Povezave so odnosi med elementi sistemov. Matematika

Tema 8. Odnosi in korespondence

Koncept binarnega odnosa med elementi množice

IN običajno življenje nenehno govorimo o odnosu med dvema objektoma. Na primer, x dela za vodstvo, x je oče, x in y sta prijatelja - to so odnosi med ljudmi. Številke več številk m, število je deljivo z y, števila in y pri deljenju s 3 dajo enak ostanek - to so razmerja med števili.

Vsaka matematična teorija se ukvarja z nizom nekaterih predmetov ali elementov. Za gradnjo matematična teorija Ne potrebujemo samo elementov samih, ampak tudi odnose med njimi. Za števila je smiseln koncept odnosov: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Vsa ta razmerja zadevajo dva predmeta. Zato se imenujejo binarne relacije.

Ko obravnavamo določene relacije, imamo vedno opravka z urejenimi pari, sestavljenimi iz elementov dani niz. Na primer, za relacijo "število x je za 4 večje od števila y", ki je obravnavana na množici X = (2, 6, 10, 14), bodo to urejeni pari (6,2), (10 , 6), (14, 10 ). So podmnožica kartezičnega produkta X X .

Opredelitev. Binarna relacija med elementi množice X ali relacija na množici X je katera koli podmnožica kartezičnega produkta X X.

Običajno se označijo binarne relacije z velikimi tiskanimi črkami latinska abeceda: P, T, S, R, Q itd. Torej, če je P relacija na množici X, potem je P X X. Množica vseh prvih elementov parov iz P se imenuje domena definicije relacije P. Množica vrednosti relacije P je množica vseh drugih elementov parov iz P.

V mnogih primerih je priročno uporabljati grafična podoba binarno razmerje.

Elementi množice X so predstavljeni s točkami, puščice pa povezujejo ustrezne elemente tako, da če se pojavi (x,y)P(xPy), potem je puščica narisana od točke do točke. Nastalo risbo imenujemo relacijski graf P, točke, ki predstavljajo elemente množice X

vozlišča grafa.

Na primer, graf relacije P: "število - delitelj števila", definiran na množici X = (5, 10, 20, 30,40), je prikazan na sl. 54.

Puščice grafa, katerih začetek in konec sta ista točka, se imenujejo zanke. Če na relacijskem grafu P spremenite smeri vseh puščic na

nasprotno, potem dobimo novo zvezo, ki jo imenujemo inverzna za P. Označujemo jo s P -1.

Metode za podajanje binarnih relacij, njihove lastnosti

Ker je relacija R med elementi množice X množica, katere elementi so urejeni pari, jo lahko podamo na enak način kot katero koli množico.

Najpogosteje je relacija R na množici X podana z uporabo značilna lastnost pari elementov v relaciji R. Ta lastnost je oblikovana kot stavek z dvema spremenljivkama. Na primer, med relacijami na množici X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) lahko upoštevamo naslednje: »število manjše število y je 2-krat«, »število je delitelj številau« itd.

Relacijo R na množici X lahko definiramo tudi tako, da naštejemo vse pare elementov, vzetih iz množice X in povezani z odnosom R.

Na primer, če zapišemo niz parov (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

Enako razmerje R je mogoče določiti z uporabo grafa (slika). Naj izpostavimo najpomembnejše lastnosti binarna razmerja.

Definicija 1. Relacija R na množici X se imenuje refleksivna, če je vsak element iz množice X v tej relaciji sam s seboj.

Na kratko povedano ta definicija lahko zapišemo takole: R je refleksiven na X xRx za vsak x X.

Očitno je, da če je relacija R na množici X refleksivna, potem obstaja zanka na vsaki točki relacijskega grafa. Prav tako velja nasprotna trditev.

Primeri refleksivnih relacij so relacije: “biti enak na množici vseh trikotnikov ravnine”, “x ≤ y”.

Upoštevajte, da obstajajo relacije, ki nimajo lastnosti refleksivnosti, na primer relacija pravokotnosti črt.

Definicija 2. Relacija R na množici X se imenuje simetrična, če je za kateri koli element X izpolnjen naslednji pogoj: če sta x in y v relaciji R, potem je tudi y v tej relaciji.

Na kratko: R je simetričen na X xRy yRx.

Graf simetrične relacije ima lastnost: če obstaja puščica, ki povezuje par elementov, potem nujno obstaja druga, ki povezuje iste elemente, vendar gre v nasprotni smeri. Velja tudi obratno.

Primeri simetričnih relacij so relacije: "biti medsebojno pravokoten na množici vseh premic ravnine", "biti podoben na množici vseh pravokotnikov ravnine".

Definicija 3. Če se za noben element in y iz množice X lahko zgodi, da sta xRy in yRx prisotna hkrati, potem relacijo R na množici X imenujemo asimetrična. Primer asimetričnega odnosa: "biti oče" (če - očetu, potem ne moreš biti oče).

Definicija 4. Relacija R na množici X se imenuje antisim-

Na primer, relacija "manj kot" na množici celih števil je antisimetrična.

Antisimetrični relacijski graf ima posebnost: če sta dve točki grafa povezani s puščico, potem obstaja samo ena puščica. Prav tako velja nasprotna trditev. Lastnost asimetrije je kombinacija lastnosti antisimetrije in pomanjkanja refleksivnosti.

Definicija 5. Relacija R na množici X se imenuje tranzitivna, če je za kateri koli element x, y, z X izpolnjen naslednji pogoj: če je x v relaciji R in y v relaciji R cz, potem je element x v relaciji R z elementom z.

Na kratko: R je tranzitiven na X xRy in yRz xRz.

Na primer, relacija "premica x je vzporedna s premico", definirana na množici premic v ravnini, je tranzitivna.

Tranzitivni relacijski graf ima posebnost: z vsakim parom puščic, ki gredo od x proti ky in oty proti z, vsebuje tudi puščico, ki gre od x proti z. Velja tudi obratno.

Upoštevajte, da obstajajo relacije, ki nimajo lastnosti tranzitivnosti. Na primer, relacija "stoji drug poleg drugega na polici" ni prehodna.

Ekvivalenčna relacija

Naj bo X množica ljudi. Na tej množici definiramo binarno relacijo R z uporabo zakona: aRb, če sta a in b rojena istega leta.

Preprosto je preveriti, da ima relacija R lastnosti refleksivnosti, simetrije in tranzitivnosti. Za relacijo R pravimo, da je ekvivalenčna relacija.

Definicija 1. Binarna relacija R na množici X imenujemo ekvivalenčna relacija, če je refleksivna, simetrična in tranzitivna.

Vrnimo se spet k relaciji R, ki jo na množici ljudi določa zakon: aRb, če sta a in b rojena istega leta.

Skupaj z vsako osebo a upoštevajte množico ljudi K a, ki so bili rojeni istega leta sa. Dve množici K a in K b niti nimata skupni elementi, ali popolnoma sovpadajo.

Množica množic K a predstavlja razdelitev množice vseh ljudi na razrede, saj iz njene konstrukcije izhaja, da sta izpolnjena dva pogoja: vsaka oseba je vključena v nek razred in vsaka oseba je vključena samo v en razred. Upoštevajte, da vsak razred sestavljajo ljudje, rojeni v istem letu.

Tako ekvivalenčna relacija R generira razdelitev množice X na razrede (ekvivalenčne razrede). Velja tudi obratno.

Izrek. Vsaka ekvivalenčna relacija na množici X ustreza razdelitvi množice X na razrede (ekvivalenčni razredi). Vsaka particija množic ustreza ekvivalenčni relaciji na množici X.

Ta izrek sprejmemo brez dokaza.

Iz izreka sledi, da je vsak razred, dobljen kot rezultat razdelitve množice na razrede, določen s katerim koli (enim) od njegovih predstavnikov, kar omogoča, da namesto preučevanja vseh elementov dane množice preučujemo samo celoto posameznih predstavnikov vsakega razreda.

Razmerje reda

Nenehno uporabljamo vrstne odnose v vsakdanjem življenju. Definicija 1. Vsaka antisimetrična in tranzitivna relacija R on

neko množico X imenujemo relacija reda.

Množica X, na kateri je podana relacija reda, se imenuje urejena.

Vzemimo množico X = (2, 4, 10, 24). Urejen je z razmerjem "x je večji" (slika 63).

Oglejmo si zdaj na tem še eno relacijo reda "x deli".

y" (slika 64).

Rezultat tega pregleda se morda zdi čuden. Relaciji "x je večji" in "x deli" razporedita množico X na različne načine. Razmerje x-večje vam omogoča primerjavo katerih koli dveh števil iz

niz X. Kar zadeva relacijo "x deli", nima takšne lastnosti. Torej par števil 10 in 24 ni povezan s tem razmerjem.

Definicija 2. Relacija reda R na neki množici X se imenuje relacija linearni red, če ima naslednjo lastnost: za kateri koli element u

množica X je xRy ali yRx.

Množica X, na kateri je podana relacija linearnega reda, se imenuje linearno urejena.

Linearno urejene množice imajo številne lastnosti. Naj bodo a, b, c elementi množice X, na katerih je določena relacija linearnega reda R. Če sta aRb in bRc, potem pravimo, da element b leži med elementoma a in .

Linearno urejena množica X se imenuje diskretna, če med katerima koli dvema njenima elementoma leži samo končna množica elementov.

Če za katera koli dva različna elementa linearno urejene množice X obstaja element množice, ki leži med njima, potem se množica X imenuje gosta.

Koncept korespondence med množicami. Metode za določanje korespondenc

Naj sta podani dve množici X in Y. Če je za vsak element x X določen za element Y, s katerim se ujema, potem naj bi bila vzpostavljena korespondenca med množicama X in Y.

Z drugimi besedami, korespondenca med elementi množic X in Y je katera koli podmnožica G kartezičnega produkta X in Y teh množic: G X Y .

Ker je ujemanje niz, ga je mogoče določiti na enak način kot kateri koli niz: z navedbo vseh parov (x, y), kjer

Ko sta množici X in Y končni, lahko korespondenco med elementi podamo v tabeli, kjer so elementi množice X zapisani v levem stolpcu, elementi množice Y pa v zgornji vrstici. Pari elementov, ki se ujemajo z G, bodo na presečišču ustreznih stolpcev in vrstic.

Korespondenco med dvema končnima množicama lahko prikažemo tudi z grafom. Množici X in Y sta prikazani kot ovali, elementi množic X in Y so označeni s pikami, ustrezni elementi pa so povezani s puščicami tako, da če se pojavi (x,y) G, potem je puščica narisana od točk do točke.

Na primer, graf, prikazan na sl. 16, nastavi korespondenco "Pisatelj x je napisal delo."

Ko so množice in Y numerični, je mogoče sestaviti korespondenčni graf G na koordinatna ravnina.

Korespondenca je inverzna od dane. Korespondenca ena na ena

Naj bo R ujemanje "Število je petkrat manjše od števila" med elementi množic X = (1, 2, 4, 5, 6) in

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

Graf te korespondence bo kot na sl. 23. Če spremenite smer puščic tega grafa v

nasprotno, potem dobimo graf (sl. 22) nove korespondence »Število y je petkrat večje od števila x«, upoštevano

med nizoma Y in X.

Ta korespondenca se imenuje inverzna korespondenca

koordinatnih kotov.

Predstavljajmo si situacijo: v avditoriju je na vsakem sedežu gledalec in za vsakega gledalca je prostor. V tem primeru pravijo, da med nizom

sedeži v dvorani in množica gledalcev so vzpostavili korespondenco ena proti ena.

Opredelitev. Naj sta podani dve množici X in Y. Ustreznost med elementi množic X in Y, pri kateri vsak element množice X ustreza enemu elementu množice Y in vsak element množice Y ustreza samo enemu elementu množice X, se imenuje ena proti ena.

Oglejmo si primere korespondenc ena proti ena. Primer 1. V vsaki šoli, vsakem razredu

ustreza kul reviji. Ta korespondenca je ena proti ena.

Primer 2. Podan je trikotnik ABC (slika 25). A 1 C 1 srednja črta trikotnika. Naj bo X množica točk na odseku A 1 C 1, Y množica točk na AC.

Poljubno točko x odseka A 1 C 1 povežemo z ogliščem B trikotnika z ravnim odsekom in

Nadaljujmo, dokler se ne preseka z AC na točki. Povežimo točki s tako zgrajeno točko. V tem primeru bo med nizoma X in Y vzpostavljena korespondenca ena proti ena.

Opredelitev. Množici X in Y pravimo enakovredni ali enako močni, če je med njima na nek način mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena. Enakovrednost dveh množic je označena takole: X ~ Y.

Koncept moči je posplošitev koncepta količine. To je razširitev koncepta količine na neskončne množice.

1. Matrični rang

3
5
2
4

2. Algebraični komplement elementa

A 23 = 12
A 23 = -34
A 23 = 34
A 23 = -12

3. Produkt matrik

- Prav

4. Če so vsi elementi v eni vrstici pravokotna matrika In dimenzije n x m, pomnožene z dva, nato pa rang matrike A...
se bo povečala za 2
ne bo spremenilo
se bo podvojila

5. Pravilno razmerje

- Prav

6. Odločilna vrednost

2
4
5
3

7. Medsebojni položaj ravne črte 4x - 2y - 6 = 0 in 8x - 4y - 2 = 0 na ravnini - ravne črte ...
vzporedno
sekajo
pravokotno
tekma

8. Naj sta x in y rešitvi sistema

4
7
5
6

9. Med spodnjimi enačbami označi enačbo elipse

10. Naj bo premica podana normalna enačba x sinα + y sinα – p = 0. Pravilna trditev
Če je OA pravokotnica, obnovljena iz izhodišča v premico, potem je α kot, ki ga tvori pravokotnica OA z osjo Ox
Če je OA navpičnica, obnovljena iz izhodišča na premico, potem je α dolžina te navpičnice
p - velikost segmenta, odrezanega z ravno črto na osi Ox
α je kot naklona premice v pozitivno smer osi Ox

11. Podan linearni sistem

sistem ima nešteto rešitev
sistem nima rešitve
sistem ima edinstveno rešitev
nič ni mogoče reči o prisotnosti rešitev (sistem lahko ima rešitev ali pa tudi ne)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Najdi pikasti izdelek vektorji

Če želite zgraditi matematično teorijo, ne potrebujete samo elementov samih, ampak tudi razmerja med njimi. Za števila je koncept enakosti smiseln: a = b. Če sta števili a in b različni, kaj? b, potem je možno a > b ali a

Dve ravni ravnini sta lahko pravokotni, vzporedni ali se sekata pod določenim kotom.

Vsa ta razmerja zadevajo dva predmeta. Zato se imenujejo binarne relacije.

Za preučevanje odnosov med predmeti v matematiki je bila ustvarjena teorija binarnih odnosov.

Ko obravnavamo določene relacije, imamo vedno opravka z urejenimi pari, sestavljenimi iz elementov dane množice. Na primer, za relacijo "večje za 4", ki je obravnavana na množici X = (2, 6, 10, 14), bodo to urejeni pari (2, 6), (6, 10), (10, 14), za relacije "razdeljeno" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Opazimo lahko, da so množice parov, ki definirajo relacije »večje od 4«, »deljivo«, podmnožice kartezičnega produkta.

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Definicija 1. Binarna relacija med elementi množice X ali relacija na množici X je katera koli podmnožica kartezičnega produkta X ´ X.

Binarne relacije so običajno označene z velikimi črkami latinske abecede: P, T, S, R, Q, itd. Torej, če je P relacija na množici X, potem P Ì X ´ X. Pogosto različni posebne znake, na primer =, >, ~, ½½, ^ itd. Množica vseh prvih elementov parov iz P se imenuje domena definicije relacije P. Množica vrednosti relacije P je množica vseh drugih elementov parov iz P.

Zaradi jasnosti so binarne relacije grafično prikazane s posebno risbo grafa. Elementi množice X so predstavljeni s pikami. Če velja (x, y) Î Р(хРу), potem je narisana puščica od točke x do točke y. Takšno risbo imenujemo relacijski graf P, točke, ki predstavljajo elemente množice X, pa so oglišča grafa. puščice kot robovi grafa.

Primer. Naj bo relacija P: "število x delitelj števila y" podana na množici

X = (5, 10, 20, 30, 40), prikazano na sliki 25.

Puščice grafa, katerih začetek in konec sta ista točka, se imenujejo zanke. Če spremenite smeri vseh puščic na relacijskem grafu P v nasprotno, boste dobili novo relacijo, ki jo imenujemo inverzna za P. Označimo jo s P–1. Upoštevajte, da xРу Û уР–1х.

Metode za določanje binarnih relacij.

Ker je relacija R med elementi množice X množica, katere elementi so urejeni pari, jo lahko podamo na enak način kot katero koli množico.

1. Najpogosteje je relacija R na množici X določena z uporabo karakteristične lastnosti parov elementov, ki so v relaciji R. Ta lastnost je formulirana v obliki stavka z dvema spremenljivkama.

Na primer, med relacijami na množici X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) lahko upoštevamo naslednje: »število x je 2-krat manjše od števila y«, »število x je delitelj števila y«, »število x je večje od števila y« in druge.

2. Relacijo R na množici X lahko definiramo tudi tako, da naštejemo vse pare elementov množice X, ki so povezani z relacijo R.

Na primer, če zapišemo niz parov (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), potem na nastavite X = (1, 2, 3, 4) bomo definirali neko relacijo R. Enako relacijo R lahko podamo tudi

3. z uporabo grafa (slika 26).

Lastnosti binarnih odnosov.

Definicija 2. Relacija R na množici X se imenuje refleksivna, če je vsak element iz množice X v tej relaciji sam s seboj.

Na kratko: R je refleksiven na X Û xRx za vsak x О X.

ali, kar je isto: na vsaki točki relacijskega grafa je zanka. Velja tudi obratno: če nima vsako vozlišče relacijskega grafa zanke, potem je to refleksivna relacija.

Primer. Refleksivna razmerja: "biti enak na množici vseh trikotnikov ravnine", "? in £ na množici vseh realnih števil."

Upoštevajte, da obstajajo relacije, ki nimajo lastnosti refleksivnosti (navedite primer "x je večji od y")

Definicija 3. Binarno relacijo R na množici X imenujemo antirefleksivno na X, če za vsak x iz X (x, x) Ï R, tj. za vsak x od X pogoj xRx ni izpolnjen.

Če je relacija R antirefleksivna, potem nobena točka njenega grafa nima zanke. Nasprotno: če nobena točka grafa nima zanke, potem graf predstavlja antirefleksno relacijo.

Primeri antirefleksivnih odnosov: »biti starejši«, »biti manjši«, »biti hči« itd.

Definicija 4. Relacija R na množici X se imenuje simetrična, če je za kateri koli element x Î X je pogoj izpolnjen: če sta x in y v relaciji R, sta tudi y in x v tej relaciji.

Na kratko: R je simetričen na X Û xRу Û yRx.

Graf simetrične relacije ima lastnost: če obstaja puščica, ki povezuje par elementov, potem nujno obstaja druga, ki povezuje iste elemente, vendar gre v nasprotni smeri. Velja tudi obratno.

Primeri simetričnih relacij so relacije: "biti medsebojno pravokoten na množici vseh premic ravnine", "biti podoben na množici vseh pravokotnikov ravnine".

Definicija 5. Če se za noben element x in y iz množice X ne more zgoditi, da se xRy in yRx pojavita hkrati, potem relacijo R na množici X imenujemo asimetrična.

Primer asimetrične relacije: »biti oče« (če je x oče y-ja, potem y ne more biti oče x-a).

Definicija 6. Relacija R na množici X se imenuje antisimetrična, če za različne elemente x, y О X Iz dejstva, da je element x v relaciji R z elementom y, sledi, da element y ni v relaciji R z elementom x.

Na kratko: R je antisimetričen na X Û xRу in x? y? .

Na primer, relacija "manj kot" na množici celih števil je antisimetrična.

Antisimetrični relacijski graf ima posebnost: če sta dve točki grafa povezani s puščico, potem obstaja samo ena puščica. Prav tako velja nasprotna trditev.

Upoštevajte, da obstajajo relacije, ki nimajo niti lastnosti simetrije niti lastnosti antisimetrije.

Opredelitev7. Relacija R na množici X se imenuje tranzitivna, če je za kateri koli element x, y, z О X izpolnjen naslednji pogoj: če je x v relaciji R z y in je y v relaciji R z z, potem je element x je v relaciji R z elementom z.

Na kratko: R je tranzitiven na X Û xRу in уRz? xRz.

Na primer, relacija "premica x je vzporedna s premico y", definirana na množici premic v ravnini, je tranzitivna.

Graf tranzitivne relacije ima to posebnost, da za vsak par puščic, ki gredo od x proti y in od y proti z, vsebuje tudi puščico, ki gre od x proti z. Velja tudi obratno.

Upoštevajte, da obstajajo relacije, ki nimajo lastnosti tranzitivnosti. Na primer, relacija "stoji drug poleg drugega na polici" ni prehodna.

Vse splošne lastnosti odnose lahko razdelimo v tri skupine:

refleksivnost (vsak odnos je refleksiven ali antirefleksiven),

simetrija (razmerje je vedno bodisi simetrično, asimetrično ali antisimetrično),

tranzitivnost (vsaka relacija je tranzitivna ali neprehodna). Relacije, ki imajo določen niz lastnosti, dobijo posebna imena.

Tesna povezava elementov v sistemu je določena s fizičnimi ali bolje rečeno naravnimi odnosi med njimi ali drugimi temeljnimi lastnostmi sistema, na primer ekonomskimi, socialnimi, ki označujejo razvoj človeške družbe.

Globina takšnih povezav je odvisna od ravni sistema v hierarhiji povezanih sistemov predmetno področje obstoj kompleksnega predmeta, ki se preučuje. Povezave vključujejo tako splošne odnose med elementi narave in družbe, ki sestavljajo sistem, kot zasebne, ki se nanašajo na določen omejen obseg njegovih elementov. V zvezi z zgoraj navedenim se te povezave imenujejo bodisi splošni zakoni narave (osnovno) oz zasebno, ki se nanašajo na omejen nabor pojavov (empirični zakoni) ali na trende, ki se kažejo v obliki nekaterih ponovitev v množičnih pojavih in imenovanih pravilnosti.

Temeljne povezave imenujemo zakoni. Pravo je filozofska kategorija, ki ima lastnosti univerzalnosti v zvezi z vsemi naravnimi predmeti, pojavi in ​​dogodki. V zvezi s tem je definicija zakona naslednja: zakon je bistveno, stabilno, ponavljajoče se razmerje med kakršnimi koli pojavi.

Pravo izraža določeno povezavo med samimi sistemi, sestavni elementi asociacije predmetov in pojavov, pa tudi znotraj samih predmetov in pojavov.

Ni vsaka povezava zakon. Lahko je nujno in naključno, Zakon je nujna povezava. Izraža bistveno povezanost stvari, ki sobivajo v prostoru (materialnih tvorb v splošnem pomenu).

Vse zgoraj povedano velja za zakoni delovanja(obstoj naravno okolje ali pa jih je umetno ustvaril človek). Obstajajo tudi zakonitosti razvoja, ki izraža trend, smer ali vrstni red dogodkov v času. Vseh naravnih zakonov ne ustvarja človek, obstajajo v svetu objektivno in izražajo razmerja med stvarmi ter se odražajo tudi v človekovi zavesti.

Kot že omenjeno, se zakoni delijo glede na stopnjo splošnosti. Univerzalni zakoni so filozofski zakoni. Tudi temeljni naravni zakoni so v svoji splošnosti razdeljeni v dva velika razreda. Do bolj splošnih, ki jih proučujejo številne ali celo najrazličnejše vede (sem sodijo na primer zakoni o ohranjanju energije in informacij itd.). In manj splošni zakoni, ki segajo do omejena območja, ki jih preučujejo posebne vede (fizika, kemija, biologija).

Empirične zakonitosti preučujejo posebne vede, kamor sodijo vse tehnične vede. Kot primer lahko vzamemo disciplino trdnost materialov. Preučuje predmete in sisteme, v katerih vse deluje. temeljni zakoni in empirični zakoni, ki temeljijo na eksperimentalnih podatkih in se nanašajo na subjekte discipline samo tiste mehanska telesa, ki upoštevajo Hookov zakon: deformacija telesa je premo sorazmerna s silo, ki deluje na telo (in obratno).

IN tehnične vede Obstajajo razdelki, ki temeljijo na bolj specifičnih empiričnih povezavah, sprejetih kot aksiomi.

Nekateri zakoni izražajo strogo kvantitativno odvisnost in so fiksni matematične formule, drugi pa še niso primerni za formalizacijo, kar kaže na obvezno naravo ene vrste dogodka zaradi nastanka drugega, npr.

Nekateri zakoni - odločen, to je - to je, da so vzpostavljeni na podlagi vzročnosti - preiskovalne povezave natančna količinska razmerja, drugi - statistični, ki določa verjetnost pojava dogodka pod določenimi pogoji.

V naravi zakoni delujejo kot spontana sila. Vendar jih je ob poznavanju zakonov mogoče namensko uporabljati v praktične dejavnosti(kot sila tlaka pare v parnih strojih, kot sila stisnjen plin v motorjih z notranjim zgorevanjem).

Družbenozgodovinski zakoni se ne razlikujejo veliko od zakonov narave, vendar delujejo med misleči ljudje. Poznavanje teh zakonitosti prispeva k boljši organiziranosti gospodarstva in družbe.

Tako je preučevanje zakonov narave in družbe primarna naloga človeštva. Samo poznavanje zakonov in razvoj ukrepov za njihovo pravilno uporabo lahko zagotovita razvijajočemu se in rastočemu človeštvu hrano in okolje umetno ustvarjenih razmer, v katerih lahko obstaja.

Hitrost reševanja novih težav, ki se pojavijo, je odvisna od tega, koliko rezerve znanstvena spoznanja ljudje varčevali za v tem trenutku in kako je bilo obdelano in razumljeno. Razumevanje znanstvenih spoznanj vodi do formulacije znanstveni problem, katerega rešitev lahko vodi do dokončanja teorije o tem obsegu vprašanj in uporabe strožjih zaključkov v praktičnih zadevah. Znanstveni problem- ne le filozofska kategorija v opisanem smislu, ampak tudi praktična, od katere je odvisno, kako teoretična znanost, kot tudi njegovo praktično implementacijo v življenja ljudi.

Iz tega pojasnjevalnega dela pomena znanstvenega problema za popolnost teorije izhaja njegova definicija: znanstveni problem je protislovna situacija, ki se pojavi v obliki nasprotujočih si stališč pri razlagi kakršnih koli pojavov, predmetov, procesov in zahteva ustrezna enotna teorija za rešitev.

Pomemben predpogoj za njegovo uspešno rešitev je pravilno pozicioniranje. Glej protislovja v prejetem empirično znanje, posvetiti jim pozornost in postaviti vprašanje o odpravi tega protislovja pomeni začeti reševati znanstveni problem in napredovati znanost k napredku. Ni brez razloga, da so v znanosti ljudje, ki so sposobni formulirati probleme, čaščeni celo bolj kot raziskovalci, ki so posebej rešili formuliran problem. Oblikovanje napačnih problemov vodi v veliko stagnacijo znanosti.

Kategorija "znanstveni problem" je neposredno povezana s kategorijo "hipotezo". Hipoteze se najprej uporabljajo za teoretično odpravo protislovij znanstvenega problema. Takšne hipoteze (predpostavke), če so uspešne, se spremenijo celo v temeljne teorije (Newtonova predpostavka o sili privlačnosti med dvema fizičnima telesoma).

Hipoteze se uporabljajo tudi v tehničnih vedah, kjer so zasebni značaj in predstaviti opis metode interakcije med dejavniki, ki določajo obnašanje preučevanega predmeta in njegovih elementov. V tem primeru se hipoteza imenuje delovna hipoteza, ki kot v znanstveni problem, je mogoče na podlagi eksperimentalnih podatkov dokazati ali zavrniti.

Hipoteza je torej domneva o verjetnem (možnem) vzorcu spreminjanja pojava, predmeta, dogodka, ki ni dokazan, a se zdi verjeten.

Uporabnost hipoteze je v tem, da mobilizira raziskovalce k oblikovanju eksperimentalnih nalog, da bi dokazali pravilnost postavljene hipoteze. In če dobimo drugačen rezultat, nam bo zbrani material omogočil, da popravimo hipotezo in načrtujemo nadaljnje znanstvenoraziskovalno delo.

V bolj splošni formulaciji je modeliranje kot metoda znanstvene metodologije sestavljeno iz prehoda od neformalno pomembnih idej o predmetu, ki se preučuje, do uporabe matematičnih modelov.

Teoretični nivo modeli, pridobljeni na podlagi aksiomov, pravil za izpeljavo izrekov, pravil korespondence so dodatno nadgrajeni na podlagi hipotiko-deduktivnih določil s formulacijo posledic, pridobljenih z analizo postavljenih hipotez. Matematični aparat, uporabljen v tem primeru, je le sredstvo za pridobivanje novega znanja in nikakor končni cilj metodološka analiza.

Za kompilacijo matematični model sledi njegova uporaba, katere namen je pridobitev informacij, ki so pred nastankom manjkale, t.j. dobljeni model mora biti hevrističen. To dejanje spremeni metodologijo v eksperimentalna znanost, kar omogoča preverjanje njegovih zaključkov v praksi.

Model in njegove lastnosti.

Formalizacija obstoječe znanje o preučevanem sistemu (prevajalec modela) izdela model, da pridobi potrebne lastnosti sistema: konsistentnost; popolnost; neodvisnost aksiomskega sistema; vsebino. Dober primer izpolnitev teh lastnosti so teorije neevklidskih geometrij Lobačevskega, Gaussa, Bolyaija v 19. stoletju. Italijan Beltrami je pokazal, da obstajajo resnična telesa, na površini katerih so izpolnjeni zakoni geometrije Lobačevskega.

Ob zori teoretičnega razumevanja človeškega znanja je razvoj teorij vedno potekal od posameznih primerov k splošnemu. Trenutno so se pojavile metode za modeliranje predmetov, ki temeljijo na strukturiranju matematičnega modela. Veriga razvoja takšnega znanja poteka v obratnem vrstnem redu. Najprej pride aksiomatika matematični opis dogodek (objekt), ki ga proučujemo, in na njegovi podlagi oblikujemo konceptualni model – paradigmo. Hkrati so načela skladnosti med naravnimi procesi in teoretične sheme(modeli). Namesto preprostega sovpadanja rezultatov izračuna po modelu z eksperimentalnimi podatki eksperimentov, upoštevamo primerjalne značilnosti njihov matematičnih algoritmov doseganje rezultatov pri drugih (posrednih) parametrih. Ta načela vključujejo na primer načela preprostost in lepota znanstvene teorije . Poleg tega je v tem primeru model uveden z novim matematičnim aparatom skupaj z interpretacijo, tj. Izhodišče v njem je matematični formalizem, ki je sposoben v jeziku matematike razložiti določeno bistvo, ki se kaže v izkustvu. Prav ta korak otežuje empirično preverjanje, saj je treba ne le opisno enačbo, ampak tudi njeno interpretacijo preveriti z izkušnjami.

Vpeljan matematični aparat v tem primeru vsebuje nekonstruktivne elemente, ki lahko posledično vodijo v neskladje med teorijo in izkušnjo. Opozoriti je treba, da je ravno to specifika moderne znanstveno raziskovanje. Po drugi strani pa ta značilnost sodobnih znanstvenih raziskav ogroža možnost zavrženja predlagane obetavne naprave. Da se to ne bi zgodilo, je treba to plat zadeve obravnavati ločeno - odpravljanje neskladij na podlagi poskusa (primer bi bil kvantna fizika in elektrodinamika).

Stari sistem klasična fizika interpretacije znanstvena dejstva Hkrati se je spremenilo v postopno "ustvarjanje" približne matematično oblikovane teorije realnega procesa na prvotni model. Postavlja se vprašanje, kaj potiska raziskovalce k takšnemu algoritmu delovanja, tj. Kakšni so vzgibi za takšen način oblikovanja teoretične slike? Na to daje metodologija znanosti zelo jasen odgovor: intrinzična vrednost resnice; vrednost novosti.

Vse našteto dosegamo z uporabo naslednjih raziskovalnih načel: a) prepoved plagiatorstva; b) dopustnost kritične revizije podlage znanstvenega raziskovanja; c) enakost vseh (tudi genijev) pred resnico; d) prepoved ponarejanja in goljufij

Primer tega je povezava Einstein-Lorentz. Prvi po takratni neuradni oceni je bil takrat manj merodajen, vendar so se njegovi elementi relativnostne teorije spremenili v temeljna teorija. .

Kljub številnim delom o matematičnem modeliranju se je pojavilo nekaj težav pri oblikovanju natančnega koncepta matematično modeliranje. Ti (modeli) in njihova vsebina so preveč raznoliki. Na splošno je jasno, da se od modela zahteva nekaj več kot primerjava z realnostjo: model mora nujno zagotoviti informacije o lastnostih simuliranih predmetov in pojavov. Zato bi morala biti sprejemljiva definicija modela tista, ki ne vključuje posebnih negotovosti. Na primer: model danega predmeta je drug objekt, ki se primerja z originalnim modeliranim in katerega določene lastnosti odražajo (shranjujejo) izbrane lastnosti predmeta na dani način.

Model mora odražati vse znano (včasih nekaj znane lastnosti) o predmetu in napovedati ali oblikovati nove informacije o njem v morebitnih novih pogojih obstoja. Namen modeliranja je torej funkcija reprezentacije (opisa) v primeru razlage pojavov, ki jih model obravnava. V tem primeru model deluje kot teorija. In kljub temu je ostro nasprotje med matematično (formalno) in vsebinsko platjo modela kot celote nevzdržno. Upoštevajoč specifično plat oblikovanja modela, lahko povzamemo, da matematika deluje kot najpomembnejše sredstvo razvijanje smiselnih idej o pojavu, ki ga proučujemo skozi celotno študijo.

Beseda "skladnost" se v ruščini uporablja precej pogosto; pomeni razmerje med nečim, izraža doslednost, enakost v nekem pogledu ( razlagalni slovar Ožegova).

V življenju pogosto slišite: »Ta učbenik ustreza temu programu, ta učbenik pa ne ustreza (lahko pa ustreza drugemu programu); To jabolko ustreza najvišjemu razredu, a to je šele prvo.” Pravimo, da ta odgovor na izpitu ustreza oceni »odlično«, medtem ko ta odgovor ustreza oceni »dobro«. Pravimo, da tej osebi pristajajo (v smislu pristajanja) oblačila velikosti 46. V skladu z navodili morate storiti to in ne drugače. Obstaja ujemanje med številko sončni dnevi na leto in donos pridelka.

Če poskusite analizirati te primere, boste opazili, da v vseh primerih govorimo o o dveh razredih objektov, med objekti iz istega razreda pa se vzpostavi z določena pravila neka povezava s predmeti drugega razreda. Na primer, v primeru oblačil, ki ustrezajo določeni velikosti, so en razred predmetov ljudje, drugi razred predmetov pa nekateri naravna števila, ki igrajo vlogo velikosti oblačil. Nastavimo lahko pravilo, s katerim se ugotavlja skladnost, na primer z uporabo naravnega algoritma - preizkušanje določene obleke ali ugotavljanje njene primernosti "na oko".

Upoštevali bomo korespondence, za katere so popolnoma definirani razredi objektov, med katerimi se vzpostavi korespondenca, in pravilo za vzpostavitev korespondence. Številni primeri Takšne korespondence so preučevali v šoli. Najprej so to seveda funkcije. Vsaka funkcija je primer korespondence. Dejansko upoštevajte na primer funkcijo pri = X+ 3. Če ni posebej navedeno o domeni definicije funkcije, se šteje, da je vsaka številska vrednost argumenta X ustreza številčna vrednost pri, ki se nahaja po pravilu: do X morate dodati 3. V tem primeru se vzpostavi korespondenca med sklopi R in R realna števila.

Upoštevajte, da vzpostavljanje povezav med dvema nizoma X in Y povezana z obravnavo parov predmetov, sestavljenih iz elementov množice X in ustrezni elementi množice Y.

Opredelitev. Skladnost med sklopi X in Y imenujemo vsako neprazno podmnožico kartezičnega produkta X ´ Y.

Mnogi X klical območje odhoda vžigalice, set Y – območje prihoda skladnost.

Ujemanja med množicami so običajno označena z velikimi tiskanimi črkami Latinska abeceda je npr. R, S, T. če R– nekaj korespondence med sklopi X in Y, potem je po definiciji korespondence RÍ X´ Y in R≠ Æ. Časovno ujemanje med sklopi X in Y je vsaka podmnožica kartezičnega produkta X ´ Y, tj. je množica urejenih parov, potem so metode za določanje korespondenc v bistvu enake kot metode za določanje množic. Torej, ujemanje R med sklopi X in Y lahko nastavite:

a) naštevanje vseh parov elementov ( x, y) Î R;

b) označuje značilno lastnost, ki jo imajo vsi pari ( x, y) nizov R in noben par, ki ni njegov element, ga nima.

PRIMERI.

1) Skladnost R med sklopi X= (20, 25) in Y= (4, 5, 6) je podana z navedbo značilne lastnosti: “ X večkratno pri»,
X Î X, pri Î Y. Potem mnogi R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Skladnost R med sklopi X= (2, 4, 6, 8) in

Y= (1, 3, 5), podana z nizom parov R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

če R– ujemanje med dvema številčnima nizoma X in Y, nato prikazuje vse pare števil, ki ustrezajo R na koordinatni ravnini dobimo lik, ki ga imenujemo korespondenčni graf R. Nasprotno pa se katera koli podmnožica točk na koordinatni ravnini obravnava kot graf neke korespondence med numeričnimi nizi X in Y.

Ujemanje grafa

Za vizualni prikaz ujemanja med končnimi množicami se poleg grafov uporabljajo tudi grafi. (Od grška beseda“grapho” – pišem, primerjaj: graf, telegraf).

Izdelati korespondenčni graf med množicami X in Y elementi vsakega od nizov so prikazani kot točke na ravnini, nato pa so narisane puščice X Î X Za pri Î Y, če par ( x, y) spada v to korespondenco. Rezultat je risba, sestavljena iz pik in puščic.

PRIMER Dopisovanje R med sklopi X= (2, 3, 4, 5) in Y= (4, 9) je podana z naštevanjem parov R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Na enak način lahko napišete 4 R 4, 3R 9. In na splošno, če je par
(x, y) Î R, potem pravijo, da element X Î X ujema se z elementom pri Î Y in zapiši xRу. Element 2 О X imenujemo obratna podoba elementa
4 Î Y pod pogojem skladnosti R in je označen kot 4 R-1 2. Podobno lahko zapišete 4 R -1 4, 9R -1 3.