajo svoje delo vnaprej. Analiza poteka hitro.

3. Pregled metod reševanja trigonometričnih enačb (5 min.)

Cilj je spomniti se metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Učence vprašajte, katere metode reševanja trigonometričnih enačb poznajo. Poudarite, da obstajajo tako imenovane osnovne (pogosto uporabljene) metode:

• variabilna zamenjava,
• faktorizacija,
• homogene enačbe,

in obstajajo uporabljene metode:

• z uporabo formul za pretvorbo vsote v zmnožek in zmnožka v vsoto,
• po formulah za zmanjšanje stopnje,
• univerzalna trigonometrična zamenjava
• uvedba pomožnega kota,
• množenje z neko trigonometrično funkcijo.

Prav tako je treba spomniti, da je eno enačbo mogoče rešiti na različne načine.

4. Reševanje trigonometričnih enačb (30 min.)

Cilj je posplošiti in utrditi znanje in spretnosti o tej temi, pripraviti se na rešitev C1 iz enotnega državnega izpita.

Priporočljivo se mi zdi, da enačbe za vsako metodo rešujemo skupaj z učenci.

Učenec narekuje rešitev, učitelj jo zapiše na tablico, celoten postopek pa se prikaže na ekranu. To vam bo omogočilo, da si v spomin hitro in učinkovito prikličete prej obravnavano snov.

Reši enačbe:

1) zamenjava spremenljivke 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene enačbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvorba vsote v produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvorbo produkta v vsoto 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zmanjšanje stopnje sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzalna trigonometrična zamenjava sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri reševanju te enačbe je treba upoštevati, da uporaba te metode vodi do zožitve območja definicije, saj sinus in kosinus nadomestita tg(x/2). Zato morate pred zapisom odgovora preveriti, ali so števila iz množice π + 2πn, n Z konji te enačbe.

8) uvedba pomožnega kota √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje z neko trigonometrično funkcijo cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbira korenov trigonometričnih enačb (20 min.)

Ker v razmerah hude konkurence ob vpisu na univerze samo reševanje prvega dela izpita ni dovolj, bi morala biti večina študentov pozorna na naloge drugega dela (C1, C2, C3).

Zato je cilj te stopnje lekcije spomniti se predhodno preučenega gradiva in se pripraviti na reševanje problema C1 iz Enotnega državnega izpita 2011.

Obstajajo trigonometrične enačbe, v katerih morate pri zapisovanju odgovora izbrati korenine. To je posledica nekaterih omejitev, na primer: imenovalec ulomka ni enak nič, izraz pod sodim korenom je nenegativen, izraz pod logaritmom je pozitiven itd.

Takšne enačbe veljajo za enačbe povečane kompleksnosti in v različici Enotnega državnega izpita se nahajajo v drugem delu, in sicer C1.

Reši enačbo:

Ulomek je enak nič, če potem z uporabo enotskega kroga bomo izbrali korenine (glej sliko 1)

Slika 1.

dobimo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na zaslonu je izbor korenin prikazan na krogu v barvni sliki.

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič, lok pa ne izgubi pomena. Potem

Z uporabo enotskega kroga izberemo korenine (glej sliko 2)

Video lekcija "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" je zasnovana tako, da razvija spretnosti študentov pri reševanju trigonometričnih problemov z uporabo osnovnih trigonometričnih identitet. Med video lekcijo so obravnavane vrste trigonometričnih identitet in primeri reševanja problemov z njihovo uporabo. Z uporabo vizualnih pripomočkov učitelj lažje doseže učne cilje. Živahna predstavitev gradiva pomaga zapomniti pomembne točke. Uporaba animacijskih učinkov in govora vam omogoča, da popolnoma nadomestite učitelja na stopnji razlage gradiva. Tako lahko učitelj z uporabo tega vizualnega pripomočka pri pouku matematike poveča učinkovitost poučevanja.

Na začetku video lekcije je napovedana njena tema. Nato se spomnimo trigonometričnih identitet, ki smo jih preučevali prej. Na zaslonu so prikazane enakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kjer je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, pravilno za t≠πk, kjer je kϵZ, tg t· ctg t=1, za t≠πk/2, kjer je kϵZ, imenovane osnovne trigonometrične identitete. Opozoriti je treba, da se te identitete pogosto uporabljajo pri reševanju problemov, kjer je treba dokazati enakost ali poenostaviti izraz.

Spodaj obravnavamo primere uporabe teh identitet pri reševanju problemov. Najprej je predlagano, da razmislimo o reševanju problemov poenostavljanja izrazov. V primeru 1 je potrebno poenostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Za rešitev primera najprej vzemite skupni faktor cos 2 t iz oklepaja. Kot rezultat te transformacije v oklepajih dobimo izraz 1- cos 2 t, katerega vrednost iz glavne identitete trigonometrije je enaka sin 2 t. Po preoblikovanju izraza je očitno, da lahko iz oklepaja vzamemo še en skupni faktor sin 2 t, po katerem ima izraz obliko sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Iz iste osnovne identitete izpeljemo vrednost izraza v oklepaju, ki je enaka 1. Kot rezultat poenostavitve dobimo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

V primeru 2 je treba izraz cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) poenostaviti. Ker števci obeh ulomkov vsebujejo izraz strošek, ga lahko vzamemo iz oklepaja kot skupni faktor. Nato se ulomki v oklepajih zmanjšajo na skupni imenovalec z množenjem (1- sint)(1+ sint). Po vnosu podobnih členov ostane števec 2, imenovalec 1 - sin 2 t. Na desni strani zaslona se prikliče osnovna trigonometrična identiteta sin 2 t+cos 2 t=1. Z njim poiščemo imenovalec ulomka cos 2 t. Po zmanjšanju ulomka dobimo poenostavljeno obliko izraza cena/(1- sint)+ cena/(1+ sint)=2/strošek.

V nadaljevanju obravnavamo primere dokazov identitet, ki uporabljajo pridobljeno znanje o osnovnih identitetah trigonometrije. V primeru 3 je potrebno dokazati istovetnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Na desni strani zaslona so prikazane tri identitete, ki bodo potrebne za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t in tg t=sin t/cos t z omejitvami. Za dokaz identitete se najprej odprejo oklepaji, nato pa se oblikuje produkt, ki odraža izraz glavne trigonometrične identitete tg t·ctg t=1. Nato se po identiteti iz definicije kotangensa transformira ctg 2 t. Kot rezultat transformacij dobimo izraz 1-cos 2 t. Z uporabo glavne identitete najdemo pomen izraza. Tako je bilo dokazano, da je (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

V primeru 4 morate poiskati vrednost izraza tg 2 t+ctg 2 t, če je tg t+ctg t=6. Za izračun izraza najprej kvadrirajte desno in levo stran enačbe (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skrajšana formula množenja se prikliče na desni strani zaslona. Po odprtju oklepajev na levi strani izraza se oblikuje vsota tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, za transformacijo katere lahko uporabimo eno od trigonometričnih identitet tg t·ctg t=1 , katerega oblika se prikliče na desni strani zaslona. Po transformaciji dobimo enakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Leva stran enačbe sovpada s pogojem naloge, zato je odgovor 34. Naloga je rešena.

Video lekcijo "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" priporočamo za uporabo pri tradicionalni šolski lekciji matematike. Gradivo bo koristno tudi učiteljem, ki izvajajo pouk na daljavo. Da bi razvili veščine reševanja trigonometričnih problemov.

DEKODIRANJE BESEDILA:

"Poenostavitev trigonometričnih izrazov."

Enakosti

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te je enako ena)

2)tgt =, za t ≠ + πk, kϵZ (tangens te je enak razmerju med sinusom te in kosinusom te, pri čemer te ni enak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3)ctgt = , za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je enak razmerju med kosinusom te in sinusom te, pri čemer te ni enak pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (zmnožek tangensa te s kotangensom te je enak ena, če te ni enak vrhu ka, deljeno z dva, ka pripada zet)

imenujemo osnovne trigonometrične identitete.

Pogosto se uporabljajo pri poenostavljanju in dokazovanju trigonometričnih izrazov.

Oglejmo si primere uporabe teh formul za poenostavitev trigonometričnih izrazov.

PRIMER 1. Poenostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz a kosinus na kvadrat te minus kosinus četrte stopnje te plus sinus četrte stopnje te).

rešitev. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(izločimo skupni faktor kosinus na kvadrat te, v oklepaju dobimo razliko med enoto in kvadratom kosinusa te, ki je enak kvadratu sinusa te po prvi istovetnosti. Dobimo vsoto četrte potence sinusa te zmnožek kosinus kvadrat te in sinus kvadrat te Izven oklepaja iznesemo skupni faktor sinus kvadrat te, v oklepaju dobimo vsoto kvadratov kosinusa in sinusa, ki je po osnovni trigonometrični istovetnosti enaka ena. Kot rezultat dobimo kvadrat sinusa te).

PRIMER 2. Poenostavimo izraz: + .

(izraz je vsota dveh ulomkov v števcu prvega kosinusa te v imenovalcu ena minus sinus te, v števcu drugega kosinusa te v imenovalcu drugega plus sinus te).

(Vzemimo skupni faktor kosinus te iz oklepajev in ga v oklepajih pripeljemo na skupni imenovalec, ki je zmnožek ena minus sinus te z ena plus sinus te.

V števcu dobimo: ena plus sinus te plus ena minus sinus te, damo podobne, števec je enak dvema po prinašanju podobnih.

V imenovalcu lahko uporabimo skrajšano formulo množenja (razlika kvadratov) in dobimo razliko med enoto in kvadratom sinusa te, ki po osnovni trigonometrični istovetnosti

enak kvadratu kosinusa te. Po zmanjšanju s kosinusom te dobimo končni odgovor: dva deljeno s kosinusom te).

Oglejmo si primere uporabe teh formul pri dokazovanju trigonometričnih izrazov.

PRIMER 3. Dokažite istovetnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (zmnožek razlike med kvadratoma tangenta te in sinusa te s kvadratom kotangensa te je enak kvadratu sine te).

Dokaz.

Transformirajmo levo stran enakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = greh 2 t

(Odprimo oklepaje; iz prej dobljenega razmerja je znano, da je zmnožek kvadratov tangenta te in kotangensa te enak ena. Spomnimo se, da je kotangens te enak razmerju kosinusa te in sinusa te, kar pomeni, da je kvadrat kotangensa razmerje med kvadratom kosinusa te in kvadratom sinusa te.

Po zmanjšanju za sinus kvadrat te dobimo razliko med enoto in kosinus kvadratom te, ki je enak sinus kvadratu te). Q.E.D.

PRIMER 4. Poiščite vrednost izraza tg 2 t + ctg 2 t, če je tgt + ctgt = 6.

(vsota kvadratov tangensa te in kotangensa te, če je vsota tangensa in kotangensa šest).

rešitev. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadriramo obe strani prvotne enakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat vsote tangensa te in kotangensa te je enak šest na kvadrat). Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kvadrat vsote dveh količin je enak kvadratu prve plus dvakratni zmnožek prve z drugo plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobimo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens na kvadrat te plus dvojni zmnožek tangensa te s kotangensom te plus kotangens na kvadrat te je enako šestintrideset).

Ker je produkt tangenta te in kotangensa te enak ena, potem je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (vsota kvadratov tangenta te in kotangensa te in dva je enaka šestintrideset),