Faktoriziranje polinoma je kratko. Algoritem dekompozicije na konkretnem primeru

Faktoriziranje enačbe je postopek iskanja tistih členov ali izrazov, ki pri množenju vodijo do začetna enačba. Faktoring je uporabna veščina za reševanje osnovnih algebrskih problemov in postane skoraj nujna pri delu s kvadratnimi enačbami in drugimi polinomi. Faktoring se uporablja za poenostavitev algebrskih enačb, da jih je lažje rešiti. Faktoring vam lahko pomaga odpraviti določene možne odgovore hitreje, kot bi jih z ročnim reševanjem enačbe.

Koraki

Faktorizacija števil in osnovni algebraični izrazi

1. Faktoring številke. Koncept faktoringa je preprost, vendar je v praksi faktoring lahko izziv (če je podana kompleksna enačba). Zato si najprej poglejmo koncept faktorizacije z uporabo števil kot primera in nadaljujmo preproste enačbe, nato pa nadaljujte na kompleksne enačbe. Množitelji dano številko- To so števila, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, faktorji števila 12 so števila: 1, 12, 2, 6, 3, 4, saj je 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobno si lahko faktorje števila predstavljate kot njegove delitelje, to je števila, s katerimi je število deljivo.
   • Poiščite vse faktorje števila 60. Pogosto uporabljamo število 60 (na primer 60 minut v eni uri, 60 sekund v minuti itd.) in to število ima precej veliko število multiplikatorji.
     • 60 množiteljev: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60.

2. Ne pozabite:člene izraza, ki vsebujejo koeficient (število) in spremenljivko, je mogoče tudi faktorizirati. Če želite to narediti, poiščite faktorje koeficienta spremenljivke. Če veste, kako faktorizirati člene enačb, jih lahko preprosto poenostavite podana enačba.

   • Na primer, izraz 12x lahko zapišemo kot produkt 12 in x. 12x lahko zapišete tudi kot 3(4x), 2(6x) itd., pri čemer 12 razdelite na faktorje, ki vam najbolj ustrezajo.
     • Lahko delite 12-krat večkrat zapored. Z drugimi besedami, ne smete se ustaviti pri 3(4x) ali 2(6x); nadaljujte z razširitvijo: 3(2(2x)) ali 2(3(2x)) (očitno 3(4x)=3(2(2x)) itd.)

3. Uporabite distribucijsko lastnost množenja za faktorske algebraične enačbe.Če veste, kako faktorizirati števila in člene izrazov (koeficiente s spremenljivkami), lahko preprosto poenostavite algebraične enačbe, iskanje skupnega faktorja števila in člena izraza. Običajno morate za poenostavitev enačbe najti največje skupni delilnik(KIMAJ). Ta poenostavitev je možna zaradi distribucijske lastnosti množenja: za poljubna števila a, b, c velja enakost a(b+c) = ab+ac.

   • Primer. Faktorizirajte enačbo 12x + 6. Najprej poiščite gcd 12x in 6. 6 je največje število, ki deli tako 12x kot 6, tako da lahko to enačbo razdelite na: 6(2x+1).
   • Ta postopek velja tudi za enačbe, ki imajo negativne in delne člene. Na primer, x/2+4 je mogoče faktorizirati v 1/2(x+8); na primer, -7x+(-21) je mogoče faktorizirati v -7(x+3).

   Faktoriziranje kvadratnih enačb

   1. Prepričajte se, da je navedena enačba kvadratna oblika(ax 2 + bx + c = 0). Kvadratne enačbe imajo obliko: ax 2 + bx + c = 0, kjer so a, b, c numerični koeficienti, ki niso 0. Če vam je dana enačba z eno spremenljivko (x) in je v tej enačbi eden ali več členov s spremenljivko drugega reda lahko vse člene enačbe premaknete na eno stran enačbe in jih nastavite na nič.

      • Na primer, glede na enačbo: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. To lahko pretvorimo v enačbo x 2 + 6x + 9 = 0, ki je kvadratna enačba.
      • Enačbe s spremenljivko x velikega reda, na primer x 3, x 4 itd. niso kvadratne enačbe. To so kubične enačbe, enačbe četrtega reda in tako naprej (razen če je takih enačb mogoče poenostaviti na kvadratne enačbe s spremenljivko x na potenco 2).

   2. Kvadratne enačbe, kjer je a = 1, se razširijo v (x+d)(x+e), kjer je d*e=c in d+e=b.Če vam je dano kvadratna enačba ima obliko: x 2 + bx + c = 0 (to pomeni, da je koeficient pri x 2 enak 1), potem je takšno enačbo mogoče (vendar ni zajamčeno) razširiti na zgornje faktorje. Če želite to narediti, morate poiskati dve števili, ki pri množenju dajeta "c", pri seštevanju pa "b". Ko najdete ti dve števili (d in e), ju nadomestite v naslednji izraz: (x+d)(x+e), ki pri odpiranju oklepaja vodi do prvotne enačbe.

      • Na primer, dana je kvadratna enačba x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 in 3+2=5, tako da lahko to enačbo faktorizirate v (x+3)(x+2).
      • Za negativne člene naredite naslednje manjše spremembe v postopku faktorizacije:
        • Če ima kvadratna enačba obliko x 2 -bx+c, potem se razširi v: (x-_)(x-_).
        • Če ima kvadratna enačba obliko x 2 -bx-c, potem se razširi v: (x+_)(x-_).
      • Opomba: presledke lahko nadomestimo z ulomki oz decimalna števila. Na primer, enačba x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se razširi v (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizacija s poskusi in napakami. Enostavne kvadratne enačbe je mogoče faktorizirati preprosto tako, da številke zamenjate možne rešitve dokler ne najdeš prava odločitev. Če ima enačba obliko ax 2 +bx+c, kjer je a>1, so možne rešitve zapisane v obliki (dx +/- _)(ex +/- _), kjer sta d in e neničelna numerična koeficienta. , ki pri množenju dajo a. Bodisi d ali e (ali oba koeficienta) sta lahko enaka 1. Če sta oba koeficienta enaka 1, uporabite zgoraj opisano metodo.

      • Na primer, glede na enačbo 3x 2 - 8x + 4. Tukaj ima 3 samo dva faktorja (3 in 1), zato so možne rešitve zapisane kot (3x +/- _)(x +/- _). V tem primeru boste z zamenjavo -2 za presledke našli pravilen odgovor: -2*3x=-6x in -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x in -2*-2=4, kar pomeni, da bo takšna razširitev pri odpiranju oklepajev vodila do členov prvotne enačbe.

Ob množenju polinomov smo si zapomnili več formul, in sicer: formule za (a + b)², za (a – b)², za (a + b) (a – b), za (a + b)³ in za (a – b)³.

Če se izkaže, da dani polinom sovpada z eno od teh formul, ga bo mogoče faktorizirati. Na primer, polinom a² – 2ab + b², kot vemo, je enak (a – b)² [ali (a – b) · (a – b), tj. uspelo nam je faktorizirati a² – 2ab + b² na 2 faktorja ]; tudi

Poglejmo drugega od teh primerov. Vidimo, da se tukaj navedeni polinom ujema s formulo, dobljeno s kvadriranjem razlike dveh števil (kvadrat prvega števila, minus produkt dveh s prvim in drugim številom, plus kvadrat drugega števila): x 6 je kvadrat prvega števila in torej , samo prvo število je x 3 , kvadrat drugega števila je zadnji člen danega polinoma, tj. 1, drugo število samo je torej tudi 1; zmnožek dveh s prvim številom in drugim je člen –2x 3, ker je 2x 3 = 2 x 3 1. Naš polinom smo torej dobili s kvadriranjem razlike števil x 3 in 1, tj. je enak (x 3 – 1) 2. Poglejmo še 4. primer. Vidimo, da lahko ta polinom a 2 b 2 – 25 obravnavamo kot razliko kvadratov dveh števil, in sicer je kvadrat prvega števila a 2 b 2, zato je samo prvo število ab, kvadrat števila drugo število je 25, zakaj je drugo število samo 5. Zato se lahko šteje, da je naš polinom dobljen z množenjem vsote dveh števil z njuno razliko, tj.

(ab + 5) (ab – 5).

Včasih se zgodi, da v določenem polinomu členi niso urejeni v vrstnem redu, kot smo ga navajeni npr.

9a 2 + b 2 + 6ab – v mislih lahko preuredimo drugi in tretji člen in takrat nam bo postalo jasno, da je naš trinom = (3a + b) 2.

... (miselno preuredimo prvi in ​​drugi člen).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 itd.

Oglejmo si še en polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vidimo, da je njegov prvi člen kvadrat števila a, tretji člen pa kvadrat števila 2b, vendar drugi člen ni zmnožek dveh s prvim in drugim številom - tak produkt bi bil enak 2 a 2b = 4ab. Zato na ta polinom ni mogoče uporabiti formule za kvadrat vsote dveh števil. Če bi nekdo napisal, da je a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, potem bi bilo to napačno - treba je skrbno pretehtati vse člene polinoma, preden zanj uporabimo faktorizacijo s formulami.

40. Kombinacija obeh tehnik. Včasih morate pri faktoriziranju polinomov kombinirati tehniko jemanja skupnega faktorja iz oklepajev in tehniko uporabe formul. Tu so primeri:

1. 2a 3 – 2ab 2. Najprej vzamemo skupni faktor 2a iz oklepaja in dobimo 2a (a 2 – b 2). Faktor a 2 – b 2 pa se po formuli razgradi na faktorje (a + b) in (a – b).

Včasih morate tehniko razgradnje formule uporabiti večkrat:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Vidimo, da prvi faktor a 2 + b 2 ne ustreza nobeni od znanih formul; Še več, če se spomnimo posebnih primerov deljenja (točka 37), bomo ugotovili, da a 2 + b 2 (vsota kvadratov dveh števil) sploh ni mogoče faktorizirati. Drugi izmed dobljenih faktorjev a 2 – b 2 (razlika na kvadrat dveh števil) se razgradi na faktorje (a + b) in (a – b). Torej,

41. Aplikacija posebne priložnosti divizije. Na podlagi 37. odstavka lahko takoj zapišemo, da je npr.

Spletni kalkulator.
Kvadriranje binoma in faktoring kvadratni trinom.

Tisti. težave se skrčijo na iskanje števil \(p, q\) in \(n, m\)

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? domača naloga

pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami. Tako lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali svoje usposabljanje. mlajši bratje

ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju problemov, ki se rešujejo, povečuje.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega trinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite. Pravila vnosa

kvadratni polinom
Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.

Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.
Števila lahko vnesete kot cela ali ulomka.

Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.
Pravila za vnos decimalnih ulomkov. V decimalkah delni del
lahko od celote ločimo s piko ali vejico. Na primer, lahko vnesete decimalke

takole: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za vnos navadnih ulomkov.

Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen. Pri vstopuštevilčni ulomek /
Števec je od imenovalca ločen z znakom za deljenje: Cel del &
ločeno od ulomka z znakom &:
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju vneseni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primer podrobna rešitev

Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\levo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \levo(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \levo(x \levo(x +2 \desno) -1 \levo(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Počakajte prosim sek...

če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Ločitev kvadrata binoma od kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kot a(x+p) 2 +q, kjer sta p in q realna števila, potem pravijo, da od kvadratni trinom, kvadrat binoma je poudarjen.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izluščimo kvadrat binoma.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Če želite to narediti, si predstavljajte 6x kot zmnožek 2*3*x, nato pa seštejte in odštejte 3 2. Dobimo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

to. mi izlušči kvadratni binom iz kvadratnega trinoma in pokazal, da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen v obliki a(x+n)(x+m), kjer sta n in m realni števili, se reče, da je bila operacija izvedena faktorizacija kvadratnega trinoma.

S primerom pokažimo, kako poteka ta preobrazba.

Razčlenimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Vzemimo koeficient a iz oklepaja, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformirajmo izraz v oklepajih.
Če želite to narediti, si predstavljajte 2x kot razliko 3x-1x in -3 kot -1*3. Dobimo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

to. mi faktoriziral kvadratni trinom in pokazal, da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Upoštevajte, da je faktoriziranje kvadratnega trinoma možno le, če ima kvadratna enačba, ki ustreza temu trinomu, korenine.
Tisti. v našem primeru je možno faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6, če ima kvadratna enačba 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procesu faktorizacije smo ugotovili, da ima enačba 2x 2 + 4x-6 = 0 dva korena 1 in -3, ker s temi vrednostmi se enačba 2(x-1)(x+3)=0 spremeni v pravo enakost.

Vklopljeno to lekcijo spomnili se bomo vseh predhodno preučenih metod faktoriziranja polinoma in razmislili o primerih njihove uporabe, poleg tega pa bomo preučili nova metoda- metodo prepoznavanja celotnega kvadrata in se naučite, kako jo uporabiti pri reševanju različnih problemov.

Zadeva:Faktoriziranje polinomov

Lekcija:Faktoriziranje polinomov. Metoda izbire celotnega kvadrata. Kombinacija metod

Spomnimo se osnovnih metod faktoriziranja polinoma, ki smo jih preučevali prej:

Metoda postavljanja skupnega faktorja iz oklepaja, to je faktorja, ki je prisoten v vseh členih polinoma. Poglejmo primer:

Spomnimo se, da je monom produkt potenc in števil. V našem primeru imata oba izraza nekaj skupnih, enakih elementov.

Torej, vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

;

Naj vas spomnimo, da z množenjem izvzetega faktorja z oklepajem preverite pravilnost izvzetega faktorja.

Metoda združevanja. V polinomu ni vedno mogoče izluščiti skupnega faktorja. V tem primeru morate njene člane razdeliti v skupine tako, da lahko v vsaki skupini vzamete skupni faktor in ga poskusite razčleniti tako, da se po izločitvi faktorjev v skupinah skupni faktor pojavi v celoten izraz in lahko nadaljujete z razgradnjo. Poglejmo primer:

Združimo prvi člen s četrtim, drugi s petim in tretji s šestim:

Izločimo skupne dejavnike v skupinah:

Izraz ima zdaj skupni faktor. Vzemimo ven:

Uporaba formul za skrajšano množenje. Poglejmo primer:

;

Zapišimo izraz podrobno:

Očitno imamo pred seboj formulo za kvadrat razlike, saj je vsota kvadratov dveh izrazov in njun dvojni produkt je odštet od tega. Uporabimo formulo:

Danes se bomo naučili druge metode - metode izbire celotnega kvadrata. Temelji na formulah kvadrata vsote in kvadrata razlike. Naj jih spomnimo:

Formula za kvadrat vsote (razlike);

Posebnost teh formul je, da vsebujejo kvadrata dveh izrazov in njun dvojni produkt. Poglejmo primer:

Zapišimo izraz:

Torej, prvi izraz je , drugi pa .

Da bi ustvarili formulo za kvadrat vsote ali razlike, dvakratni produkt izrazov ni dovolj. Treba je dodati in odšteti:

Zvijemo se popoln kvadrat zneski:

Preoblikujemo dobljeni izraz:

Uporabimo formulo za razliko kvadratov, spomnimo se, da je razlika kvadratov dveh izrazov produkt in vsota njune razlike:

Torej, ta metoda sestoji najprej iz dejstva, da je treba identificirati izraza a in b, ki sta v kvadratu, torej ugotoviti, kateri kvadrati izrazov so v v tem primeru. Po tem morate preveriti prisotnost dvojnega produkta in če ga ni, ga dodajte in odštejte, to ne bo spremenilo pomena primera, vendar je polinom mogoče faktorizirati z uporabo formul za kvadrat vsoto ali razliko in razliko kvadratov, če je mogoče.

Pojdimo k reševanju primerov.

Primer 1 - faktorizacija:

Poiščimo izraze, ki so na kvadrat:

Zapišimo, kakšen mora biti njihov dvojni produkt:

Dodajmo in odštejmo dvojni produkt:

Dopolnimo kvadrat vsote in podajmo podobne:

Zapišimo ga s formulo razlike kvadratov:

Primer 2 - reši enačbo:

;

Na levi strani enačbe je trinom. Razložiti ga morate na faktorje. Uporabljamo formulo kvadratne razlike:

Imamo kvadrat prvega izraza in dvojni produkt, kvadrat drugega izraza manjka, seštejmo in odštejmo ga:

Zložimo celoten kvadrat in podamo podobne izraze:

Uporabimo formulo razlike kvadratov:

Torej imamo enačbo

Vemo, da je produkt enak nič le, če je vsaj eden od faktorjev enako nič. Na podlagi tega sestavimo naslednje enačbe:

Rešimo prvo enačbo:

Rešimo drugo enačbo:

Odgovor: oz

;

Nadaljujemo podobno kot v prejšnjem primeru - izberemo kvadrat razlike.

Koncepta "polinoma" in "faktorizacije polinoma" v algebri srečamo zelo pogosto, saj ju morate poznati, da lahko enostavno izvajate izračune z velikimi večmestna števila. Ta članek bo opisal več metod razgradnje. Vsi so precej preprosti za uporabo, le izbrati morate pravega za vsak konkreten primer.

Koncept polinoma

Polinom je vsota monomov, to je izrazov, ki vsebujejo samo operacijo množenja.

Na primer, 2 * x * y je monom, vendar je 2 * x * y + 25 polinom, ki je sestavljen iz dveh monomov: 2 * x * y in 25. Takšni polinomi se imenujejo binomi.

Včasih za lažje reševanje primerov z večvrednostni pomeni izraz je treba preoblikovati, na primer razstaviti na določeno število faktorjev, to je števil ali izrazov, med katerimi se izvede dejanje množenja. Polinom lahko faktoriziramo na več načinov. Vredno jih je upoštevati, začenši z najbolj primitivnim, ki se uporablja v osnovni šoli.

Združevanje (zapis v splošni obliki)

Formula za faktoriziranje polinoma z uporabo metode združevanja splošni pogled izgleda takole:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Monome je treba združiti tako, da ima vsaka skupina skupni faktor. V prvem oklepaju je to faktor c, v drugem pa d. To je treba storiti, da ga nato premaknete iz oklepaja in s tem poenostavite izračune.

Algoritem dekompozicije na konkretnem primeru

Najenostavnejši primer faktoriziranja polinoma z metodo združevanja je podan spodaj:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V prvem oklepaju morate vzeti izraze s faktorjem a, ki bodo pogosti, v drugem pa s faktorjem b. Bodite pozorni na znaka + in - v končnem izrazu. Pred monom postavimo znak, ki je bil v začetnem izrazu. To pomeni, da ne morate delati z izrazom 25a, ampak z izrazom -25. Zdi se, da je znak minus "prilepljen" na izraz za njim in vedno upoštevan pri izračunu.

V naslednjem koraku morate množitelj, ki je običajen, vzeti iz oklepaja. Ravno temu je namenjeno združevanje. Postaviti izven oklepaja pomeni zapisati pred oklepaj (brez znaka za množenje) vse tiste dejavnike, ki se natančno ponavljajo v vseh členih, ki so v oklepaju. Če v oklepaju nista 2, ampak 3 ali več členov, mora biti skupni faktor v vsakem od njih, sicer ga ni mogoče vzeti iz oklepaja.

V našem primeru sta v oklepaju samo 2 izraza. Skupni množitelj je takoj viden. V prvem oklepaju je a, v drugem pa b. Tukaj morate biti pozorni na digitalne koeficiente. V prvem oklepaju sta oba koeficienta (10 in 25) večkratnika 5. To pomeni, da lahko iz oklepaja vzamemo ne samo a, ampak tudi 5a. Pred oklepajem napiši 5a, nato pa vsak člen v oklepaju deli s skupnim faktorjem, ki je bil izvzet, v oklepaju pa zapiši tudi količnik, ne pozabi na znaka + in - Enako naredi z drugim oklepajem, vzemite 7b, kot tudi 14 in 35 večkratnik 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Dobili smo 2 člena: 5a(2c - 5) in 7b(2c - 5). Vsak od njih vsebuje skupni faktor (tukaj je celoten izraz v oklepaju enak, kar pomeni, da gre za skupni faktor): 2c - 5. Prav tako ga je treba vzeti iz oklepaja, kar pomeni, da termina 5a in 7b ostaneta v drugem oklepaju:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Celoten izraz je torej:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Tako se polinom 10ac + 14bc - 25a - 35b razgradi na 2 faktorja: (2c - 5) in (5a + 7b). Znak za množenje med njima lahko pri pisanju izpustimo

Včasih obstajajo izrazi te vrste: 5a 2 + 50a 3, tukaj lahko postavite iz oklepaja ne samo a ali 5a, ampak celo 5a 2. Največji skupni faktor vedno poskušajte postaviti iz oklepaja. V našem primeru, če vsak člen razdelimo s skupnim faktorjem, dobimo:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(pri izračunu kvocienta več potenc s enako Osnova se ohrani, eksponent pa se odšteje). Tako ostane enota v oklepaju (v nobenem primeru je ne pozabite napisati, če enega izmed členov vzamete iz oklepaja) in količnik deljenja: 10a. Izkazalo se je, da:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratne formule

Za lažji izračun je bilo izpeljanih več formul. Imenujejo se skrajšane formule množenja in se pogosto uporabljajo. Te formule pomagajo faktorizirati polinome, ki vsebujejo stopnje. To je še ena učinkovit način faktorizacija. Torej, tukaj so:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula, imenovana "kvadrat vsote", saj se kot rezultat razgradnje na kvadrat vzame vsota števil v oklepajih, to pomeni, da se vrednost te vsote pomnoži sama s seboj 2-krat in je zato množitelj.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula za kvadrat razlike, je podobna prejšnji. Rezultat je razlika, v oklepajih, ki jo vsebuje kvadratna potenca.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- to je formula za razliko kvadratov, saj je na začetku polinom sestavljen iz 2 kvadratov števil ali izrazov, med katerimi se izvaja odštevanje. Morda se od omenjenih treh uporablja največkrat.

Primeri za izračune s kvadratnimi formulami

Izračuni zanje so precej preprosti. Na primer:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - uporabite formulo "kvadrat vsote".
2. 25x 2 je kvadrat 5x. 20xy je dvojni produkt 2*(5x*2y), 4y 2 pa je kvadrat 2y.
3. Tako je 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ta polinom se razgradi na 2 faktorja (faktorja sta enaka, zato jo zapišemo kot izraz s kvadratno potenco).

Dejanja z uporabo formule kvadratne razlike se izvajajo podobno kot ta. Preostala formula je razlika kvadratov. Primere te formule je zelo enostavno definirati in najti med drugimi izrazi. Na primer:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Ker je 25a 2 = (5a) 2 in 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Ker je 36x 2 = (6x) 2 in 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Ker je 169b 2 = (13b) 2

Pomembno je, da je vsak člen kvadrat nekega izraza. Potem je treba ta polinom faktorizirati z uporabo formule razlike kvadratov. Za to ni nujno, da je druga stopnja nad številko. Obstajajo polinomi, ki vsebujejo velike stopinje, vendar še vedno primeren za te formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

V tem primeru lahko 8 predstavimo kot (a 4) 2, to je kvadrat določenega izraza. 25 je 5 2 in 10a je 4 - to je dvojni produkt členov 2 * a 4 * 5. Se pravi, ta izraz, kljub prisotnosti stopinj s visoke stopnje, lahko razčlenimo na 2 faktorja, da lahko pozneje delamo z njima.

Formule kocke

Enake formule obstajajo za faktorizacijo polinomov, ki vsebujejo kocke. So nekoliko bolj zapleteni kot tisti s kvadratki:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- ta formula se imenuje vsota kock, saj v začetna oblika Polinom je vsota dveh izrazov ali števil, kubiranih na kubik.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - formula, ki je enaka prejšnji, je označena kot razlika kock.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kocka vsote, kot rezultat izračunov je vsota števil ali izrazov zaprta v oklepajih in pomnožena sama s seboj 3-krat, to je v kocki
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, sestavljena po analogiji s prejšnjo, ki spreminja le nekatere znake matematičnih operacij (plus in minus), se imenuje "kocka razlike".

Zadnji dve formuli se praktično ne uporabljata za faktorizacijo polinoma, saj sta kompleksni in je dovolj redko najti polinome, ki popolnoma ustrezajo točno tej strukturi, da bi jih lahko faktorizirali s temi formulami. Vendar jih morate še vedno poznati, saj bodo potrebni pri nastopanju obratna smer- pri odpiranju oklepaja.

Primeri kockastih formul

Poglejmo primer: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Tukaj so vzete precej preproste številke, tako da lahko takoj vidite, da je 64a 3 (4a) 3 in 8b 3 je (2b) 3. Tako se ta polinom razširi glede na formulo razlike kock na 2 faktorja. Dejanja z uporabo formule za vsoto kock se izvajajo po analogiji.

Pomembno je razumeti, da vseh polinomov ni mogoče razširiti na vsaj en način. Obstajajo pa izrazi, ki vsebujejo večje potence kot kvadrat ali kocka, vendar jih je mogoče razširiti tudi v skrajšane oblike množenja. Na primer: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ta primer vsebuje kar 12 stopinj. Toda tudi to je mogoče faktorizirati s formulo vsote kock. Če želite to narediti, si morate predstavljati x 12 kot (x 4) 3, to je kot kocko nekega izraza. Zdaj ga morate namesto a nadomestiti s formulo. No, izraz 125y 3 je kocka 5y. Nato morate sestaviti izdelek z uporabo formule in izvesti izračune.

Na začetku ali v primeru dvoma lahko vedno preverite z inverznim množenjem. Samo odpreti morate oklepaje v dobljenem izrazu in izvesti dejanja z podobni pogoji. Ta metoda velja za vse naštete metode zmanjševanja: tako za delo s skupnim faktorjem in združevanjem kot za delo s formulami kock in kvadratnimi potenci.