Izdelava matematičnih modelov. Matematični model v praksi Kakšna vrsta matematičnih modelov uporablja algoritme

Matematično modeliranje

1. Kaj je matematično modeliranje?

Od sredine 20. stoletja. Matematične metode in računalniki so se začeli široko uporabljati na različnih področjih človeške dejavnosti. Pojavile so se nove discipline, kot so »matematična ekonomija«, »matematična kemija«, »matematična lingvistika« itd., ki preučujejo matematične modele relevantnih predmetov in pojavov ter metode za preučevanje teh modelov.

Matematični model je približen opis katerega koli razreda pojavov ali predmetov realnega sveta v matematičnem jeziku. Glavni namen modeliranja je raziskovanje teh objektov in napovedovanje rezultatov prihodnjih opazovanj. Vendar pa je modeliranje tudi metoda razumevanja sveta okoli nas, ki omogoča nadzor nad njim.

Matematično modeliranje in z njim povezan računalniški eksperiment sta nepogrešljiva v primerih, ko je eksperiment v polnem obsegu iz takšnih ali drugačnih razlogov nemogoč ali otežen. Na primer, v zgodovini je nemogoče postaviti naravni eksperiment, da bi preverili, »kaj bi se zgodilo, če ...« Nemogoče je preveriti pravilnost ene ali druge kozmološke teorije. Možno je, a malo verjetno, da bi bilo razumno, eksperimentirati s širjenjem bolezni, kot je kuga, ali izvesti jedrsko eksplozijo, da bi preučili njene posledice. Vendar pa je vse to mogoče storiti na računalniku, tako da najprej zgradimo matematične modele pojavov, ki jih proučujemo.

2. Glavne stopnje matematičnega modeliranja

1) Gradnja modela. Na tej stopnji je določen nek "nematematični" predmet - naravni pojav, zasnova, gospodarski načrt, proizvodni proces itd. V tem primeru je praviloma jasen opis situacije težaven. Najprej so identificirane glavne značilnosti pojava in povezave med njimi na kvalitativni ravni. Nato se ugotovljene kvalitativne odvisnosti oblikujejo v jeziku matematike, to je, da se zgradi matematični model. To je najtežja faza modeliranja.

2) Reševanje matematičnega problema, do katerega vodi model. Na tej stopnji se veliko pozornosti namenja razvoju algoritmov in numeričnih metod za reševanje problema na računalniku, s pomočjo katerih je mogoče najti rezultat z zahtevano natančnostjo in v sprejemljivem času.

3) Interpretacija dobljenih posledic iz matematičnega modela. Posledice, ki izhajajo iz modela v jeziku matematike, se interpretirajo v jeziku, ki je sprejet na tem področju.

4) Preverjanje ustreznosti modela. Na tej stopnji se ugotovi, ali se eksperimentalni rezultati ujemajo s teoretičnimi posledicami modela z določeno natančnostjo.

5) Sprememba modela. Na tej stopnji se bodisi model zakomplicira, da bolj ustreza realnosti, bodisi se poenostavi, da se doseže praktično sprejemljiva rešitev.

3. Razvrstitev modelov

Modele lahko razvrstimo po različnih merilih. Na primer, glede na naravo problemov, ki jih rešujemo, lahko modele razdelimo na funkcionalne in strukturne. V prvem primeru so vse količine, ki označujejo pojav ali predmet, izražene kvantitativno. Poleg tega se nekatere obravnavajo kot neodvisne spremenljivke, druge pa kot funkcije teh količin. Matematični model je običajno sistem enačb različnih vrst (diferencialnih, algebrskih itd.), ki vzpostavljajo kvantitativne odnose med obravnavanimi količinami. V drugem primeru model označuje strukturo kompleksnega predmeta, sestavljenega iz posameznih delov, med katerimi obstajajo določene povezave. Običajno teh povezav ni mogoče količinsko opredeliti. Za izdelavo takšnih modelov je priročno uporabiti teorijo grafov. Graf je matematični objekt, ki predstavlja niz točk (točk) na ravnini ali v prostoru, od katerih so nekatere povezane s črtami (robovi).

Glede na naravo začetnih podatkov in rezultatov lahko napovedne modele razdelimo na deterministične in verjetnostno-statistične. Modeli prve vrste dajejo določene, nedvoumne napovedi. Modeli druge vrste temeljijo na statističnih informacijah, napovedi, pridobljene z njihovo pomočjo, pa so verjetnostne narave.

4. Primeri matematičnih modelov

1) Težave o gibanju izstrelka.

Razmislite o naslednjem mehaničnem problemu.

Projektil se izstreli z Zemlje z začetno hitrostjo v 0 = 30 m/s pod kotom a = 45° na njeno površino; potrebno je najti trajektorijo njegovega gibanja in razdaljo S med začetno in končno točko te trajektorije.

Potem, kot je znano iz šolskega tečaja fizike, je gibanje projektila opisano s formulami:

kjer je t čas, g = 10 m/s 2 gravitacijski pospešek. Te formule nudijo matematični model problema. Če izrazimo t skozi x iz prve enačbe in jo zamenjamo v drugo, dobimo enačbo za trajektorijo izstrelka:

Ta krivulja (parabola) seka os x v dveh točkah: x 1 = 0 (začetek trajektorije) in (mesto padca izstrelka). Če nadomestimo dane vrednosti v0 in a v nastale formule, dobimo

odgovor: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Upoštevajte, da so bile pri izdelavi tega modela uporabljene številne predpostavke: na primer, predpostavlja se, da je Zemlja ravna, zrak in vrtenje Zemlje pa ne vplivata na gibanje izstrelka.

2) Problem o rezervoarju z najmanjšo površino.

Treba je najti višino h 0 in polmer r 0 kositrnega rezervoarja s prostornino V = 30 m 3, ki ima obliko zaprtega krožnega valja, pri katerem je njegova površina S minimalna (v tem primeru najmanjša količina kositra bo uporabljena za njegovo proizvodnjo).

Zapišimo naslednje formule za prostornino in površino valja z višino h in polmerom r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Če izrazimo h skozi r in V iz prve formule in nadomestimo dobljeni izraz v drugo, dobimo:

Tako se z matematičnega vidika problem zmanjša na določitev vrednosti r, pri kateri funkcija S(r) doseže svoj minimum. Poiščimo tiste vrednosti r 0, za katere je derivat

gre na nulo: Lahko preverite, ali drugi odvod funkcije S(r) spremeni predznak iz minusa v plus, ko gre argument r skozi točko r 0 . Posledično ima v točki r0 funkcija S(r) minimum. Ustrezna vrednost je h 0 = 2r 0 . Če dano vrednost V nadomestimo v izraz za r 0 in h 0, dobimo želeni polmer in višina

3) Problem transporta.

Mesto ima dve skladišči moke in dve pekarni. Vsak dan se iz prvega skladišča v tovarne odpelje 50 ton moke, iz drugega pa 70 ton, v prvo 40 ton, v drugo pa 80 ton.

Označimo z a ij je strošek prevoza 1 tone moke iz i-tega skladišča v j-ti obrat (i, j = 1,2). Pustiti

a 11 = 1,2 rublja, a 12 = 1,6 rublja, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Kako načrtovati prevoz, da bo njegov strošek minimalen?

Dajmo problemu matematično formulacijo. Z x 1 in x 2 označimo količino moke, ki jo je treba prepeljati iz prvega skladišča v prvo in drugo tovarno, z x 3 in x 4 pa iz drugega skladišča v prvo oziroma drugo tovarno. Nato:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Skupni stroški vseh prevozov so določeni s formulo

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Z matematičnega vidika je problem najti štiri števila x 1, x 2, x 3 in x 4, ki izpolnjujejo vse dane pogoje in dajejo minimum funkcije f. Rešimo sistem enačb (1) za xi (i = 1, 2, 3, 4) tako, da izločimo neznanke. To razumemo

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

in x 4 ni mogoče določiti enolično. Ker je x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz enačb (2) sledi, da je 30Ј x 4 Ј 70. Če zamenjamo izraz za x 1, x 2, x 3 v formulo za f, dobimo

f = 148 – 0,2x 4.

Preprosto je videti, da je minimum te funkcije dosežen pri največji možni vrednosti x 4, to je pri x 4 = 70. Ustrezne vrednosti drugih neznank so določene s formulami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnega razpada.

Naj bo N(0) začetno število atomov radioaktivne snovi, N(t) pa število nerazpadlih atomov v času t. Eksperimentalno je bilo ugotovljeno, da je hitrost spreminjanja števila teh atomov N"(t) sorazmerna z N(t), to je N"(t)=–l N(t), l >0 je konstanta radioaktivnosti dane snovi. Pri šolskem tečaju matematične analize je prikazano, da ima rešitev te diferencialne enačbe obliko N(t) = N(0)e –l t. Čas T, v katerem se število začetnih atomov prepolovi, imenujemo razpolovna doba in je pomembna značilnost radioaktivnosti snovi. Za določitev T moramo vnesti formulo Potem Na primer, za radon l = 2,084 · 10 –6 in zato T = 3,15 dni.

5) Problem trgovskega potnika.

Trgovski popotnik, ki živi v mestu A 1, mora obiskati mesta A 2 , A 3 in A 4 , vsako mesto natanko enkrat, nato pa se vrniti nazaj v A 1 . Znano je, da so vsa mesta v parih povezana s cestami, dolžine cest b ij med mestoma A i in A j (i, j = 1, 2, 3, 4) pa so naslednje:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Treba je določiti vrstni red obiska mest, v katerih je dolžina ustrezne poti minimalna.

Vsako mesto upodobimo kot točko na ravnini in jo označimo z ustrezno oznako Ai (i = 1, 2, 3, 4). Povežimo te točke z ravnimi črtami: predstavljale bodo ceste med mesti. Za vsako »cesto« navedemo njeno dolžino v kilometrih (slika 2). Rezultat je graf – matematični objekt, sestavljen iz določenega niza točk na ravnini (imenovanih oglišča) in določenega niza črt, ki te točke povezujejo (imenovanih robovi). Poleg tega je ta graf označen, saj so njegovim vozliščem in robom dodeljene oznake - številke (robovi) ali simboli (vozila). Cikel na grafu je zaporedje vozlišč V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tako, da so vozlišča V 1 , ..., V k različna, in vsak par vozlišč V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) in par V 1, V k sta povezana z robom. Tako je obravnavani problem najti cikel na grafu, ki poteka skozi vsa štiri vozlišča, za katerega je vsota vseh uteži robov minimalna. Poiščimo vse različne cikle, ki potekajo skozi štiri vozlišča in se začnejo pri A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Poiščimo zdaj dolžine teh ciklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Pot najkrajše dolžine je torej prva.

Upoštevajte, da če je v grafu n oglišč in so vsa oglišča v parih povezana z robovi (takšen graf se imenuje popoln), potem je število ciklov, ki potekajo skozi vsa oglišča, torej v našem primeru natanko trije cikli.

6) Problem iskanja povezave med zgradbo in lastnostmi snovi.

Oglejmo si več kemičnih spojin, imenovanih normalni alkani. Sestavljeni so iz n atomov ogljika in n + 2 atomov vodika (n = 1, 2 ...), medsebojno povezanih, kot je prikazano na sliki 3 za n = 3. Naj bodo znane eksperimentalne vrednosti vrelišč teh spojin:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Za te spojine je treba najti približno razmerje med vreliščem in številom n. Predpostavimo, da ima ta odvisnost obliko

y" a n+b,

Kje a, b - konstante, ki jih je treba določiti. Najti a in b v to formulo zaporedno nadomestimo n = 3, 4, 5, 6 in ustrezne vrednosti vrelišč. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Za določitev najboljšega a in b obstaja veliko različnih metod. Uporabimo najpreprostejši od njih. Izrazimo b skozi a iz teh enačb:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Vzemimo aritmetično sredino teh vrednosti kot želeni b, to pomeni, da b » 16 – 4,5 a. Nadomestimo to vrednost b v prvotni sistem enačb in izračunajmo a, dobimo za a naslednje vrednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Vzemimo kot zahtevano a povprečna vrednost teh številk, to je, dajmo a" 34. Zahtevana enačba ima torej obliko

y » 34n – 139.

Preverimo točnost modela na izvirnih štirih spojinah, za katere izračunamo vrelišča po dobljeni formuli:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Tako napaka pri izračunu te lastnosti za te spojine ne presega 5°. Z dobljeno enačbo izračunamo vrelišče spojine z n = 7, ki ni vključena v prvotni niz, za kar v to enačbo nadomestimo n = 7: y р (7) = 99°. Rezultat je bil precej natančen: znano je, da je eksperimentalna vrednost vrelišča y e (7) = 98°.

7) Problem določanja zanesljivosti električnega tokokroga.

Tu si bomo ogledali primer verjetnostnega modela. Najprej predstavljamo nekaj informacij iz teorije verjetnosti – matematične discipline, ki preučuje vzorce naključnih pojavov, opaženih med ponavljajočimi se poskusi. Recimo naključnemu dogodku A možen rezultat nekega poskusa. Dogodki A 1, ..., A k tvorijo popolno skupino, če se eden od njih nujno pojavi kot rezultat poskusa. Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če se ne morejo zgoditi hkrati v eni izkušnji. Naj se dogodek A zgodi m-krat med n-kratno ponovitvijo poskusa. Frekvenca dogodka A je število W = . Očitno vrednosti W ni mogoče natančno napovedati, dokler ni izveden niz n poskusov. Vendar pa je narava naključnih dogodkov takšna, da v praksi včasih opazimo naslednji učinek: ko se število poskusov poveča, vrednost praktično preneha biti naključna in se stabilizira okoli nekega nenaključnega števila P(A), imenovanega verjetnost dogodek A. Za nemogoč dogodek (ki se v poskusu nikoli ne zgodi) je P(A)=0, za zanesljiv dogodek (ki se v izkušnji vedno pojavi) pa P(A)=1. Če dogodki A 1 , ..., A k tvorijo popolno skupino nekompatibilnih dogodkov, potem je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Recimo, da je eksperiment sestavljen iz metanja kocke in opazovanja števila vrženih točk X. Nato lahko uvedemo naslednje naključne dogodke A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ti tvorijo popolno skupino nezdružljivih enako verjetnih dogodkov, zato je P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Vsota dogodkov A in B je dogodek A + B, ki je sestavljen iz dejstva, da se vsaj eden od njih pojavi v izkustvu. Produkt dogodkov A in B je dogodek AB, ki je sestavljen iz hkratnega pojava teh dogodkov. Za neodvisna dogodka A in B veljata naslednji formuli:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmislimo zdaj o naslednjem naloga. Predpostavimo, da so trije elementi zaporedno povezani v električni krog in delujejo neodvisno drug od drugega. Verjetnosti odpovedi 1., 2. in 3. elementa so enake P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Vezje bomo imeli za zanesljivo, če verjetnost, da v vezju ne bo toka, ni večja od 0,4. Ugotoviti je treba, ali je dano vezje zanesljivo.

Ker so elementi zaporedno povezani, v tokokrogu ne bo toka (dogodek A), če vsaj eden od elementov odpove. Naj bo A i dogodek, ko i-ti element deluje (i = 1, 2, 3). Potem je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očitno je A 1 A 2 A 3 dogodek, v katerem vsi trije elementi delujejo hkrati in

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Potem je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, torej P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Na koncu ugotavljamo, da so podani primeri matematičnih modelov (vključno s funkcionalnimi in strukturnimi, determinističnimi in verjetnostnimi) po naravi ilustrativni in očitno ne izčrpajo raznolikosti matematičnih modelov, ki se pojavljajo v naravoslovju in humanistiki.

Kaj je matematični model?

Koncept matematičnega modela.

Matematični model je zelo preprost koncept. In zelo pomembno. Matematični modeli so tisti, ki povezujejo matematiko in realno življenje.

Preprosto povedano, matematični model je matematični opis katere koli situacije. To je vse. Model je lahko primitiven ali pa super zapleten. Kakršna koli je situacija, tak je model.)

V katerem koli (ponavljam - v katerikoli!) v primeru, ko morate nekaj šteti in izračunati - ukvarjamo se z matematičnim modeliranjem. Tudi če tega ne sumimo.)

P = 2 CB + 3 CM

Ta vnos bo matematični model stroškov naših nakupov. Model ne upošteva barve embalaže, roka uporabnosti, vljudnosti blagajnikov itd. Zato ona model, ni dejanski nakup. Toda stroški, tj. kar potrebujemo- zagotovo bomo izvedeli. Če je model seveda pravilen.

Koristno si je predstavljati, kaj je matematični model, vendar ni dovolj. Najpomembnejša stvar je, da lahko zgradimo te modele.

Izdelava (konstrukcija) matematičnega modela problema.

Ustvariti matematični model pomeni prevesti pogoje problema v matematično obliko. Tisti. pretvorite besede v enačbo, formulo, neenakost itd. Poleg tega ga preoblikujte tako, da bo ta matematika strogo ustrezala izvornemu besedilu. V nasprotnem primeru bomo na koncu dobili matematični model nekega drugega problema, ki nam ni znan.)

Natančneje, potrebujete

Na svetu je neskončno število nalog. Zato ponudite jasna navodila po korakih za pripravo matematičnega modela kaj naloge so nemogoče.

Toda obstajajo tri glavne točke, na katere morate biti pozorni.

1. Vsak problem vsebuje besedilo, nenavadno.) To besedilo praviloma vsebuje eksplicitne, odprte informacije.Številke, vrednosti itd.

2. Vsak problem ima skrite informacije. To je besedilo, ki predvideva dodatno znanje v vaši glavi. Brez njih ne gre. Poleg tega so matematične informacije pogosto skrite za preprostimi besedami in ... uidejo mimo pozornosti.

3. Vsaka naloga mora biti dana povezovanje podatkov med seboj. Ta povezava je lahko podana v golem besedilu (nekaj je enako nečemu) ali pa skrita za preprostimi besedami. Toda preprosta in jasna dejstva so pogosto spregledana. In model ni na noben način sestavljen.

Takoj bom rekel: če želite uporabiti te tri točke, morate problem prebrati (in natančno!) Večkrat. Običajna stvar.

In zdaj - primeri.

Začnimo s preprosto težavo:

Petrovič se je vrnil z ribolova in svoj ulov ponosno predstavil družini. Po natančnejšem pregledu se je izkazalo, da je 8 rib prišlo iz severnih morij, 20% vseh rib je prišlo iz južnih morij in niti ena ni prišla iz lokalne reke, kjer je lovil Petrovich. Koliko rib je Petrovič kupil v trgovini Seafood?

Vse te besede je treba spremeniti v nekakšno enačbo. Za to potrebujete, ponavljam, vzpostaviti matematično povezavo med vsemi podatki v problemu.

Kje začeti? Najprej izluščimo vse podatke iz naloge. Začnimo po vrsti:

Bodimo pozorni na prvo točko.

Kateri je tukaj? eksplicitno matematične informacije? 8 rib in 20 %. Ne veliko, vendar ne potrebujemo veliko.)

Bodimo pozorni na drugo točko.

Iščejo skrit informacije. Tukaj je. To so besede: "20% vseh rib"Tu je treba razumeti, kaj so odstotki in kako se izračunajo. V nasprotnem primeru problema ni mogoče rešiti. To je točno dodatna informacija, ki bi morala biti v vaši glavi.

Je tudi matematični informacije, ki so popolnoma nevidne. to vprašanje naloge: "Koliko rib sem kupil ...« To je tudi številka. In brez tega se ne bo oblikoval noben model. Zato to številko označimo s črko "X". Ne vemo še, čemu je x enak, vendar nam bo ta oznaka zelo koristila. Več podrobnosti o tem, kaj vzeti za X in kako z njim ravnati, je napisano v lekciji Kako rešiti naloge pri matematiki? Zapišimo takoj:

x kosov - skupno število rib.

V našem problemu so južne ribe podane v odstotkih. Pretvoriti jih moramo v kose. Za kaj? Kaj potem notri kaj problem modela je treba sestaviti v enakih količinah. Kosi - torej je vse v kosih. Če imamo, recimo, ure in minute, vse prevedemo v eno stvar - ali samo ure ali samo minute. Ni važno kaj je. Pomembno je, da vse vrednosti so bile iste vrste.

Vrnimo se k razkrivanju informacij. Kdor ne ve, koliko je odstotek, tega ne bo nikoli izdal, ja ... Kdor pa ve, bo takoj rekel, da so tukaj odstotki glede na skupno število rib. In te številke ne poznamo. Nič ne bo delovalo!

Ni zaman, da črkujemo skupno število rib (v kosih!) "X" določeno. Ne bo mogoče prešteti južnih rib, lahko pa jih zapišemo? Všečkaj to:

0,2 x kosov - število rib iz južnih morij.

Zdaj smo prenesli vse informacije iz naloge. Tako očitne kot skrite.

Bodimo pozorni na tretjo točko.

Iščejo matematična povezava med podatki opravila. Ta povezava je tako preprosta, da je mnogi ne opazijo ... To se pogosto zgodi. Tukaj je koristno, da zbrane podatke preprosto zapišete na kup in vidite, kaj je kaj.

Kaj imamo? Jejte 8 kosov severne ribe, 0,2 x kosov- južne ribe in x ribe- skupni znesek. Ali je mogoče te podatke nekako povezati? Da enostavno! Skupno število rib enako vsota južnega in severnega! No, kdo bi si mislil ...) Zato zapišemo:

x = 8 + 0,2x

To je enačba matematični model našega problema.

Upoštevajte, da v tej težavi Od nas se ne zahteva, da ničesar zložimo! Sami smo iz glave ugotovili, da nam bo seštevek južne in severne ribe dal skupno število. Stvar je tako očitna, da ostane neopažena. Toda brez teh dokazov matematičnega modela ni mogoče ustvariti. Všečkaj to.

Zdaj lahko uporabite vso moč matematike za rešitev te enačbe). Ravno zato je bil sestavljen matematični model. Rešimo to linearno enačbo in dobimo odgovor.

odgovor: x=10

Ustvarimo matematični model drugega problema:

Vprašali so Petroviča: "Imate veliko denarja?" Petrovič je začel jokati in odgovoril: "Ja, samo malo. Če porabim polovico vsega denarja in polovico preostalega, potem mi bo ostala samo ena vreča denarja ..." Koliko denarja ima Petrovič ?

Spet delamo točko za točko.

1. Iščemo eksplicitne informacije. Ne boste ga našli takoj! Eksplicitne informacije so eno vreča za denar. Obstaja nekaj drugih polovic ... No, to bomo preučili v drugem odstavku.

2. Iščemo skrite informacije. To so polovice. Kaj? Ni zelo jasno. Iščemo naprej. Še eno vprašanje je: "Koliko denarja ima Petrovič?" Vsoto denarja označimo s črko "X":

X- ves denar

In spet beremo problem. Že poznam tega Petroviča X denar. Tukaj bodo delovale polovice! Zapišemo:

0,5 x- polovica vsega denarja.

Tudi ostanek bo polovica, tj. 0,5 x. In polovico polovice lahko zapišemo takole:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovica preostanka.

Zdaj so vse skrite informacije razkrite in zabeležene.

3. Iščemo povezavo med zapisanimi podatki. Tukaj lahko preprosto preberete Petrovičevo trpljenje in ga matematično zapišete):

Če porabim polovico vsega denarja...

Posnemimo ta proces. Ves denar - X. pol - 0,5 x. Porabiti pomeni odnesti. Stavek se spremeni v posnetek:

x - 0,5 x

ja pol ostalo...

Odštejmo drugo polovico ostanka:

x - 0,5 x - 0,25x

potem mi bo ostala samo še ena vreča denarja...

In tukaj smo našli enakost! Po vseh odštetjih ostane ena vreča denarja:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Tukaj je, matematični model! To je spet linearna enačba, rešimo jo in dobimo:

Vprašanje za razmislek. Kaj je štiri? Rubelj, dolar, juan? In v katerih enotah je zapisan denar v našem matematičnem modelu? V vrečkah! To pomeni štiri torba denar od Petroviča. Tudi dobro.)

Naloge so seveda elementarne. To je posebej namenjeno zajemu bistva priprave matematičnega modela. Nekatera opravila lahko vsebujejo veliko več podatkov, v katerih se zlahka izgubite. To se pogosto zgodi v t.i. kompetenčne naloge. S primeri je prikazano, kako iz kupa besed in številk izluščiti matematično vsebino

Še ena opomba. Pri klasičnih šolskih problemih (cevi, ki polnijo bazen, čolni, ki nekje plavajo itd.), so vsi podatki praviloma zelo skrbno izbrani. Obstajata dve pravili:
- v problemu je dovolj informacij za njegovo rešitev,
- V problemu ni nepotrebnih informacij.

To je namig. Če je v matematičnem modelu ostala neuporabljena vrednost, razmislite, ali je prišlo do napake. Če ni dovolj podatkov, najverjetneje niso identificirane in zabeležene vse skrite informacije.

Pri kompetenčnih in drugih življenjskih nalogah se ta pravila ne upoštevajo dosledno. Nimam pojma. A tudi takšne težave je mogoče rešiti. Če seveda vadite na klasičnih.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Po učbeniku Sovetov in Yakovlev: "model (lat. modulus - mera) je nadomestni predmet za izvirni predmet, ki zagotavlja preučevanje nekaterih lastnosti izvirnika." (str. 6) "Zamenjava enega predmeta z drugim, da bi pridobili informacije o najpomembnejših lastnostih izvirnega predmeta z uporabo modela predmeta, se imenuje modeliranje." (str. 6) »Z matematičnim modeliranjem razumemo proces vzpostavljanja ujemanja danega realnega objekta z določenim matematičnim objektom, imenovanim matematični model, in preučevanje tega modela, ki nam omogoča pridobitev značilnosti realnega obravnavani predmet. Vrsta matematičnega modela je odvisna tako od narave realnega objekta kot nalog preučevanja objekta ter zahtevane zanesljivosti in natančnosti reševanja tega problema.«

Končno, najbolj jedrnata definicija matematičnega modela: "Enačba, ki izraža idejo."

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modelov

Formalna klasifikacija modelov temelji na klasifikaciji uporabljenih matematičnih orodij. Pogosto zgrajena v obliki dihotomij. Na primer, eden od priljubljenih sklopov dihotomij:

in tako naprej. Vsak konstruiran model je linearen ali nelinearen, determinističen ali stohastičen, ... Seveda so možni tudi mešani tipi: koncentrirani v enem pogledu (po parametrih), porazdeljeni v drugem itd.

Razvrstitev glede na način predstavitve predmeta

Poleg formalne klasifikacije se modeli razlikujejo po tem, kako predstavljajo objekt:

• Strukturni ali funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljajo objekt kot sistem z lastno strukturo in mehanizmom delovanja. Funkcionalni modeli ne uporabljajo takšnih predstavitev in odražajo samo zunanje zaznano obnašanje (delovanje) predmeta. V skrajnem izrazu jih imenujemo tudi modeli “črne škatle”, možni so tudi kombinirani tipi modelov, ki jih včasih imenujemo modeli “sive škatle”.

Vsebinski in formalni modeli

Skoraj vsi avtorji, ki opisujejo proces matematičnega modeliranja, navajajo, da se najprej zgradi posebna idealna struktura, vsebinski model. Tukaj ni ustaljene terminologije in drugi avtorji temu pravijo idealen objekt konceptualni model , špekulativni model oz predmodel. V tem primeru se pokliče končna matematična konstrukcija formalni model ali preprosto matematični model, pridobljen kot rezultat formalizacije danega smiselnega modela (predmodel). Konstrukcijo smiselnega modela lahko izvedemo z uporabo nabora že pripravljenih idealizacij, kot v mehaniki, kjer idealne vzmeti, toga telesa, idealna nihala, prožni mediji itd. zagotavljajo pripravljene strukturne elemente za smiselno modeliranje. Vendar pa na področjih znanja, kjer ni popolnoma dokončanih formaliziranih teorij (vrh fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije in večine drugih področij), postane ustvarjanje smiselnih modelov dramatično težje.

Vsebinska klasifikacija modelov

Nobene hipoteze v znanosti ni mogoče enkrat za vselej dokazati. Richard Feynman je to zelo jasno formuliral:

»Vedno imamo možnost ovreči teorijo, vendar upoštevajte, da nikoli ne moremo dokazati, da je pravilna. Recimo, da ste postavili uspešno hipotezo, izračunali, kam vodi, in ugotovili, da so vse njene posledice eksperimentalno potrjene. Ali to pomeni, da je vaša teorija pravilna? Ne, to preprosto pomeni, da vam tega ni uspelo ovreči.«

Če je zgrajen model prvega tipa, to pomeni, da je začasno prepoznan kot resnica in se lahko osredotoči na druge probleme. Vendar to ne more biti točka v raziskovanju, ampak le začasen premor: status modela prve vrste je lahko le začasen.

Vrsta 2: Fenomenološki model (se obnašamo, kot da…)

Fenomenološki model vsebuje mehanizem za opisovanje pojava. Vendar pa ta mehanizem ni dovolj prepričljiv, ga ni mogoče dovolj potrditi z razpoložljivimi podatki ali pa se ne ujema dobro z obstoječimi teorijami in zbranim znanjem o predmetu. Zato imajo fenomenološki modeli status začasnih rešitev. Verjame se, da odgovor še ni znan in da je treba iskanje "pravih mehanizmov" nadaljevati. Peierls med drugo vrsto uvršča na primer kalorični model in kvarkov model osnovnih delcev.

Vloga modela v raziskovanju se lahko sčasoma spremeni in lahko se zgodi, da novi podatki in teorije potrdijo fenomenološke modele in jih dvignejo v status hipoteze. Prav tako lahko nova spoznanja postopoma pridejo v konflikt z modeli-hipotezami prve vrste in se lahko prevedejo v drugo. Tako model kvarkov postopoma prehaja v kategorijo hipotez; atomizem v fiziki je nastal kot začasna rešitev, s tekom zgodovine pa je postal prvi tip. Toda modeli etra so se prebili iz tipa 1 v tip 2 in so zdaj zunaj znanosti.

Zamisel o poenostavitvi je zelo priljubljena pri gradnji modelov. Toda poenostavitev prihaja v različnih oblikah. Peierls identificira tri vrste poenostavitev pri modeliranju.

Vrsta 3: Približek (menimo, da je nekaj zelo veliko ali zelo majhno)

Če je mogoče sestaviti enačbe, ki opisujejo proučevani sistem, to ne pomeni, da jih je mogoče rešiti tudi s pomočjo računalnika. Običajna tehnika v tem primeru je uporaba približkov (modeli tipa 3). Med njimi modeli linearnega odziva. Enačbe nadomestimo z linearnimi. Standardni primer je Ohmov zakon.

Tukaj pride tip 8, ki je zelo razširjen v matematičnih modelih bioloških sistemov.

Tip 8: Predstavitev funkcije (glavna stvar je pokazati notranjo doslednost možnosti)

To so tudi miselni eksperimenti z namišljenimi entitetami, ki to dokazujejo domnevni pojav skladen z osnovnimi načeli in notranje konsistenten. To je glavna razlika od modelov tipa 7, ki razkrivajo skrita protislovja.

Eden najbolj znanih teh poskusov je geometrija Lobačevskega (Lobačevski jo je imenoval "imaginarna geometrija"). Drug primer je masovna proizvodnja formalno kinetičnih modelov kemičnih in bioloških vibracij, avtovalov itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je bil zasnovan kot model tipa 7, da bi prikazal nedoslednost kvantne mehanike. Na povsem nenačrtovan način se je sčasoma spremenil v model tipa 8 – prikaz možnosti kvantne teleportacije informacij.

Primer

Razmislite o mehanskem sistemu, sestavljenem iz vzmeti, pritrjene na enem koncu, in mase mase m pritrjen na prosti konec vzmeti. Predvidevamo, da se obremenitev lahko premika le v smeri osi vzmeti (na primer, gibanje poteka vzdolž palice). Izdelajmo matematični model tega sistema. Stanje sistema bomo opisali z razdaljo x od središča bremena do njegovega ravnotežnega položaja. Opišimo medsebojno delovanje vzmeti in bremena Hookov zakon (F = − kx ) in nato uporabite drugi Newtonov zakon, da ga izrazite v obliki diferencialne enačbe:

kjer pomeni drugo izpeljanko x po času:.

Nastala enačba opisuje matematični model obravnavanega fizičnega sistema. Ta model se imenuje "harmonični oscilator".

Po formalni klasifikaciji je ta model linearen, determinističen, dinamičen, koncentriran, zvezen. V procesu njegove izdelave smo postavili številne predpostavke (o odsotnosti zunanjih sil, odsotnosti trenja, majhnosti odstopanj itd.), ki pa v resnici morda niso izpolnjene.

Glede na realnost je to največkrat model tipa 4 poenostavitev(»nekaj podrobnosti bomo zaradi jasnosti izpustili«), saj so izpuščene nekatere bistvene univerzalne lastnosti (na primer disipacija). V nekem približku (recimo, medtem ko je odstopanje obremenitve od ravnovesja majhno, z nizkim trenjem, ne predolgo časa in pod določenimi drugimi pogoji), tak model precej dobro opisuje realni mehanski sistem, saj so zavrženi faktorji zanemarljiv vpliv na njegovo obnašanje. Vendar pa je model mogoče izboljšati z upoštevanjem nekaterih od teh dejavnikov. To bo vodilo do novega modela s širšim (čeprav spet omejenim) obsegom uporabnosti.

Vendar pa se lahko pri izpopolnjevanju modela kompleksnost njegove matematične raziskave znatno poveča in naredi model tako rekoč neuporaben. Pogosto enostavnejši model omogoča boljše in globlje raziskovanje realnega sistema kot bolj zapleten (in formalno "bolj pravilen").

Če model harmoničnega oscilatorja uporabimo za objekte, ki so daleč od fizike, je lahko njegov vsebinski status drugačen. Na primer, ko ta model uporabimo za biološke populacije, bi ga morali najverjetneje razvrstiti kot tip 6 analogija(»upoštevajmo le nekatere značilnosti«).

Trdi in mehki modeli

Harmonični oscilator je primer tako imenovanega "trdega" modela. Pridobljena je kot posledica močne idealizacije realnega fizičnega sistema. Da bi rešili vprašanje njegove uporabnosti, je treba razumeti, kako pomembni so dejavniki, ki smo jih zanemarili. Z drugimi besedami, treba je preučiti "mehki" model, ki ga dobimo z majhno motnjo "trdega". Podana je lahko na primer z naslednjo enačbo:

Tukaj je nekaj funkcij, ki lahko upoštevajo silo trenja ali odvisnost koeficienta togosti vzmeti od stopnje njenega raztezanja - nekaj majhnega parametra. Eksplicitna oblika funkcije f Trenutno nas ne zanima. Če dokažemo, da se obnašanje mehkega modela bistveno ne razlikuje od obnašanja trdega (ne glede na eksplicitno vrsto motečih dejavnikov, če so dovolj majhni), se bo problem zmanjšal na preučevanje trdega modela. V nasprotnem primeru bo uporaba rezultatov, pridobljenih s študijem togega modela, zahtevala dodatne raziskave. Na primer, rešitev enačbe harmoničnega oscilatorja so funkcije oblike , to so nihanja s konstantno amplitudo. Ali iz tega sledi, da bo pravi oscilator neomejeno nihal s konstantno amplitudo? Ne, saj ob upoštevanju sistema s poljubno majhnim trenjem (ki je v realnem sistemu vedno prisotno) dobimo dušena nihanja. Obnašanje sistema se je kvalitativno spremenilo.

Če sistem ohrani svoje kvalitativno obnašanje ob majhnih motnjah, se imenuje strukturno stabilen. Harmonični oscilator je primer strukturno nestabilnega (negrobega) sistema. Vendar pa se ta model lahko uporablja za preučevanje procesov v omejenih časovnih obdobjih.

Vsestranskost modelov

Najpomembnejši matematični modeli imajo običajno pomembne lastnosti vsestranskost: Bistveno različne realne pojave je mogoče opisati z istim matematičnim modelom. Na primer, harmonični oscilator ne opisuje le obnašanja obremenitve na vzmeti, temveč tudi druge nihajne procese, pogosto povsem drugačne narave: majhna nihanja nihala, nihanja nivoja tekočine v U-oblikovana posoda ali sprememba jakosti toka v nihajnem krogu. Tako s preučevanjem enega matematičnega modela takoj preučujemo cel razred pojavov, ki jih ta opisuje. Prav ta izomorfizem zakonov, izraženih z matematičnimi modeli v različnih segmentih znanstvenega znanja, je navdihnil Ludwiga von Bertalanffyja, da je ustvaril "Splošno teorijo sistemov".

Direktni in inverzni problemi matematičnega modeliranja

Z matematičnim modeliranjem je povezanih veliko težav. Najprej morate pripraviti osnovni diagram modeliranega predmeta, ga reproducirati v okviru idealizacij te znanosti. Tako se vlakovni vagon spremeni v sistem plošč in kompleksnejših teles iz različnih materialov, vsak material je specificiran kot njegova standardna mehanska idealizacija (gostota, elastični moduli, standardne trdnostne karakteristike), po kateri se sestavijo enačbe in na poti nekatere podrobnosti se zavržejo kot nepomembne, izvedejo se izračuni, primerjajo z meritvami, model se izpopolni itd. Vendar pa je za razvoj tehnologij matematičnega modeliranja koristno ta proces razstaviti na glavne komponente.

Tradicionalno obstajata dva glavna razreda problemov, povezanih z matematičnimi modeli: direktni in inverzni.

Neposredna naloga: struktura modela in vsi njegovi parametri se štejejo za znane, glavna naloga je izvesti študijo modela, da se izvleče koristno znanje o predmetu. Kakšno statično obremenitev bo most prenesel? Kako se bo odzvalo na dinamično obremenitev (na primer na marš čete vojakov ali na prehod vlaka z različnimi hitrostmi), kako bo letalo premagalo zvočni zid, ali bo razpadlo zaradi plapola - to so tipični primeri neposrednega problema. Postavitev pravega neposrednega problema (postavljanje pravega vprašanja) zahteva posebno spretnost. Če se ne postavijo prava vprašanja, se lahko most zruši, tudi če je bil zgrajen dober model njegovega obnašanja. Tako se je leta 1879 v Angliji zrušil kovinski most čez reko Tay, katerega načrtovalci so zgradili model mostu, izračunali, da ima 20-kratni varnostni faktor za delovanje tovora, a so ves čas pozabili na vetrove. piha na teh mestih. In po letu in pol je propadlo.

V najpreprostejšem primeru (enačba enega oscilatorja, na primer) je neposredni problem zelo preprost in se zmanjša na eksplicitno rešitev te enačbe.

Inverzni problem: poznanih je veliko možnih modelov, določen model je treba izbrati na podlagi dodatnih podatkov o objektu. Najpogosteje je struktura modela znana, nekatere neznane parametre pa je treba določiti. Dodatne informacije so lahko sestavljene iz dodatnih empiričnih podatkov ali zahtev za predmet ( problem oblikovanja). Dodatni podatki lahko pridejo ne glede na postopek reševanja inverznega problema ( pasivno opazovanje) ali biti rezultat poskusa, posebej načrtovanega med reševanjem ( aktivni nadzor).

Eden prvih primerov mojstrske rešitve inverznega problema z največjo uporabo razpoložljivih podatkov je bila metoda, ki jo je zgradil I. Newton za rekonstrukcijo sil trenja iz opazovanih dušenih nihanj.

Dodatni primeri

Kje x s- »ravnovesna« velikost prebivalstva, pri kateri je stopnja rodnosti natančno kompenzirana s stopnjo umrljivosti. Velikost populacije v takem modelu teži k ravnotežni vrednosti x s in to vedenje je strukturno stabilno.

Ta sistem ima ravnotežno stanje, ko je število zajcev in lisic konstantno. Odstopanje od tega stanja povzroči nihanje števila zajcev in lisic, podobno kot nihanje harmoničnega oscilatorja. Tako kot pri harmoničnem oscilatorju tudi to vedenje ni strukturno stabilno: majhna sprememba v modelu (na primer ob upoštevanju omejenih virov, ki jih potrebujejo zajci) lahko povzroči kvalitativno spremembo vedenja. Na primer, ravnotežje lahko postane stabilno in nihanja v številu bodo izginila. Možna je tudi nasprotna situacija, ko bo vsako majhno odstopanje od ravnotežnega položaja povzročilo katastrofalne posledice, do popolnega izumrtja ene od vrst. Model Volterra-Lotka ne odgovarja na vprašanje, kateri od teh scenarijev se uresničuje: tukaj so potrebne dodatne raziskave.

Opombe

1. »Matematična predstavitev realnosti« (Enciklopedija Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskih vprašanjih kibernetičnega modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarski A. A., Mihajlov A. P. Matematično modeliranje. Ideje. Metode. Primeri. . - 2. izdaja, revidirana - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikislovar: matematični model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. »Teorija se šteje za linearno ali nelinearno, odvisno od vrste matematičnega aparata - linearnega ali nelinearnega - in kakšne vrste linearnih ali nelinearnih matematičnih modelov uporablja. ... ne da bi zanikal slednje. Sodobni fizik, če bi moral na novo ustvariti definicijo tako pomembne entitete, kot je nelinearnost, bi najverjetneje ravnal drugače in bi, dal prednost nelinearnosti kot pomembnejšemu in bolj razširjenemu od obeh nasprotij, linearnost definiral kot »ne nelinearnost." Danilov Yu A., Predavanja o nelinearni dinamiki. Osnovni uvod. Serija "Sinergetika: iz preteklosti v prihodnost." 2. izdaja. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
10. »Dinamični sistemi, modelirani s končnim številom navadnih diferencialnih enačb, se imenujejo koncentrirani ali točkasti sistemi. Opisani so z uporabo končnodimenzionalnega faznega prostora in zanje je značilno končno število prostostnih stopenj. Isti sistem pod različnimi pogoji lahko štejemo za koncentriranega ali porazdeljenega. Matematični modeli porazdeljenih sistemov so parcialne diferencialne enačbe, integralne enačbe ali navadne enačbe z zakasnitvijo. Število stopenj svobode porazdeljenega sistema je neskončno in za določitev njegovega stanja je potrebno neskončno število podatkov.« Aniščenko V. S., Dinamični sistemi, Soros Educational Journal, 1997, št. 11, str. 77-84.
11. »Glede na naravo procesov, ki jih proučujemo v sistemu S, lahko vse vrste modeliranja razdelimo na deterministično in stohastično, statično in dinamično, diskretno, zvezno in diskretno-zvezno. Deterministično modeliranje odraža deterministične procese, to je procese, pri katerih se predpostavlja odsotnost vsakršnih naključnih vplivov; stohastično modeliranje prikazuje verjetnostne procese in dogodke. ... Statično modeliranje služi za opis obnašanja predmeta v katerem koli trenutku, dinamično modeliranje pa odraža obnašanje predmeta skozi čas. Diskretno modeliranje se uporablja za opisovanje procesov, za katere se predpostavlja, da so diskretni, oz. kontinuirano modeliranje nam omogoča, da odražamo kontinuirane procese v sistemih, diskretno-kontinuirano modeliranje pa se uporablja za primere, ko želijo poudariti prisotnost tako diskretnih kot kontinuiranih procesov. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
12. Običajno matematični model odraža strukturo (napravo) modeliranega predmeta, lastnosti in razmerja komponent tega predmeta, ki so bistvenega pomena za namene raziskave; tak model imenujemo strukturni. Če model odraža le, kako objekt deluje - na primer, kako se odziva na zunanje vplive -, potem se imenuje funkcionalen ali, figurativno, črna skrinjica. Možni so tudi kombinirani modeli. Myshkis A.D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4
13. »Očitna, a najpomembnejša začetna stopnja konstruiranja ali izbire matematičnega modela je pridobitev čim bolj jasne slike o objektu, ki se modelira, in izboljšanje njegovega smiselnega modela na podlagi neformalnih razprav. Na tej stopnji ne smete prihraniti časa in truda, od tega je v veliki meri odvisen uspeh celotne študije. Več kot enkrat se je zgodilo, da se je veliko dela, vloženega v reševanje matematičnega problema, izkazalo za neučinkovito ali celo zapravljeno zaradi premajhne pozornosti tej strani zadeve.« Myshkis A.D., Elementi teorije matematičnih modelov. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
14. « Opis konceptualnega modela sistema. Na tej podstopnji gradnje modela sistema: a) je konceptualni model M opisan z abstraktnimi termini in koncepti; b) opis modela je podan z uporabo standardnih matematičnih shem; c) hipoteze in predpostavke so dokončno sprejete; d) je upravičena izbira postopka aproksimacije realnih procesov pri izdelavi modela.« Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistemov: Uč. za univerze - 3. izdaja, prenovljena. in dodatno - M.: Višje. šola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
15. Blekhman I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Uporabna matematika: Predmet, logika, značilnosti pristopov. S primeri iz mehanike: Učbenik. - 3. izd., rev. in dodatno - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, 2. poglavje.

Predavanje 1.

METODOLOŠKE OSNOVE MODELIRANJA

Trenutno stanje problematike modeliranja sistemov

Koncepti modeliranja in simulacije

Modelarstvo se lahko obravnava kot zamenjava preučevanega predmeta (izvirnika) z njegovo konvencionalno podobo, opisom ali drugim predmetom, imenovanim model in zagotavljanje vedenja, ki je blizu izvirniku v okviru določenih predpostavk in sprejemljivih napak. Modeliranje se običajno izvaja s ciljem razumevanja lastnosti izvirnika s preučevanjem njegovega modela in ne samega predmeta. Seveda je modeliranje upravičeno, kadar je enostavnejše od ustvarjanja samega izvirnika ali pa je iz nekega razloga bolje, da izvirnika sploh ne ustvarimo.

Spodaj model razumemo kot fizični ali abstraktni predmet, katerega lastnosti so v določenem smislu podobne lastnostim preučevanega predmeta.V tem primeru zahteve za model določajo problem, ki ga rešujemo, in razpoložljiva sredstva. Obstajajo številne splošne zahteve za modele:

2) popolnost – zagotavljanje prejemniku vseh potrebnih informacij

o predmetu;

3) prilagodljivost - sposobnost reproduciranja različnih situacij v vsem

obseg sprememb pogojev in parametrov;

4) zahtevnost razvoja mora biti sprejemljiva za obstoječe

časa in programske opreme.

Modelarstvo je proces konstruiranja modela predmeta in preučevanja njegovih lastnosti s pregledovanjem modela.

Tako modeliranje vključuje 2 glavni stopnji:

1) razvoj modela;

2) študija modela in sklepanje.

Hkrati se na vsaki stopnji rešujejo različne naloge in

bistveno različne metode in sredstva.

V praksi se uporabljajo različne metode modeliranja. Glede na način izvedbe lahko vse modele razdelimo v dva velika razreda: fizikalne in matematične.

Matematično modeliranje Običajno se obravnava kot sredstvo za preučevanje procesov ali pojavov z uporabo njihovih matematičnih modelov.

Spodaj fizično modeliranje se nanaša na preučevanje predmetov in pojavov na fizičnih modelih, ko se proces, ki se preučuje, reproducira ob ohranjanju njegove fizične narave ali pa se uporabi drug fizikalni pojav, podoben proučevanemu. pri čemer fizikalni modeli Praviloma predpostavljajo resnično utelešenje tistih fizičnih lastnosti izvirnika, ki so pomembne v določeni situaciji.Na primer, pri načrtovanju novega letala se ustvari maketa, ki ima enake aerodinamične lastnosti; Pri načrtovanju razvoja arhitekti izdelajo model, ki odraža prostorsko razporeditev njegovih elementov. V zvezi s tem se imenuje tudi fizično modeliranje izdelava prototipov.

Modeliranje razpolovne dobe je študija nadzorovanih sistemov na modelirnih kompleksih z vključitvijo realne opreme v model. Zaprti model vključuje poleg realne opreme še simulatorje vplivov in motenj, matematične modele zunanjega okolja in procesov, za katere ne poznamo dovolj natančnega matematičnega opisa. Vključitev realne opreme ali realnih sistemov v tokokrog modeliranja kompleksnih procesov omogoča zmanjšanje apriorne negotovosti in raziskovanje procesov, za katere ni natančnega matematičnega opisa. Z uporabo polnaravnega modeliranja se raziskave izvajajo ob upoštevanju majhnih časovnih konstant in linearnosti, ki so značilne za resnično opremo. Pri proučevanju modelov z uporabo prave opreme se uporablja koncept dinamična simulacija, pri preučevanju kompleksnih sistemov in pojavov - evolucijski, posnemanje in kibernetsko modeliranje.

Očitno je resnična korist modeliranja mogoča le, če sta izpolnjena dva pogoja:

1) model zagotavlja pravilen (ustrezen) prikaz lastnosti

izvirnik, pomemben z vidika proučevane operacije;

2) model vam omogoča, da odpravite zgoraj navedene težave

izvajanje raziskav na realnih predmetih.

2. Osnovni koncepti matematičnega modeliranja

Reševanje praktičnih problemov z matematičnimi metodami poteka dosledno s formulacijo problema (razvoj matematičnega modela), izbiro metode za preučevanje nastalega matematičnega modela in analizo dobljenega matematičnega rezultata. Matematična formulacija problema je običajno predstavljena v obliki geometrijskih slik, funkcij, sistemov enačb itd. Opis predmeta (pojava) je lahko predstavljen z zveznimi ali diskretnimi, determinističnimi ali stohastičnimi in drugimi matematičnimi oblikami.

Teorija matematičnega modeliranja zagotavlja prepoznavanje vzorcev pojavljanja različnih pojavov v okoliškem svetu ali delovanja sistemov in naprav z njihovim matematičnim opisom in modeliranjem brez izvajanja testov v polnem obsegu. V tem primeru se uporabljajo določbe in zakoni matematike, ki opisujejo simulirane pojave, sisteme ali naprave na določeni stopnji njihove idealizacije.

Matematični model (MM) je formaliziran opis sistema (ali delovanja) v nekem abstraktnem jeziku, na primer v obliki nabora matematičnih odnosov ali diagrama algoritma, tj. tj. takšen matematični opis, ki zagotavlja simulacijo delovanja sistemov ali naprav na ravni, ki je dovolj blizu njihovemu dejanskemu obnašanju, pridobljenemu med obsežnim testiranjem sistemov ali naprav.

Vsaka MM opisuje resnični predmet, pojav ali proces z določeno stopnjo približka realnosti. Vrsta MM je odvisna tako od narave dejanskega predmeta kot od ciljev študije.

Matematično modeliranje družbenih, ekonomskih, bioloških in fizikalnih pojavov, objektov, sistemov in različnih naprav je eno najpomembnejših sredstev za razumevanje narave in načrtovanje najrazličnejših sistemov in naprav. Znani so primeri učinkovite uporabe modeliranja pri ustvarjanju jedrskih tehnologij, letalskih in vesoljskih sistemov, pri napovedovanju atmosferskih in oceanskih pojavov, vremena itd.

Vendar tako resna področja modeliranja pogosto zahtevajo superračunalnike in leta dela velikih skupin znanstvenikov za pripravo podatkov za modeliranje in njihovo odpravljanje napak. Vendar pa v tem primeru matematično modeliranje zapletenih sistemov in naprav ne le prihrani denar pri raziskavah in testiranju, ampak lahko tudi odpravi okoljske katastrofe - na primer omogoča opustitev testiranja jedrskega in termonuklearnega orožja v korist njihovega matematičnega modeliranja ali testiranja letalskih sistemov pred njihovimi dejanskimi poleti.Vmes Zato je postalo matematično modeliranje na ravni reševanja enostavnejših problemov, na primer s področja mehanike, elektrotehnike, elektronike, radijske tehnike in mnogih drugih področij znanosti in tehnologije. na voljo za izvedbo na sodobnih osebnih računalnikih. In pri uporabi posplošenih modelov postane mogoče simulirati dokaj zapletene sisteme, na primer telekomunikacijske sisteme in omrežja, radarske ali radijske navigacijske sisteme.

Namen matematičnega modeliranja je analiza realnih procesov (v naravi ali tehnologiji) z uporabo matematičnih metod. To pa zahteva formalizacijo procesa MM, ki ga je treba preučiti. Model je lahko matematični izraz, ki vsebuje spremenljivke, katerih obnašanje je podobno obnašanju realnega sistema. Model lahko vključuje elemente naključnosti, ki upoštevajo verjetnosti možna dejanja dveh ali več "igralcev", kot na primer pri teoretičnih igrah; ali pa lahko predstavlja realne spremenljivke med seboj povezanih delov operacijskega sistema.

Matematično modeliranje za preučevanje značilnosti sistemov lahko razdelimo na analitično, simulacijsko in kombinirano. Po drugi strani se MM delijo na simulacijske in analitične.

Analitično modeliranje

Za analitično modeliranje Značilno je, da so procesi delovanja sistema zapisani v obliki določenih funkcionalnih razmerij (algebraične, diferencialne, integralne enačbe). Analitični model je mogoče preučiti z naslednjimi metodami:

1) analitični, ko si prizadevajo pridobiti v splošni obliki eksplicitne odvisnosti za značilnosti sistemov;

2) numerični, ko ni mogoče najti rešitve enačb v splošni obliki in se rešujejo za določene začetne podatke;

3) kvalitativno, ko se v odsotnosti rešitve najdejo nekatere njegove lastnosti.

Analitične modele lahko dobimo samo za razmeroma enostavne sisteme. Pri kompleksnih sistemih se pogosto pojavljajo veliki matematični problemi. Za uporabo analitične metode gredo v bistveno poenostavitev prvotnega modela. Vendar raziskave s poenostavljenim modelom pomagajo pridobiti le okvirne rezultate. Analitični modeli matematično pravilno odražajo razmerje med vhodnimi in izhodnimi spremenljivkami in parametri. Toda njihova struktura ne odraža notranje strukture predmeta.

Pri analitičnem modeliranju so njegovi rezultati predstavljeni v obliki analitičnih izrazov. Na primer s povezovanjem R.C.- vezje do vira konstantne napetosti E(R, C in E- komponente tega modela), lahko ustvarimo analitični izraz za časovno odvisnost napetosti u(t) na kondenzatorju C:

Ta linearna diferencialna enačba (DE) je analitični model tega preprostega linearnega vezja. Njena analitična rešitev, pod začetnim pogojem u(0) = 0, kar pomeni izpraznjen kondenzator C na začetku modeliranja vam omogoča iskanje želene odvisnosti - v obliki formule:

u(t) = E(1− nprstr(- t/RC)). (2)

Toda tudi v tem najpreprostejšem primeru so potrebni določeni napori za rešitev DE (1) ali za uporabo sistemi računalniške matematike(SCM) s simbolnimi izračuni – sistemi računalniške algebre. Za ta povsem trivialen primer je reševanje problema modeliranja linearne R.C.- vezje daje analitični izraz (2) v dokaj splošni obliki - primerno je za opis delovanja vezja za vse ocene komponent R, C in E, in opisuje eksponentni naboj kondenzatorja C skozi upor R iz vira stalne napetosti E.

Iskanje analitičnih rešitev pri analitičnem modeliranju se seveda izkaže za izjemno dragoceno za prepoznavanje splošnih teoretičnih vzorcev enostavnih linearnih vezij, sistemov in naprav, vendar se njegova kompleksnost strmo poveča, ko postajajo vplivi na model kompleksnejši ter vrstni red in število enačbe stanja, ki opisujejo modelirani objekt, povečajo. Pri modeliranju objektov drugega ali tretjega reda lahko dobite bolj ali manj vidne rezultate, z višjim redom pa analitični izrazi postanejo preveč okorni, zapleteni in težko razumljivi. Na primer, tudi preprost elektronski ojačevalnik pogosto vsebuje na desetine komponent. Vendar pa je veliko sodobnih SCM, na primer sistemov simbolne matematike Maple, Mathematica ali okolje MATLAB, so sposobni v veliki meri avtomatizirati reševanje kompleksnih problemov analitičnega modeliranja.

Ena vrsta modeliranja je numerično modeliranje, ki obsega pridobivanje potrebnih kvantitativnih podatkov o obnašanju sistemov ali naprav s katero koli ustrezno numerično metodo, kot sta Eulerjeva ali Runge-Kutta metoda. V praksi se izkaže, da je modeliranje nelinearnih sistemov in naprav z uporabo numeričnih metod veliko bolj učinkovito kot analitično modeliranje posameznih zasebnih linearnih vezij, sistemov ali naprav. Na primer, za reševanje DE (1) ali sistemov DE v bolj zapletenih primerih ni mogoče dobiti rešitve v analitični obliki, lahko pa z uporabo podatkov numerične simulacije pridobite dokaj popolne podatke o obnašanju simuliranih sistemov in naprav ter kot sestavite grafe odvisnosti, ki opisujejo to vedenje.

Simulacijsko modeliranje

pri posnemanje 10in modeliranje, algoritem, ki implementira model, reproducira proces delovanja sistema skozi čas. Elementarni pojavi, ki sestavljajo proces, so simulirani, pri čemer se ohrani njihova logična struktura in zaporedje dogodkov skozi čas.

Glavna prednost simulacijskih modelov v primerjavi z analitičnimi je zmožnost reševanja kompleksnejših problemov.

Simulacijski modeli olajšajo upoštevanje prisotnosti diskretnih ali zveznih elementov, nelinearnih karakteristik, naključnih vplivov itd. Zato se ta metoda pogosto uporablja v fazi načrtovanja kompleksnih sistemov. Glavno sredstvo za izvajanje simulacijskega modeliranja je računalnik, ki omogoča digitalno modeliranje sistemov in signalov.

V zvezi s tem definirajmo besedno zvezo » računalniško modeliranje”, ki se vse pogosteje uporablja v literaturi. Predpostavimo, da računalniško modeliranje je matematično modeliranje z uporabo računalniške tehnologije. V skladu s tem tehnologija računalniškega modeliranja vključuje izvajanje naslednjih dejanj:

1) določitev namena modeliranja;

2) razvoj konceptualnega modela;

3) formalizacija modela;

4) programska izvedba modela;

5) načrtovanje modelnih poskusov;

6) izvajanje načrta poskusov;

7) analiza in interpretacija rezultatov modeliranja.

pri simulacijsko modeliranje uporabljeni MM reproducira algoritem (»logiko«) delovanja proučevanega sistema skozi čas za različne kombinacije vrednosti sistemskih parametrov in zunanjega okolja.

Primer najenostavnejšega analitičnega modela je enačba premočrtnega enakomernega gibanja. Pri preučevanju takega procesa s simulacijskim modelom je treba izvajati opazovanje sprememb prehojene poti skozi čas.Očitno je v nekaterih primerih bolj zaželeno analitično modeliranje, v drugih pa simulacija (ali kombinacija obojega). Za uspešno izbiro morate odgovoriti na dve vprašanji.

Kaj je namen modeliranja?

V kateri razred lahko uvrstimo modelirani pojav?

Odgovore na obe vprašanji je mogoče dobiti v prvih dveh fazah modeliranja.

Simulacijski modeli ne le po lastnostih, ampak tudi po strukturi ustrezajo modeliranemu objektu. V tem primeru obstaja nedvoumna in očitna korespondenca med procesi, pridobljenimi na modelu, in procesi, ki se pojavljajo na objektu. Pomanjkljivost simulacije je, da je za dosego dobre natančnosti potrebno dolgo časa za rešitev problema.

Rezultati simulacijskega modeliranja delovanja stohastičnega sistema so realizacije naključnih spremenljivk oziroma procesov. Zato so za iskanje značilnosti sistema potrebne večkratne ponovitve in naknadna obdelava podatkov. Najpogosteje se v tem primeru uporablja vrsta simulacije - statistični

manekenstvo(ali metoda Monte Carlo), tj. reprodukcija naključnih dejavnikov, dogodkov, količin, procesov, polj v modelih.

Na podlagi rezultatov statističnega modeliranja so določene ocene verjetnostnih kriterijev kakovosti, splošnih in posebnih, ki označujejo delovanje in učinkovitost upravljanega sistema. Statistično modeliranje se pogosto uporablja za reševanje znanstvenih in uporabnih problemov na različnih področjih znanosti in tehnologije. Metode statističnega modeliranja se pogosto uporabljajo pri preučevanju kompleksnih dinamičnih sistemov, ocenjevanju njihovega delovanja in učinkovitosti.

Končna faza statističnega modeliranja temelji na matematični obdelavi dobljenih rezultatov. Pri tem se uporabljajo metode matematične statistike (parametrično in neparametrično ocenjevanje, testiranje hipotez). Primer parametričnega ocenjevalca je vzorčna sredina merila uspešnosti. Med neparametričnimi metodami je razširjena metoda histograma.

Obravnavana shema temelji na ponavljajočih se statističnih preizkusih sistema in metod statistike neodvisnih naključnih spremenljivk, vendar ta shema v praksi ni vedno naravna in stroškovno optimalna. Zmanjšanje časa testiranja sistema je mogoče doseči z uporabo natančnejših metod vrednotenja. Kot je znano iz matematične statistike, imajo efektivne ocene največjo natančnost za dano velikost vzorca. Optimalno filtriranje in metoda največje verjetnosti zagotavljata splošno metodo za pridobivanje takšnih ocen.Pri problemih statističnega modeliranja so implementacije obdelave naključnih procesov potrebne ne le za analizo izhodnih procesov.

Zelo pomembna je tudi kontrola karakteristik vhodnih naključnih vplivov. Kontrola je sestavljena iz preverjanja skladnosti porazdelitev generiranih procesov z danimi porazdelitvami. Ta problem je pogosto formuliran kot problem testiranja hipotez.

Splošni trend računalniškega modeliranja zapletenih nadzorovanih sistemov je želja po skrajšanju časa modeliranja in izvajanju raziskav v realnem času. Primerno je predstaviti računske algoritme v ponavljajoči se obliki, kar omogoča njihovo izvajanje s hitrostjo prejema trenutnih informacij.

NAČELA SISTEMSKEGA PRISTOPA V MODELIRANJU

Osnovna načela teorije sistemov

Osnovna načela sistemske teorije so nastala med preučevanjem dinamičnih sistemov in njihovih funkcionalnih elementov. Sistem razumemo kot skupino med seboj povezanih elementov, ki delujejo skupaj, da bi izpolnili vnaprej določeno nalogo. Analiza sistemov nam omogoča, da določimo najbolj realne načine za izvedbo dane naloge, ki zagotavljajo največjo zadovoljitev navedenih zahtev.

Elementi, ki tvorijo osnovo teorije sistemov, niso ustvarjeni s hipotezami, ampak so odkriti eksperimentalno. Za začetek gradnje sistema je potrebno poznati splošne značilnosti tehnoloških procesov. Enako velja za principe oblikovanja matematično oblikovanih kriterijev, ki jih mora proces ali njegov teoretični opis izpolnjevati. Modeliranje je ena najpomembnejših metod znanstvenega raziskovanja in eksperimentiranja.

Pri izdelavi modelov objektov se uporablja sistemski pristop, ki je metodologija za reševanje kompleksnih problemov, ki temelji na obravnavanju objekta kot sistema, ki deluje v določenem okolju. Sistematični pristop vključuje razkrivanje celovitosti predmeta, prepoznavanje in preučevanje njegove notranje zgradbe ter povezav z zunanjim okoljem. V tem primeru je predmet predstavljen kot del realnega sveta, ki je izoliran in proučen v povezavi s problemom konstruiranja modela. Poleg tega gre pri sistemskem pristopu za dosleden prehod od splošnega k posebnemu, ko je temelj obravnave projektni cilj, objekt pa obravnavamo v odnosu do okolja.

Kompleksen objekt lahko razdelimo na podsisteme, ki so deli objekta, ki izpolnjujejo naslednje zahteve:

1) podsistem je funkcionalno neodvisen del objekta. Povezan je z drugimi podsistemi, z njimi izmenjuje informacije in energijo;

2) za vsak podsistem je mogoče definirati funkcije ali lastnosti, ki ne sovpadajo z lastnostmi celotnega sistema;

3) vsak od podsistemov je lahko podvržen nadaljnji delitvi na nivo elementov.

V tem primeru element razumemo kot podsistem nižje ravni, katerega nadaljnja delitev je z vidika problema, ki ga rešujemo, neprimerna.

Tako lahko sistem definiramo kot predstavitev objekta v obliki niza podsistemov, elementov in povezav z namenom njegovega ustvarjanja, raziskovanja ali izboljšave. V tem primeru se povečana predstavitev sistema, vključno z glavnimi podsistemi in povezavami med njimi, imenuje makrostruktura, podrobno razkritje notranje strukture sistema do ravni elementov pa mikrostruktura.

Ob sistemu običajno obstaja še nadsistem - sistem višjega nivoja, ki vključuje obravnavani objekt, delovanje katerega koli sistema pa je mogoče določiti le preko nadsistema.

Izpostaviti je treba koncept okolja kot niza objektov zunanjega sveta, ki pomembno vplivajo na učinkovitost sistema, vendar niso del sistema in njegovega nadsistema.

V povezavi s sistemskim pristopom k gradnji modelov se uporablja pojem infrastrukture, ki opisuje odnos sistema do njegovega okolja (okolja), pri čemer gre za identifikacijo, opis in proučevanje lastnosti objekta, ki so bistvenega pomena. v okviru določene naloge imenujemo stratifikacija objekta, vsak model objekta pa njegov stratificiran opis.

Za sistemski pristop je pomembno določiti strukturo sistema, tj. niz povezav med elementi sistema, ki odražajo njihovo interakcijo. Da bi to naredili, najprej razmislimo o strukturnih in funkcionalnih pristopih k modeliranju.

S strukturnim pristopom se razkriva sestava izbranih elementov sistema in povezave med njimi. Nabor elementov in povezav nam omogoča presojo zgradbe sistema. Najbolj splošen opis strukture je topološki opis. Omogoča določanje komponent sistema in njihovih povezav z uporabo grafov. Manj splošen je funkcionalni opis, ko se upoštevajo posamezne funkcije, tj. algoritmi za obnašanje sistema. V tem primeru je implementiran funkcionalni pristop, ki definira funkcije, ki jih sistem izvaja.

Na podlagi sistemskega pristopa je mogoče predlagati zaporedje razvoja modela, pri katerem ločimo dve glavni fazi načrtovanja: makro in mikrodizajn.

V fazi makro načrtovanja se zgradi model zunanjega okolja, identificirajo se viri in omejitve, izbere model sistema in kriteriji za oceno ustreznosti.

Faza mikro načrtovanja je v veliki meri odvisna od vrste izbranega modela. Na splošno vključuje ustvarjanje informacijskih, matematičnih, tehničnih in sistemov za modeliranje programske opreme. Na tej stopnji se določijo glavne tehnične značilnosti ustvarjenega modela, ocenijo se čas, potreben za delo z njim, in stroški virov za pridobitev določene kakovosti modela.

Ne glede na vrsto modela je pri njegovi izdelavi potrebno upoštevati številna načela sistematičnega pristopa:

1) dosledno napredovanje skozi faze ustvarjanja modela;

2) usklajevanje informacij, virov, zanesljivosti in drugih značilnosti;

3) pravilno razmerje med različnimi nivoji konstrukcije modela;

4) celovitost posameznih faz oblikovanja modela.

V tem članku ponujamo primere matematičnih modelov. Poleg tega se bomo posvetili fazam izdelave modelov in analizirali nekatere probleme, povezane z matematičnim modeliranjem.

Drugo vprašanje, ki ga imamo, so matematični modeli v ekonomiji, katerih primere si bomo ogledali pri definiciji nekoliko kasneje. Predlagamo, da začnemo naš pogovor s samim pojmom "model", na kratko razmislimo o njihovi klasifikaciji in preidemo na naša glavna vprašanja.

Koncept "model"

Pogosto slišimo besedo "model". Kaj je to? Ta izraz ima veliko definicij, tukaj so samo tri izmed njih:

• specifičen predmet, ki je ustvarjen za sprejemanje in shranjevanje informacij, ki odražajo nekatere lastnosti ali značilnosti in tako naprej izvirnika tega predmeta (ta specifičen predmet je lahko izražen v različnih oblikah: miselni, opis z uporabo znakov in tako naprej);
• Model pomeni tudi prikaz določene situacije, življenja ali upravljanja;
• model je lahko pomanjšana kopija predmeta (ustvarjeni so za podrobnejšo študijo in analizo, saj model odraža strukturo in odnose).

Na podlagi vsega, kar je bilo prej rečeno, lahko naredimo majhen zaključek: model vam omogoča podrobno preučevanje kompleksnega sistema ali predmeta.

Vse modele je mogoče razvrstiti glede na številne značilnosti:

• po področju uporabe (izobraževalni, eksperimentalni, znanstveni in tehnični, igričarski, simulacijski);
• po dinamiki (statične in dinamične);
• po vejah znanja (fizikalni, kemijski, geografski, zgodovinski, sociološki, ekonomski, matematični);
• po načinu podajanja (materialno in informativno).

Informacijske modele pa delimo na simbolne in verbalne. In simbolične - na računalniške in neračunalniške. Zdaj pa preidimo na podrobno obravnavo primerov matematičnega modela.

Matematični model

Kot morda ugibate, matematični model odraža vse lastnosti predmeta ali pojava s pomočjo posebnih matematičnih simbolov. Matematika je potrebna za modeliranje vzorcev okoliškega sveta v svojem specifičnem jeziku.

Metoda matematičnega modeliranja je nastala precej dolgo nazaj, pred tisočletji, skupaj s prihodom te znanosti. Zagon za razvoj te metode modeliranja pa je dal pojav računalnikov (elektronskih računalnikov).

Zdaj pa preidimo na klasifikacijo. Lahko se izvaja tudi po nekaterih znakih. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Predlagamo, da se ustavimo in si podrobneje ogledamo najnovejšo klasifikacijo, saj odraža splošne vzorce modeliranja in cilje ustvarjenih modelov.

Opisni modeli

V tem poglavju predlagamo, da se podrobneje posvetimo opisnim matematičnim modelom. Da bo vse zelo jasno, bo podan primer.

Začnimo z dejstvom, da lahko ta pogled imenujemo opisni. To je posledica dejstva, da preprosto delamo izračune in napovedi, vendar na noben način ne moremo vplivati ​​na izid dogodka.

Osupljiv primer opisnega matematičnega modela je izračun poti leta, hitrosti in oddaljenosti od Zemlje kometa, ki je vdrl v prostranstva našega sončnega sistema. Ta model je opisen, saj nas lahko vsi dobljeni rezultati le opozorijo na nevarnost. Na razplet dogodka žal ne moremo vplivati. Vendar pa je na podlagi pridobljenih izračunov mogoče sprejeti kakršne koli ukrepe za ohranitev življenja na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Zdaj bomo govorili malo o ekonomskih in matematičnih modelih, katerih primeri so lahko različne trenutne situacije. V tem primeru govorimo o modelih, ki pomagajo pri iskanju pravilnega odgovora pod določenimi pogoji. Vsekakor imajo nekaj parametrov. Da bo povsem jasno, si poglejmo primer iz kmetijskega sektorja.

Imamo kaščo, a se žito zelo hitro pokvari. V tem primeru moramo izbrati prave temperaturne pogoje in optimizirati proces shranjevanja.

Tako lahko definiramo pojem »optimizacijski model«. V matematičnem smislu gre za sistem enačb (tako linearnih kot ne), katerih rešitev pomaga najti optimalno rešitev v določeni ekonomski situaciji. Ogledali smo si primer matematičnega modela (optimizacija), vendar bi rad dodal: ta tip spada v razred ekstremnih problemov, pomagajo opisati delovanje gospodarskega sistema.

Upoštevajte še eno nianso: modeli so lahko drugačne narave (glej spodnjo tabelo).

Večkriterijski modeli

Zdaj pa vas vabimo, da se malo pogovorimo o matematičnem modelu večkriterijske optimizacije. Pred tem smo navedli primer matematičnega modela za optimizacijo procesa glede na kateri koli kriterij, kaj pa, če jih je veliko?

Osupljiv primer večkriterijske naloge je organizacija pravilne, zdrave in hkrati ekonomične prehrane za velike skupine ljudi. Takšne naloge pogosto srečamo v vojski, šolskih menzah, poletnih taborih, bolnišnicah ipd.

Katera merila so nam dana pri tej nalogi?

1. Prehrana mora biti zdrava.
2. Stroški hrane morajo biti minimalni.

Kot lahko vidite, ti cilji sploh ne sovpadajo. To pomeni, da je pri reševanju problema treba iskati optimalno rešitev, ravnotežje med dvema kriterijema.

Igralni modeli

Ko govorimo o modelih iger, je treba razumeti koncept "teorije iger". Preprosto povedano, ti modeli odražajo matematične modele resničnih konfliktov. Razumeti morate le, da ima matematični model igre za razliko od pravega konflikta svoja posebna pravila.

Zdaj bomo ponudili minimalne informacije iz teorije iger, ki vam bodo pomagale razumeti, kaj je model igre. In tako model nujno vsebuje stranke (dve ali več), ki se običajno imenujejo igralci.

Vsi modeli imajo določene značilnosti.

Model igre je lahko seznanjen ali več. Če imamo dva subjekta, je konflikt parni, če jih je več, je večkratni. Razlikujete lahko tudi med antagonistično igro, imenujemo jo tudi igra z ničelno vsoto. To je model, v katerem je dobiček enega od udeležencev enak izgubi drugega.

Simulacijski modeli

V tem delu bomo pozornost namenili simulacijskim matematičnim modelom. Primeri nalog vključujejo:

• model dinamike populacije mikroorganizmov;
• model molekularnega gibanja itd.

V tem primeru govorimo o modelih, ki so čim bližje realnim procesom. Na splošno posnemajo neko manifestacijo v naravi. V prvem primeru lahko na primer simuliramo dinamiko števila mravelj v eni koloniji. Hkrati lahko opazujete usodo vsakega posameznega posameznika. V tem primeru se redko uporablja matematični opis, pogosteje so prisotni pisni pogoji:

• po petih dneh samica odloži jajca;
• po dvajsetih dneh mravlja pogine itd.

Tako se uporabljajo za opis velikega sistema. Matematični zaključek je obdelava pridobljenih statističnih podatkov.

Zahteve

Zelo pomembno je vedeti, da ima ta vrsta modela nekatere zahteve, vključno s tistimi, ki so navedene v spodnji tabeli.

Faze modeliranja

Skupaj je matematično modeliranje običajno razdeljeno na štiri stopnje.

1. Oblikovanje zakonov, ki povezujejo dele modela.
2. Študij matematičnih problemov.
3. Ugotavljanje sovpadanja praktičnih in teoretičnih rezultatov.
4. Analiza in posodobitev modela.

Ekonomski in matematični model

V tem razdelku bomo na kratko izpostavili težavo. Primeri nalog vključujejo:

• oblikovanje proizvodnega programa za proizvodnjo mesnih izdelkov, ki zagotavlja največji dobiček proizvodnje;
• maksimiranje dobička organizacije z izračunom optimalne količine miz in stolov, proizvedenih v tovarni pohištva itd.

Ekonomsko-matematični model prikazuje ekonomsko abstrakcijo, ki je izražena z matematičnimi izrazi in simboli.

Računalniški matematični model

Primeri računalniškega matematičnega modela so:

• hidravlične težave z uporabo diagramov poteka, diagramov, tabel itd.;
• težave pri mehaniki trdnih delov in tako naprej.

Računalniški model je slika predmeta ali sistema, predstavljena v obliki:

• mize;
• blokovni diagrami;
• diagrami;
• grafike in tako naprej.

Poleg tega ta model odraža strukturo in medsebojne povezave sistema.

Izgradnja ekonomsko-matematičnega modela

O tem, kaj je ekonomsko-matematični model, smo že govorili. Primer reševanja problema bo obravnavan prav zdaj. Analizirati moramo proizvodni program, da ugotovimo rezervo za povečanje dobička s premikom v asortimanu.

Problema ne bomo v celoti obravnavali, ampak bomo le zgradili ekonomski in matematični model. Merilo naše naloge je maksimizacija dobička. Takrat ima funkcija obliko: А=р1*х1+р2*х2..., teži k maksimumu. V tem modelu je p dobiček na enoto in x število proizvedenih enot. Nato je treba na podlagi izdelanega modela narediti izračune in povzetek.

Primer gradnje preprostega matematičnega modela

Naloga. Ribič se je vrnil z naslednjim ulovom:

• 8 rib - prebivalci severnih morij;
• 20% ulova so prebivalci južnih morij;
• Iz lokalne reke niso našli niti ene ribe.

Koliko rib je kupil v trgovini?

Torej, primer konstruiranja matematičnega modela tega problema izgleda takole. Z x označimo skupno število rib. Po pogoju je 0,2x število rib, ki živijo v južnih zemljepisnih širinah. Sedaj združimo vse razpoložljive informacije in dobimo matematični model problema: x=0,2x+8. Rešimo enačbo in dobimo odgovor na glavno vprašanje: v trgovini je kupil 10 rib.