Trigonometrične formule za numerični argument. Lekcija "trigonometrične funkcije številskega argumenta"

V tej lekciji se bomo seznanili s trigonometrične funkcije numerični argument. Najprej se spomnimo definicije funkcije na splošno in v številski krog. Nato se spomnimo, kaj so sinusna premica, kosinusna premica, tangentna premica in kotangensna premica. Izpeljimo formulo za glavno trigonometrična identiteta in druge osnovne formule, ki povezujejo trigonometrične funkcije. Nato bomo obravnavali nekatere lastnosti trigonometričnih funkcij: predznake funkcij v četrtinah ter lastnost sodih in lihih trigonometričnih funkcij.

Tema: Trigonometrične funkcije

Lekcija: Trigonometrične funkcije številskega argumenta

1. Tema lekcije, uvod

Razmišljamo trigonometrične funkcije

2. Opomnik: Definicija trigonometričnih funkcij

Vsaka funkcija je zakon, po katerem vsaka vrednost neodvisne spremenljivke ustreza eni sami vrednosti odvisne spremenljivke - funkcije.

Nastavimo ustrezno številko točka na krogu z dvema koordinatama - točka (slika 1).

Premica na osi x od -1 do 1 se imenuje kosinusna premica.

Premica na osi y od -1 do 1 se imenuje sinusna premica.

To pomeni lastnosti sinusa in kosinusa:

Tangenta je vzporedna z osjo y in poteka skozi točko

Linija kotangensi vzporedna z osjo x in poteka skozi točko

3. Osnovne trigonometrične formule

Oglejmo si osnovne trigonometrične identitete.

Enačba enotski krog.

osnovna trigonometrična identiteta.

razmerje med tangensom in kotangensom.

Izpeljimo formulo, ki povezuje tangens in kosinus.

Obstaja podobna formula za kotangens in sinus.

4. Parnost trigonometričnih funkcij

Preučimo trigonometrične funkcije za pariteto.

funkcija je čudna.

funkcija je enakomerna.

Ponazorimo te lastnosti na številskem krogu:

Primer 1. Najdi

Rešitev (slika 2).

Dokažimo podobne lastnosti za tangens in kotangens:

Tangent je liha funkcija.

dokaži sam.

5. Znaki trigonometričnih funkcij v četrtinah

Razmislimo o znakih trigonometričnih funkcij v četrtinah:

Znaki sinusa in kosinusa (slika 3).

Vendar pa lahko določite znake sinusa in kosinusa brez teh slik.

Na primer, določiti morate znak. Določimo, v kateri četrtini se nahaja kot v drugi. Sinus je projekcija na y-os v drugi četrtini, kar pomeni

Enako kosinus. Določimo predznak: Kot je v tretji četrtini, kosinus je projekcija na os x v tretji četrtini, kar pomeni

Tangentni in kotangensni znaki (slika 4).

Predznake funkcij v različnih kvadrantih lahko preverite s črtami tangentov in kotangensov. Na primer, vzemite kot, ki leži v tretji četrtini. Skozi točko na krožnici, ki ustreza temu kotu in koordinatnemu izhodišču, potegnemo premico do sekanja s tangentno osjo. Vrednost tangente za tak kot, kot tudi za prvo četrtino kota, bo pozitivna. Podobno bo za kota druge in četrte četrtine tangenta negativna (slika 5).

6. Zaključek, zaključek

Pregledali smo trigonometrične funkcije, si zapomnili njihove definicije, zapomnili, da izpolnjujejo zahteve po enkratnosti, ter prejeli osnovne identitete in lastnosti. V naslednji lekciji bomo rešili številne probleme.

Reference

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Vadnica za izobraževalne ustanove (ravni profila) izd. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra in matematična analiza za 10. razred ( priročnik za usposabljanje za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).-M .: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Poglobljena študija algebra in matematična analiza.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na tehničnih fakultetah (urednik M. I. Skanavi - M.: Višja šola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problemi v algebri in načelih analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnoizobraževalnih ustanov).

8. Karp A.P. Zbirka problemov o algebri in načelih analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede. z globino študiral Matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

domača naloga

Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Problemska knjiga za izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

Dodatni spletni viri

1. Matematika.

2. Internetni portal Problemi. ru.

3. Izobraževalni portal za pripravo na izpite.

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Cilji lekcije:

1. Razvoj spretnosti in veščin uporabe trigonometrične formule za poenostavitev trigonometričnih izrazov.
2. Uveljavljanje načela dejavnostnega pristopa pri poučevanju učencev, razvijanje komunikacijskih sposobnosti in strpnosti učencev, sposobnosti poslušanja in slišanja drugih ter izražanja svojega mnenja.
3. Povečanje zanimanja učencev za matematiko.

Vrsta lekcije: usposabljanje.

Vrsta lekcije: lekcija o veščinah in spretnostih.

Oblika študija: skupina.

Vrsta skupin: skupina, ki sedi skupaj. Študenti različne ravni usposabljanje, ozaveščanje ta predmet kompatibilni učenci, kar jim omogoča medsebojno dopolnjevanje in bogatenje.

Oprema: deska; kreda; tabela "Trigonometer"; trasni listi; kartice s črkami (A, B, C.) za dokončanje testa; tablice z imeni posadke; zapisniki; tabele z imeni etap potovanja; magneti, multimedijski kompleks.

Napredek lekcije

Učenci sedijo v skupinah: 4 skupine po 5-6 ljudi. Vsaka skupina je posadka avtomobila z imeni, ki ustrezajo imenom trigonometričnih funkcij, ki jih vodi volan. Vsaka posadka dobi traso in določi cilj: preteči dano pot uspešno, brez napak. Učno uro spremlja predstavitev.

I. Organizacijski trenutek.

Učitelj sporoči temo učne ure, namen učne ure, potek učne ure, načrt dela skupin, vlogo krmarjev.

Uvod učitelja:

– Fantje! Zapišite številko in temo lekcije: "Trigonometrične funkcije številskega argumenta."

Danes se bomo v razredu naučili:

1. Izračunajte vrednosti trigonometričnih funkcij;
2. Poenostavite trigonometrične izraze.

Če želite to narediti, morate vedeti:

1. Definicije trigonometričnih funkcij
2. Trigonometrična razmerja(formule).

Že dolgo je znano, da je ena glava dobra, dve pa sta boljši, zato danes delate v skupinah. Ve se tudi, da kdor hodi, obvlada cesto. Toda živimo v dobi hitrosti in čas je dragocen, kar pomeni, da lahko rečemo: "Cesto bodo obvladali tisti, ki vozijo," zato bo naša današnja lekcija potekala v obliki igre "Matematični reli." Vsaka skupina je posadka vozila, ki jo vodi volan.

Namen igre:

• uspešno dokončati pot za vsako posadko;
• prepoznati prvake v reliju.

Imena posadk ustrezajo znamki avtomobila, ki ga vozite.

Predstavimo se posadke in njihovi krmarji:

• Posadka - "sine"
• Posadka - "kosinus"
• Posadka - "tangenta"
• Posadka - "kotangens"

Moto dirke: "Hiti počasi!"

Teči morate skozi "matematični teren" s številnimi ovirami.

Vsaki posadki so bili izdani letni listi. Posadke, ki poznajo definicije in trigonometrične formule, bodo sposobne premagati ovire.

Med vožnjo vsak krmar vodi posadko, pomaga in ocenjuje prispevek vsakega člana posadke pri premagovanju poti v obliki "prednosti" in "slabosti" na zapisniku. Za vsak pravilen odgovor skupina prejme “+” in napačen odgovor “-”.

Premagati morate naslednje etape potovanja:

stopnja I. SDA (prometna pravila).
Stopnja II. Tehnični pregled.
Stopnja III. Tek na smučeh.
Faza IV. Nenadna zaustavitev je nesreča.
V stopnja. Ustavi se.
Faza VI. Končaj.
VII stopnja. Rezultati.

In tako gremo!

stopnja I. SDA (prometna pravila).

1) V vsaki posadki krmarji vsakemu članu posadke razdelijo karte s teoretičnimi vprašanji:

1. Pojasnite definicijo sinusa t in njegovih predznakov po četrtinah.
2. Razloži definicijo kosinusa števila t in njegovih predznakov po četrtinah.
3. Poimenujte najmanjše in najvišjo vrednost sin t in cos t.
4. Razloži definicijo tangensa števila t in njegovih predznakov po četrtinah.
5. Razloži definicijo kotangensa števila t in njegovih predznakov po četrtinah.
6. Povejte nam, kako najdemo vrednost funkcije sin t z znana številka t.

2) Zberite "razpršene" formule. Na skrivni tabli je miza (glej spodaj). Posadke morajo uskladiti formule. Vsaka ekipa zapiše odgovor na tablo v obliki vrstice ustreznih črk (v parih).

odgovor: ab, vg, de, jež, zi, yk.

Stopnja II. Tehnični pregled.

Ustno delo: test.

Na skrivni tabli je zapisano: naloga: poenostavi izraz.

Zraven so zapisane možnosti odgovora. Ekipe določijo pravilne odgovore v 1 minuti. in vzemite ustrezen niz črk.

Odgovor: C V A.

Stopnja III. Tek na smučeh.

Posadke imajo na sestanku 3 minute časa, da se odločijo o nalogi, nato pa predstavniki posadk odločitev zapišejo na tablo. Ko predstavniki posadke končajo z zapisovanjem rešitve prve naloge, vsi učenci (skupaj z učiteljem) preverijo pravilnost in smiselnost rešitev in jih zapišejo v zvezek. Krmar oceni prispevek vsakega člana posadke z znakoma »+« in »–« na ocenjevalnih listih.

Naloge iz učbenika:

• Posadka – “sine”: št. 118 g;
• Posadka – “kosinus”: št. 122 a;
• Posadka – “tangenta”: št. 123 g;
• Posadka – “kotangens”: št. 125

Faza IV. Nenadna zaustavitev je nesreča.

– Vaš avto se je pokvaril. Vaš avto je treba popraviti.

Izjave so podane za vsako posadko, vendar so v njih napake. Poiščite te napake in pojasnite, zakaj so bile storjene. Izjave uporabljajo trigonometrične funkcije, ki ustrezajo znamki vašega avtomobila.

V stopnja. Ustavi se.

Utrujeni ste in potrebujete počitek. Medtem ko posadka počiva, krmarjem odpove preliminarni rezultati: upoštevajte "prednosti" in "slabosti" članov posadke in posadke kot celote.

Za študente:

3 ali več “+” – ocena “5”;
2 “+” – ocena “4”;
1 “+” – ocena “3”.

Za posadke:“+” in “-” se med seboj izničita. Štejejo se samo preostali znaki.

Ugani šarado.

Iz številk vzameš moj prvi zlog,
Drugi je iz besede "ponosen".
In pognal boš tretje konje,
Četrti bo blejanje ovce.
Moj peti zlog je enak prvemu
Zadnja črka v abecedi je šesta,
In če vse pravilno uganete,
Potem boste pri matematiki dobili tak razdelek.
(trigonometrija)

Beseda "trigonometrija" (iz grške besede"trigonon" - trikotnik in "metreo" - mera) pomeni "meritev trikotnikov". Pojav trigonometrije je povezan z razvojem geografije in astronomije - vede o gibanju nebesna telesa, o zgradbi in razvoju vesolja.

Zaradi opravljenih astronomskih opazovanj se je pojavila potreba po določitvi položaja svetil ter izračunavanju razdalj in kotov. Ker nekaterih razdalj, na primer od Zemlje do drugih planetov, ni bilo mogoče neposredno izmeriti, so znanstveniki začeli razvijati tehnike za iskanje razmerij med stranicami in koti trikotnika, v katerem sta dve oglišči na zemlji in tretja je planet ali zvezda. Takšna razmerja je mogoče izpeljati s preučevanjem razni trikotniki in njihove lastnosti. Zato so astronomski izračuni pripeljali do rešitve (tj. iskanja elementov) trikotnika. To počne trigonometrija.

Začetke trigonometrije so odkrili l stari Babilon. Babilonski znanstveniki so lahko napovedali sončno in lunini mrki. Nekatere podatke trigonometrične narave najdemo v starodavnih spomenikih drugih starih ljudstev.

Faza VI. Končaj.

Za uspešno prečkanje ciljne črte se morate le napeti in narediti »šprint«. V trigonometriji je zelo pomembno, da lahko hitro določimo vrednosti sin t, cost, tgt, ctg t, kjer je 0 ≤ t ≤ . Zapri učbenike.

Posadke izmenično kličejo vrednosti. funkcije sin t, stroški, tgt, ctg t če:

VII stopnja. Rezultati.

Rezultati igre.

Krmarji predajo ocenjevalne liste. Določena je posadka, ki je postala prvak “Matematičnega relija” in opisano je delo preostalih skupin. Sledijo imena tistih, ki so prejeli ocene "5" in "4".

Povzetek lekcije.

- Fantje! Kaj ste se danes naučili pri pouku? (poenostavite trigonometrične izraze; poiščite vrednosti trigonometričnih funkcij). Kaj morate vedeti za to?

• definicije in greh lastnosti t, cos t, tg t, ctg t;
• relacije, ki povezujejo vrednosti različnih trigonometričnih funkcij;
• znaki trigonometričnih funkcij na četrtinah številskega kroga.
• vrednosti trigonometričnih funkcij prve četrtine številskega kroga.

– Mislim, da razumete, da morate formule dobro poznati, da jih lahko pravilno uporabite. Spoznali ste tudi, da je trigonometrija zelo pomemben del matematika, saj se uporablja v drugih vedah: astronomiji, geografiji, fiziki itd.

domača naloga:

• za študente, ki so prejeli "5" in "4": §6, št. 128a, 130a, 134a.
• za druge študente: §6, št. 119g, št. 120g, št. 121g.

Video lekcija »Trigonometrične funkcije numeričnega argumenta« zagotavlja vizualno gradivo za jasnost pri razlagi teme v razredu. Med demonstracijo je obravnavano načelo oblikovanja vrednosti trigonometričnih funkcij iz števila, opisani so številni primeri, ki učijo, kako izračunati vrednosti trigonometričnih funkcij iz števila. Z uporabo ta priročnik Lažje je razviti spretnosti pri reševanju ustreznih problemov in doseči pomnjenje snovi. Uporaba priročnika poveča učinkovitost pouka in pomaga hitro doseči učne cilje.

Na začetku lekcije je prikazan naslov teme. Nato je naloga najti ustrezen kosinus nekaterim numerični argument. Opozoriti je treba, da je to težavo mogoče preprosto rešiti in to je mogoče jasno prikazati. Na zaslonu je prikazan enotski krog s središčem v izhodišču. Upoštevajte, da se točka presečišča kroga s pozitivno pol osjo abscisne osi nahaja v točki A(1;0). Podan je primer točke M, ki predstavlja argument t=π/3. Ta točka je označena na enotskem krogu, iz njega pa se spušča navpičnica na os x. Najdena abscisa točke je kosinus cos t. V tem primeru bo abscisa točke x=1/2. Zato cos t=1/2.

Če povzamemo obravnavana dejstva, je treba opozoriti, da je smiselno govoriti o funkciji s=cos t. Opozoriti je treba, da študenti že imajo nekaj znanja o tej funkciji. Nekatere vrednosti so bile izračunane kosinus cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. S to funkcijo so povezane tudi funkcije s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Opozoriti je treba, da imajo skupno ime za vse - trigonometrične funkcije.

Prikazane so pomembne relacije, ki se uporabljajo pri reševanju nalog s trigonometričnimi funkcijami: osnovne identitetni greh 2 t+ cos 2 t=1, izraz tangensa in kotangensa skozi sinus in kosinus tg t=sin t/cos t, kjer je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t= cos t/sin t, kjer je t≠πk za kϵZ, kot tudi razmerje tangensa proti kotangensu tg t·ctg t=1, kjer je t≠πk/2 za kϵZ.

Nato predlagamo, da razmislimo o dokazu razmerja 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, s t≠π/2+πk za kϵZ. Za dokaz istovetnosti je treba tan 2 t predstaviti v obliki razmerja med sinusom in kosinusom, nato pa člene na levi strani zmanjšati na skupni imenovalec 1+ tan 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Z uporabo osnovne trigonometrične identitete dobimo v števcu 1, tj končni izraz 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identiteta 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t je dokazana na podoben način, za t≠πk za kϵZ. Tako kot v prejšnjem dokazu je kotangens nadomeščen z ustreznim razmerjem med kosinusom in sinusom, oba člena na levi strani pa sta reducirana na skupni imenovalec 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Po uporabi osnovne trigonometrične istovetnosti za števec dobimo 1/ sin 2 t. To je izraz, ki ga iščemo.

Obravnavana je rešitev primerov, v katerih je uporabljeno pridobljeno znanje. V prvi nalogi morate poiskati vrednosti stroškov, tgt, ctgt, če je znan sinus števila sint=4/5 in t pripada intervalu π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Nato razmislimo o rešitvi podobnega problema, pri katerem je znan tangens tgt = -8/15, argument pa je omejen na vrednosti 3π/2

Za iskanje vrednosti sinusa uporabimo definicijo tangensa tgt= sint/cost. Iz nje najdemo sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Ker vemo, da je kotangens inverzna funkcija tangensa, dobimo ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Video lekcija "Trigonometrične funkcije numeričnega argumenta" se uporablja za povečanje učinkovitosti pouka matematike v šoli. Med učenjem na daljavo se lahko to gradivo uporablja kot vizualni pripomoček za razvijanje spretnosti pri reševanju problemov, ki vključujejo trigonometrične funkcije števila. Za pridobitev teh veščin se študentu lahko svetuje, da samostojno pregleda vizualno gradivo.

DEKODIRANJE BESEDILA:

Tema lekcije je "Trigonometrične funkcije numeričnega argumenta."

Vsako realno število t lahko povežemo z enolično definiranim številom cos t. Če želite to narediti, morate storiti naslednje:

1) številski krog postavite na koordinatno ravnino tako, da središče kroga sovpada z izhodiščem koordinat, začetna točka A kroga pa pade v točko (1;0);

2) na krogu poiščite točko, ki ustreza številu t;

3) poiščite absciso te točke. To je cos t.

Zato bomo govorili o funkciji s = cos t (es je enako kosinusu te), kjer je t poljubno realno število. Nekaj ​​pojma o tej funkciji že imamo:

• naučili so se izračunati nekatere vrednosti, na primer cos 0=1, cos = 0, cos = itd. (kosinus nič je enak ena, kosinus pi za dva je enak nič, kosinus pi za tri je enako eni polovici in tako naprej).
• in ker so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa medsebojno povezane, smo dobili nekaj predstave o še treh funkcijah: s = sint; s= tgt; s= ctgt. (es je enako sinusu te, es je enako tangensu te, es je enako kotangensu te)

Vse te funkcije imenujemo trigonometrične funkcije numeričnega argumenta t.

Iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa sledi nekaj razmerij:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te je enako ena)

2)tgt = za t ≠ + πk, kϵZ (tangens te je enak razmerju med sinusom te in kosinusom te, pri čemer te ni enak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3)ctgt = za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je enak razmerju med kosinusom te in sinusom te, kadar te ni enako pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (zmnožek tangensa te s kotangensom te je enak ena, če te ni enak vrhu ka, deljeno z dva, ka pripada zet)

Dokažimo še dve pomembni formuli:

Poglejmo si primere.

PRIMER 1. Poiščite stroške, tgt, ctgt, če je sint = in< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

rešitev. Iz prve relacije ugotovimo, da je kosinus na kvadrat te enak ena minus sinus na kvadrat te: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

To pomeni, da je cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinus na kvadrat te je enak devetindvajsetim), to je strošek = (kosinus te je enak trem petinam) ali strošek = - (kosinus te je enak minus tri petine). Argument t po pogoju sodi v drugo četrtino in v njej cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

To pomeni, da je kosinus te enak minus trem petinam, strošek = - .

Izračunajmo tangento te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(tangenta te je enaka razmerju med sinusom te in kosinusom te, torej štiri petine proti minus trem petinam in enaka minus štirim tretjinam)

V skladu s tem izračunamo (kotangens števila te. ker je kotangens te enak razmerju med kosinusom te in sinusom te,) ctgt = = - .

(kotangens te je enak minus tri četrtine).

Odgovor: stroški = - , tgt= - ; ctgt = - . (odgovor izpolnimo, ko ga rešimo)

PRIMER 2. Znano je, da je tgt = - in< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

rešitev. Uporabimo to razmerje in nadomestimo vrednost v to formulo, da dobimo:

1 + (-) 2 = (ena na kosinus kvadrat te je enaka vsoti ena in kvadrat minus osem petnajstin). Od tod najdemo cos 2 t =

(kosinus kvadrat te je enak dvesto petindvajset dvesto devetinosemdeset). To pomeni strošek = (kosinus te je petnajstin sedemnajstin) oz

strošek =. Po pogoju argument t sodi v četrto četrtino, kjer je strošek>0. Zato je strošek = .(cosenus te je enak petnajstim sedemnajstim)

Poiščimo vrednost argumenta sinus te. Ker je iz relacije (pokaži relacijo tgt = za t ≠ + πk, kϵZ) sinus te enak zmnožku tangente te s kosinusom te, potem je z zamenjavo vrednosti argumenta te..tangenta te enak minus osem petnajstin .. po pogoju in je kosinus te enak prej rešenemu, dobimo

sint = tgt ∙ stroški = (-) ∙ = - , (sinus te je enak minus osem sedemnajstin)

ctgt = = - . (ker je kotangens te recipročna vrednost tangensa, kar pomeni, da je kotangens te enak minus petnajst osemnajstin)

Ne glede na to, katero realno število t vzamemo, ga lahko povežemo z enolično definiranim številom sin t. Res je, pravilo ujemanja je precej zapleteno; kot smo videli zgoraj, je naslednje.

Če želite poiskati vrednost sin t s pomočjo števila t, potrebujete:

1) številski krog postavite v koordinatno ravnino tako, da središče kroga sovpada z izhodiščem koordinat, začetna točka A kroga pa pade na točko (1; 0);

2) poiščite točko na krogu, ki ustreza številu t;

3) poiščite ordinato te točke.

Ta ordinata je sin t.

Pravzaprav govorimo o funkciji u = sin t, kjer je t poljubno realno število.

Vse te funkcije se imenujejo trigonometrične funkcije numeričnega argumenta t.

Obstaja več relacij, ki povezujejo vrednosti različnih trigonometričnih funkcij; nekatere od teh relacij smo že dobili:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Iz zadnjih dveh formul je enostavno dobiti razmerje, ki povezuje tg t in ctg t:

Vse te formule se uporabljajo v primerih, ko je treba ob poznavanju vrednosti trigonometrične funkcije izračunati vrednosti drugih trigonometričnih funkcij.

Izrazi "sinus", "kosinus", "tangens" in "kotangens" so bili pravzaprav znani, vendar so se še vedno uporabljali v nekoliko drugačni razlagi: v geometriji in fiziki so šteli sinus, kosinus, tangens in kotangens. na čelu(ne

številke, kot je bilo v prejšnjih odstavkih).

Iz geometrije je znano, da je sinus (kosinus) ostrega kota razmerje med krakoma pravokotnega trikotnika in njegovo hipotenuzo, tangens (kotangens) kota pa razmerje krakov pravokotnega trikotnika. V prejšnjih odstavkih smo razvili drugačen pristop k konceptom sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Pravzaprav so ti pristopi med seboj povezani.

Vzemimo kot s stopinjsko mero b o in ga uredimo v modelu "številski krog v pravokotnem koordinatnem sistemu", kot je prikazano na sl. 14

vrh kota je združljiv s središčem

krogi (z izhodiščem koordinatnega sistema),

in ena stran vogala je združljiva z

pozitivni žarek osi x. Pika

presečišče druge stranice kota z

s krogom označimo črko M. Ordina-

Slika 14 b o, abscisa te točke pa je kosinus kota b o.

Da bi našli sinus ali kosinus kota b o, sploh ni treba vsakič izvajati teh zelo zapletenih konstrukcij.

Dovolj je omeniti, da sestavlja lok AM enak del dolžine številskega kroga kot kot b o iz vogala 360°. Če dolžino loka AM označimo s črko t, dobimo:

torej

na primer

Menijo, da je 30° stopinjska mera kota in radianska mera istega kota: 30° = rad. sploh:

Predvsem pa me veseli, od kod ga potem jemljemo.

Torej, kaj je 1 radian? Obstajajo različne mere dolžine segmentov: centimetri, metri, jardi itd. Obstajajo tudi različne mere za označevanje velikosti kotov. Upoštevamo središčne kote enotskega kroga. Kot 1° je središčni kot, ki ga sestavlja lok, ki je del krožnice. Kot 1 radiana je središčni kot, ki ga sega lok dolžine 1, tj. na loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. Iz formule ugotovimo, da je 1 rad = 57,3°.

Ko obravnavamo funkcijo u = sin t (ali katero koli drugo trigonometrično funkcijo), lahko neodvisno spremenljivko t obravnavamo kot numerični argument, kot je bilo v prejšnjih odstavkih, lahko pa to spremenljivko obravnavamo tudi kot merilo kot, tj. kotni argument. Zato, ko govorimo o trigonometrični funkciji, v določenem smislu ni pomembno, če jo obravnavamo kot funkcijo numeričnega ali kotnega argumenta.

Lekcija in predstavitev na temo: "Trigonometrična funkcija numeričnega argumenta, definicija, identitete"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 10. razred
Algebraične naloge s parametri, 9.–11
Programsko okolje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Kaj bomo študirali:
1. Definicija numeričnega argumenta.
2. Osnovne formule.
3. Trigonometrične identitete.
4. Primeri in naloge za samostojno reševanje.

Definicija trigonometrične funkcije numeričnega argumenta

Spomnimo se osnovnih formul:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Mimogrede, kako se imenuje ta formula?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, pri čemer je $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, za $t≠πk$.

Izpeljimo nove formule.

Trigonometrične identitete

Zdaj pa delimo obe strani identitete z $sin^2(t)$.
Dobimo: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Transformirajmo: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Dobimo novo identiteto, ki si jo je vredno zapomniti:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, za $t≠πk$.

Uspelo nam je pridobiti dve novi formuli. Zapomni si jih.
Te formule se uporabljajo, če je treba iz znane vrednosti trigonometrične funkcije izračunati vrednost druge funkcije.

Reševanje primerov na trigonometričnih funkcijah številskega argumenta

$cos(t) =\frac(5)(7)$, poišči $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ za vse t.

rešitev:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Potem $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) dolarjev.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Primer 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, poišči $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, za vse $0

rešitev:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Potem je $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Dobimo $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Potem $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, vendar $0 Kosinus v prvem četrtletju je pozitiven. Potem $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Dobimo: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno