Reševanje enačb po Cramerjevi metodi v Excelu. Reševanje sistema enačb v Excelu z uporabo Cramerjeve metode in inverzne matrike

Cramerjeva metoda temelji na uporabi determinant pri reševanju sistemov linearne enačbe. To znatno pospeši postopek rešitve.

Cramerjevo metodo lahko uporabimo za reševanje sistema toliko linearnih enačb, kolikor je neznank v vsaki enačbi. Če identifikator sistema ni enako nič, potem je Cramerjeva metoda lahko uporabljena v rešitvi, če pa je enaka nič, potem ne more. Poleg tega se Cramerjeva metoda lahko uporablja za reševanje sistemov linearnih enačb, ki imajo edina rešitev.

Opredelitev. Determinanto, sestavljeno iz koeficientov za neznanke, imenujemo determinanta sistema in jo označimo (delta).

Determinante

dobimo tako, da koeficiente ustreznih neznank nadomestimo s prostimi členi:

;

.

Cramerjev izrek. Če je determinanta sistema različna od nič, ima sistem linearnih enačb eno edinstveno rešitev, neznanka pa je enaka razmerju determinant. V imenovalcu je determinanta sistema, v števcu pa determinanta, ki jo dobimo iz determinante sistema tako, da koeficiente te neznanke nadomestimo s prostimi členi. Ta izrek velja za sistem linearnih enačb katerega koli reda.

Primer 1. Rešite sistem linearnih enačb:

Glede na Cramerjev izrek imamo:

Torej, rešitev sistema (2):

spletni kalkulator, odločilna metoda Kramer.

Trije primeri pri reševanju sistemov linearnih enačb

Kot je razvidno iz Cramerjev izrek, pri reševanju sistema linearnih enačb lahko pride do treh primerov:

Prvi primer: sistem linearnih enačb ima edinstveno rešitev

(sistem je dosleden in določen)

Drugi primer: sistem linearnih enačb ima neskončno število rešitev

(sistem je dosleden in negotov)

** ,

tiste. koeficienti neznank in prosti členi so sorazmerni.

Tretji primer: sistem linearnih enačb nima rešitev

(sistem je nedosleden)

Torej sistem m linearne enačbe z n imenovane spremenljivke neskupni, če nima ene same rešitve, ter skupni, če ima vsaj eno rešitev. Skupni sistem imenujemo enačbe, ki imajo samo eno rešitev določene, in več kot eno – negotova.

Primeri reševanja sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi

Naj bo sistem dan

.

Na podlagi Cramerjevega izreka

………….
,

kje
-

sistemska determinanta. Preostale determinante dobimo tako, da stolpec s koeficienti ustrezne spremenljivke (neznano) nadomestimo s prostimi členi:

Primer 2.

.

Zato je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante

Z uporabo Cramerjevih formul najdemo:

Torej je (1; 0; -1) edina rešitev sistema.

Če želite preveriti rešitve sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4, lahko uporabite spletni kalkulator z uporabo Cramerjeve metode reševanja.

Če v sistemu linearnih enačb v eni ali več enačbah ni spremenljivk, potem so v determinanti ustrezni elementi enaki nič! To je naslednji primer.

Primer 3. Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode:

.

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Pozorno si oglej sistem enačb in determinanto sistema ter ponovi odgovor na vprašanje, v katerih primerih je en ali več elementov determinante enakih nič. Torej determinanta ni enaka nič, torej je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante za neznanke

Z uporabo Cramerjevih formul najdemo:

Torej je rešitev sistema (2; -1; 1).

Če želite preveriti rešitve sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4, lahko uporabite spletni kalkulator z uporabo Cramerjeve metode reševanja.

Vrh strani

Skupaj nadaljujemo z reševanjem sistemov po Cramerjevi metodi

Kot že omenjeno, če je determinanta sistema enaka nič, determinante neznank pa niso enake nič, je sistem nekonzistenten, to pomeni, da nima rešitev. Naj ponazorimo z naslednjim primerom.

Primer 6. Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode:

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Determinanta sistema je enaka nič, zato je sistem linearnih enačb bodisi nedosleden in določen bodisi nedosleden, to je, da nima rešitev. Za pojasnitev izračunamo determinante za neznanke

Determinante neznank niso enake nič, zato je sistem nekonzistenten, to pomeni, da nima rešitev.

Če želite preveriti rešitve sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4, lahko uporabite spletni kalkulator z uporabo Cramerjeve metode reševanja.

Pri nalogah, ki vključujejo sisteme linearnih enačb, so tudi takšne, kjer so poleg črk, ki označujejo spremenljivke, še druge črke. Te črke predstavljajo število, največkrat pravo. V praksi težave pri iskanju vodijo do takih enačb in sistemov enačb splošne lastnosti kakršne koli pojave ali predmete. To pomeni, ali ste izumili katerega nov material ali napravo in za opis njenih lastnosti, ki so skupne ne glede na velikost ali število primerkov, morate rešiti sistem linearnih enačb, kjer so namesto nekaterih koeficientov za spremenljivke črke. Za primere vam ni treba iskati daleč.

Naslednji primer je za podoben problem, le da se poveča število enačb, spremenljivk in črk, ki označujejo določeno realno število.

Primer 8. Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode:

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Iskanje determinant za neznanke

Cramerjeva metoda se uporablja za reševanje linearnih sistemov algebraične enačbe(SLAE), v katerem je število neznanih spremenljivk enako številu enačb in je determinanta glavne matrike drugačna od nič. V tem članku bomo analizirali, kako najti neznane spremenljivke s Cramerjevo metodo in pridobiti formule. Po tem preidimo na primere in podrobno opišemo rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode.

Navigacija po straneh.

Cramerjeva metoda – izpeljava formul.

Rešiti moramo sistem linearnih enačb oblike

kjer so x 1, x 2, …, x n neznane spremenljivke, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- številčni koeficienti, b 1, b 2, ..., b n - prosti izrazi. Rešitev SLAE je tak niz vrednosti x 1 , x 2 , …, x n, za katerega vse enačbe sistema postanejo identitete.

V matrični obliki lahko ta sistem zapišemo kot A ⋅ X = B, kjer je - glavna matrika sistema, njeni elementi so koeficienti neznanih spremenljivk, - matrika je stolpec prostih izrazov in - matrika je stolpec neznanih spremenljivk. Po iskanju neznanih spremenljivk x 1, x 2, …, x n postane matrika rešitev sistema enačb in enakost A ⋅ X = B postane identiteta.

Predpostavili bomo, da je matrika A nesingularna, to pomeni, da je njena determinanta različna od nič. V tem primeru ima sistem linearnih algebrskih enačb edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo. (Metode za reševanje sistemov za so obravnavane v razdelku reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb).

Cramerjeva metoda temelji na dveh lastnostih matrične determinante:

Torej, začnimo iskati neznano spremenljivko x 1. Da bi to naredili, pomnožimo oba dela prve enačbe sistema z A 1 1, oba dela druge enačbe z A 2 1 in tako naprej, oba dela n-te enačbe z A n 1 (to je, da pomnožite enačbe sistema z ustreznimi algebrskimi komplementi prvega stolpca matrike A):

Seštejmo vse leve strani sistemske enačbe, združimo člene z neznanimi spremenljivkami x 1, x 2, ..., x n, in to vsoto izenačimo z vsoto vseh desnih strani enačb:

Če se obrnemo na prej omenjene lastnosti determinante, imamo

prejšnja enakost pa dobi obliko

kjer

Podobno najdemo x 2. Da bi to naredili, pomnožimo obe strani sistemskih enačb z algebrskimi komplementi drugega stolpca matrike A:

Seštejemo vse enačbe sistema, združimo člene za neznane spremenljivke x 1, x 2, ..., x n in uporabimo lastnosti determinante:

kje
.

Preostale neznane spremenljivke najdemo podobno.

Če določimo

Potem dobimo formule za iskanje neznanih spremenljivk po Cramerjevi metodi .

Komentiraj.

Če je sistem linearnih algebrskih enačb homogen, tj , potem ima samo trivialno rešitev (pri ). Dejansko za nič prostih izrazov, vse determinante bodo enake nič, saj bodo vsebovale stolpec z ničelnimi elementi. Zato formule bo dal.

Algoritem za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb po Cramerjevi metodi.

Zapišimo algoritem za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb po Cramerjevi metodi.

Primeri reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb po Cramerjevi metodi.

Oglejmo si rešitve več primerov.

Primer.

Poiščite rešitev heterogeni sistem linearne algebrske enačbe z uporabo Cramerjeve metode .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto s pomočjo formule :

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima SLAE edinstveno rešitev in jo je mogoče najti s Cramerjevo metodo. Zapišimo determinanti in . Prvi stolpec glavne matrike sistema zamenjamo s stolpcem prostih členov in dobimo determinanto . Podobno zamenjamo drugi stolpec glavne matrike s stolpcem prostih členov in dobimo .

Izračunamo te determinante:

Poiščite neznani spremenljivki x 1 in x 2 s pomočjo formul :

Preverimo. Nadomestimo dobljeni vrednosti x 1 in x 2 v prvotni sistem enačb:

Obe enačbi sistema postaneta identiteti, zato je bila rešitev najdena pravilno.

odgovor:

.

Nekateri elementi glavne matrike SLAE so lahko enaki nič. V tem primeru ustrezne neznane spremenljivke ne bodo v sistemskih enačbah. Poglejmo si primer.

Primer.

Poiščite rešitev sistema linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode .

rešitev.

Prepišimo sistem v obliki , tako da glavna matrika sistema postane vidna . Poiščimo njegovo determinanto s pomočjo formule

Imamo

Determinant glavne matrike je različen od nič, zato ima sistem linearnih enačb edinstveno rešitev. Poiščimo ga po Cramerjevi metodi. Izračunajmo determinante :

torej

odgovor:

Oznake neznanih spremenljivk v sistemskih enačbah se lahko razlikujejo od x 1, x 2, ..., x n. To ne vpliva na postopek odločanja. Toda vrstni red neznanih spremenljivk v enačbah sistema je zelo pomemben pri sestavljanju glavne matrike in potrebnih determinant Cramerjeve metode. Naj to točko pojasnimo s primerom.

Primer.

S Cramerjevo metodo poiščite rešitev sistema treh linearnih algebrskih enačb s tremi neznankami .

rešitev.

IN v tem primeru neznane spremenljivke imajo drugačno oznako (x, y in z namesto x 1, x 2 in x 3). To ne vpliva na rešitev, vendar bodite previdni pri zapisih spremenljivk. NE MORETE ga jemati kot glavno matriko sistema . Najprej je treba razporediti neznane spremenljivke v vseh enačbah sistema. Da bi to naredili, prepišemo sistem enačb kot . Zdaj je glavna matrika sistema jasno vidna . Izračunajmo njegovo determinanto:

Determinant glavne matrike je različen od nič, zato ima sistem enačb edinstveno rešitev. Poiščimo ga po Cramerjevi metodi. Zapišimo determinante (pazite na zapis) in jih izračunajte:

Ostaja še iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

Preverimo. Če želite to narediti, pomnožite glavno matriko z nastalo rešitvijo (če je potrebno, glejte razdelek):

Kot rezultat smo dobili stolpec prostih členov izvirnega sistema enačb, tako da je bila rešitev najdena pravilno.

odgovor:

x = 0, y = -2, z = 3.

Primer.

Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode , kjer sta a in b nekaj realnih števil.

rešitev.

odgovor:

Primer.

Poiščite rešitev sistema enačb po Cramerjevi metodi, - neko realno število.

rešitev.

Izračunajmo determinanto glavne matrike sistema: . izraz je interval, torej za katero koli prave vrednosti. Posledično ima sistem enačb edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo. Izračunamo in:

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Tema "Rešitev matematične težave z uporabo EXCEL-a«, je pomemben pri predmetu »Računalništvo in informacijske tehnologije«, ki se pojavi na različnih stopnjah študija predmeta. Na primer izračuni algebrski izrazi, reševanje kvadratnih enačb v različnih okoljih, risanje funkcij itd.

Skozi skoraj celoten tečaj matematike se učenci učijo različne metode reševanje enačb in sistemov enačb. Ko se šolarji pri pouku algebre učijo metod za reševanje sistemov enačb, je pri pouku računalništva priporočljivo razmisliti o dodatnih, časovno učinkovitejših orodjih za reševanje takih nalog. Ta tema za učence ni težko, za učitelja pa je potrebno veliko zapisovati; učitelj celo uro stoji s hrbtom obrnjen proti učencem. Za optimizacijo in učinkovito poučevanje učitelja med poukom je bila ustvarjena predstavitev, ki jo lahko na kateri koli stopnji teme, fragmentarno ali v celoti, uporabljajo učitelji matematike, še posebej pa je uporabna za učitelje računalništva zaradi omejenega števila ur. v temi.

To lekcijo lahko razvrstimo med integrirane lekcije, zgrajene na aktivni osnovi z uporabo problemsko temelječe raziskovalne tehnologije. Vrednost pouka je v tem, da učenci standardne matematične probleme rešujejo na nestandarden način – z uporabo sodobnih računalniška tehnologija. S tem se doseže motivacijski cilj - spodbujanje zanimanja, izkazovanje potrebe po znanju matematike in računalništva v resnično življenje. Pri učni uri bodo študenti pokazali računalniško znanje in sposobnost dela s paketom Microsoft programi Urad, znanja, spretnosti in spretnosti, pridobljene pri pouku matematike. Posledično bo dosežen izobraževalni cilj lekcije: pri matematiki posploševanje znanja o temah: »Matrike. Dejanja z matricami. Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramer, Gaussovi metodi«, pri računalništvu bodo dijaki razvijali veščino dela s tabelarnimi formulami in se seznanili z zmožnostmi Excela za reševanje. različne enačbe in sistemi enačb.

11. razred, računalništvo.

Tema: “Uporaba procesorja preglednic MS Excel za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb.”

Tema je zasnovana za dve lekciji.

Vrsta pouka: kombinirani pouk, izboljšanje znanja, spretnosti in spretnosti.

Vrsta lekcije: integrirana.

Cilji lekcije:

izobraževalni:

• ponavljanje in utrjevanje znanja učencev o matematičnem aparatu na temo;
• vadijo sposobnost prehoda iz matematičnega zapisa izrazov v zapis v okolju preglednic;
• učencem pokazati smiselnost uporabe preglednic za reševanje sistemov n linearnih enačb z n neznankami;

Razvoj pozornosti, spomina, domišljije, mišljenja, govora. Razvijanje zanimanja za predmet in spretnosti za samostojno delo.

Razvojno in izobraževalno:

• razvijanje sposobnosti analize, poudarjanja glavne stvari, primerjave, gradnje analogij;
• razvoj sposobnosti uporabe obstoječega znanja in veščin v nova situacija;
• razvijati gibčnost mišljenja najti največ bližnjica doseganje cilja razvijajo osredotočenost, racionalnost, kritično mišljenje.
• sposobnost vzpostavljanja medpredmetnega povezovanja.
• oblikovanje sposobnosti, ki omogočajo hitro menjavo vrst izobraževalnih dejavnosti.

Oblike organizacije kognitivne dejavnosti: frontalna, individualna, skupinska, kolektivna.

Metode in tehnike poučevanja: razlagalno-ilustrativna, problemska predstavitev, vizualno-ilustrativna, praktična, hevristična konverzacija.

Oprema: tabla, računalniki, multimedijski projektor in platno, predstavitev, kartice individualna naloga, mapa z elektronskim gradivom za pouk.

Učni pripomočki: predstavitev učitelja MS PowerPoint “Reševanje matematičnih nalog z uporabo Excela”, internetni viri.

Računalnik programsko opremo: programski paket Microsoft Office 2007.

Struktura lekcije

Samoocena dejavnosti.

Odsev.

• Rezervirajte čas 10 minut za
• individualno delo
• pri opravljanju praktičnega dela

Opis lekcije

učiteljica. Za uspešno izvedbo lekcije na to temo si bomo morali zapomniti in ponoviti gradivo iz lekcije matematike »Metode za reševanje linearnih sistemov enačb« in iz računalništva »Delo s formulami v Excelu. Logične formule. Relativne in absolutne reference.”

Odprite datoteko D://Lessons_11/Solution of SLAE/Appendix 2. Učenci imajo datoteko brez delovnega lista Rešitev.

Izpolnite vsa polja tabele.

Frontalno delo z učenci za preverjanje znanja in spretnosti pri delu s formulami in funkcijami v Excelu. Primer tabele je prikazan na zaslonu,

v katerem morajo biti izpolnjena vsa polja. Učenci predlagajo algoritme za izpolnjevanje polj. V zvezek zapiši formulo za izpolnjevanje stolpca K (zmagovalci, nagrajenci), nato primerjaj svojo rešitev z rešitvijo, prikazano na ekranu (List z rešitvami, Priloga 2).

3. Študij novega gradiva.

učiteljica

Katere metode reševanja linearnih enačb poznate? Če še niste pogledali datoteke, objavljene v domači nalogi prejšnje lekcije, lahko odprete datoteko D://Lessons_11/SLAE Solution/Appendix 1.

Študenti

Metoda zaporednega izločanja neznank, Cramerjeva metoda.

učiteljica

Poglejte opis metode Cramer, katere elemente morate znati delati pri uporabi te metode?

Študenti

S kvalifikacijami.

učiteljica

Tisti. z matricami je na zaslonu prikazan primer matrike. Odprite datoteko D://Lessons_11/Solution of SLAE/Appendix 3, Primer lista in dokončajte nalogo.

Učenci odprejo dokument Priloga 3 (list Primer 1).

Naloge, prikazane na zaslonu, se izvajajo.

učiteljica

Za delo z matrikami v Excelu obstajajo posebne formule, formule za delo z nizi ali pa se imenujejo tudi formule tabel.

Predstavitev. Diapozitiv 3, 4. Učenci zapišejo pojem tabelarične formule in značilnosti njenega vnosa.

4. Priprava na razumevanje in uporabo preučenega gradiva. Praktično delo.

Hevristični pogovor.

1. Za reševanje katerih problemov lahko uporabimo tabelarične formule?

Odgovor je lahko vnaprej določen z nalogo, ki so jo opravili - operacije z matricami, če naj bo tudi rešitev matrična.

2. Podajte pojem matrike? Ali lahko kdo reče, da je katera koli pravokotna tabela, napolnjena s številskimi vrednostmi, matrika?

Odgovor je pritrdilen. Diapozitiv 5

3. Katere vrste matrik poznate, v čem se med seboj razlikujejo? (polnilo, dimenzija itd.)

Po razpravi predstavite diapozitiv 6.

4. Ali je mogoče izvajati kakršna koli dejanja z matricami?

Učenci znajo našteti nekatere operacije z matrikami, seštevanje, množenje s številom itd. Diapozitiv 7.

Učitelj učence seznani s širokimi možnostmi mize Excel procesor za delo z matricami.

Učenci zapišejo temo tematske točke Slide 8.

Ponavljanje, posploševanje matematičnega znanja, dopolnjeno s prikazom novih Excelovih funkcij.

Predstavitveni diapozitivi 9-14.

Predstavitev vsakega diapozitiva je vnaprej določena z vprašanji o temi diapozitiva.

V zvezek učenci zapisujejo le Excelove funkcije za delo z matrikami in hkrati izvajajo urjenje praktične naloge iz Dodatka 3 Listi: primer 2, primer 3, primer 4. Pobližje si oglejte primer 5, dodatek 3, diapozitiv 14.

učiteljica

Zdaj pa preidimo neposredno na reševanje SLAE in se seznanimo z metodo, ki ste jo gledali pri lekcijah matematike, to je matrična metoda. Diapozitiv 16. Zakaj mislite, da niste rešili sistemov? matrična metoda?

Študenti

Kompleksnost izračuna inverzna matrika

učiteljica

V zvezek si zapiši algoritem za reševanje sistema z matrično metodo.

Odpri nova knjiga Excel in skupaj rešite sistem, prikazan na zaslonu. Diapozitivi 18-21.

Učitelj odpre datoteko – prazno vajo in skupaj z učenci rešuje vajo.

Rešitvi je priložena podrobna razlaga. Rešitev učencev primerjamo s predlagano rešitvijo v predstavitvi. Diapozitivi 18-21.

učiteljica

Razmislimo zdaj o reševanju SLAE s Cramerjevo metodo. Ta metoda vam je znana, vendar ste pri pouku matematike reševali predvsem sisteme dveh enačb z dvema neznankama. Diapozitiv 22.

Študenti

Izračun determinant vzame veliko časa.

učiteljica

Excelove zmogljivosti rešujejo ta problem. Odpri nov list v knjigi in skupaj bomo rešili sistem enačb, predstavljen na zaslonu.

Učenci svoje rešitve primerjajo z rešitvijo, predstavljeno v predstavitvi. Diapozitivi 23-25.

5. Utrjevanje (hevristični pogovor, urjenje, razvoj veščin).

Razprava o posamezni temi. Predstavitev. Diapozitiv 26.

Praktično delo v skupinah: skupina (vaje) Dodatek 3 Listi primer 6, primer 7, skupina (tehnologi) List primer 8 rešite sistem po Gaussovi metodi (lahko uporabite internetne vire), skupina (programerji) izdelate program v programiranju jezik Pascal ali C# Reševanje sistema enačb po Cramerjevi metodi je možno za omejeno število vrstic in stolpcev.

6. Povzetek lekcije.

Preverjanje praktičnega dela, z vsako skupino se pogovorite o težavah pri izvajanju, če niso vse naloge opravljene, potem prilagodite domačo nalogo. Ocenjevanje za lekcijo.

domača naloga. Na izbiro:

1. (Priloga 4) Izpolnite eno od možnosti s kartice, analizirajte programe za reševanje sistemov enačb v Pascalu iz teoretičnega gradiva (Priloga 1)

2. Izpolnite eno od možnosti s kartice. Ustvarite ločen program za reševanje sistemov po Gaussovi metodi ali matrični metodi, skupina programerjev pa bo program dodelala po Cramerjevi metodi.

7. Zaključek.

Izkušnje z integriranim poukom kažejo, da se dvigne kakovost znanja učencev, morda se ne izrazi v ocenah, se pa širi njihovo obzorje, razvija se ustvarjalnost, povečuje se zanimanje za predmete, zanimanje za učenje nasploh, oblikuje se prepričanje, da učenci zmorejo izvedeti več, kot je predvideno po programu.

Predlagana lekcija o vsebini in izvajanju nalog se zdi bogata in preobremenjena s teorijo in praktičnimi vajami, vendar uporaba predstavitve in pripravljenih datotek (Priloga 3) pomaga dokončati vse načrtovane akcije. To dejavnost je priporočljivo izvajati pri pouku matematike, ko so učenci že spoznali metode za reševanje SLAE. Teden dni pred preučevanjem te teme jo objavite po e-pošti. dnevnik, za referenco, informacijsko gradivo o metodah reševanja sistemov enačb in opis izdelave programov za reševanje sistemov enačb v programskem jeziku.

Literatura

1. Voronina T.P. Izobraževanje v dobi novih informacijskih tehnologij / T.P. Voronin.- M.: AMO, 2008. -147 str.

2. Glinskaya E. A. Medpredmetne povezave v izobraževanju / E. A. Glinskaya, S.V. Titova. – 3. izd. – Tula: Info, 2007. - 44 str.

3. Danilyuk D. Ya. Študijski predmet kot integriran sistem / D.Ya. Danilyuk // Pedagogika. - 2007. - Št. 4. - Str. 24-28.

4. Ivanova M.A. Medpredmetne povezave pri pouku računalništva / M.A. Ivanova, I.L. Kareva // Računalništvo in izobraževanje. – 2005. - 5. št. – 17-20 strani.

5. A.V. Mogilev, N.I. Park, E.K. Henner "Informatika", Moskva, ACADEMA, 2000

6. S.A. Nemnyugin, "Turbo PASCAL", delavnica, Sankt Peterburg, 2002

Izračunajte vrednosti korenin oblikovanega sistema enačb z uporabo dveh metod: inverzne matrike in metode Cramer.

Te vrednosti vnesemo v celice A2:C4 - matrika A in celice D2:D4 - matrika B.

Reševanje sistema enačb z metodo inverzne matrike

Poiščimo matriko inverzno matrike A. To naredimo tako, da v celico A9 vnesemo formulo =MOBR(A2:C4). Po tem izberite obseg A9:C11, začenši s celico, ki vsebuje formulo. Pritisnite tipko F2 in nato pritisnite tipki CTRL+SHIFT+ENTER. Formula bo vstavljena kot matrična formula. =MOBR(A2:C4).
Poiščemo produkt matrik A-1 * b. V celice F9:F11 vnesite formulo: =MULTIPLE(A9:C11,D2:D4) kot matrično formulo. Dobimo v celicah F9:F11 korenine enačbe:

Reševanje sistema enačb po Cramerjevi metodi

Rešimo sistem s Cramerjevo metodo, za to najdemo determinanto matrike.
Poiščimo determinante matrik, ki jih dobimo z zamenjavo enega stolpca s stolpcem b.

V celico B16 vnesite formulo =MOPRED(D15:F17),

V celico B17 vnesite formulo =MOPRED(D19:F21).

V celico B18 vnesite formulo =MOPRED(D23:F25).

Poiščemo korenine enačbe, za to v celico B21 vnesemo: =B16/$B$15, v celico B22 vnesemo: = =B17/$B$15, v celico B23 vnesemo: ==B18/$B$15 .

Poiščimo korenine enačbe:

Reševanje sistemov linearnih enačb v Excelu

1. Uvod

Številne naloge organizacije gradbene proizvodnje se zmanjšajo na reševanje sistemov linearnih enačb oblike:

imenovan sistem n linearnih algebrskih enačb (SLAE) z n

neznano.

V tem primeru poljubna števila a ij (i = 1, 2,…,n ; j = 1, 2,…,n) imenujemo

koeficienti za neznanke, števila b i (i = 1, 2,…, n) pa so prosta

člani.

Sistem (1) lahko zapišemo v matrični obliki

A X = B,

kjer je A matrika koeficientov za neznanke:

X – stolpec vektorja neznank X= (x1, x2, …, xn) T:

B – stolpec vektorja prostih členov:

b 2B,

ali B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T .

2. Operacije z matrikami v Excelu

IN Excel za operacije z matrikami uporablja funkcije iz kategorije "Matematika":

1) MOPR(matrika) – izračun determinante matrike, 2) MOPR(matrika) – izračun inverzne matrike, 3) MULTIPLE(matrika1,matrika2)– produkt matrik, 4)TRANSP(matrika) – transpozicija matrike.

Prva od teh funkcij kot rezultat vrne številko(matrična determinanta), torej vnesen kot običajna formula (ENTER).

Zadnje tri vrnejo blok celic, zato jih je treba vnesti kot matrične formule (CTRL+SHIFT+ENTER).

Oglejmo si problem reševanja SLAE na naslednjem primeru

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

Matrika koeficientov za neznanke A (3) ima obliko

in vektor stolpca prostih členov (5)B = (–24, –48, 18)T .

Rešimo SLAE (7) v MS Excelu na tri različne načine.

Metoda matrične rešitve (inverzna matrika)

Pomnožimo obe strani matrične enakosti (2) z inverzno matriko A -1. Dobimo A –1 A X =A –1 B . Ker je A –1 A =E, kjer je E identitetna matrika (diagonalna matrika z enicami vzdolž glavne diagonale). Potem bo rešitev sistema (2) zapisana v naslednji obliki

MULTIPLE(matrika1,matrika2), dopolnitev vnosa v vsakem primeru s kombinacijo

CTRL+SHIFT+ENTER.

Cramerjeva metoda

Rešitev za SLAE se najde z uporabo Cramerjevih formul

kjer je det A =A determinanta matrike (3) sistema (glavna determinanta), detA i =A i (i = 1, 2, …,n) so determinante matrike A i (pomožne determinante), ki so dobljeno iz A z zamenjavo i-tega stolpca s prostimi členi stolpca B (5).

Za obravnavani SLAE (7) imajo pomožne matrike naslednjo obliko

Položimo jih na delovni list (slika 1).

Podobna formula (=MOPRED(A3:C5)) za izračun determinante matrike A je zapisana v celici E8. Treba je najti rešitev za sistem. Relevantno Excelove formule Rešitev B7:B9 zapišimo v interval (slika 3), v katerem bomo videli rezultat (slika 4).

Upoštevajte (slika 3), da pri izračunu x i (i = 1, 2, 3)

analizirana je vrednost determinante matrike sistema A , izračunano v celici E8, in če je nič, se besedilo »Ni rešitve« postavi v B7, prazne vrstice pa se postavijo v celici B8 in B9.

3. Reševanje SLAE z orodjem Search for Solution

Širok razred produkcijskih problemov sestavljajo optimizacijski problemi. Težave z optimizacijo vključujejo iskanje vrednosti argumentov, ki zagotavljajo funkcijo, ki se imenuje cilj, minimum ali največja vrednost ob upoštevanju morebitnih dodatnih omejitev. Excel ima zmogljivo orodje za reševanje problemov optimizacije.

To je dodatno orodje, imenovano Solver.

(dostopno v meniju Orodja  Iskanje rešitve).

Problem reševanja SLAE lahko skrčimo na problem optimizacije.

Zakaj bi eno od enačb (na primer prvo) vzeli kot ciljno funkcijo, preostale n -1 pa upoštevali kot omejitve.

Zapišimo sistem (1) v obliki

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

Za rešitev tega problema je potrebno zapisati izraze (formule) za izračun vrednosti funkcij na levi v enačbah sistema (12). Na primer, uporabimo interval C7:C9 za te formule. V celico C7 vnesite formulo =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 in jo kopirajte v preostali celici C8 in C9. Prikazali se bodo =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 in =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 .

V pogovornem oknu Iskanje rešitve (slika 5) nastavimo iskalne parametre (nastavimo ciljno celico C7 na nič, rešitev v spremenljivih celicah B7:B9, omejitve podajamo s formulami v celicah C8 in C9) . Po kliku na gumb Zaženi

v intervalu B7:B9 dobimo rezultat (slika 6) – rešitev SLAE.