Rešite primere homogenega sistema linearnih algebrskih enačb. Temeljni sistem odločanja (specifičen primer)
Sistemi linearnih homogenih enačb- ima obliko ∑a k i x i = 0. kjer je m > n ali m. Homogen sistem linearnih enačb je vedno konsistenten, saj je rangA = rangB. Očitno ima rešitev, sestavljeno iz ničel, ki se imenuje trivialno.Namen storitve. Spletni kalkulator je zasnovan tako, da najde netrivialno in temeljno rešitev za SLAE. Nastala rešitev se shrani v Wordovo datoteko (glejte primer rešitve).
Navodila. Izberite dimenzijo matrice:
Lastnosti sistemov linearnih homogenih enačb
Da bi sistem imel netrivialne rešitve, je nujno in zadostno, da je rang njegove matrike manjši od števila neznank.Izrek. Sistem v primeru m=n ima netrivialno rešitev takrat in samo, če je determinanta tega sistema enaka nič.
Izrek. Vsaka linearna kombinacija rešitev sistema je tudi rešitev tega sistema.
Opredelitev. Množica rešitev sistema linearnih homogenih enačb se imenuje temeljni sistem rešitev, če je ta niz sestavljen iz linearno neodvisnih rešitev in je katera koli rešitev sistema linearna kombinacija teh rešitev.
Izrek. Če je rang r sistemske matrike manjši od števila neznank n, potem obstaja temeljni sistem rešitev, sestavljen iz (n-r) rešitev.
Algoritem za reševanje sistemov linearnih homogenih enačb
- Iskanje ranga matrike.
- Izberemo osnovni mol. Ločimo odvisne (osnovne) in proste neznanke.
- Prečrtamo tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso vključeni v bazični minor, saj so posledice ostalih (po izreku o bazičnem minoru).
- Člene enačb, ki vsebujejo proste neznanke, premaknemo na desno stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak dani, katere determinanta je različna od nič.
- Nastali sistem rešimo z izločanjem neznank. Najdemo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke skozi proste.
- Če rang matrike ni enak številu spremenljivk, potem najdemo temeljno rešitev sistema.
- V primeru rang = n imamo trivialno rešitev.
Primer. Poiščite osnovo sistema vektorjev (a 1, a 2,...,a m), rangirajte in izrazite vektorje na podlagi baze. Če je 1 =(0,0,1,-1) in 2 =(1,1,2,0) in 3 =(1,1,1,1) in 4 =(3,2,1 ,4) in 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavno matriko sistema:
Pomnožite 3. vrstico z (-3). Dodajmo 4. vrstico tretji:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. vrstico z (-2). Pomnožimo 5. vrstico s (3). Dodajmo 5. vrstico četrti:
Dodajmo 2. vrstico 1.:
Poiščimo rang matrike.
Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Z metodo izločanja neznank najdemo netrivialno rešitev:
Dobili smo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke x 1 , x 2 , x 3 skozi proste x 4 , torej smo našli splošno rešitev:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Homogen sistem je vedno konsistenten in ima trivialno rešitev 
. Za obstoj netrivialne rešitve je nujno, da je rang matrike 
je bilo manjše od števila neznank:
.
Temeljni sistem rešitev
homogeni sistem 
imenujemo sistem rešitev v obliki stolpčnih vektorjev 
, ki ustrezajo kanonični osnovi, tj. osnova, v kateri poljubne konstante 
so izmenično enake ena, ostale pa na nič.
Takrat ima splošna rešitev homogenega sistema obliko:
Kje 
- poljubne konstante. Z drugimi besedami, celotna rešitev je linearna kombinacija temeljnega sistema rešitev.
Tako lahko osnovne rešitve dobimo iz splošne rešitve, če prostim neznankam po vrsti dodelimo vrednost ena, pri čemer vse druge postavimo na nič.
Primer. Poiščimo rešitev za sistem
Sprejmimo , potem dobimo rešitev v obliki:
Sestavimo zdaj temeljni sistem rešitev:
.
Splošna rešitev bo zapisana kot:
Rešitve sistema homogenih linearnih enačb imajo naslednje lastnosti:
Z drugimi besedami, vsaka linearna kombinacija rešitev homogenega sistema je spet rešitev.
Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo
Reševanje sistemov linearnih enačb zanima matematike že več stoletij. Prvi rezultati so bili pridobljeni v 18. stoletju. Leta 1750 je G. Kramer (1704–1752) objavil svoja dela o determinantah kvadratnih matrik in predlagal algoritem za iskanje inverzne matrike. Leta 1809 je Gauss orisal novo metodo rešitve, znano kot metoda eliminacije.
Gaussova metoda ali metoda zaporednega izločanja neznank je sestavljena iz dejstva, da se sistem enačb z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na enakovreden sistem stopničaste (ali trikotne) oblike. Takšni sistemi omogočajo zaporedno iskanje vseh neznank v določenem vrstnem redu.
Predpostavimo, da je v sistemu (1) 
(kar je vedno možno).
(1)
Množenje prve enačbe eno za drugo s ti primerne številke
in seštejemo rezultat množenja z ustreznimi enačbami sistema, dobimo enakovredni sistem, v katerem v vseh enačbah razen prve ne bo nobene neznanke X 1
(2)
Pomnožimo zdaj drugo enačbo sistema (2) s primernimi števili ob predpostavki, da 
,
in ga seštejemo z nižjimi, izločimo spremenljivko 
iz vseh enačb, začenši s tretjo.
Nadaljevanje tega procesa, po 
korak dobimo:
(3)
Če je vsaj ena od številk 
ni enaka nič, potem je ustrezna enakost protislovna in sistem (1) nekonsistenten. Nasprotno pa za vsak skupni številski sistem 
so enake nič. številka 
ni nič drugega kot rang matrike sistema (1).
Prehod iz sistema (1) v (3) imenujemo naravnost naprej Gaussova metoda in iskanje neznank iz (3) – obratno .
Komentiraj : Bolj priročno je izvajati transformacije ne s samimi enačbami, temveč z razširjeno matriko sistema (1).
Primer. Poiščimo rešitev za sistem
.
Zapišimo razširjeno matriko sistema:
.
Dodajmo prvo v vrstice 2,3,4, pomnoženo z (-2), (-3), (-2):
.
Zamenjajmo vrstici 2 in 3, nato pa v dobljeni matriki seštej vrstico 2 vrstici 4, pomnoženo z 
:
.
Vrstici 4 dodajte vrstico 3, pomnoženo s 
:
.
To je očitno 
, zato je sistem dosleden. Iz nastalega sistema enačb
rešitev najdemo z obratno zamenjavo:
,
,
,
.
Primer 2. Poiščite rešitev za sistem:
.
Očitno je, da je sistem neusklajen, saj 
, A 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manj delovno intenzivna kot Cramerjeva metoda.
Nedvoumno ugotavlja združljivost sistema in omogoča iskanje rešitve.
Omogoča določitev ranga poljubnih matrik.
Linearna enačba se imenuje homogena, če je njen prosti člen enak nič, sicer pa nehomogen. Sistem, sestavljen iz homogenih enačb, se imenuje homogen in ima splošno obliko:
Očitno je, da je vsak homogen sistem konsistenten in ima ničelno (trivialno) rešitev. Zato je treba pri uporabi za homogene sisteme linearnih enačb pogosto iskati odgovor na vprašanje obstoja neničelnih rešitev. Odgovor na to vprašanje je mogoče formulirati kot naslednji izrek.
Izrek . Homogen sistem linearnih enačb ima neničelno rešitev, če in samo če je njegov rang manjši od števila neznank .
Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem enakega ranga različno rešitev. Očitno ne presega. V primeru, da ima sistem edinstveno rešitev. Ker ima sistem homogenih linearnih enačb vedno ničelno rešitev, bo ničelna rešitev ta edinstvena rešitev. Tako so neničelne rešitve možne samo za .
Posledica 1 : Homogen sistem enačb, v katerem je število enačb manjše od števila neznank, ima vedno rešitev različno od nič.
Dokaz: Če ima sistem enačb , potem rang sistema ne presega števila enačb, tj. . Tako je pogoj izpolnjen in zato ima sistem različno rešitev.
Posledica 2 : Homogen sistem enačb z neznankami ima različno rešitev takrat in samo, če je njegova determinanta nič.
Dokaz: Predpostavimo, da ima sistem linearnih homogenih enačb, katerih matrika z determinanto , različno rešitev. Potem, v skladu z dokazanim izrekom in to pomeni, da je matrika singularna, tj. .
Kronecker-Capellijev izrek: SLU je konsistenten, če in samo če je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike tega sistema. Sistem se imenuje konsistenten, če ima vsaj eno rešitev.Homogeni sistem linearnih algebrskih enačb.
Sistem m linearnih enačb z n spremenljivkami imenujemo sistem linearnih homogenih enačb, če so vsi prosti členi enaki 0. Sistem linearnih homogenih enačb je vedno konsistenten, ker vedno ima vsaj ničelno rešitev. Sistem linearnih homogenih enačb ima različno rešitev, če in samo če je rang njegove matrike koeficientov za spremenljivke manjši od števila spremenljivk, tj. za rang A (n. Katera koli linearna kombinacija
Lin sistemske rešitve. homogena. ur-ii je tudi rešitev tega sistema.
Sistem linearnih neodvisnih rešitev e1, e2,...,еk imenujemo fundamentalen, če je vsaka rešitev sistema linearna kombinacija rešitev. Izrek: če je rang r matrike koeficientov za spremenljivke sistema linearnih homogenih enačb manjši od števila spremenljivk n, potem je vsak temeljni sistem rešitev sistema sestavljen iz n-r rešitev. Zato je splošna rešitev linearnega sistema. nekega dne ur-th ima obliko: c1e1+c2e2+...+skek, kjer je e1, e2,..., ek – poljuben temeljni sistem rešitev, c1, c2,..., ck – poljubna števila in k=n-r. Splošna rešitev sistema m linearnih enačb z n spremenljivkami je enaka vsoti
splošne rešitve sistema, ki ji ustreza, je homogena. linearne enačbe in poljubna partikularna rešitev tega sistema.
7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna lupina. Linearni prostor se imenuje n-dimenzionalen, če je v njem sistem linearno neodvisnih vektorjev, vsak sistem večjega števila vektorjev pa je linearno odvisen. Številka je poklicana dimenzija (število dimenzij) linearni prostor in je označen z . Z drugimi besedami, dimenzija prostora je največje število linearno neodvisnih vektorjev tega prostora. Če takšno število obstaja, se prostor imenuje končnodimenzionalen. Če za poljubno naravno število n obstaja sistem v prostoru, sestavljen iz linearno neodvisnih vektorjev, potem se tak prostor imenuje neskončnodimenzionalen (zapisano: ). Če ni navedeno drugače, bodo v nadaljevanju obravnavani končnodimenzionalni prostori.
Osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora je urejena zbirka linearno neodvisnih vektorjev ( bazni vektorji).
Izrek 8.1 o razširitvi vektorja v smislu baze. Če je osnova n-dimenzionalnega linearnega prostora, potem lahko vsak vektor predstavimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
in poleg tega na edini način, tj. koeficienti so določeni enolično. Z drugimi besedami, vsak vektor prostora je mogoče razširiti v osnovo in poleg tega na edinstven način.
Dejansko je dimenzija prostora . Sistem vektorjev je linearno neodvisen (to je baza). Ko bazi dodamo poljubni vektor, dobimo linearno odvisen sistem (saj je ta sistem sestavljen iz vektorjev n-dimenzionalnega prostora). Z uporabo lastnosti 7 linearno odvisnih in linearno neodvisnih vektorjev dobimo sklep izreka.
6.3. HOMOGENI SISTEMI LINEARNIH ENAČB
Naj zdaj v sistemu (6.1).
Homogen sistem je vedno konsistenten. rešitev () je poklican nič, oz trivialno.
Homogen sistem (6.1) ima neničelno rešitev, če in samo če je njegov rang ( 
) manjše od števila neznank. Zlasti homogeni sistem, v katerem je število enačb enako številu neznank, ima rešitev, ki ni ničelna, če in samo če je njegova determinanta nič.
Ker tokrat vse
, namesto formul (6.6) dobimo naslednje:
(6.7)
Formule (6.7) vsebujejo poljubno rešitev homogenega sistema (6.1).
1. Množica vseh rešitev homogenega sistema linearnih enačb (6.1) tvori linearni prostor.
2. Linearni prostorRvse rešitve homogenega sistema linearnih enačb (6.1) znneznanke in rang glavne matrike enakr, ima dimenzijon–r.
Kateri koli niz (n–r) linearno neodvisne rešitve homogenega sistema (6.1) tvori osnovo v prostoruRvse odločitve. Se imenuje temeljni niz rešitev homogenega sistema enačb (6.1). Posebej poudarjeno "normalno" temeljna množica rešitev homogenega sistema (6.1):
(6.8)
Po definiciji osnove katera koli rešitev X homogeni sistem (6.1) lahko predstavimo v obliki
(6.9)
Kje 
– poljubne konstante.
Ker formula (6.9) vsebuje poljubno rešitev homogenega sistema (6.1), daje skupna odločitev ta sistem.
Primer.
rešitev poiščite s pomočjo kalkulatorja. Algoritem reševanja je enak kot pri sistemih linearnih nehomogenih enačb.
Če operiramo samo z vrsticami, najdemo rang matrike, bazni minor; Razglasimo odvisne in proste neznanke ter poiščemo splošno rešitev.
Prva in druga vrstica sta sorazmerni, prečrtajmo eno od njiju:
.
Odvisne spremenljivke – x 2, x 3, x 5, proste – x 1, x 4. Iz prve enačbe 10x 5 = 0 najdemo x 5 = 0, torej
; .
Splošna rešitev je:
Najdemo temeljni sistem rešitev, ki je sestavljen iz (n-r) rešitev. V našem primeru je n=5, r=3, zato je temeljni sistem rešitev sestavljen iz dveh rešitev, ti rešitvi pa morata biti linearno neodvisni. Da so vrstice linearno neodvisne, je potrebno in zadostuje, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstic, enak številu vrstic, to je 2. Dovolj je podati prosti neznanki x 1 in x 4 vrednosti iz vrstic determinante drugega reda, neničelne, in izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najenostavnejši neničelni determinant je .
Prva rešitev je torej:
, drugič – 
.
Ti dve odločitvi sestavljata temeljni sistem odločanja. Upoštevajte, da temeljni sistem ni edinstven (ustvarite lahko poljubno število neničelnih determinant).
Primer 2. Poiščite splošno rešitev in temeljni sistem rešitev sistema 
rešitev.
,
iz tega sledi, da je rang matrike 3 in enak številu neznank. To pomeni, da sistem nima prostih neznank, zato ima edinstveno rešitev - trivialno.
telovadba . Raziščite in rešite sistem linearnih enačb.
Primer 4
telovadba . Poiščite splošne in posebne rešitve vsakega sistema.
rešitev. Zapišimo glavno matriko sistema:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Zmanjšajmo matriko na trikotno obliko. Delali bomo samo z vrsticami, saj množenje vrstice matrike s številom, ki ni nič, in njeno dodajanje drugi vrstici za sistem pomeni množenje enačbe z istim številom in seštevanje z drugo enačbo, kar pa ne spremeni rešitve sistem.
Pomnožite 2. vrstico z (-5). Dodajmo 2. vrstico 1.:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Pomnožimo 2. vrstico s (6). Pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:
Poiščimo rang matrike.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Izbrani minor ima najvišji red (možnih minorov) in ni enak nič (je enak zmnožku elementov na obratni diagonali), zato je rang(A) = 2.
Ta manjši je osnovni. Vključuje koeficiente za neznanke x 1 , x 2 , kar pomeni, da sta neznanki x 1 , x 2 odvisni (osnovni), x 3 , x 4 , x 5 pa prosti.
Transformirajmo matriko in pustimo le bazni minor na levi.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Z metodo izločanja neznank najdemo netrivialna rešitev:
Dobili smo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke x 1 , x 2 preko prostih x 3 , x 4 , x 5 , torej smo ugotovili skupna odločitev:
x 2 = 0,64 x 4 - 0,0455 x 3 - 1,09 x 5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Najdemo temeljni sistem rešitev, ki je sestavljen iz (n-r) rešitev.
V našem primeru je n=5, r=2, zato je temeljni sistem rešitev sestavljen iz 3 rešitev, te rešitve pa morajo biti linearno neodvisne.
Da so vrstice linearno neodvisne, je nujno in zadostno, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstice, enak številu vrstic, to je 3.
Dovolj je, da prostim neznankam x 3 , x 4 , x 5 podamo vrednosti iz vrstic determinante 3. reda, ki niso ničle, in izračunamo x 1 , x 2 .
Najenostavnejša neničelna determinanta je identitetna matrika.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Naloga . Poiščite temeljni niz rešitev homogenega sistema linearnih enačb.
