Rešite primere enačb 4. stopnje. Reševanje ene enačbe četrte stopnje na več načinov

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Najprej morate najti eno korenino z izbirno metodo. Običajno je to delitelj prostega člena. V tem primeru delilniki števila 12 so ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Začnimo jih zamenjati enega za drugim:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ število 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ število -1 ni koren polinoma

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ število 2 je koren polinoma

Našli smo 1 od korenin polinoma. Koren polinoma je 2, kar pomeni, da mora biti prvotni polinom deljiv z x - 2. Za izvedbo delitve polinomov uporabimo Hornerjevo shemo:

Koeficienti prvotnega polinoma so prikazani v zgornji vrstici. Koren, ki smo ga našli, je postavljen v prvo celico druge vrstice 2. V drugi vrstici so koeficienti polinoma, ki nastane pri deljenju. Štejejo se takole:

Zadnja številka je preostanek delitve. Če je enako 0, potem smo vse izračunali pravilno.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

A to še ni konec. Na enak način lahko poskusite razširiti polinom 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Spet iščemo koren med delilniki prostega člena. Delitelji števil -6 so ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ število 1 ni koren polinoma

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ število -1 ni koren polinoma

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ število 2 ni koren polinoma

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ število -2 je koren polinoma

Zapišimo najdeni koren v našo Hornerjevo shemo in začnimo izpolnjevati prazne celice:

Tako smo faktorizirali prvotni polinom:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Polinom 2x 2 + 5x - 3 lahko tudi faktoriziramo. Če želite to narediti, lahko rešite kvadratno enačbo prek diskriminante ali pa poiščete koren med delitelji števila -3. Tako ali drugače bomo prišli do zaključka, da je koren tega polinoma število -3

Tako smo prvotni polinom razgradili na linearne faktorje:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

In korenine enačbe so.

Enačba je enakost, ki velja le za določene vrednosti črk, ki so v njej vključene. Črke, vključene v enačbo, glede na pogoje problema so lahko neenake: nekatere lahko sprejmejo vse svoje veljavne vrednosti(imenujemo jih parametri ali koeficienti enačbe); drugi, katerih vrednosti je treba najti, se imenujejo neznani.

Odvisno od števila neznana enačba imenujemo enačba z eno, dvema itd. neznankama.

Vrednosti neznank, ki spremenijo enačbo v identiteto, se imenujejo rešitve enačbe.

Reševanje enačbe pomeni najti veliko njenih rešitev ali dokazati, da rešitev ne obstaja. Odvisno od vrste enačbe je množica rešitev enačbe lahko neskončna, končna ali prazna.

Vrednosti neznanega x, ki spremenijo algebrsko enačbo v identiteto, se imenujejo korenine (redkeje rešitve) algebrske enačbe.

Torej, glavna naloga Ko rešujete katero koli enačbo, jo zmanjšajte na najpreprostejšo.

Definicija 1.

Enačba f(x)=ф(x), kjer sta funkciji f in у podani s celimi racionalnimi izrazi, se imenuje celotna racionalna enačba. ODZ te enačbe je množica vseh realnih števil.

Znano je, da algebraična vsota in produkt polinomov je polinom, zato z uporabo transformacije identitete vsaka celota racionalno izražanje lahko predstavimo kot polinom in se zato premaknemo iz enačbe v ekvivalentno enačbo

P (x) = Q (x), kjer sta P (x) in Q (x) nekaj polinomov z eno spremenljivko x.

Če premaknemo Q(x) v enačbi na levo stran, dobimo ekvivalentna enačba P(x)-Q(x)=0, kjer je na levi strani polinom, na desni strani pa 0. Stopnja polinoma na levi strani enačbe se imenuje stopnja celote racionalna enačba.

Torej, če v enačbi odpremo oklepaje, premaknemo vse člene na levo stran in prinesemo podobne, dobimo enakovredno enačbo.

Definicija 2.

Celoštevilsko racionalno enačbo stopnje n standardne oblike imenujemo enačba a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0, kjer je a0!=0.

Kot je prikazano zgoraj, vsako celo število racionalna enačba lahko reduciramo na ekvivalentno enačbo standardne oblike.

V primeru a0=1 ima enačba obliko: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, se imenuje reducirana celoštevilska racionalna enačba stopnje n.

Na primer, x2+ px+q=0 je pomanjšana kvadratna enačba.

Iz definicije 2 sledi, da je reševanje celotne racionalne enačbe zmanjšano na iskanje korenin polinoma na levi strani enačbe.

Obstajajo formule za izračun korenin za enačbe tretje in četrte stopnje. Vendar so te formule tako zapletene, da se praktično ne uporabljajo. Za enačbe pete in višje stopnje ni splošne formule izračuni korenin. Zato v moderna matematika razviti različne metode, ki omogoča iskanje približnih vrednosti korenin enačb s katero koli stopnjo natančnosti.

1. 2. Osnovne metode reševanja celotnih racionalnih enačb

Postopek reševanja enačb je zmanjševanje podana enačba na linearne ali kvadratne enačbe. Za to se uporabljata dve glavni metodi: 1) faktorizacija in 2) uvedba nove spremenljivke.

1. 2. 1. Metoda faktorizacije

Izrek 1. Enačba fxxфx=0, definirana na celotni številski premici, je enakovredna nizu enačb f (x)=0 in f(x)=0.

Izrek 2. Če ima celotna racionalna enačba s celimi koeficienti cele korene, potem so ti delitelji prostega člena te enačbe.

Izrek 3. Če je enačba a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 s celimi koeficienti ima racionalni koren x0=pq, kjer je pq nezmanjšani ulomek, potem je p delitelj prostega člena an, q pa je delitelj vodilnega koeficienta a0.

1. 2. 2. Uvedba nove spremenljivke

Morda je najpomembnejša metoda za reševanje enačb katere koli vrste uvedba nove neznanke, glede na katero ima enačba preprostejšo obliko, ki jo je enostavno zmanjšati na elementarni tip.

Navajamo najpogostejše vrste zamenjav.

Zamenjava y = x n (zamenjava moči)

Zlasti z uporabo zamenjave y = x 2 t.i bikvadratna enačba ax 4 + bx 2 + c = 0, se a != 0 reducira na kvadrat.

Zamenjava y=Pn(x) ali y=√Pn(x) (zamenjava polinoma)

Najpogostejša zamenjava je y=ax2+bx+c ali y=ax2+bx+c

Substitucija y=Pn(x)Qm(x) (delna racionalna substitucija). Tukaj sta, kot vedno, Pn(x) in Qm(x) polinoma stopinj n oziroma m.

Zlasti z razširjeno zamenjavo y=x+1x se rešujejo tako imenovane recipročne enačbe, to je enačbe oblike ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.

Pokažimo vam, kako se to naredi. Ker je a != 0, število x = 0 ni koren te enačbe. Enačbo delimo z x 2 != 0, dobimo

In ker je x2+1x2=(x+1x)2-2, se po zamenjavi y=x+1x enačba zmanjša na kvadratno ay2+by+c-2a=0.

Dajmo dva praktična nasveta.

Nasvet 1. Zamenjava spremenljivk je treba opraviti takoj, ob prvi priložnosti.

Nasvet 2. Enačbo za novo spremenljivko je treba rešiti do konca in se šele nato vrniti na staro neznanko

2. poglavje: Praktični del

Metode za reševanje ene enačbe

Če želite enačbo rešiti na več načinov, izberite enačbo x4+x3-4x2+x+1=0

I metoda: negotovi koeficienti.

Če obstajajo celi koreni, potem so delitelji prostega člena: x=+-1. Z izbiro se prepričamo, da je x=1 rešitev enačbe. Z vogalom delite polinom x4+x3-4x2+x+1 z binomom x-1.

x + x - 4 x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2 x - 2 x - 1

2x - 4 x + x + 1

2∙ x + x + 1

Če obstajajo celi koreni, potem so delitelji prostega člena: x=+-1. Z izbiro se prepričamo, da je x=1 rešitev enačbe. Z vogalom delite polinom x3+2x2-2x-1 z binomom x-1.

x + 2 x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3 x + 1

3x - 3 x x - 1 x - 1

Ostaja še rešiti kvadratno enačbo x2+3x+1=0

D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52

Odgovor: x=1; x=-3+-52

Metoda II: faktorizacija.

Zapišimo 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0

(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x- 12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0

Odgovor: x=1; x=-3+-52

Metoda III: kot recipročna enačba.

Vidimo, da so koeficienti simetrični, zato je to recipročna enačba. S preverjanjem se lahko prepričate, da x = 0 ni koren enačbe, kar pomeni, da lahko enačbo delimo člen za členom z x2.

x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0

Naredimo spremembo spremenljivke: t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2

Nato bo enačba prepisana kot: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.

Vrnimo se k spremenljivki x.

x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1

Odgovor: x=1; x=-3+-52

IV metoda: graf.

Prepišimo enačbo v obliki: x4-4x2=-x3-x-1

Zgradimo dva grafa funkcij na eni risbi: y=x4-4x2; y=-x3-x-1

Zgradimo prvo funkcijo z uporabo metod matematična analiza: y=x4-4x2 y=x4-4x2; y=-x3-x-1 y"=4x3-8x=2x(x2-2) y"=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x= +- 2.

Dodatne točke: x

Konstruirajmo drugo funkcijo z uporabo metod matematične analize: y=-x3-x-1 y"=-3x2-1

Dodatne točke: x

Vidne so 3 stičišča, vendar natančna vrednost mogoče določiti samo v enem od njih, je to pomanjkljivost grafična rešitev, pa tudi njegova pomanjkljivost - dolgotrajnost.

V metoda: splošno analitična metoda rešitve algebraičnih enačb četrte stopnje (po Vietovem izreku višje stopnje)

Enačba:

(1) ima štiri korene

Znano je, da:

S preprostimi algebrskimi transformacijami iz relacij (2), (3), (4) dobimo:

Sestavimo kvadratno enačbo:

Z uporabo formul (5), (6), (7) in zapisa prepišemo enačbo (8) v obliki:

Z reševanjem enačbe (8) dobimo:

Tako z uporabo formul (9), (10) dobimo:

Ob upoštevanju, da formulo (7) prepišemo v obliki:

Če nadomestimo formulo (12) v formulo (11), dobimo

S preprostimi algebrskimi transformacijami iz formule (13) dobimo kubično enačbo glede na spremenljivko A:

Tako se reševanje enačbe četrte stopnje (1) zmanjša na reševanje kubične enačbe (14), kjer in dve kvadratni enačbi:

Z uporabo formul (9), (10) in ob upoštevanju, da formule (15), (16) prepišemo v obliki:

Celotna enačba četrte stopnje se zmanjša na enačbo (1) z zamenjavo spremenljivke s spremenljivko.

Torej, rešimo enačbo x4+x3-4x2+x+1=0.

Naredimo zamenjavo:

Nato bo enačba prepisana kot y4-198y2+258y+125256=0.

Nato morate rešiti enačbe:

In tudi enačbe

Že na tej stopnji je jasno, da je ta metoda zelo zahtevna in reševanje enačbe (*) nas pripelje do prvih treh metod reševanja, torej delo opravimo dvakrat. Toda pozitivna stvar pri tej metodi je, da je univerzalna, se pravi, da ustreza mnogim enačbam.

Metoda VI: po Ferrarijevi formuli

Ferrari najde način za rešitev enačbe 4. stopnje.

Naj bo ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - splošna enačba 4. stopnja.

Če postavimo x=y-ba, lahko enačbo (1) reduciramo na obliko y4+2py2+2qy+r=0, (2) kjer so p,q,r nekateri koeficienti, odvisni od a,b,c, d, e. Zlahka je videti, da lahko to enačbo zapišemo na naslednji način:

(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)

Pravzaprav je dovolj, da odpremo oklepaje, potem se vsi členi, ki vsebujejo t, med seboj izničijo in vrnemo se k enačbi (2). Izberimo parameter t tako, da desna stran enačba (3) je bila popoln kvadrat glede na y. Kot je znano, je potrebno in zadosten pogoj To je izničenje diskriminanta koeficientov trinoma (glede na y) na desni: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)

Dobili smo popolno kubično enačbo, ki jo zdaj lahko rešimo. Poiščimo katero koli njeno korenino in jo vnesimo v enačbo (3), zdaj bo dobila obliko

(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.

Zato je y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.

To je kvadratna enačba. Če jo rešite, lahko najdete koren enačbe (2) in s tem (1).

Torej, poskusimo rešiti: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba =y -14 y-144+y-143-4y-142+1=0

(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+ 116

Že na tej stopnji je jasno, da je ta metoda zelo težka in rešitev enačbe (*). Lahko se uporablja, vendar je energijsko zelo intenziven. Toda tako kot Vietina formula je Ferrarijeva formula univerzalna za vse enačbe četrte stopnje.

Zaključek

Eno enačbo je mogoče rešiti z več metodami. Odvisno od primera se metode iskanja rešitve razlikujejo. Za vsako enačbo je svoja najboljši način rešitve.

Ta primer smo rešili s 6 metodami. Od teh imam raje metodo faktorizacije, saj je krajša in manj delovno intenzivna.

Za rešitev te določene enačbe je najbolj optimalen način za rešitev recipročne enačbe. Toda ta metoda se ne uporablja vedno, saj ni univerzalna in ni primerna v vseh primerih.

Metoda nedoločenih koeficientov je tudi v tem primeru priročna, vendar nimajo vse enačbe celoštevilskih korenin, zato je v določenih primerih optimalna.

Grafična metoda reševanja enačb je energetsko potratna in ne daje natančnih odgovorov. Ta metoda je primerna za reševanje problemov, kjer morate ugotoviti, koliko korenin ima enačba in ne katere.

Vietov izrek za enačbe višjih stopenj je univerzalna metoda. Vendar se redko uporablja, ker je delovno intenziven.

Ferrarijeva metoda je univerzalna za enačbe. Toda za ta primer je preveč energetsko intenziven.

Moje delo je pomembno za srednješolce, ki se bodo srečali podobne naloge na United državni izpit ali na sprejemni izpiti na univerze.

2. Enačba Če enačba vsebuje črko, se enačba imenuje enačba.
Enačba je lahko resnična za nekatere vrednosti te črke
in nepravilno za druge pomene.

Na primer, enačba x + 6 = 7
velja za x = 1
in napačno za x = 2.

3. Ekvivalentne enačbe Linearna enačba je ax + by + c = 0.
Na primer: 5x – 4y + 6 = 0.
Izrazimo y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

⇒ y = 1,25x + 1,5.
Nastala enačba, enakovredna prvi, ima obliko
y = kx + m,
kjer je: x - neodvisna spremenljivka (argument);
y - odvisna spremenljivka (funkcija);
k in m sta koeficienta (parametra).

4 Ekvivalentne enačbe

Enačbi se imenujeta enakovreden (enakovreden), če množice vseh njihovih rešitev sovpadajo ali pa obe nimajo nobene rešitve in označimo .

5/Enačba prve stopnje.

Enačbo prve stopnje lahko zmanjšamo na obliko:

sekira+b = 0,

kje x– spremenljivka, a in b– nekaj številk in a ≠ 0.

Od tu je enostavno izpeljati vrednost x:

b
x = – -
a

To je pomen x je koren enačbe.

Enačbe prve stopnje imajo en koren.

Enačba druge stopnje.

Enačbo druge stopnje lahko zmanjšamo na obliko:

ax 2 + bx + c = 0,

kje x– spremenljivka, a, b, c– nekaj številk in a ≠ 0.

Število korenin enačbe druge stopnje je odvisno od diskriminante:

Če je D > 0, ima enačba dva korena;

Če je D = 0, ima enačba en koren;

Če D< 0, то уравнение корней не имеет.

Enačba druge stopnje ima lahko največ dva korena.

(o tem, kaj je diskriminanta in kako najti korenine enačbe, glejte razdelke »Formula korenin kvadratna enačba. Diskriminant" in "Drug način reševanja kvadratne enačbe").

Enačba tretje stopnje.

Enačbo tretje stopnje lahko zmanjšamo na obliko:

sekira 3 + bx 2 + cx + d = 0,

kje x– spremenljivka, a, b, c, d– nekaj številk in a ≠ 0.

Enačba tretje stopnje ima lahko največ tri korenine.

Enačba četrte stopnje.

Enačbo četrte stopnje lahko zmanjšamo na obliko:

sekira 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

kje x– spremenljivka, a, b, c, d, e– nekaj številk in a ≠ 0.

Enačba tretje stopnje ima lahko največ štiri korenine.

Povzetek:

1) enačba petega, šestega itd. stopnje je mogoče zlahka izpeljati neodvisno z upoštevanjem zgornjega diagrama;

2) enačba n- stopnje ne more imeti več n korenine.

6/Enačba z eno spremenljivko je enačba, ki vsebuje samo eno spremenljivko. Koren (ali rešitev) enačbe je vrednost spremenljivke, pri kateri se enačba spremeni v pravo numerično enakost.

1. 8/-11/Sistemi linearne enačbe: osnovni pojmi Sistem linearnih enačb.

Nekonsistentni in nedoločeni sistemi linearnih enačb. Množica linearnih enačb Konsistentna in nekonzistentna množica linearnih enačb.

Sistem linearnih enačb je zveza n linearne enačbe, od katerih vsaka vsebuje k spremenljivke. Napisano je takole:

Mnogi, ko se prvič srečajo z višjo algebro, zmotno verjamejo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom spremenljivk. V šolski algebri se to ponavadi zgodi, vendar za višjo algebro to na splošno ne drži.

Reševanje sistema enačb je zaporedje številk ( k 1 , k 2 , ..., k n), ki je rešitev vsake enačbe sistema, tj. pri zamenjavi v to enačbo namesto spremenljivk x 1 , x 2 , ..., x n daje pravilno numerično enakost.

V skladu s tem reševanje sistema enačb pomeni iskanje množice vseh njegovih rešitev ali dokazovanje, da je ta množica prazna. Ker število enačb in število neznank morda ne sovpadata, so možni trije primeri:

1. Sistem je nekonzistenten, tj. nabor vseh rešitev je prazen. Precej redek primer, ki ga je zlahka zaznati ne glede na to, katera metoda je uporabljena za rešitev sistema.

2. Sistem je konsistenten in definiran, tj. ima točno eno rešitev. Klasična različica, znana že iz šole.

3. Sistem je konsistenten in nedefiniran, tj. ima neskončno veliko rešitev. To je najtežja možnost. Ni dovolj navesti, da "sistem ima neskončen niz rešitve” - treba je opisati, kako je ta niz strukturiran.

Spremenljivka x i klical dovoljeno, če je vključen le v eno enačbo sistema in s koeficientom 1. Z drugimi besedami, v preostalih enačbah je koeficient spremenljivke x i mora biti enako nič.

Če v vsaki enačbi izberemo eno dovoljeno spremenljivko, dobimo množico dovoljenih spremenljivk za celoten sistem enačb. Sam sistem, zapisan v tej obliki, se bo imenoval tudi razrešen. Na splošno se lahko en in isti izvirni sistem zreducira na različne dovoljene, vendar nas to za zdaj ne skrbi. Tu so primeri dovoljenih sistemov:

Oba sistema sta spremenljivo razrešena x 1 , x 3 in x 4. Vendar pa je z enakim uspehom mogoče trditi, da je drugi sistem relativno dovoljen x 1 , x 3 in x 5. Dovolj je, da prepišemo čisto zadnjo enačbo v obrazcu x 5 = x 4 .

Zdaj pa razmislimo o bolj splošnem primeru. Naj imamo vse k spremenljivk, od katerih r so dovoljene. Potem sta možna dva primera:

1. Število dovoljenih spremenljivk r enako skupnemu številu spremenljivk k: r = k. Sistem dobimo pri k enačbe, v katerih r = k dovoljene spremenljivke. Tak sistem je skupen in določen, saj x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Število dovoljenih spremenljivk r manj skupno število spremenljivke k: r < k. ostalo ( k − r) spremenljivke imenujemo proste - lahko sprejmejo poljubne vrednosti, iz katerih je mogoče enostavno izračunati dovoljene spremenljivke.

Torej, v zgornjih sistemih spremenljivke x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) in x 2 , x 5 (za drugo) je brezplačnih. Primer, ko obstajajo proste spremenljivke, je bolje formulirati kot izrek:

Prosimo, upoštevajte: to je zelo pomembna točka! Odvisno kako napišeš končni sistem, je lahko ista spremenljivka dovoljena ali prosta. Večina mentorjev višja matematika Priporočljivo je, da spremenljivke izpisujete v leksikografskem vrstnem redu, tj. naraščajoči indeks. Vendar niste dolžni upoštevati tega nasveta.

Izrek. Če je sistem iz n spremenljivke enačbe x 1 , x 2 , ..., x r- dovoljeno in x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- brezplačno, potem:

1. Če nastavite vrednosti prostih spremenljivk ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), nato pa poiščite vrednosti x 1 , x 2 , ..., x r, dobimo eno od rešitev.

2. Če v dveh rešitvah vrednosti prostih spremenljivk sovpadajo, potem sovpadajo tudi vrednosti dovoljenih spremenljivk, tj. rešitve so enake.

Kakšen je pomen tega izreka? Za pridobitev vseh rešitev razrešenega sistema enačb je dovolj, da izoliramo proste spremenljivke. Nato dodeljevanje prostim spremenljivkam različne pomene, bomo prejeli že pripravljene rešitve. To je vse – na ta način lahko dobite vse rešitve sistema. Drugih rešitev ni.

Sklep: razrešen sistem enačb je vedno konsistenten. Če je število enačb v rešenem sistemu enako številu spremenljivk, bo sistem določen, če je manj, bo nedoločen.

Nastane več enačb Komplet enačb

2. 12,13/ Linearna neenakost./ Stroge in nestroge neenakosti Kaj je neenakost? Vzame se katera koli enačba, znak "=" ("enako") se nadomesti z drugim znakom ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) in dobimo neenakost.) Enačba je lahko katera koli: linearna, kvadratna, frakcijska, eksponentna, trigonometrična, logaritemska itd. itd. V skladu s tem bodo naše neenakosti linearne, kvadratne itd.

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami večji ali enak (≥ ), manj kot ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj v primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Linearne, kvadratne, frakcijske, eksponentne, trigonometrične in druge neenačbe se rešujejo na različne načine. Vsak tip ima svojo metodo, svojo posebno tehniko. Ampak! Vse te posebne tehnike je mogoče uporabiti samo nekomu standardni pogled neenakosti. Tisti. najprej mora kakršna koli neenakost pripraviti uporabiti vašo metodo.

3. 14,16/Osnovne lastnosti neenačb/. Dejanja z dvema neenačbama.

1) Če

2) Lastnost prehodnosti. če

3) Če obema stranema prave neenakosti prištejete enako število, dobite pravo neenakost, tj. če

4) Če katerikoli člen prenesemo iz enega dela prave neenakosti v drugega in mu spremenimo predznak v nasprotno, potem dobimo pravo neenakost, tj. če

5) Če obe strani prave neenakosti pomnožimo z isto pozitivno število, potem bo neenakost resnična. Na primer, če

6) Če obe strani prave neenakosti pomnožimo z isto negativno število in spremeni znak neenakosti v nasprotnem primeru je rezultat prava neenakost. Na primer, če

7) Podobno kot pri pravilih 5) in 6) veljajo pravila za deljenje z istim številom. če