Posledice simetral podobnih trikotnikov. Če sta razdalji enaki, leži točka na simetrali

Danes bo zelo lahka lekcija. Upoštevali bomo samo en objekt - simetralo kota - in dokazali njegovo najpomembnejšo lastnost, ki nam bo v prihodnosti zelo koristila.

Samo ne sprostite se: včasih študentje, ki želijo dobiti visoka ocena na istem OGE ali enotnem državnem izpitu v prvi lekciji ne morejo niti natančno oblikovati definicije simetrale.

In namesto da bi zares naredili zanimive naloge, zapravljamo čas za tako preproste stvari. Zato preberite, glejte in posvojite. :)

Za začetek malce čudno vprašanje: kaj je kot? Tako je: kot sta preprosto dva žarka, ki izhajata iz iste točke. Na primer:

Kot lahko vidite na sliki, so koti lahko ostri, tupi, ravni - zdaj ni pomembno. Pogosto je zaradi udobja na vsakem žarku označena dodatna točka in pravijo, da je pred nami kot $AOB$ (zapisano kot $\angle AOB$).

Zdi se, da Captain Obviousness namiguje, da je poleg žarkov $OA$ in $OB$ vedno mogoče potegniti še kup žarkov iz točke $O$. Toda med njimi bo en poseben - imenuje se simetrala.

Opredelitev. Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz oglišča tega kota in razpolovi kot.

Za zgornje kote bodo simetrale videti takole:

Primeri simetral za oster, top in pravi kot

Ker v realnih risbah ni vedno očitno, da določen žarek (v našem primeru je to žarek $OM$) deli prvotni kot na dva enaka kota, je v geometriji navada, da enaka kota označimo z enakim številom lokov ( na naši risbi je to 1 lok za oster kot, dva za top, tri za ravni).

V redu, uredili smo definicijo. Zdaj morate razumeti, katere lastnosti ima simetrala.

Glavna lastnost simetrale kota

Pravzaprav ima simetrala veliko lastnosti. In zagotovo jih bomo pogledali v naslednji lekciji. Vendar obstaja en trik, ki ga morate takoj razumeti:

Izrek. Simetrala kota je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic danega kota.

Prevedeno iz matematike v ruščino, to pomeni dve dejstvi hkrati:

1. Vsaka točka, ki leži na simetrali določenega kota, je enako oddaljena od stranic tega kota.
2. In obratno: če leži točka na enaki razdalji od stranic danega kota, potem je zagotovljeno, da leži na simetrali tega kota.

Preden dokažemo te trditve, razjasnimo eno točko: kaj točno se imenuje razdalja od točke do stranice kota? Tu nam bo pomagalo staro dobro določanje razdalje od točke do črte:

Opredelitev. Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice, ki poteka iz dane točke na to premico.

Na primer, razmislite o premici $l$ in točki $A$, ki ne ležita na tej premici. Na $AH$ narišimo pravokotno, kjer je $H\in l$. Potem bo dolžina te navpičnice razdalja od točke $A$ do premice $l$.

Ker sta kot preprosto dva žarka in je vsak žarek kos ravne črte, je enostavno določiti razdaljo od točke do stranic kota. To sta samo dve pravokotnici:

To je to! Zdaj vemo, kaj je razdalja in kaj simetrala. Zato lahko dokažemo glavno lastnost.

Kot smo obljubili, bomo dokaz razdelili na dva dela:

1. Razdalje od točke na simetrali do stranic kota so enake

Razmislimo poljuben kot z ogliščem $O$ in simetralo $OM$:

Dokažimo, da je ta ista točka $M$ enako oddaljena od stranic kota.

Dokaz. Narišite navpičnici iz točke $M$ na stranice kota. Imenujmo jih $M((H)_(1))$ in $M((H)_(2))$:

Narišite pravokotnice na stranice kota

Dobili smo dva pravokotna trikotnika: $\vartrikotnik OM((H)_(1))$ in $\vartrikotnik OM((H)_(2))$. Imata skupno hipotenuzo $OM$ in enaka kota:

1. $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$ po pogoju (ker je $OM$ simetrala);
2. $\kot M((H)_(1))O=\kot M((H)_(2))O=90()^\circ $ po konstrukciji;
3. $\kot OM((H)_(1))=\kot OM((H)_(2))=90()^\circ -\kot MO((H)_(1))$, saj je vsota ostri koti pravokotni trikotnik vedno enak 90 stopinj.

Posledično sta trikotnika enaka v stranicah in dveh sosednjih kotih (glej znake enakosti trikotnikov). Zato je zlasti $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. razdalje od točke $O$ do stranic kota sta res enaki. Q.E.D. :)

2. Če sta razdalji enaki, leži točka na simetrali

Zdaj je situacija obrnjena. Naj bo podan kot $O$ in točka $M$, ki je enako oddaljena od stranic tega kota:

Dokažimo, da je žarek $OM$ simetrala, tj. $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$.

Dokaz. Najprej narišimo prav ta žarek $OM$, drugače ne bo ničesar dokazati:

Preveden žarek $OM$ znotraj kota

Spet dobimo dva pravokotna trikotnika: $\vartriangle OM((H)_(1))$ in $\vartriangle OM((H)_(2))$. Očitno sta enakovredna, ker:

1. Hipotenuza $OM$ - splošno;
2. Kraki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ po pogoju (navsezadnje je točka $M$ enako oddaljena od stranic kota);
3. Tudi preostale noge so enake, saj po Pitagorovem izreku $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Zato sta trikotnika $\vartriangle OM((H)_(1))$ in $\vartriangle OM((H)_(2))$ na treh stranicah. Zlasti sta njuna kota enaka: $\kot MO((H)_(1))=\kot MO((H)_(2))$. In to samo pomeni, da je $OM$ simetrala.

Za zaključek dokaza z rdečimi loki označimo nastale enake kote:

Simetrala deli kot $\kot ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva enaka

Kot lahko vidite, nič zapletenega. Dokazali smo, da je simetrala kota geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic tega kota.

Zdaj, ko smo se bolj ali manj odločili glede terminologije, je čas, da nadaljujemo nova raven. V naslednji lekciji si bomo ogledali več kompleksne lastnosti simetrale in se jih naučite uporabljati za reševanje resničnih problemov.

Simetrala trikotnika je običajen geometrijski koncept, ki ne povzroča večjih težav pri učenju. Če poznate njegove lastnosti, lahko brez večjih težav rešite številne težave. Kaj je simetrala? Bralca bomo poskušali seznaniti z vsemi skrivnostmi te matematične linije.

Bistvo koncepta

Ime koncepta izvira iz uporabe besed v latinščini, katerih pomen je "bi" - dva, "sectio" - rezati. Posebej opozarjajo na geometrijski pomen koncepti - razbijanje prostora med žarki na dva enaka dela.

Simetrala trikotnika je segment, ki izvira iz vrha figure, drugi konec pa je postavljen na stran, ki se nahaja nasproti njega, medtem ko prostor deli na dva enaka dela.

Veliko učiteljev za hitro asociativno pomnjenje učencev matematične pojme uporabljajo drugačno terminologijo, ki se odraža v pesmih ali asociacijah. Seveda je uporaba te definicije priporočljiva za starejše otroke.

Kako je označena ta linija? Tu se opiramo na pravila za označevanje segmentov ali žarkov. če govorimo o o oznaki simetrale kota trikotne figure je običajno zapisan kot segment, katerega konci so oglišče in presečišče s stranico, ki je nasproti oglišča. Poleg tega je začetek notacije zapisan natančno iz vrha.

Pozor! Koliko simetral ima trikotnik? Odgovor je očiten: kolikor je oglišč - tri.

Lastnosti

Poleg definicije, v šolski učbenik ne najdete veliko lastnosti tega geometrijski koncept. Prva lastnost simetrale trikotnika, s katero se seznanijo šolarji, je vpisano središče, druga, neposredno povezana z njim, pa je sorazmernost segmentov. Bistvo je naslednje:

1. Ne glede na to, kakšna je ločnica, so na njej točke, ki so na enaki razdalji od stranic, ki sestavljajo prostor med žarki.
2. Da bi se prilegal v trikotna figura krogu, je treba določiti točko, v kateri se bodo ti segmenti sekali. To je središčna točka kroga.
3. Deli trikotne stranice geometrijski lik, v katero njena ločnica deli, sta V proporcionalna odvisnost od stranic, ki tvorijo kot.

Preostale funkcije bomo poskušali vnesti v sistem in predstaviti dodatna dejstva, ki vam bo pomagal bolje razumeti prednosti tega geometrijskega koncepta.

Dolžina

Ena od vrst težav, ki povzročajo težave šolarjem, je iskanje dolžine simetrale kota trikotnika. Prva možnost, ki vsebuje njegovo dolžino, vsebuje naslednje podatke:

• količina prostora med žarki, iz vrha katerih izhaja dani segment;
• dolžine stranic, ki tvorijo ta kot.

Za rešitev problema uporabljena formula, katerega pomen je najti razmerje produkta vrednosti stranic, ki sestavljajo kot, povečanih za 2-krat, s kosinusom njegove polovice in vsoto stranic.

Poglejmo si konkreten primer. Recimo, da imamo lik ABC, v katerem je segment narisan iz kota A in seka stranico BC v točki K. Vrednost A označimo kot Y. Na podlagi tega je AK ​​= (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Druga različica problema, v kateri je določena dolžina simetrale trikotnika, vsebuje naslednje podatke:

• znani so pomeni vseh strani figure.

Pri reševanju tovrstnega problema na začetku določite polobod. Če želite to narediti, morate sešteti vrednosti vseh strani in jih razdeliti na pol: p=(AB+BC+AC)/2. Nato uporabimo računsko formulo, ki je bila uporabljena za določitev dolžine tega segmenta v prejšnja naloga. Potrebno je le nekaj spremeniti bistvo formule v skladu z novimi parametri. Torej je treba najti razmerje med podvojenim korenom druge potence produkta dolžin stranic, ki mejijo na oglišče s polobodom, in razliko med polobodom in dolžino strani nasproti vsoti stranic, ki sestavljajo kot. To je AK ​​= (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Pozor! Za lažje obvladovanje gradiva se lahko obrnete na komične zgodbe, ki so na voljo na internetu in pripovedujejo o "pustolovščinah" te linije.

Notranji koti trikotnika se imenujejo simetrala trikotnika.
Simetralo kota trikotnika razumemo tudi kot odsek med njegovim vrhom in presečiščem simetrale z nasprotno stranjo trikotnika.
Izrek 8. Tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki.
Dejansko najprej razmislimo o točki P presečišča dveh simetral, na primer AK 1 in VK 2. Ta točka je enako oddaljena od stranic AB in AC, saj leži na simetrali kota A, in enako oddaljena od stranic AB in BC, saj pripadata simetrali kota B. To pomeni, da je enako oddaljena od simetrale kota A. stranicah AC in BC in s tem pripada tretji simetrali CK 3, to pomeni, da se v točki P vse tri simetrale sekajo.
Lastnosti simetral notranjih in zunanjih kotov trikotnika
Izrek 9. Simetrala notranjega kota trikotnika deli nasprotno stranico na dele, ki so sorazmerni s sosednjima stranicama.
Dokaz. Oglejmo si trikotnik ABC in simetralo njegovega kota B. Skozi oglišče C narišimo premico CM, vzporedno s simetralo BC, dokler se v točki M ne preseka z nadaljevanjem stranice AB. Ker je VC simetrala kota ABC, potem je ∠ ABC = ∠ KBC. Nadalje, ∠ АВК=∠ ВСМ, kot ustrezni koti za vzporedne premice in ∠ КВС=∠ ВСМ, kot navzkrižni koti za vzporedne premice. Zato je ∠ ВСМ=∠ ВМС, zato je trikotnik ВСМ enakokrak, zato je ВС=ВМ. Po izreku o vzporednih premicah, ki sekajo stranice kota, imamo AK:K C=AB:VM=AB:BC, kar je bilo treba tudi dokazati.
Izrek 10 Simetrala zunanji kotiček IN trikotnik ABC ima podobno lastnost: odseka AL in CL od oglišč A in C do točke L presečišča simetrale z nadaljevanjem stranice AC sta sorazmerna s stranicami trikotnika: AL: C.L.=AB:BC.
To lastnost dokažemo na enak način kot prejšnjo: na sliki je narisana pomožna premica SM vzporedno s simetralo BL. Kota BMC in BC sta enaka, kar pomeni, da sta stranici BM in BC trikotnika BMC enaki. Iz tega pridemo do zaključka AL:CL=AB:BC.

Izrek d4. (prva formula za simetralo): Če je v trikotniku ABC odsek AL simetrala kota A, potem je AL? = AB·AC - LB·LC.

Dokaz: Naj bo M presečišče premice AL s krogom, ki je obkrožen okoli trikotnika ABC (slika 41). Kot BAM je po pogoju enak kotu MAC. Kota BMA in BCA sta skladna kot včrtana kota, ki ju ločuje ista tetiva. To pomeni, da sta si trikotnika BAM in LAC podobna v dveh kotih.<=>Zato je AL: AC = AB: AM. Torej AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Kar je bilo treba dokazati. Opomba: za izrek o odsekih sekajočih se tetiv v krogu in o včrtanih kotih glej temo krog in krog.
Izrek d5.

Dokaz:(druga formula za simetralo): V trikotniku ABC s stranicami AB=a, AC=b in kotom A, ki je enak 2? in simetralo l, velja enakost: l = (2ab / (a+b)) cos?. Naj bo ABC<=>dani trikotnik<=>, AL je njegova simetrala (slika 42), a=AB, b=AC, l=AL. Potem je S ABC = S ALB + S ALC. Torej, absin2? = alsin? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Izrek je dokazan.

• Med številnimi predmeti srednje šole je eden, kot je "geometrija". Tradicionalno velja, da so ustanovitelji te sistematične znanosti Grki. Danes se grška geometrija imenuje elementarna, saj je bila ona tista, ki je začela preučevati najpreprostejše oblike: ravnine, ravne črte in trikotnike. Osredotočili se bomo na slednjo oziroma na simetralo tega lika. Za tiste, ki ste že pozabili, je simetrala trikotnika odsek simetrale enega od vogalov trikotnika, ki ga deli na polovico in povezuje vrh s točko, ki se nahaja na nasprotni strani. Simetrala trikotnika ima številne lastnosti, ki jih morate poznati pri reševanju določenih problemov: Simetrala kota je geometrijsko mesto točk, ločenih z
• enake razdalje s stranic, ki mejijo na kot. Simetrala v trikotniku deli stranico, ki je nasprotna kotu, na segmente, ki so sorazmerni s sosednjima stranicama. Na primer, podan je trikotnik MKB, kjer simetrala izhaja iz kota K, ki povezuje oglišče tega kota s točko A na nasprotni strani MB. Po analizi
• to lastnino
• in naš trikotnik, imamo MA/AB=MK/KB. Točka, v kateri se sekajo simetrale vseh treh kotov trikotnika, je središče krožnice, ki je včrtana v isti trikotnik. sta na isti premici, pod pogojem, da simetrala zunanjega kota ni vzporedna z nasprotno stranjo trikotnika.
• Če sta dve simetrali ena, potem je to

Upoštevati je treba, da če so podane tri bisektorje, je iz njih sestaviti trikotnik, tudi s pomočjo kompasa, nemogoče.

Zelo pogosto pri reševanju nalog simetrala trikotnika ni znana, vendar je treba določiti njeno dolžino. Če želite rešiti to težavo, morate poznati kot, ki ga razpolovijo simetrala in stranice, ki mejijo na ta kot. V tem primeru je zahtevana dolžina opredeljena kot razmerje med dvakratnim zmnožkom stranic, ki mejijo na kot, in kosinusa kota, deljenega na polovico, in vsote stranic, ki mejijo na kot. Na primer, glede na isti trikotnik MKB. Simetrala zapušča kot K in seka nasprotna stran MV v točki A. Kot, iz katerega izhaja simetrala, bomo označili z y. Zdaj pa zapišimo vse, kar je povedano z besedami, v obliki formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Če vrednost kota, iz katerega izhaja simetrala trikotnika, ni znana, znane pa so vse njegove stranice, bomo za izračun dolžine simetrale uporabili dodatno spremenljivko, ki jo bomo imenovali polobod in jo označili z črka P: P=1/2*(MK+KB+MB). Po tem bomo nekoliko spremenili prejšnjo formulo, s katero je bila določena dolžina simetrale, in sicer v števec ulomka vnesemo dvojni zmnožek dolžin stranic, ki mejijo na kot, s polobodom in količnik, kjer se dolžina tretje strani odšteje od polobodja. Pustimo imenovalec nespremenjen. V obliki formule bo videti takole: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Simetrala enakokraki trikotnik skupaj z splošne lastnosti ima več svojih. Spomnimo se, kakšen trikotnik je to. Tak trikotnik ima dve enaki stranici in enaka kota, ki mejita na osnovo. Iz tega sledi, da simetrale, ki se spuščajo na straneh enakokraki trikotnik, enak drug drugemu. Poleg tega je simetrala, spuščena na osnovo, hkrati višina in mediana.

Sorokina Vika

Podani so dokazi o lastnostih simetrale trikotnika in obravnavana je uporaba teorije pri reševanju problemov.

Prenos:

Predogled:

Odbor za izobraževanje uprave mesta Saratov, občinsko avtonomno okrožje Oktyabrsky izobraževalna ustanova Licej št. 3 poimenovan po. A. S. Puškin.

Občinsko znanstveno-praktično

konferenca

"Prvi koraki"

Zadeva: Simetrala in njene lastnosti.

Delo opravila: učenka 8.r

Sorokina ViktorijaZnanstveni vodja: učitelj matematike najvišje kategorijePopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Naslovna stran…………………………………………………………...1
2. Vsebina…………………………………………………………2
3. Uvod in cilji…………………………………………………………... ..3
4. Upoštevanje lastnosti simetrale

• Tretje geometrijsko mesto točk………………………………….3
• Izrek 1………………………………………………………………...4
• Izrek 2………………………………………………………………4
• Glavna lastnost simetrale trikotnika:

1. Izrek 3………………………………………………………………...4
2. Naloga 1……………………………………………………………… ….7
3. Naloga 2……………………………………………………………….8
4. Naloga 3……………………………………………………………….....9
5. Naloga 4……………………………………………………………….9-10

• Izrek 4…………………………………………………………10-11
• Formule za iskanje simetrale:

1. Izrek 5……………………………………………………………….11
2. Izrek 6……………………………………………………………….11
3. Izrek 7……………………………………………………………….12
4. Naloga 5…………………………………………………………...12-13

• Izrek 8……………………………………………………………….13
• Naloga 6…………………………………………………………...….14
• Naloga 7………………………………………………………………14-15
• Določitev kardinalnih smeri s pomočjo simetrale………………15

1. Zaključek in zaključek………………………………………………………..15
2. Seznam referenc……………………………………..16

Simetrala

Pri pouku geometrije sem med učenjem teme podobnih trikotnikov naletel na problem izreka o razmerju simetrale do nasprotnih stranic. Zdelo se je, da bi lahko bilo kaj zanimivega v temi simetrale, vendar me je ta tema zanimala in želel sem jo preučiti globlje. Navsezadnje je simetrala zelo bogata neverjetne lastnosti, pomoč pri reševanju različnih težav.

Pri obravnavi te teme boste opazili, da učbeniki geometrije govorijo zelo malo o lastnostih simetrale, toda na izpitih, če jih poznate, lahko težave rešujete veliko lažje in hitreje. Poleg tega se morajo sodobni študenti za opravljanje GIA in enotnih državnih izpitov učiti sami dodatni materiali Za šolski kurikulum. Zato sem se odločil podrobneje preučiti temo simetrale.

Simetrala (iz latinščine bi- "dvojna" in sectio "rezanje") kota je žarek z začetkom na vrhu kota, ki deli kot na dva enaka dela. Simetrala kota (skupaj s podaljškom) je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota (ali njihovih podaljškov)

Tretje geometrijsko mesto točk

Slika F je geometrijsko mesto točk (množica točk), ki ima neko lastnost A, če sta izpolnjena dva pogoja:

1. iz dejstva, da točka pripada liku F, iz tega sledi, da ima lastnost A;
2. iz dejstva, da točka zadovoljuje lastnost A, sledi, da pripada sliki F.

Prvo geometrijsko mesto točk, obravnavano v geometriji, je krog, tj. geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od ene fiksne točke. drugi - pravokotna simetrala segment, tj. geometrijsko mesto točk, enako oddaljenih od konca segmenta. In končno, tretji - simetrala - geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota

Izrek 1:

Simetrali sta od stranic enako oddaljeni on je v kotu.

Dokaz:

Naj R - simetrala A. Odstopimo od bistvaP pravokotnice avtodom in PC na straneh vogala. Potem je VAR = SAR s hipotenuzo in ostrim kotom. Zato je PB = PC

Izrek 2:

Če je točka P enako oddaljena od stranic kote A, potem leži na simetrali.

Dokaz: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR je simetrala.

Med osnovnimi geometrijskimi dejstvi je izrek, da simetrala deli nasprotno stranico glede na nasprotni stranici. To dejstvo je dolgo ostalo v senci, a povsod se pojavljajo težave, ki jih je veliko lažje rešiti, če poznaš to in druga dejstva o simetrali. Začel sem zanimati in odločil sem se nadalje raziskati to lastnost simetrale.

Glavna lastnost simetrale kota trikotnika

Izrek 3. Simetrala deli nasprotno stranico trikotnika glede na sosednje stranice.

Dokazi 1:

Podano: AL - simetrala trikotnika ABC

Dokaži:

Dokaz: Naj bo F točka presečišča črte AL in premica, ki poteka skozi točko IN vzporedno s stranico AC.

Potem je BFA = FAC = BAF. Zato je B.A.F. enakokraki in AB = BF. Iz podobnosti trikotnikov

ALC in FLB imamo

razmerje

kjer

Dokazi 2

Naj bo F točka, ki jo sekata premica AL in premica, ki poteka skozi točko C vzporedno z osnovo AB. Potem lahko ponovite sklepanje.

Dokazi 3 Naj bosta K in M ​​osnovici navpičnic, spuščenih na premico AL iz točk B in C
oz. Trikotnika ABL in ACL sta si podobna pod dvema kotoma. zato

. In iz podobnosti BKL in CML imamo

Od tukaj

Dokaz 4 Uporabimo metodo območij. Izračunajmo ploščine trikotnikov ABL in ACL

na dva načina.

Od tukaj.

Dokazi 5 Naj bo α= VAS,φ=

BLA. Po izreku sinusov v trikotniku ABL.

In v trikotniku ACL

ker,.

Nato, če obe strani enakosti razdelimo na ustrezne dele druge, dobimo

Problem 1 podano:

V trikotniku ABC je VC simetrala, BC = 2, KS = 1,

rešitev:

Problem 1

Problem 2

V trikotniku ABC je VC simetrala, BC = 2, KS = 1,

Poiščite simetrale ostrih kotov pravokotnega trikotnika s krakoma 24 in 18

Naj bo stran AC = 18, stran BC = 24, A.M.

- simetrala trikotnika.

da je AB = 30.

Od takrat

Podobno poiščemo drugo simetralo.

odgovor:

Problem 3

V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom B simetrala kota A prečka stran B.C.

Na točki D. Znano je, da je BD = 4, DC = 6.

Poiščite območje trikotnika ADC

V trikotniku ABC je VC simetrala, BC = 2, KS = 1,

Po lastnosti simetrale trikotnika

Označimo AB = 2 x, AC = 3 x. Po izreku

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2 ali 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Od tod to ugotovimo x = Potem je AB = , S ABC=

torej

Problem 4

Problem 1

V enakokrakem trikotniku ABC strani AB enako 10, osnova AC je 12.

Simetrale kotov A in C sekajo v točki D. Poiščite BD.

V trikotniku ABC je VC simetrala, BC = 2, KS = 1,

Ker simetrale trikotnika sekajo na

Ena točka, potem je BD simetrala B. Nadaljujmo BD do križišča s AC v točki M. Potem je M razpolovišče AC, BM AC. zato

Od CD-ja - simetrala trikotnika BMC torej

Zato,.

odgovor:

Izrek 4. Tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki.

Dejansko najprej razmislimo o točki P presečišča dveh simetral, na primer AK 1 in VK 2 . Ta točka je enako oddaljena od stranic AB in AC, saj leži na simetraliA, in je enako oddaljena od stranic AB in BC, saj pripadata simetraliB. To pomeni, da je enako oddaljena od stranic AC in BC in tako pripada tretji simetrali SC 3 , to pomeni, da se v točki P vse tri simetrale sekajo.

Formule za iskanje simetrale
Izrek 5: (prva formula za simetralo): Če je v trikotniku ABC odsek AL simetrala A, potem je AL² = AB·AC - LB·LC.

Dokaz: Naj bo M presečišče premice AL s krogom, ki je obkrožen okoli trikotnika ABC (slika 41). Kot BAM enak kotu MAC glede na stanje. Kota BMA in BCA sta skladna kot včrtana kota, ki ju ločuje ista tetiva. To pomeni, da sta si trikotnika BAM in LAC podobna v dveh kotih. Zato je AL: AC = AB: AM. To pomeni AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Izrek 6: . (druga formula za simetralo): V trikotniku ABC s stranicami AB=a, AC=b inA enak 2α in simetrali l velja enakost:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dokaz : Naj bo ABC dani trikotnik, AL njegova simetrala, a=AB, b=AC, l=AL. Potem S ABC = S ALB + S ALC . Zato je ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Izrek je dokazan.

Izrek 7: Če sta a, b stranici trikotnika, je Y kot med njima,je simetrala tega kota. Potem.